Т-норма

Концепция нечеткой логики

В математике t -норма (также T-норма или, несокращенно, треугольная норма ) — это разновидность бинарной операции, используемая в рамках вероятностных метрических пространств и в многозначной логике , в частности в нечеткой логике . t-норма обобщает пересечение в решетке и конъюнкцию в логике . Название треугольная норма относится к тому факту, что в рамках вероятностных метрических пространств t-нормы используются для обобщения неравенства треугольника обычных метрических пространств .

Определение

t-норма — это функция T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], которая удовлетворяет следующим свойствам:

• Коммутативность : T( a , b ) = T( b , a )
• Монотонность : T( a , b ) ≤ T( c , d ), если a ≤ c и b ≤ d
• Ассоциативность : T( a , T( b , c )) = T(T( a , b ), c )
• Число 1 выступает в качестве элемента идентичности : T( a , 1) = a

Поскольку t-норма представляет собой бинарную алгебраическую операцию на интервале [0, 1], распространена также инфиксная алгебраическая запись, при этом t-норма обычно обозначается как  . ${\displaystyle *}$

Определяющие условия t-нормы в точности соответствуют условиям частично упорядоченного абелева моноида на вещественном единичном интервале [0, 1]. (Ср.  упорядоченная группа .) Поэтому моноидальная операция любого частично упорядоченного абелева моноида L некоторыми авторами называется треугольной нормой на L .

Классификация t-норм

t-норма называется непрерывной , если она непрерывна как функция в обычной интервальной топологии на [0, 1] ² . (Аналогично для непрерывности слева и справа .)

t-норма называется строгой, если она непрерывна и строго монотонна .

t-норма называется нильпотентной, если она непрерывна и каждый x в открытом интервале (0, 1) нильпотентен , то есть существует натуральное число n такое, что x ... x ( n  раз) равно 0. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

t-норма называется архимедовой , если она обладает архимедовым свойством , то есть если для каждого x , y в открытом интервале (0, 1) существует натуральное число n такое, что x ... x ( n  раз) меньше или равно y . ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

Обычное частичное упорядочение t-норм является поточечным , то есть

T ₁ ≤ T ₂ ,   если T ₁ ( a , b ) ≤ T ₂ ( a , b ) для всех a , b из [0, 1].

Как функции, точечно большие t-нормы иногда называют более сильными, чем точечно меньшие. Однако в семантике нечеткой логики, чем больше t-норма, тем слабее (с точки зрения логической силы) конъюнкция, которую она представляет.

Яркие примеры

График минимальной t-нормы (3D и контуры)

• Минимальная t-норма также называется t-нормой Гёделя , так как это стандартная семантика для конъюнкции в нечеткой логике Гёделя . Кроме того, она встречается в большинстве нечетких логик, основанных на t-норме, как стандартная семантика для слабой конъюнкции. Это точечно наибольшая t-норма (см. свойства t-норм ниже). ${\displaystyle \top _{\mathrm {min} }(a,b)=\min\{a,b\},}$

График t-нормы произведения

• Произведение t-нормы (обычное произведение действительных чисел). Помимо других применений, произведение t-нормы является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в нечеткой логике произведения . Это строгая архимедова t-норма. ${\displaystyle \top _{\mathrm {prod} }(a,b)=a\cdot b}$

График t-нормы Лукасевича

• t-норма Лукасевича Название происходит от того факта, что t-норма является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в нечеткой логике Лукасевича . Это нильпотентная архимедова t-норма, поточечно меньшая, чем t-норма произведения. ${\displaystyle \top _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\max\{0,a+b-1\}.}$

График радикальной t-нормы. Функция разрывна на линиях 0 < x = 1 и 0 < y = 1.

• Резкая t-норма

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=1\\a&{\mbox{if }}b=1\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Название отражает тот факт, что радикальная t-норма является наименьшей по точкам t-нормой (см. свойства t-норм ниже). Это непрерывная справа архимедова t-норма.

График нильпотентного минимума. Функция разрывна на линии 0 < x = 1 − y < 1.

• Нильпотентный минимум

${\displaystyle \top _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\min(a,b)&{\mbox{if }}a+b>1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

является стандартным примером t-нормы, которая непрерывна слева, но не непрерывна. Несмотря на свое название, нильпотентный минимум не является нильпотентной t-нормой.

График продукта Хамахера

• продукт Хамахер

${\displaystyle \top _{\mathrm {H} _{0}}(a,b)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a=b=0\\{\frac {ab}{a+b-ab}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

является строгой архимедовой t-нормой и важным представителем параметрических классов t-норм Хамахера и t-норм Швейцера–Склара .

Свойства t-норм

Радикальная t-норма — это наименьшая поточечно t-норма, а минимум — это наибольшая поточечно t-норма:

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)\leq \top (a,b)\leq \mathrm {\top _{min}} (a,b),}$для любой t-нормы и всех a , b из [0, 1]. ${\displaystyle \top }$

Для каждой t-нормы T число 0 действует как нулевой элемент: T( a , 0) = 0 для всех a из [0, 1].

t-норма T имеет делители нуля тогда и только тогда, когда она имеет нильпотентные элементы; каждый нильпотентный элемент T также является делителем нуля T. Множество всех нильпотентных элементов представляет собой интервал [0,  a ] или [0,  a ) для некоторого a из [0, 1].

Свойства непрерывных t-норм

Хотя действительные функции двух переменных могут быть непрерывны по каждой переменной, не будучи непрерывными на [0, 1] ² , это не относится к t-нормам: t-норма T непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна по одной переменной, т. е. тогда и только тогда, когда функции f _y ( x ) = T( x , y ) непрерывны для каждого y из [0, 1]. Аналогичные теоремы справедливы для непрерывности t-нормы слева и справа.

Непрерывная t-норма является архимедовой тогда и только тогда, когда 0 и 1 являются ее единственными идемпотентами .

Непрерывная архимедова t-норма является строгой, если 0 — ее единственный нильпотентный элемент; в противном случае она нильпотентна. Более того, по определению, непрерывная архимедова t-норма T является нильпотентной тогда и только тогда, когда каждый x  < 1 является нильпотентным элементом T. Таким образом, при непрерывной архимедовой t-норме T либо все, либо ни один из элементов (0, 1) нильпотентны. Если все элементы в (0, 1) нильпотентны, то t-норма изоморфна t-норме Лукасевича; т. е. существует строго возрастающая функция f такая, что

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y))).}$

Если же, с другой стороны, нильпотентных элементов T нет, то t-норма изоморфна t-норме произведения. Другими словами, все нильпотентные t-нормы изоморфны, а t-норма Лукасевича является их прототипическим представителем; и все строгие t-нормы изоморфны, а t-норма произведения является их прототипическим примером. t-норма Лукасевича сама по себе изоморфна t-норме произведения, подрезанной на 0,25, т. е. функции p ( x ,  y ) = max(0,25, x  ⋅  y ) на [0,25, 1] ^​​2 .

Для каждой непрерывной t-нормы множество ее идемпотентов является замкнутым подмножеством [0, 1]. Его дополнение — множество всех элементов, которые не являются идемпотентами — является, таким образом, объединением счетного числа неперекрывающихся открытых интервалов. Ограничение t-нормы на любой из этих интервалов (включая его конечные точки) является архимедовым и, таким образом, изоморфно либо t-норме Лукасевича, либо t-норме произведения. Для таких x , y , которые не попадают в один и тот же открытый интервал неидемпотентов, t-норма вычисляется как минимум из x и y . Эти условия фактически дают характеристику непрерывных t-норм, называемую теоремой Мостерта–Шилдса , поскольку каждая непрерывная t-норма может быть таким образом разложена, и описанная конструкция всегда дает непрерывную t-норму. Теорему можно также сформулировать следующим образом:

t-норма непрерывна тогда и только тогда, когда она изоморфна порядковой сумме минимальной, Лукасевича и произведения t-норм.

Аналогичная теорема о характеризации для ненепрерывных t-норм неизвестна (даже для непрерывных слева), найдены лишь некоторые неисчерпывающие методы построения t-норм .

Остаток

Для любой непрерывной слева t-нормы существует единственная бинарная операция на [0, 1] такая, что ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle \top (z,x)\leq y}$если и только если ${\displaystyle z\leq (x\Rightarrow y)}$

для всех x , y , z из [0, 1]. Эта операция называется вычетом t-нормы. В префиксной нотации вычет t-нормы часто обозначается буквой R или . ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle {\vec {\top }}}$

Интервал [0, 1], снабженный t-нормой и ее вычетом, образует вычетную решетку . Связь между t-нормой T и ее вычетом R является примером присоединения (в частности, связности Галуа ): вычет образует правый сопряженный R( x , –) к функтору T(–, x ) для каждого x в решетке [0, 1], взятой как категория частично упорядоченных множеств .

В стандартной семантике нечетких логик, основанных на t-норме, где конъюнкция интерпретируется t-нормой, остаток играет роль импликации (часто называемой R-импликацией ).

Основные свойства остатков

Если — остаток непрерывной слева t-нормы , то ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \top }$

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}.}$

Следовательно, для всех x , y в единичном интервале,

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1}$если и только если ${\displaystyle x\leq y}$

и

${\displaystyle (1\Rightarrow y)=y.}$

Если — непрерывная слева t-норма и ее остаток, то ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x).\end{array}}}$

Если непрерывно, то в первом случае имеет место равенство. ${\displaystyle *}$

Остатки общих лево-непрерывных t-норм

Если x ≤ y , то R( x , y ) = 1 для любого остатка R. Поэтому в следующей таблице приведены значения значимых остатков только для x > y .

Т-конормы

T-конормы (также называемые S-нормами ) являются дуальными к t-нормам при операции изменения порядка, которая присваивает 1 – x к x на [0, 1]. При наличии t-нормы дополнительная конорма определяется как ${\displaystyle \top }$

${\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}$

Это обобщает законы Де Моргана .

Отсюда следует, что t-конорма удовлетворяет следующим условиям, которые можно использовать для эквивалентного аксиоматического определения t-конорм независимо от t-норм:

• Коммутативность: ⊥( a , b ) = ⊥( b , a )
• Монотонность: ⊥( a , b ) ≤ ⊥( c , d ), если a ≤ c и b ≤ d
• Ассоциативность: ⊥( a , ⊥( b , c )) = ⊥(⊥( a , b ), c ​​)
• Элемент идентичности: ⊥( a , 0) = a

Т-конормы используются для представления логической дизъюнкции в нечеткой логике и объединения в теории нечетких множеств .

Примеры t-конорм

Важные t-конормы — это те, которые дуальны выдающимся t-нормам:

График максимальной t-конормы (3D и контуры)

• Максимальная t-конорма , двойственная минимальной t-норме, является наименьшей t-конормой (см. свойства t-конорм ниже). Это стандартная семантика для дизъюнкции в нечеткой логике Гёделя и для слабой дизъюнкции во всех нечетких логиках, основанных на t-норме. ${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$

График вероятностной суммы

• Вероятностная сумма является дуальной к t-норме произведения. В теории вероятностей она выражает вероятность объединения независимых событий . Это также стандартная семантика для сильной дизъюнкции в таких расширениях нечеткой логики произведения , в которых она определима (например, содержащих инволютивное отрицание). ${\displaystyle \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)=a+b-a\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$

График ограниченной суммы t-конормы

• Ограниченная сумма является дуальной к t-норме Лукасевича. Это стандартная семантика для сильной дизъюнкции в нечеткой логике Лукасевича . ${\displaystyle \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$

График радикальной t-конормы. Функция разрывна на линиях 1 > x = 0 и 1 > y = 0.

• Резкий t-конорм

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=0\\a&{\mbox{if }}b=0\\1&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}$

дуальная к радикальной t-норме, является наибольшей t-конормой (см. свойства t-конорм ниже).

График нильпотентного максимума. Функция разрывна на линии 0 < x = 1 – y < 1.

• Нильпотентный максимум , двойственный нильпотентному минимуму:

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b)&{\mbox{if }}a+b<1\\1&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

График суммы Эйнштейна

• Сумма Эйнштейна (сравните формулу сложения скоростей в специальной теории относительности)

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

является дуальной к одной из t-норм Хамахера .

Свойства t-конорм

Многие свойства t-конорм можно получить путем дуализации свойств t-норм, например:

• Для любой t-конормы ⊥ число 1 является аннулирующим элементом: ⊥( a , 1) = 1 для любого a из [0, 1].
• Двойственно t-нормам, все t-конормы ограничены максимальной и радикальной t-конормой:

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$, для любой t-конормы и всех a , b из [0, 1]. ${\displaystyle \bot }$

Дополнительные свойства вытекают из отношений между t-нормами и t-конормами или их взаимодействия с другими операторами, например:

• t-норма T распределяется по t-конорме ⊥, т.е.

T( x , ⊥( y , z )) = ⊥(T( x , y ), T( x , z )) для всех x , y , z в [0, 1],

тогда и только тогда, когда ⊥ — максимальная t-конорма. Двойственно, любая t-конорма распределяется по минимуму, но не по любой другой t-норме.

Нестандартные отрицатели

Негатор — это монотонно убывающее отображение такое, что и . Негатор n называется ${\displaystyle n\colon [0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle n(0)=1}$ ${\displaystyle n(1)=0}$

• строгий в случае строгой монотонности, и
• сильным , если оно строгое и инволютивное , то есть для всех в [0, 1]. ${\displaystyle n(n(x))=x}$ ${\displaystyle x}$

Стандартный (канонический) отрицатель — это , который является как строгим, так и сильным. Поскольку стандартный отрицатель используется в приведенном выше определении пары t-норма/t-конорма, это можно обобщить следующим образом: ${\displaystyle n(x)=1-x,\ x\in [0,1]}$

Триплет Де Моргана — это тройка (T,⊥, n ) такая, что ^[1]

1. T — это t-норма
2. ⊥ является t-конормой согласно аксиоматическому определению t-конорм, упомянутому выше
3. n — сильное отрицание
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]\colon \ n({\perp }(a,b))=\top (n(a),n(b))}$.

Смотрите также

• Построение t-норм
• Нечеткая логика T-нормы

Ссылки

1. Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры сходства для нечетких множеств, в: Прикладная и вычислительная математика, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.

• Клемент, Эрих Петер; Месиар, Радко; и Пап, Эндре (2000), Треугольные нормы . Дордрехт: Клювер. ISBN  0-7923-6416-3 .
• Гаек, Петр (1998), Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клювер. ISBN 0-7923-5238-6 
• Чиньоли, Роберто ЛО; Д'Оттавиано, Итала ML ; и Мундичи, Даниэле (2000), Алгебраические основы многозначного рассуждения . Дордрехт: Клювер. ISBN 0-7923-6009-5 
• Фодор, Янош (2004), "Непрерывные слева t-нормы в нечеткой логике: обзор". Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN  1785-8860 [1]