Формула сложения скоростей

Уравнение, используемое в релятивистской физике

Специальная теория относительности, сформулированная в 1905 году Альбертом Эйнштейном , предполагает, что сложение скоростей не ведет себя в соответствии с простым сложением векторов .

В релятивистской физике формула сложения скоростей представляет собой уравнение, которое определяет, как объединить скорости объектов таким образом, чтобы это соответствовало требованию, чтобы ни один объект не превышал скорость света . Такие формулы применимы к последовательным преобразованиям Лоренца , поэтому они также связывают разные системы отсчета. Сопутствующее добавление скорости представляет собой кинематический эффект, известный как прецессия Томаса , при котором последовательные неколлинеарные повышения Лоренца становятся эквивалентными составу вращения системы координат и повышения.

Стандартные применения формул сложения скоростей включают доплеровский сдвиг , доплеровскую навигацию , аберрацию света и увлечение света в движущейся воде, наблюдаемое в эксперименте Физо 1851 года . ^[1]

В обозначениях используется u как скорость тела в системе Лоренца S , v как скорость во второй системе отсчета S ′ , измеренная в S , и u ′ как преобразованная скорость тела во второй системе отсчета.

История

Скорость света в жидкости медленнее, чем скорость света в вакууме, и она меняется, если жидкость движется вместе со светом. В 1851 году Физо измерил с помощью интерферометра скорость света в жидкости, движущейся параллельно свету . Результаты Физо не соответствовали преобладавшим в то время теориям. Физо экспериментально правильно определил нулевой член разложения релятивистски правильного закона сложения по V / c , как описано ниже. Результат Физо побудил физиков признать эмпирическую обоснованность весьма неудовлетворительной теории Френеля о том, что жидкость, движущаяся относительно неподвижного эфира , частично увлекает за собой свет, т. е. скорость равна c ⁄ n + (1 − 1 ⁄ n ² ) V вместо этого. c ⁄ n + V , где c — скорость света в эфире, n — показатель преломления жидкости, а V — скорость жидкости относительно эфира.

Аберрация света , самым простым объяснением которой является релятивистская формула сложения скоростей, вместе с результатом Физо спровоцировала развитие таких теорий, как эфирная теория электромагнетизма Лоренца в 1892 году. В 1905 году Альберт Эйнштейн , с появлением специальной теории относительности , вывел стандартная формула конфигурации ( V в направлении x ) для сложения релятивистских скоростей. ^[2] Вопросы, связанные с эфиром, постепенно, с годами, были решены в пользу специальной теории относительности.

теория относительности Галилея

Еще Галилей заметил , что человек, находящийся на равномерно движущемся корабле, производит впечатление покоящегося и видит тяжелое тело, падающее вертикально вниз. ^[3] Это наблюдение сейчас считается первым четким утверждением принципа механической относительности. Галилей видел, что с точки зрения человека, стоящего на берегу, движение корабля вниз будет сочетаться с поступательным движением корабля или добавляться к нему. ^[4] С точки зрения скоростей можно сказать, что скорость падающего тела относительно берега равна скорости этого тела относительно корабля плюс скорость корабля относительно берега.

В общем, для трех объектов A (например, Галилей на берегу), B (например, корабль), C (например, падающее тело на корабль) вектор скорости C относительно A (скорость падающего объекта, как его видит Галилей) представляет собой сумму скорость C относительно B (скорость падающего объекта относительно корабля) плюс скорость v B относительно A (скорость корабля от берега). Сложение здесь представляет собой векторное сложение векторной алгебры и результирующую скорость обычно представляют в виде ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u'} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .}$$

Космос Галилея состоит из абсолютного пространства и времени и сложение скоростей соответствует композиции преобразований Галилея . Принцип относительности называется относительностью Галилея . Ему подчиняется механика Ньютона .

Специальная теория относительности

Согласно специальной теории относительности , система корабля имеет другую тактовую частоту и меру расстояния, а также меняется понятие одновременности в направлении движения, поэтому изменяется закон сложения скоростей. Это изменение незаметно при низких скоростях, но по мере увеличения скорости до скорости света оно становится важным. Закон сложения еще называют законом композиции скоростей . Для коллинеарных движений скорость объекта (например, пушечного ядра, выпущенного горизонтально в море), измеренная с корабля, будет измеряться кем-то, стоящим на берегу и наблюдающим за всей сценой в телескоп, как [5 ^]

$${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$$

^[6]

$${\displaystyle {c-u \over c+u}=\left({c-u' \over c+u'}\right)\left({c-v \over c+v}\right).}$$

пространства-времени Минковскогопреобразований Лоренцарелятивистскую механику

Стандартная конфигурация

Формулы для повышения в стандартной конфигурации наиболее прямо следуют из расчета дифференциалов обратного повышения Лоренца в стандартной конфигурации. ^{[7] [8]} Если рамка со штрихом движется со скоростью с коэффициентом Лоренца в положительном направлении x относительно системы без штриха, то дифференциалы равны ${\displaystyle v}$ ${\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$${\displaystyle dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).}$$

Разделим первые три уравнения на четвертое,

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},}$$

или

$${\displaystyle u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},}$$

который

Преобразование скорости ( декартовы компоненты )

$${\displaystyle u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

$${\displaystyle u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

$${\displaystyle u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

в котором выражения для штрихованных скоростей были получены по стандартному рецепту путем замены v на – v и замены штрихованных и нештрихованных координат местами. Если координаты выбраны так, что все скорости лежат в (общей) плоскости x – y , то скорости можно выразить как

$${\displaystyle u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',}$$

полярные координаты^{[2] [9]}

Преобразование скорости ( плоские полярные компоненты )

$${\displaystyle u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},}$$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.}$

Подробности для тебя

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}}$$

---

Приведенное доказательство весьма формально. Есть и другие, более сложные доказательства, которые могут быть более информативными, например, приведенное ниже.

Доказательство с использованием 4 -векторов и матриц преобразования Лоренца.

Поскольку релятивистское преобразование вращает пространство и время друг в друге так же, как геометрические вращения в плоскости вращают оси x и y , удобно использовать одни и те же единицы для пространства и времени, в противном случае во всех релятивистских формулах появляется коэффициент преобразования единиц: являющаяся скоростью света . В системе, где длина и время измеряются в одних и тех же единицах, скорость света безразмерна и равна 1 . Тогда скорость выражается как доля скорости света.

Чтобы найти закон релятивистского преобразования, полезно ввести четырехскорости V = ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) , которые представляют собой движение корабля от берега, измеренное от берега, и U ′ = ( U′ ₀ , U′ ₁ , U′ ₂ , U′ ₃ ) , что представляет собой движение мухи от корабля, измеренное от корабля. Четырехскоростная скорость определяется как четырехвектор с релятивистской длиной , равной 1 , направленный в будущее и касающийся мировой линии объекта в пространстве-времени. Здесь V ₀ соответствует временной составляющей, а V ₁ — x -компоненте скорости корабля, если смотреть с берега. За ось x удобно принять направление движения корабля от берега, а за ось y — так, чтобы плоскость x – y представляла собой плоскость, охватываемую движением корабля и мухи. Это приводит к тому, что несколько составляющих скоростей становятся равными нулю: V ₂ = V ₃ = U′ ₃ = 0.

Обычная скорость представляет собой отношение скорости увеличения пространственных координат к скорости увеличения временной координаты:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}}$$

Поскольку релятивистская длина V равна 1 ,

$${\displaystyle V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,}$$

так

$${\displaystyle V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .}$$

Матрица преобразования Лоренца, которая преобразует скорости, измеренные в системе координат корабля, в систему координат берега, является обратной преобразованию , описанному на странице преобразования Лоренца , поэтому знаки минус, которые там появляются, должны быть инвертированы здесь:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Эта матрица вращает чистый вектор оси времени (1, 0, 0, 0) в ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) , и все ее столбцы релятивистски ортогональны друг другу, поэтому она определяет преобразование Лоренца.

Если муха движется с четырехскоростностью U' в системе координат корабля, и ее скорость увеличивается за счет умножения на приведенную выше матрицу, новая четырехскоростная скорость в системе береговой системы равна U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}}$$

Деление на временную составляющую U ₀ и замена компонентов четырехвекторов U' и V на компоненты трехвекторов u' и v дает релятивистский закон композиции как

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}}$$

Форму закона релятивистской композиции можно понимать как эффект нарушения одновременности на расстоянии. Для параллельного компонента замедление времени уменьшает скорость, сокращение длины увеличивает ее, и оба эффекта компенсируются. Нарушение одновременности означает, что муха меняет кусочки одновременности как проекцию u' на v . Поскольку этот эффект полностью обусловлен разделением времени, тот же коэффициент умножает перпендикулярный компонент, но для перпендикулярного компонента нет сокращения длины, поэтому замедление времени умножается на коэффициент 1 ⁄ V ₀ = √ (1 − v ₁ ² ) .

Общая конфигурация

Разложение 3-скорости u на параллельные и перпендикулярные компоненты и их вычисление. Процедура для u идентична .

Начиная с выражения в координатах для v , параллельного оси x , выражения для перпендикулярных и параллельных компонентов можно преобразовать в векторную форму следующим образом: трюк, который также работает для преобразований Лоренца других трехмерных физических величин, изначально установленных в стандартной конфигурации. . Введите вектор скорости u в системе без штриха и u ′ в системе со штрихом и разделите их на компоненты, параллельные (∥) и перпендикулярные (⊥) вектору относительной скорости v (см. скрытый блок ниже), таким образом

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },}$$

базисных векторов ex , _{e y} , e _z

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.}$$

·скалярное произведениеvлюбомвекторам

Получается

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}$$

где α _v = 1/ γ _v — величина, обратная фактору Лоренца . Порядок операндов в определении выбран так, чтобы он совпадал со стандартной конфигурацией, на основе которой получена формула.

Алгебра

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}}$$

---

Разложение на параллельные и перпендикулярные составляющие по V

Для каждого вектора необходимо найти либо параллельный, либо перпендикулярный компонент, поскольку другой компонент будет исключен при замене полных векторов.

Параллельную составляющую u ′ можно найти, проецируя полный вектор в направление относительного движения.

$${\displaystyle \mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,}$$

а перпендикулярная составляющая u' ' может быть найдена по геометрическим свойствам векторного произведения (см. рисунок выше справа),

$${\displaystyle \mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.}$$

В каждом случае v / v — единичный вектор направления относительного движения.

Выражения для u _|| и u _⊥ можно найти таким же образом. Подставив параллельный компонент в

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},}$$

приводит к приведенному выше уравнению. ^[10]

---

Используя тождество в и , ^{[11] [nb 1]} ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle \gamma _{v}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}}$$

и в прямом (v положительном, S → S') направлении.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}$$

где последнее выражение получено по стандартной формуле векторного анализа v × ( v × u ) знак равно ( v ⋅ ты ) v - ( v ⋅ v ) ты . Первое выражение распространяется на любое количество пространственных измерений, но векторное произведение определяется только в трех измерениях. Объекты A , B , C , где B имеет скорость v относительно A , а C имеет скорость u относительно A, могут быть чем угодно. В частности, это могут быть три кадра, а могут быть лаборатория, распадающаяся частица и один из продуктов распада распадающейся частицы.

Характеристики

Релятивистское сложение 3-скоростей нелинейно , поэтому в общем случае

$${\displaystyle (\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}$$

вещественного числа λ

$${\displaystyle (-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}$$

Кроме того, ввиду последних членов, вообще говоря, не является ни коммутативным

$${\displaystyle \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,}$$

ассоциативный

$${\displaystyle \mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .}$$

Заслуживает особого упоминания, что если u и v' относятся к скоростям попарно параллельных систем отсчета (штрихованная параллельна нештрихованной и дважды штрихованная параллель штрихованной), то, согласно принципу взаимности скоростей Эйнштейна, система без штриха движется со скоростью − u относительно системы координат. кадр со штрихом, а кадр со штрихом движется со скоростью - v' относительно кадра со штрихом дважды, следовательно (- v' ⊕ - u ) - это скорость кадра без штриха относительно кадра со штрихом дважды, и можно ожидать, что u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) путем наивного применения принципа взаимности. Это не так, хотя величины равны. Рамки без штриха и с двойным штрихом не параллельны, а связаны поворотом. Это связано с явлением прецессии Томаса и далее здесь не рассматривается.

Нормы приведены в ^[12]

$${\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$

$${\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$

Доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}}$$

Обратная формула находится с помощью стандартной процедуры замены v на -v и u на u′ .

Понятно, что некоммутативность проявляется в дополнительном повороте системы координат при использовании двух бустов, поскольку квадрат нормы одинаков для обоих порядков бустов.

Гамма-факторы для комбинированных скоростей вычисляются как

$${\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}$$

Подробное доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

Обратная формула находится с помощью стандартной процедуры замены v на − v и u на u′ .

Соглашения об обозначениях

Обозначения и соглашения о добавлении скорости варьируются от автора к автору. Для операции или для задействованных скоростей могут использоваться разные символы, и операнды могут переключаться для одного и того же выражения, или символы могут переключаться для одной и той же скорости. Для преобразованной скорости также может использоваться совершенно отдельный символ, а не простое число, используемое здесь. Поскольку сложение скоростей некоммутативно, невозможно переключать операнды или символы без изменения результата.

Примеры альтернативных обозначений включают:

Нет конкретного операнда

Ландау и Лифшиц (2002) (с использованием единиц, где c = 1)

$${\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}$$

Порядок операндов слева направо

Мокану (1992)

$${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Унгар (1988)

$${\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Порядок операндов справа налево

Сексл и Урбантке (2001)

$${\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}$$

Приложения

Некоторые классические применения формул сложения скоростей, доплеровского сдвига, аберрации света и увлечения света в движущейся воде, дающие релятивистски обоснованные выражения для этих явлений, подробно описаны ниже. Можно также использовать формулу сложения скоростей, предполагая сохранение импульса (путем обращения к обычной вращательной инвариантности), правильную форму 3 -векторной части 4-вектора импульса , не прибегая к электромагнетизму, или априори неизвестную. Чтобы быть действительными, релятивистские версии лагранжева формализма . Это предполагает, что экспериментаторы отскакивают релятивистские бильярдные шары друг от друга. Здесь это не подробно описано, но см. для справки версию Wikisource Льюиса и Толмана (1909) (основной источник) и Сард (1970, раздел 3.2).

Эксперимент Физо

Ипполит Физо (1819–1896), французский физик, в 1851 году первым измерил скорость света в текущей воде.

Когда свет распространяется в среде, его скорость уменьшается в системе покоя среды до c _m = c ⁄ n _m , где n _m — показатель преломления среды m . Скорость света в среде, равномерно движущейся со скоростью V в положительном направлении x , измеренная в лабораторной системе отсчета, определяется непосредственно формулами сложения скоростей. Для прямого направления (стандартная конфигурация, индекс падения m на n ) получаем: ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Явно собирая крупнейшие взносы,

$${\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).}$$

Физо^{[14] [15]}

Аберрация света

Еще одно базовое применение — учет отклонения света, т. е. изменения его направления, при преобразовании в новую систему отсчета с параллельными осями, называемого аберрацией света . В этом случае v ′ = v = c , и подстановка в формулу для tan θ дает

$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.}$$

В этом случае можно также вычислить sin θ и cos θ по стандартным формулам ^[16]

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

Тригонометрия

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}}$$

---

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

Джеймс Брэдли (1693–1762) из ​​ФРС дал объяснение аберрации света, правильное на классическом уровне, ^[17] вступающее в противоречие с более поздними теориями, преобладавшими в девятнадцатом веке, основанными на существовании эфира .

тригонометрические манипуляции по существу идентичны в случае cos манипуляциям в случае sin . Рассмотрим разницу,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}}$$

v ⁄ c

$${\displaystyle \sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',}$$

потому что1/2( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, sin1/2( θ - θ ′) ≈1/2( θ − θ ′)

Таким образом, количество

$${\displaystyle \Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',}$$

угол аберрацииV ⁄ c → 0

Релятивистский доплеровский сдвиг

Кристиан Доплер (1803–1853) был австрийским математиком и физиком, который обнаружил, что наблюдаемая частота волны зависит от относительной скорости источника и наблюдателя.

Здесь компоненты скорости будут использоваться в отличие от скорости для большей общности и для того, чтобы избежать, возможно, специального введения знаков минус. Встречающиеся здесь знаки минус вместо этого будут служить для освещения объектов, когда рассматриваются скорости, меньшие скорости света.

Для световых волн в вакууме замедления времени вместе с простым геометрическим наблюдением достаточно, чтобы вычислить доплеровский сдвиг в стандартной конфигурации (коллинеарная относительная скорость излучателя и наблюдателя, а также наблюдаемой световой волны).

Все скорости в дальнейшем параллельны общему положительному направлению x , поэтому индексы у компонентов скорости опускаются. В системе наблюдателей введите геометрическое наблюдение

$${\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V)T}$$

как пространственное расстояние или длина волны между двумя импульсами (гребнями волн), где T — время, прошедшее между испусканием двух импульсов. Время, прошедшее между прохождением двух импульсов в одной и той же точке пространства, представляет собой период времени τ , а обратная ему ν = 1 ⁄ τ — наблюдаемая (временная) частота . Соответствующие величины в системе эмиттеров обозначаются штрихами. ^[18]

Для легких волн

$${\displaystyle s=s'=-c,}$$

^{[2] [19] [20]}

$${\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}$$

T = γ _V T ′замедления времени

Предположим вместо этого, что волна состоит не из световых волн со скоростью c , а вместо этого, для удобства визуализации, из пуль, выпущенных из релятивистского пулемета, со скоростью s ′ в системе координат излучателя. Тогда, в общем, геометрическое наблюдение точно такое же . Но теперь s ′ ≠ s , а s определяется сложением скоростей,

$${\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.}$$

В этом случае расчет по существу тот же, за исключением того, что здесь его легче выполнить в перевернутом виде, используя τ = 1 ⁄ ν вместо ν . Можно найти

${\displaystyle \tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)}$

Подробности в выводе

$${\displaystyle {\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}}$$

---

Обратите внимание, что в типичном случае входящее s ′ отрицательное . Однако формула имеет общую применимость. ^{[nb 2]} Когда s ′ = − c , формула сводится к формуле, рассчитанной непосредственно для световых волн выше,

$${\displaystyle \nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}$$

Если излучатель не стреляет пулями в пустое пространство, а излучает волны в среде, то формула по-прежнему применима , но теперь может потребоваться сначала вычислить s ′ по скорости излучателя относительно среды.

Возвращаясь к случаю излучателя света, в случае, когда наблюдатель и излучатель не лежат на одной прямой, результат мало изменится: ^{[2] [21] [22]}

$${\displaystyle \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),}$$

θθ = 0θ = π /2коэффициент Лоренца

Гиперболическая геометрия

Функции sinh , cosh и tanh . Функция tanh связывает быстроту −∞ < ς < +∞ с релятивистской скоростью −1 < β < +1 .

С релятивистской скоростью объекта связана величина, норма которой называется быстротой . Они связаны через ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}$$

декартовы координатыЛибуст-генераторамипространством быстротыизоморфно ℝ ³скоростей^[23]гиперболических тангенсов. ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$

$${\displaystyle \tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}}$$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).}$$

Линейный элемент в пространстве скоростей следует из выражения для релятивистской относительной скорости в любой системе отсчета ^[24] ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$

$${\displaystyle v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},}$$

относительнов данном кадреравна ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{r}=v_{2}}$

Линейный элемент можно найти, поставив или, что то же самое , ^[25] ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),}$$

где θ и φ — обычные сферические угловые координаты, взятые в направлении z . Теперь введем ζ через ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle \zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,}$$

и линейный элемент в пространстве быстрот становится ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}$$

Столкновения релятивистских частиц

В экспериментах по рассеянию основной целью является измерение инвариантного сечения рассеяния . Это входит в формулу для рассеяния двух типов частиц в конечном состоянии, предположительно состоящем из двух или более частиц: ^[26] ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt}$$

или, в большинстве учебников,

$${\displaystyle dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt}$$

где

• ${\displaystyle dVdt}$- объем пространства-времени. Это инвариант относительно преобразований Лоренца.
• ${\displaystyle dN_{f}}$— общее число реакций, приводящих к конечному состоянию в объёме пространства-времени . Будучи числом, оно инвариантно при рассмотрении одного и того же объема пространства-времени. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle dVdt}$
• ${\displaystyle R_{f}=F\sigma }$— это количество реакций, приводящих к конечному состоянию на единицу пространства-времени, или скорость реакции . Это инвариант. ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}$называется падающим потоком . Это должно быть инвариантным, но не в самых общих условиях.
• ${\displaystyle \sigma }$– сечение рассеяния. Требуется быть инвариантным.
• ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$– плотности частиц в падающих пучках. Они не инвариантны, что ясно из-за сокращения длины .
• ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}$- относительная скорость двух падающих лучей. Это не может быть инвариантным, поскольку так должно быть. ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}$

Цель состоит в том, чтобы найти правильное выражение для релятивистской относительной скорости и инвариантное выражение для падающего потока. ${\displaystyle v_{rel}}$

Нерелятивистски, для относительной скорости имеется . Если система, в которой измеряются скорости, представляет собой систему покоя типа частицы , требуется, чтобы Задавая скорость света , выражение для следует сразу из формулы для нормы (вторая формула) в общей конфигурации как ^{[27] [ 28]} ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle v_{rel}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle v_{rel}}$

$${\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.}$$

В классическом пределе формула сводится к должному состоянию и дает правильный результат в остальных системах отсчета частиц. Относительная скорость неверно указана в большинстве, а возможно, и во всех книгах по физике элементарных частиц и квантовой теории поля. ^[27] В основном это безобидно, поскольку если один тип частиц является стационарным или относительное движение коллинеарно, то правильный результат получается из неправильных формул. Формула инвариантна, но это не очевидно. Его можно переписать в терминах четырех скоростей как ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|}$

$${\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.}$$

Правильное выражение для потока, опубликованное Кристианом Мёллером ^[29] в 1945 году, имеет вид ^[30]

$${\displaystyle F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.}$$

Следует отметить, что для коллинеарных скоростей . Чтобы получить явно лоренц-инвариантное выражение, записываем через , где плотность в системе покоя, для потоков отдельных частиц и получаем ^[31] ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}}$ ${\displaystyle J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})}$ ${\displaystyle n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}}$ ${\displaystyle n_{i}^{0}}$

$${\displaystyle F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.}$$

В литературе как величину , так и обе называют относительной скоростью. В некоторых случаях (статистическая физика и литература по темной материи) ее называют скоростью Мёллера , и в этом случае это означает относительную скорость. Истинная относительная скорость во всяком случае равна . ^[31] Расхождение между и актуально, хотя в большинстве случаев скорости коллинеарны. На БАКе угол пересечения невелик, около 300 мкрад , но на старом Пересекающемся накопителе в ЦЕРН он составлял около 18 ^◦ . ^[32] ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{rel}}$ ${\displaystyle v_{rel}}$ ${\displaystyle v_{r}}$

Смотрите также

• Гиперболический закон косинусов
• Бикватернион
• Относительная скорость

Примечания

1. Эти формулы следуют из инвертирования α _v для v ² и применения разницы двух квадратов для получения
   v ² знак равно c ² (1 - α _v ² ) знак равно c ² (1 - α _v )(1 + α _v )

   так что

   (1 - α _v )/в ²"="1/с ² (1 + α _v )"="γ _v/с ² (1 + γ _v ).
2. Обратите внимание, что s ′ отрицательно в том смысле, в котором поставлена ​​задача, т. е. излучатель с положительной скоростью выпускает быстрые пули в сторону наблюдателя в системе без штриха. Соглашение состоит в том, что − s > V должно давать положительную частоту в соответствии с результатом для предельной скорости s = − c . Следовательно, знак минус — это условность, но очень естественная, вплоть до каноничности.
   Формула также может давать отрицательные частоты. Тогда интерпретация состоит в том, что пули приближаются со стороны отрицательной оси X. Это может иметь две причины. Эмиттер может иметь большую положительную скорость и стрелять медленными пулями. Также может случиться так, что эмиттер имеет небольшую отрицательную скорость и стреляет быстрыми пулями. Но если излучатель имеет большую отрицательную скорость и стреляет медленными пулями, частота снова положительна.
   Чтобы некоторые из этих комбинаций имели смысл, необходимо, чтобы эмиттер стрелял пулями в течение достаточно длительного времени, в том пределе, чтобы по оси X в любой момент пули располагались на одинаковом расстоянии друг от друга.

Примечания

1. Клеппнер и Коленков, 1978, главы 11–14.
2. Эйнштейн 1905, см. раздел 5 «Состав скоростей».
3. Галилей 2001
4. Галилей 1954 Галилей использовал это открытие, чтобы показать, что путь груза, если смотреть с берега, будет параболой.
5. Арфкен, Джордж (2012). Университетская физика. Академическая пресса. п. 367. ИСБН 978-0-323-14202-1.Выдержка со страницы 367
6. Мермин 2005, с. 37
7. Ландау и Лифшиц 2002, с. 13
8. Клеппнер и Коленков 1978, с. 457
9. Джексон 1999, с. 531
10. Лернер и Тригг 1991, с. 1053
11. Фридман 2002, стр. 1–21. harvnb error: no target: CITEREFFriedman2002 (help)
12. Ландау и Лифшиц 2002, с. 37 Уравнение (12.6) Оно получается совершенно иначе при рассмотрении инвариантных сечений.
13. Клеппнер и Коленков 1978, с. 474
14. Физо и 1851E harvnb error: no target: CITEREFFizeau1851E (help)
15. Физо 1860 г. harvnb error: no target: CITEREFFizeau1860 (help)
16. Ландау и Лифшиц 2002, с. 14
17. Брэдли 1727–1728 гг.
18. Клеппнер и Коленков 1978, с. 477 В справочнике скорость приближающегося излучателя принимается положительной . Отсюда и разница знаков.
19. Типлер и Моска 2008, стр. 1328–1329.
20. Мэнсфилд и О'Салливан, 2011, стр. 491–492. harvnb error: no target: CITEREFMansfieldO'Sullivan2011 (help)
21. Лернер и Тригг 1991, с. 259
22. Паркер 1993, с. 312
23. Джексон 1999, с. 547
24. Ландау и Лифшиц 2002, уравнение 12.6.
25. Ландау и Лифшиц 2002, Проблема, с. 38
26. Каннони 2017, с. 1
27. Cannoni 2017, с. 4
28. Ландау и Лифшиц, 2002 г.
29. Мёллер 1945 г.
30. Каннони 2017, с. 8
31. Cannoni 2017, с. 13
32. Каннони 2017, с. 15

Рекомендации

• Каннони, Мирко (2017). «Лоренц-инвариантная относительная скорость и релятивистские двойные столкновения». Международный журнал современной физики А. 32 (2n03): 1730002.arXiv : 1605.00569 . Бибкод : 2017IJMPA..3230002C. дои : 10.1142/S0217751X17300022. S2CID  119223742 – через World Scientific .
• Эйнштейн, А. (1905). «К электродинамике движущихся тел» [Zur Elektrodynamik bewegter Körper] (PDF) . Аннален дер Физик . 10 (322): 891–921. Бибкод : 1905АнП...322..891Е. дои : 10.1002/andp.19053221004 .
• Фок, Вирджиния (1964). Теория пространства, времени и гравитации (2-е изд.). Elsevier Наука и технологии. ISBN 978-0-08-010061-6– через ScienceDirect .
• Французский, AP (1968). Специальная теория относительности . Вводная серия по физике Массачусетского технологического института. WW Нортон и компания . ISBN 978-0-393-09793-1.
• Фридман, Яаков; Скарр, Цви (2005). Физические применения однородных шариков. Биркхойзер. стр. 1–21. ISBN 978-0-8176-3339-4.
• Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1.(выпускной уровень)
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику. Лондон: МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07-035048-9.(начальный уровень)
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9.(выпускной уровень)
• Лернер, Р.Г. ; Тригг, Г.Л. (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
• Мермин, Северная Дакота (2005). Пришло время: понимание теории относительности Эйнштейна . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12201-4.
• Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского скоростного состава и вращении Томаса». Найденный. Физ. Летт . 5 (5): 443–456. Бибкод : 1992FoPhL...5..443M. дои : 10.1007/BF00690425. ISSN  0894-9875. S2CID  122472788.
• Мёллер, К. (1945). «Общие свойства характеристической матрицы в теории элементарных частиц I» (PDF) . Д. КГЛ Данске Виденск. Сельск. Мат.-физ. Медд . 23 (1).
• Паркер, СП (1993). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-051400-3.
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика – Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0-8053-8491-8.
• Сексл, RU; Урбантке, Гонконг (2001) [1992]. Теория относительности, Группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц. Спрингер. стр. 38–43. ISBN 978-3-211-83443-5.
• Типлер, П.; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Фримен. стр. 1328–1329. ISBN 978-1-4292-0265-7.
• Унгар, А.А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы физики письма . 1 (1): 57–81. Бибкод : 1988FoPhL...1...57U. дои : 10.1007/BF00661317. ISSN  0894-9875. S2CID  121240925.

Исторический

• Брэдли, Джеймс (1727–1728). «Письмо преподобного г-на Джеймса Брэдли Савилиана, профессора астрономии в Оксфорде и FRS доктору Эдмонду Галлею, астроному. Рег. и т. д., содержащее отчет о новом обнаруженном движении неподвижных звезд». Фил. Пер. Р. Сок. (PDF). 35 (399–406): 637–661. Бибкод : 1727RSPT...35..637B. дои : 10.1098/rstl.1727.0064 .
• Допплер, К. (1903) [1842], Über das Farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels [ О цветном свете двойных звезд и некоторых других звезд небесного ] (на немецком языке), том. 2, Прага: Abhandlungen der Königl. Бём. Gesellschaft der Wissenschaften, стр. 465–482.
• Физо, Х. (1851F). «Sur les гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру» [Гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру]. Comptes Rendus (на французском языке). 33 : 349–355.
• Физо, Х. (1851E). «Гипотезы о светящемся эфире»  . Философский журнал . 2 : 568–573.
• Физо, Х. (1859). «Sur les гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру» [Гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру]. Анна. Хим. Физ. (На французском). 57 : 385–404.
• Физо, Х. (1860). «О влиянии движения тела на скорость, с которой по нему движется свет»  . Философский журнал . 19 : 245–260.
• Галилей, Г. (2001) [1632]. Диалог о двух главных мировых системах . Стиллман Дрейк (редактор, переводчик), Стивен Джей Гулд (редактор), Дж. Л. Хейлброн (Введение), Альберт Эйнштейн (Предисловие). Современная библиотека. ISBN 978-0-375-75766-2.
• Галилей, Г. (1954) [1638]. Диалоги о двух новых науках [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Генри Крю, Альфонсо де Сальвио (переводчики). Digiread.com. ISBN 978-1-4209-3815-9.
• Льюис, Дж.Н .; Толман, RC (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика». Фил. Маг . 6. 18 (106): 510–523. дои : 10.1080/14786441008636725.Версия вики-ресурса

Внешние ссылки

• Зоммерфельд, А. (1909). «О составе скоростей в теории относительности» [Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie]. Верх. Дтч. Физ. Гес . 21 : 577–582.