Квадратура круга

Задача построения равновеликих фигур

Квадратура круга: площади этого квадрата и этого круга равны π . В 1882 году было доказано, что эту фигуру невозможно построить за конечное число шагов с помощью идеализированного циркуля и линейки .

Квадратура круга — это задача в геометрии, впервые предложенная греческой математикой . Это задача построения квадрата с площадью заданного круга , используя только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки . Сложность задачи подняла вопрос о том, подразумевают ли указанные аксиомы евклидовой геометрии относительно существования линий и окружностей существование такого квадрата.

В 1882 году было доказано, что задача невыполнима, как следствие теоремы Линдемана–Вейерштрасса , которая доказывает, что pi ( ) является трансцендентным числом . То есть, не является корнем любого многочлена с рациональными коэффициентами. На протяжении десятилетий было известно, что построение было бы невозможным, если бы было трансцендентным, но этот факт не был доказан до 1882 года. Существуют приближенные построения с любой заданной несовершенной точностью, и было найдено много таких построений. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Несмотря на доказательство невозможности, попытки квадратуры круга были обычным делом в псевдоматематике (т.е. работах математических чудаков). Выражение «квадратура круга» иногда используется как метафора для попытки сделать невозможное. ^[1]

Термин квадратура круга иногда используется как синоним квадратуры круга. Он также может относиться к приближенным или численным методам нахождения площади круга . В общем, квадратура или возведение в квадрат также могут применяться к другим плоским фигурам.

История

Методы вычисления приблизительной площади заданного круга, которые можно рассматривать как задачу-предшественник квадратуры круга, были известны уже во многих древних культурах. Эти методы можно обобщить, указав приближение к π , которое они производят. Около 2000 г. до н. э. вавилонские математики использовали приближение , и примерно в то же время древнеегипетские математики использовали . Более 1000 лет спустя в Ветхом Завете Книги Царств использовали более простое приближение . ^[2] Древняя индийская математика , как записано в Шатапатха Брахмана и Шульба Сутрах , использовала несколько различных приближений к . ^[3] Архимед доказал формулу для площади круга, согласно которой . ^[2] В китайской математике в третьем веке н. э. Лю Хуэй нашел еще более точные приближения, используя метод, аналогичный методу Архимеда, а в пятом веке Цзу Чунчжи нашел , приближение, известное как Милю . ^[4] ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125}$ ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16}$ ${\displaystyle \pi \approx 3}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$ ${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$

Проблема построения квадрата, площадь которого в точности равна площади круга, а не является его приближением, пришла из греческой математики . Греческие математики нашли конструкции с циркулем и линейкой, чтобы преобразовать любой многоугольник в квадрат эквивалентной площади. ^[5] Они использовали эту конструкцию для сравнения площадей многоугольников геометрически, а не с помощью численного вычисления площади, что было бы более типично в современной математике. Как писал Прокл много веков спустя, это побудило искать методы, которые позволили бы проводить сравнения с неполигональными фигурами:

Я полагаю, что, взяв на вооружение эту задачу, древние также искали квадратуру круга. Ибо если параллелограмм найден равным какой-либо прямолинейной фигуре, то стоит исследовать, можно ли доказать, что прямолинейные фигуры равны фигурам, ограниченным дугами окружности. ^[6]

Некоторые кажущиеся частичные решения долгое время давали ложную надежду. На этом рисунке заштрихованная фигура — это луночка Гиппократа . Ее площадь равна площади треугольника ABC (найденного Гиппократом Хиосским ).

Первым известным греком, изучавшим эту проблему, был Анаксагор , который работал над ней, находясь в тюрьме. Гиппократ Хиосский приступил к решению проблемы, найдя фигуру, ограниченную дугами окружностей, луной Гиппократа , которую можно было бы возвести в квадрат. Софист Антифон считал, что вписывание правильных многоугольников в круг и удвоение числа сторон в конечном итоге заполнит площадь круга (это метод исчерпания ). Поскольку любой многоугольник можно возвести в квадрат, ^[5] он утверждал, что и круг можно возвести в квадрат. Напротив, Эвдем утверждал, что величины можно делить без ограничений, поэтому площадь круга никогда не будет исчерпана. ^[7] Одновременно с Антифоном Брисон из Гераклеи утверждал, что, поскольку существуют как большие, так и меньшие круги, должен быть круг равной площади; этот принцип можно рассматривать как форму современной теоремы о промежуточном значении . ^[8] Более общая цель выполнения всех геометрических построений с использованием только циркуля и линейки часто приписывалась Энопиду , но доказательства этого являются косвенными. ^[9]

Задача нахождения площади под произвольной кривой, теперь известная как интегрирование в исчислении или квадратура в численном анализе , была известна как возведение в квадрат до изобретения исчисления. ^[10] Поскольку методы исчисления были неизвестны, обычно предполагалось, что возведение в квадрат должно быть выполнено с помощью геометрических построений, то есть циркулем и линейкой. Например, Ньютон писал Ольденбургу в 1676 году: «Я полагаю, что г-ну Лейбницу не не понравится теорема в начале моего письма на стр. 4 о возведении кривых линий в квадрат геометрическим способом». ^[11] В современной математике эти термины разошлись по значению, при этом квадратура обычно используется, когда разрешены методы из исчисления, в то время как возведение в квадрат кривой сохраняет идею использования только ограниченных геометрических методов.

Попытка 1647 года квадратуры круга, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum Грегуара де Сен-Венсана , подверглась резкой критике со стороны Венсана Леото . ^[12] Тем не менее, де Сен-Венсану удалось построить квадратуру гиперболы , и, сделав это, он был одним из первых, кто разработал натуральный логарифм . ^[13] Джеймс Грегори , вслед за де Сен-Венсаном, попытался доказать невозможность квадратуры круга в Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинная квадратура круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было неверным, это была первая работа, в которой была предпринята попытка решить задачу с использованием алгебраических свойств . ^{[14] [15]} Иоганн Генрих Ламберт доказал в 1761 году, что является иррациональным числом . ^{[16] [17]} Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеман сумел более убедительно доказать, что π является трансцендентным числом , и тем самым доказал невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки. ^{[18] [19]} ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

После доказательства невозможности Линдемана, проблема считалась решенной профессиональными математиками, и ее последующая математическая история доминирует над псевдоматематическими попытками построения квадратуры круга, в основном любителями, и разоблачением этих усилий. ^[20] Кроме того, несколько более поздних математиков, включая Шринивасу Рамануджана, разработали конструкции с использованием циркуля и линейки, которые точно приближают задачу за несколько шагов. ^{[21] [22]}

Две другие классические задачи древности, известные своей невозможностью, — это удвоение куба и трисекция угла . Как и квадратура круга, они не могут быть решены циркулем и линейкой. Однако они имеют иной характер, чем квадратура круга, в том смысле, что их решение включает корень кубического уравнения , а не является трансцендентным. Поэтому для построения решений этих задач можно использовать более мощные методы, чем построения циркулем и линейкой, такие как построение невзиса или математическое складывание бумаги . ^{[23] [24]}

Невозможность

Решение задачи квадратуры круга с помощью циркуля и линейки требует построения числа , длины стороны квадрата, площадь которого равна площади единичного круга. Если бы было конструируемым числом , то из стандартных построений с помощью циркуля и линейки следовало бы , что также было бы конструируемым. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что длины, которые можно было бы построить с помощью циркуля и линейки, должны быть решениями определенных полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. ^{[25] [26]} Таким образом, конструируемые длины должны быть алгебраическими числами . Если бы круг можно было квадратурить, используя только циркуль и линейку, то должно было бы быть алгебраическим числом. Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность и, таким образом, показал невозможность этого построения. Идея Линдемана состояла в том, чтобы объединить доказательство трансцендентности числа Эйлера , показанное Шарлем Эрмитом в 1873 году, с тождеством Эйлера Это тождество немедленно показывает, что является иррациональным числом , поскольку рациональная степень трансцендентного числа остается трансцендентной. Линдеман смог расширить этот аргумент с помощью теоремы Линдемана–Вейерштрасса о линейной независимости алгебраических степеней , чтобы показать, что является трансцендентным и, следовательно, что квадратура круга невозможна. ^{[18] [19]} ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi }$

Изгибая правила путем введения дополнительного инструмента, допускающего бесконечное число операций с циркулем и линейкой, или путем выполнения операций в определенных неевклидовых геометриях, можно в некотором смысле сделать квадратуру круга. Например, теорема Динострата использует квадратису Гиппия для квадратуры круга, что означает, что если эта кривая каким-то образом уже дана, то из нее можно построить квадрат и круг равной площади. Архимедову спираль можно использовать для другого похожего построения. ^[27] Хотя круг не может быть возведен в квадрат в евклидовом пространстве , это иногда возможно в гиперболической геометрии при подходящих интерпретациях терминов. Гиперболическая плоскость не содержит квадратов (четырехугольников с четырьмя прямыми углами и четырьмя равными сторонами), но вместо этого она содержит правильные четырехугольники , формы с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами, более острыми, чем прямые углы. В гиперболической плоскости существует ( счетно ) бесконечно много пар конструктивных окружностей и конструктивных правильных четырехугольников равной площади, которые, однако, строятся одновременно. Не существует метода, позволяющего начать с произвольного правильного четырехугольника и построить круг равной площади. Симметрично, не существует метода, позволяющего начать с произвольного круга и построить правильный четырехугольник равной площади, и для достаточно больших кругов такого четырехугольника не существует. ^{[28] [29]}

Приблизительные конструкции

Хотя точная квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна, приближения к квадратуре круга могут быть получены путем построения длин, близких к . Требуется только элементарная геометрия, чтобы преобразовать любое заданное рациональное приближение в соответствующее построение циркулем и линейкой , но такие построения, как правило, очень многословны по сравнению с точностью, которую они достигают. После того, как точная задача была доказана неразрешимой, некоторые математики применили свою изобретательность для нахождения приближений к квадратуре круга, которые являются особенно простыми среди других мыслимых построений, дающих аналогичную точность. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Строительство Коханьского

Одной из многих ранних исторических приближенных конструкций с использованием циркуля и линейки является работа польского иезуита Адама Адаманды Коханьского 1685 года , в которой он дает приближение, расходящееся с в пятом знаке после запятой. Хотя уже были известны гораздо более точные числовые приближения к , конструкция Коханьского имеет то преимущество, что она довольно проста. ^[30] На левой диаграмме В той же работе Коханьский также вывел последовательность все более точных рациональных приближений для . ^[31] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3.141\,5{\color {red}33\,338}\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$$ ${\displaystyle \pi }$

Конструкции с использованием 355/113

Якоб де Гелдер опубликовал в 1849 году конструкцию, основанную на приближении Это значение имеет точность до шести знаков после запятой и известно в Китае с V века как Милюй , а в Европе с XVII века. ^[32] $${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }}$$

Гелдер не строил сторону квадрата; ему было достаточно найти значение На иллюстрации показано построение де Гелдера. $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$

В 1914 году индийский математик Шриниваса Рамануджан дал другую геометрическую конструкцию для того же приближения. ^{[21] [22]}

Конструкции с использованием золотого сечения

Приблизительное построение Э. У. Гобсона в 1913 году ^[32] имеет точность до трех знаков после запятой. Построение Гобсона соответствует приблизительному значению , где — золотое сечение , . $${\displaystyle {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Такое же приблизительное значение появляется в конструкции Роберта Диксона 1991 года . ^[33] В 2022 году Фредерик Беатрикс представил геометрографическую конструкцию в 13 шагов. ^[34]

Второе построение Рамануджана

В 1914 году Рамануджан дал конструкцию, которая была эквивалентна взятию приблизительного значения для , что давало восемь десятичных знаков . ^{[21] [22]} Он описывает конструкцию отрезка прямой OS следующим образом. ^[21] ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }}$$ ${\displaystyle \pi }$

Пусть AB (рис. 2) будет диаметром окружности с центром в точке O. Разделим дугу ACB пополам в точке C и разделим пополам AO в точке T. Соединим BC и отсечем от нее CM и MN, равные AT. Соединим AM и AN и отсечем от последней AP, равные AM. Через P проведем PQ, параллельную MN и пересекающую AM в точке Q. Соединим OQ и через T проведем TR, параллельную OQ и пересекающую AQ в точке R. Проведем AS, перпендикулярную AO и равную AR, и соединим OS. Тогда среднее пропорциональное между OS и OB будет очень близко к одной шестой части окружности, ошибка будет меньше двенадцатой дюйма, когда диаметр равен 8000 миль.

Неправильные конструкции

В старости английский философ Томас Гоббс убедил себя, что ему удалось квадратурить круг, но Джон Уоллис опроверг это утверждение в рамках спора Гоббса-Уоллиса . ^[35] В XVIII и XIX веках среди желающих квадратурить круг стали распространяться ложные представления о том, что задача квадратуры круга каким-то образом связана с задачей долготы , и что за ее решение будет выдано большое вознаграждение. ^{[36] [37]} В 1851 году Джон Паркер опубликовал книгу «Квадратура круга» , в которой он утверждал, что квадрировал круг. Его метод фактически дал приближение с точностью до шести цифр. ^{[38] [39] [40]} ${\displaystyle \pi }$

Математик , логик и писатель викторианской эпохи Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл , также проявлял интерес к разоблачению нелогичных теорий квадратуры круга. В одной из записей в дневнике за 1855 год Доджсон перечислил книги, которые он надеялся написать, включая книгу под названием «Простые факты для квадратуры круга». Во введении к «Новой теории параллелей» Доджсон рассказал о попытке продемонстрировать логические ошибки паре квадратуры круга, заявив: ^[41]

Первый из этих двух заблудших провидцев вселил в меня огромное честолюбие совершить подвиг, о котором я никогда не слышал, как о совершенном человеком, а именно убедить квадратурщика круга в его ошибке! Значение, выбранное моим другом для Пи, было 3,2: огромная ошибка соблазнила меня идеей, что можно легко продемонстрировать, что это БЫТЬ ошибкой. Было переставлено более двадцати букв, прежде чем я с грустью убедился, что у меня нет никаких шансов.

Высмеивание квадратуры круга появляется в книге Августа Де Моргана «Бюджет парадоксов» , опубликованной посмертно его вдовой в 1872 году. Первоначально опубликовав работу в виде серии статей в The Athenæum , он перерабатывал ее для публикации в момент своей смерти. Квадратура круга пошла на спад после девятнадцатого века, и считается, что работа Де Моргана помогла этому. ^[20]

Книга Хейзела 1934 года

Даже после того, как это было доказано невозможно, в 1894 году математик-любитель Эдвин Дж. Гудвин заявил, что он разработал метод квадратуры круга. Разработанная им методика не точно квадратировала круг и давала неправильную площадь круга, которая по сути была переопределена как равная 3,2. Затем Гудвин предложил законопроект о числе пи в законодательном собрании штата Индиана, позволяющий штату использовать его метод в образовании без выплаты ему гонораров. Законопроект был принят без возражений в палате представителей штата, но законопроект был отложен и никогда не голосовался в Сенате, на фоне растущих насмешек со стороны прессы. ^[42] ${\displaystyle \pi }$

Математический чудак Карл Теодор Гейзель также утверждал, что нашел квадратуру круга в своей книге 1934 года «Смотри!: великая проблема больше не нерешена: квадратура круга без опровержения». ^[43] Пол Халмош назвал эту книгу «классической книгой чудака». ^[44]

В литературе

Проблема квадратуры круга упоминалась в широком диапазоне литературных эпох, с различными метафорическими значениями. ^[45] Ее литературное использование восходит по крайней мере к 414 г. до н. э., когда впервые была поставлена ​​пьеса «Птицы » Аристофана . В ней персонаж Метон из Афин упоминает квадратуру круга, возможно, чтобы указать на парадоксальную природу его утопического города. ^[46]

Витрувианский человек

В «Рае» Данте , песне XXXIII, строках 133–135, есть стих:

Как геометр, его ум применяет
К квадратуре круга, и при всем его остроумии Не
находит верной формулы, как бы он ни старался.

Qual è 'l geométra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,

Для Данте квадратура круга представляет собой задачу, выходящую за рамки человеческого понимания, которую он сравнивает со своей собственной неспособностью постичь Рай. ^[47] Образ Данте также вызывает в памяти отрывок из Витрувия , позже проиллюстрированный в «Витрувианском человеке » Леонардо да Винчи , о человеке, одновременно вписанном в круг и квадрат. ^[48] Данте использует круг как символ Бога и, возможно, упоминал эту комбинацию форм в отношении одновременной божественной и человеческой природы Иисуса. ^{[45] [48]} Ранее, в песне XIII, Данте называет греческого квадратурщика круга Брайсона тем, что тот искал знания, а не мудрости. ^[45]

Несколько произведений поэтессы XVII века Маргарет Кавендиш подробно рассматривают проблему квадратуры круга и ее метафорические значения, включая контраст между единством истины и фракционностью, а также невозможность рационализации «фантазии и женской природы». ^[45] К 1742 году, когда Александр Поуп опубликовал четвертую книгу своей «Дунсиады» , попытки квадратуры круга стали рассматриваться как «дикие и бесплодные»: ^[39]

Лишь Безумная Матезис не знала ограничений,
Слишком безумная, чтобы ее связывали материальные цепи.
Теперь к чистому пространству она устремляет свой восторженный взгляд,
Теперь, обегая круг, находит его квадратным.

Аналогично, в комической опере Гилберта и Салливана «Принцесса Ида» есть песня, в которой сатирически перечисляются невыполнимые цели женского университета, которым руководит главная героиня, такие как поиск вечного двигателя . Одна из этих целей — «И круг — они его квадратуру сделают/В один прекрасный день». ^[49]

Сестина , поэтическая форма, впервые использованная в XII веке Арнаутом Даниэлем , как говорят, метафорически квадратирует круг, используя квадратное число строк (шесть строф по шесть строк в каждой) с круговой схемой из шести повторяющихся слов. Спанос (1978) пишет, что эта форма вызывает символическое значение, в котором круг обозначает небо, а квадрат обозначает землю. [ ^50] Похожая метафора была использована в «Квадратура круга», рассказе 1908 года О. Генри о давней семейной вражде. В названии этого рассказа круг представляет природный мир, в то время как квадрат представляет город, мир человека. ^[51]

В более поздних работах приверженцы квадратуры круга, такие как Леопольд Блум в романе Джеймса Джойса «Улисс» и адвокат Паравант в романе Томаса Манна « Волшебная гора» , предстают как глубоко заблуждающиеся или не от мира сего мечтатели, не осознающие математической невозможности этого и строящие грандиозные планы на результат, которого они никогда не достигнут. ^{[52] [53]}

Смотрите также

• Задача миссис Минивер  – Задача о площадях пересекающихся кругов
• Круглая квадратная копула  – Философская трактовка оксюмороновPages displaying short descriptions of redirect targets
• Squircle  – форма между квадратом и кругом.
• Задача Тарского о квадратуре круга  – Задача о разрезании и сборке диска в квадрат

Ссылки

1. Эммер, Кристин. «Square the Circle. Dictionary.com. The American Heritage® Dictionary of Idioms». Houghton Mifflin Company . Получено 16 апреля 2012 г.
2. Бейли, Д. Х.; Борвейн , Дж. М .; Борвейн, П. Б.; Плуфф , С. (1997). «В поисках числа пи». The Mathematical Intelligencer . 19 (1): 50–57. doi :10.1007/BF03024340. MR  1439159. S2CID  14318695.
3. Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Princeton University Press. стр. 27. ISBN 978-0691120676.
4. Лам, Лэй Юн; Анг, Тянь Се (1986). «Измерения окружности в Древнем Китае». Historia Mathematica . 13 (4): 325–340. doi : 10.1016/0315-0860(86)90055-8 . MR  0875525.Перепечатано в Berggren, JL; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004). Pi: A Source Book. Springer. стр. 20–35. ISBN 978-0387205717.
5. Построение квадрата, равного по площади данному многоугольнику, — это предложение 14 « Начал» Евклида , книга II.
6. Перевод из Кнорра (1986), стр. 25.
7. Хит, Томас (1921). История греческой математики. The Clarendon Press.См., в частности, Анаксагор, стр. 172–174; Луны Гиппократа, стр. 183–200; Более поздние работы, в том числе Антифон, Евдем и Аристофан, стр. 220–235.
8. Bos, Henk JM (2001). "Легитимация геометрических процедур до 1590 года". Переосмысление геометрической точности: трансформация Декартом раннего современного понятия построения . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Springer. стр. 23–36. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8_2. ISBN 978-1-4612-6521-4. МР  1800805.
9. Кнорр, Уилбур Ричард (1986). Древняя традиция геометрических задач . Бостон: Birkhäuser. С. 15–16. ISBN 0-8176-3148-8. МР  0884893.
10. Гвиччардини, Никколо (2009). Исаак Ньютон о математической определенности и методе. Преобразования. Т. 4. MIT Press. С. 10. ISBN 9780262013178.
11. Коутс, Роджер (1850). Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Коутса: включая письма других выдающихся людей.
12. Робсон, Элеанор; Стедалл, Жаклин, ред. (2009). Оксфордский справочник по истории математики. Oxford University Press. стр. 554. ISBN 9780199213122.
13. Берн, Р.П. (2001). «Альфонс Антонио де Сараса и логарифмы». История математики . 28 : 1–17. дои : 10.1006/hmat.2000.2295.
14. Грегори, Джеймс (1667). Vera Circuli et Hyperbolæ Quadratura … [ Истинная квадратура круга и гиперболы … ]. Падуя: Джакомо Кадорино. Доступно: ETH Bibliothek (Цюрих, Швейцария).
15. Криппа, Давиде (2019). «Джеймс Грегори и невозможность квадратуры центральных конических сечений». Невозможность квадратуры круга в 17 веке . Springer International Publishing. стр. 35–91. doi :10.1007/978-3-030-01638-8_2. ISBN 978-3-030-01637-1. S2CID  132820288.
16. Ламберт, Иоганн Генрих (1761). «Мемуар о некоторых замечательных свойствах круговых трансцендентных и логарифмических величин». Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (на французском языке). 17 (опубликовано в 1768 г.): 265–322.
17. Лацкович, М. (1997). «О доказательстве Ламбертом иррациональности числа π ». The American Mathematical Monthly . 104 (5): 439–443. doi :10.1080/00029890.1997.11990661. JSTOR  2974737. MR  1447977.
18. Линдеманн, Ф. (1882). «Über die Zahl π» [О числе π]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 20 (2): 213–225. дои : 10.1007/bf01446522. S2CID  120469397.
19. Fritsch, Rudolf (1984). «Трансцендентность числа π известна уже около столетия, но кто был тем человеком, который ее открыл?». Результаты в Mathematics . 7 (2): 164–183. doi :10.1007/BF03322501. MR  0774394. S2CID  119986449.
20. Dudley, Underwood (1987). Бюджет трисекций . Springer-Verlag. стр. xi–xii. ISBN 0-387-96568-8.Переиздано под названием «Трисекторы» .
21. Рамануджан, С. (1914). «Модулярные уравнения и приближения к π» (PDF) . Quarterly Journal of Mathematics . 45 : 350–372.
22. Castellanos, Дарио (апрель 1988 г.). «Вездесущий π ». Журнал «Математика» . 61 (2): 67–98. дои : 10.1080/0025570X.1988.11977350. JSTOR  2690037.
23. Альперин, Роджер С. (2005). «Трисекции и полностью реальное оригами». The American Mathematical Monthly . 112 (3): 200–211. arXiv : math/0408159 . doi :10.2307/30037438. JSTOR  30037438. MR  2125383.
24. Фукс, Клеменс (2011). «Трисекция угла с помощью оригами и смежные темы». Elemente der Mathematik . 66 (3): 121–131. doi : 10.4171/EM/179 . MR  2824428.
25. Ванцель, Л. (1837). «Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se resoudre avec la regle et le compas» [Исследования средств определения того, можно ли решить задачу геометрии с помощью линейки и циркуля]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке). 2 : 366–372.
26. Каджори, Флориан (1918). «Пьер Лоран Ванцель». Бюллетень Американского математического общества . 24 (7): 339–347. doi : 10.1090/s0002-9904-1918-03088-7 . MR  1560082.
27. Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (11 января 2011 г.). История математики. John Wiley & Sons. стр. 62–63, 113–115. ISBN 978-0-470-52548-7. OCLC  839010064.
28. Jagy, William C. (1995). «Квадратура кругов на гиперболической плоскости» (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 17 (2): 31–36. doi :10.1007/BF03024895. S2CID  120481094.
29. Гринберг, Марвин Джей (2008). Евклидова и неевклидова геометрия (четвертое издание). WH Freeman. стр. 520–528. ISBN 978-0-7167-9948-1.
30. Więsław, Witold (2001). "Squaring the circle in XVI–XVIII centurys". В Fuchs, Eduard (ed.). Mathematics across the ages. Включая статьи с 10-го и 11-го Novembertagung по истории математики, состоявшихся в Хольбеке 28–31 октября 1999 г. и в Брно 2–5 ноября 2000 г. Dějiny Matematiky/История математики. Т. 17. Прага: Prometheus. С. 7–20. MR  1872936.
31. π Адама Адаманди Коханьского : реконструкция алгоритма». The Mathematical Intelligencer . 34 (4): 40–45. arXiv : 1111.1739 . doi : 10.1007/s00283-012-9312-1. MR  3029928. S2CID  123623596.
32. Hobson, Ernest William (1913). Квадратура круга: история проблемы. Cambridge University Press. С. 34–35.
33. Диксон, Роберт А. (1987). «Квадратура круга». Математика . Блэквелл. С. 44–47.Перепечатано издательством Dover Publications, 1991 г.
34. Беатрикс, Фредерик (2022). «Квадратура круга как средневековый мастер-каменщик». Парабола . 58 (2). Школа математики и статистики UNSW.
35. Bird, Alexander (1996). «Squaring the Circle: Hobbes on Philosophy and Geometry». Journal of the History of Ideas . 57 (2): 217–231. doi :10.1353/jhi.1996.0012. S2CID  171077338. Архивировано из оригинала 16 января 2022 года . Получено 14 ноября 2020 года .
36. Де Морган, Август (1872). Бюджет парадоксов . стр. 96.
37. Board of Longitude / Vol V / Confirmed Minutes. Библиотека Кембриджского университета: Королевская обсерватория. 1737–1779. стр. 48. Получено 1 августа 2021 г.
38. Бекманн, Петр (2015). История Пи. St. Martin's Press. стр. 178. ISBN 9781466887169.
39. Шеплер, Герман К. (1950). «Хронология числа пи». Mathematics Magazine . 23 (3): 165–170, 216–228, 279–283. doi :10.2307/3029284. JSTOR  3029832. MR  0037596.
40. Абелес, Франсин Ф. (1993). «Геометрический подход Чарльза Л. Доджсона к соотношениям арктангенса для числа пи». Historia Mathematica . 20 (2): 151–159. doi : 10.1006/hmat.1993.1013 . MR  1221681.
41. Гарднер, Мартин (1996). Вселенная в платке: математические развлечения, игры, головоломки и словесные игры Льюиса Кэрролла . Нью-Йорк: Copernicus. С. 29–31. doi :10.1007/0-387-28952-6. ISBN 0-387-94673-X.
42. Сингмастер, Дэвид (1985). «Допустимые значения числа π». The Mathematical Intelligencer . 7 (2): 69–72. doi :10.1007/BF03024180. MR  0784946. S2CID  122137198.Перепечатано в Берггрене, Леннарте; Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (2004). Пи: справочник (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 236–239. дои : 10.1007/978-1-4757-4217-6_27. ISBN 0-387-20571-3. МР  2065455.
43. Хейзел, Карл Теодор (1934). Узрите!: великая проблема квадратуры круга, не поддающаяся опровержению, больше не является нерешенной.
44. Пол Р. Халмош (1970). «Как писать математику». L'Enseignement mathématique . 16 (2): 123–152.— PDF-файл
45. Таббс, Роберт (декабрь 2020 г.). «Квадратура круга: литературная история». В Таббс, Роберт; Дженкинс, Элис; Энгельхардт, Нина (ред.). Справочник Пэлгрейва по литературе и математике . Springer International Publishing. стр. 169–185. doi :10.1007/978-3-030-55478-1_10. ISBN 978-3-030-55477-4. MR  4272388. S2CID  234128826.
46. Амати, Мэтью (2010). «Звездный город Метона: Геометрия и утопия в « Птицах » Аристофана ». The Classical Journal . 105 (3): 213–222. doi :10.5184/classicalj.105.3.213. JSTOR  10.5184/classicalj.105.3.213.
47. Herzman, Ronald B.; Towsley, Gary B. (1994). «Квадратура круга: Paradiso 33 и поэтика геометрии». Traditio . 49 : 95–125. doi :10.1017/S0362152900013015. JSTOR  27831895. S2CID  155844205.
48. Kay, Richard (июль 2005 г.). «Витрувий и образ Данте  ». Word & Image . 21 (3): 252–260. doi :10.1080/02666286.2005.10462116. S2CID  194056860.
49. Долид, Уильям А. (1980). «Виви Уоррен и трипос». The Shaw Review . 23 (2): 52–56. JSTOR  40682600.Долид противопоставляет Виви Уоррен, вымышленную студентку-математику из романа «Профессия миссис Уоррен» Джорджа Бернарда Шоу , сатире на женщин колледжа, представленной Гилбертом и Салливаном. Он пишет, что «Виви, естественно, знала, что лучше не пытаться квадрировать круги».
50. Спанос, Маргарет (1978). «Сестина: исследование динамики поэтической структуры». Speculum . 53 (3): 545–557. doi :10.2307/2855144. JSTOR  2855144. S2CID  162823092.
51. Блум, Гарольд (1987). Американская литература двадцатого века . Chelsea House Publishers. стр. 1848. ISBN 9780877548034. Аналогично рассказ «Квадратура круга» пронизан интегрирующим образом: природа — круг, город — квадрат.
52. Пендрик, Джерард (1994). "Две заметки об "Улиссе"". James Joyce Quarterly . 32 (1): 105–107. JSTOR  25473619.
53. Гоггин, Джойс (1997). Большая сделка: карточные игры в художественной литературе 20-го века (PhD). Монреальский университет. стр. 196.

Дополнительная литература и внешние ссылки

• Богомольный, Александр. «Квадратура круга». cut-the-knot .
• Грайм, Джеймс. «Квадратура круга». Numberphile . Брэди Харан – через YouTube.
• Харпер, Сюзанна; Дрискелл, Шеннон (август 2010 г.). «Исследование исторических геометрических построений». Сходимость . Математическая ассоциация Америки.
• О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (апрель 1999 г.). «Квадратура круга». Архив истории математики MacTutor .
• Отеро, Дэниел Э. (июль 2010 г.). «Квадратура круга и луночки Гиппократа». Сходимость . Математическая ассоциация Америки.
• Польстер, Буркард . «2000 лет нерешенности: почему невозможно удвоение кубов и возведение в квадрат кругов?». Mathologer – через YouTube.