Меридианная дуга

Расстояние вдоль части меридиана для использования в геодезии.

В геодезии и навигации дуга меридиана — это кривая между двумя точками на поверхности Земли, имеющими одинаковую долготу . Этот термин может относиться либо к сегменту меридиана , либо к его длине .

Целью измерения дуг меридианов является определение фигуры Земли . Одно или несколько измерений дуг меридианов можно использовать для определения формы опорного эллипсоида , который лучше всего аппроксимирует геоид в области измерений. Измерения дуг меридианов на нескольких широтах вдоль многих меридианов по всему миру можно объединить, чтобы приблизить геоцентрический эллипсоид , предназначенный для всего мира.

Самые ранние определения размера сферической Земли требовали одной дуги. Точные геодезические работы, начавшиеся в 19 веке, потребовали нескольких дуговых измерений в регионе, где должна была проводиться съемка, что привело к распространению опорных эллипсоидов по всему миру. В последних определениях используются астрогеодезические измерения и методы спутниковой геодезии для определения опорных эллипсоидов, особенно геоцентрических эллипсоидов, которые сейчас используются для глобальных систем координат, таких как WGS 84 (см. числовые выражения).

История измерений

Ранние оценки размеров Земли зафиксированы в Греции в 4 веке до нашей эры и у ученых Дома мудрости халифа в Багдаде в 9 веке. Первое реалистическое значение было рассчитано александрийским ученым Эратосфеном около 240 г. до н. э. Он подсчитал, что длина меридиана составляет 252 000 стадий с погрешностью реального значения от -2,4% до +0,8% (при условии, что значение стадиона составляет от 155 до 160 метров). ^[1] Эратосфен описал свою технику в книге под названием «О мере Земли» , которая не сохранилась. Подобный метод был использован Посидонием примерно 150 лет спустя, а несколько лучшие результаты были рассчитаны в 827 году методом измерения дуги , ^[2] приписываемым халифу Аль-Мамуну . ^{[ нужна цитата ]}

Эллипсоидальная Земля

В ранней литературе термин « сплюснутый сфероид» используется для описания сферы , «сжатой на полюсах». В современной литературе вместо термина « сфероид» используется термин «эллипсоид вращения» , хотя уточняющее слово «революция» обычно опускается. Эллипсоид , не являющийся эллипсоидом вращения , называется трехосным эллипсоидом. В этой статье сфероид и эллипсоид используются как взаимозаменяемые, при этом подразумевается сплюснутость, если не указано иное.

17 и 18 веков

Хотя с классической античности было известно , что Земля имеет сферическую форму , к 17 веку накопились доказательства того, что она не является идеальной сферой. В 1672 году Жан Рише нашел первое свидетельство того, что гравитация над Землей не является постоянной (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы в Кайенну , Французская Гвиана , и обнаружил, что они потеряли 2+1 ⁄ минуты в день по сравнению со скоростью в Париже . ^{[3] [4]} Это указывало на то, что ускорение силы тяжести в Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали брать с собой в путешествия в отдаленные части света, и постепенно было обнаружено, что гравитация плавно увеличивается с увеличением широты , причем гравитационное ускорение на географических полюсах примерно на 0,5% больше,чем на экваторе .

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал в «Началах» доказательство того, что Земля представляет собой сплюснутый сфероид , уплощенный , равный1/230. ^[5] Это оспаривалось некоторыми, но не всеми, французскими учёными. Дуга меридиана Жана Пикара была расширена до более длинной дуги Джованни Доменико Кассини и его сыном Жаком Кассини в период 1684–1718 годов. ^[6] Дуга была измерена как минимум с тремя измерениями широты, поэтому они смогли определить среднюю кривизну северной и южной половин дуги, что позволило определить общую форму. Результаты показали, что Земля представляет собой вытянутый сфероид (с экваториальным радиусом меньше полярного радиуса). Для решения вопроса Французская академия наук (1735) предприняла экспедиции в Перу ( Бугер , Луи Годен , де ла Кондамин , Антонио де Ульоа , Хорхе Хуан ) и в Лапландию ( Мопертюи , Клеро , Камю , Ле Моннье , аббат Утье , Андерс Цельсий ). Результаты измерений в экваториальных и полярных широтах подтвердили, что Землю лучше всего моделировать сплюснутым сфероидом, поддерживающим Ньютона. ^[6] Однако к 1743 году теорема Клеро полностью вытеснила подход Ньютона.

К концу века Жан Батист Жозеф Деламбр переизмерил и расширил французскую дугу от Дюнкерка до Средиземного моря ( дуга меридиана Деламбра и Мешена ). Он был разделен на пять частей четырьмя промежуточными определениями широты. Путем объединения измерений с измерениями дуги Перу были определены параметры формы эллипсоида и рассчитано расстояние между экватором и полюсом по Парижскому меридиану как5 130 762  туаза , как указано в стандартном туаз-баре в Париже. Определив это расстояние как точно10 000 000  м привели к строительству новой стандартной метровой планки, как0,513 0762  туаз. ^{[6] : 22}

19 век

В XIX веке многие астрономы и геодезисты занимались детальными исследованиями кривизны Земли по различным дугам меридианов. В результате анализа было получено очень много моделей эллипсоидов, таких как Плесси 1817, Эйри 1830, Бессель 1841 , Эверест 1830 и Кларк 1866 . ^[7] Полный список эллипсоидов приведен в разделе «Земной эллипсоид» .

Морская миля

Исторически морская миля определялась как длина дуги в одну минуту вдоль меридиана сферической Земли. Модель эллипсоида приводит к изменению морской мили в зависимости от широты. Эту проблему удалось решить, определив морскую милю равной ровно 1852 метра. Однако для всех практических целей расстояния измеряются по широтной шкале карт. Как говорит Королевская яхтенная ассоциация в своем руководстве для шкиперов : «1 (минута) широты = 1 морской миле», за которой следует «Для большинства практических целей расстояние измеряется по шкале широты, предполагая, что одна минута широты равна одной морской миле». миля». ^[8]

Расчет

На сфере длина дуги меридиана — это просто длина дуги окружности . На эллипсоиде вращения для коротких дуг меридианов их длину можно аппроксимировать, используя меридиональный радиус кривизны Земли и формулировку дуги окружности. Для более длинных дуг длина получается из вычитания двух меридиональных расстояний , расстояния от экватора до точки на широте φ . Это важная проблема в теории картографических проекций, особенно поперечной проекции Меркатора .

Основными параметрами эллипсоида являются a , b , f , но в теоретической работе полезно определить дополнительные параметры, в частности эксцентриситет e и третье сплющивание n . Только два из этих параметров являются независимыми и между ними существует множество связей:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Определение

Можно показать, что радиус кривизны меридиана равен: ^{[9] [10]}

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},}$

Длина дуги бесконечно малого элемента меридиана равна dm = M ( φ ) dφ (где φ в радианах). Следовательно, меридиональное расстояние от экватора до широты φ равно

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{aligned}}}$

Формула расстояния становится проще, если ее записать в терминах параметрической широты :

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \,,}$

где tan β = (1 − f )tan φ и e ′ ² =е ²/1 - е ².

Хотя широта обычно ограничивается диапазоном [−π/2,π/2] , все приведенные здесь формулы применимы для измерения расстояния вокруг полного меридианного эллипса (включая антимеридиан). Таким образом, диапазоны φ , β и выпрямляющей широты µ не ограничены.

Связь с эллиптическими интегралами

Приведенный выше интеграл относится к частному случаю неполного эллиптического интеграла третьего рода . В обозначениях онлайн- справочника NIST ^[11] (раздел 19.2(ii)):

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

Его также можно записать в терминах неполных эллиптических интегралов второго рода (см. раздел 19.6(iv) справочника NIST):

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin {}^{\!2}\varphi }}}\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{aligned}}}$

Вычисление (с произвольной точностью) эллиптических интегралов и аппроксимаций также обсуждается в справочнике NIST. Эти функции также реализованы в программах компьютерной алгебры, таких как Mathematica ^[12] и Maxima. ^[13]

Расширения серии

Вышеупомянутый интеграл можно выразить как бесконечный усеченный ряд, разложив подынтегральную функцию в ряд Тейлора, выполнив полученные интегралы почленно и выразив результат в виде тригонометрического ряда. В 1755 году Леонард Эйлер вывел разложение по квадрату третьего эксцентриситета . ^[14]

Разложения по эксцентриситету ( e )

Деламбр в 1799 г. [ ^15] вывел широко используемое разложение по e2 ^:

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{aligned}}}$

Ричард Рапп дает подробный вывод этого результата. ^[16]

Расширения в третьем уплощении ( n )

Ряды со значительно более быстрой сходимостью можно получить, разложив их по третьему уплощению n вместо эксцентриситета. Они связаны

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

В 1837 году Фридрих Бессель получил один такой ряд, ^[17] который был приведён в более простую форму Гельмертом , ^{[18] [19]}

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку n меняет знак, когда a и b меняются местами, и поскольку начальный множитель1/2( a + b ) постоянна при такой замене, половина членов в разложениях H _{2 k} обращается в нуль.

Ряд можно выразить с помощью a или b в качестве начального множителя, записав, например,:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\,,}$

и разложим результат в ряд по n . Несмотря на то, что это приводит к более медленно сходящимся рядам, такие ряды используются в спецификации поперечной проекции Меркатора Национальным агентством геопространственной разведки ^[20] и Управлением вооружений Великобритании . ^[21]

Ряд по параметрической широте

В 1825 году Бессель ^[22] вывел разложение меридионального расстояния через параметрическую широту β в связи со своими работами по геодезическим :

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \right),}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку этот ряд обеспечивает разложение эллиптического интеграла второго рода, его можно использовать для записи длины дуги через геодезическую широту как

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}{\Biggl (}&B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots \\[-3mu]&\quad -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}{\Biggr )}.\end{aligned}}}$

Обобщенная серия

Вышеуказанные серии до восьмого порядка по эксцентриситету или четвертого порядка по третьему уплощению обеспечивают точность до миллиметра. С помощью систем символьной алгебры их можно легко расширить до шестого порядка при третьем уплощении, что обеспечивает полную точность двойной точности для наземных приложений.

Деламбр ^[15] и Бессель ^[22] оба написали свои ряды в форме, позволяющей их обобщать до произвольного порядка. Коэффициенты ряда Бесселя можно выразить особенно просто:

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

и к !! — это двойной факториал , расширенный до отрицательных значений с помощью рекурсивного соотношения: (−1)!! = 1 и (−3)!! = −1 .

Коэффициенты в ряду Гельмерта аналогичным образом могут быть выражены в общем виде:

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

Этот результат был выдвинут Фридрихом Гельмертом ^[23] и доказан Казусигэ Кавасе. ^[24]

Дополнительный множитель (1 - 2 k )(1 + 2 k ) возникает из-за дополнительного разложения фигур в приведенной выше формуле и приводит к худшей сходимости ряда по φ по сравнению с рядом по β . ${\displaystyle {\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}$

Числовые выражения

Приведенный выше тригонометрический ряд удобно оценить с помощью суммирования Кленшоу . Этот метод позволяет избежать вычисления большинства тригонометрических функций и позволяет быстро и точно суммировать ряды. Этот метод также можно использовать для оценки разницы m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) при сохранении высокой относительной точности.

Замена значений большой полуоси и эксцентриситета эллипсоида WGS84 дает

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metres}}\\&=\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\sin 8\beta \right){\mbox{ metres,}}\end{aligned}}}$

где φ ⁽ ° ⁾ =φ/1°— φ, выраженный в градусах (и аналогично для β ⁽ ° ⁾ ).

На эллипсоиде точное расстояние между параллелями в точках φ ₁ и φ ₂ равно m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) . Для WGS84 приблизительное выражение для расстояния Δ m между двумя параллелями на расстоянии ± 0,5 ° от окружности на широте φ определяется выражением

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metres.}}}$

Четверть меридиана

Четверть меридиана или квадрант Земли.

Расстояние от экватора до полюса, четверти меридиана (аналог четверти круга ), также известного как земной квадрант , равно

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Это было частью исторического определения метра и морской мили , а также использовалось в определении гебдомометра .

Четверть меридиана можно выразить через полный эллиптический интеграл второго рода :

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

где первый и второй эксцентриситеты . ${\displaystyle e,e'}$

Четвертьмеридиан также задается следующим обобщенным рядом:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

(Формулу c ₀ см. в разделе #Обобщенный ряд выше.) Этот результат был впервые получен Джеймсом Айвори . ^[25]

Числовое выражение для четверти меридиана на эллипсоиде WGS84:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {p} }&=0.9983242984312529\ {\frac {\pi }{2}}\ a\\&=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}\end{aligned}}}$

Окружность полярной Земли просто равна четырем четвертям меридиана:

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

Периметр меридианного эллипса также можно переписать в виде периметра спрямляющего круга C p ₌ 2π M _r . Следовательно, выпрямляющий радиус Земли равен:

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

Его можно оценить как6 367 449,146 м .

Обратная задача меридиана для эллипсоида

В некоторых задачах нам нужно уметь решить обратную задачу: по заданному m определить φ . Эту проблему можно решить методом Ньютона , повторяя

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

до сближения. Подходящее начальное предположение задается формулой φ ₀ = µ , где

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

– это выпрямляющая широта . Заметим, что при этом нет необходимости дифференцировать ряды по m ( φ ) , поскольку вместо этого можно использовать формулу для радиуса кривизны меридиана M ( φ ) .

Альтернативно, ряд Гельмерта для расстояния по меридиану можно преобразовать и получить ^{[26] [27]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Аналогично, ряд Бесселя для m через β можно преобразовать и получить ^[28]

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Адриен-Мари Лежандр показал, что расстояние по геодезической на сфероиде такое же, как расстояние по периметру эллипса. ^[29] По этой причине выражение для m через β и обратное ему, приведенное выше, играют ключевую роль в решении геодезической задачи с заменой m на s , расстояние вдоль геодезической, и β, замененного на σ , длина дуги на вспомогательной сфере. ^{[22] [30]} Необходимые ряды, расширенные до шестого порядка, даны Чарльзом Карни, ^[31] Уравнения. (17) и (21), где ε играет роль n , а τ играет роль µ .

Смотрите также

• История геодезии
• Геодезия
• Справочный эллипсоид
• Парижский меридиан (дуга меридиана Западной Европы-Африки)
• Французская геодезическая миссия в Лапландии
• Французская геодезическая миссия
• Геодезическая дуга Струве
• Исправление широты
• Геодезические на эллипсоиде

Рекомендации

1. Руссо, Лусио (2004). Забытая революция . Берлин: Шпрингер. п. 273-277.
2. Торге, В.; Мюллер, Дж. (2012). Геодезия. Учебник Де Грюйтера. Де Грютер. п. 5. ISBN 978-3-11-025000-8. Проверено 2 мая 2021 г.
3. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд. Лондон: Charles Griffin & Co., с. 20.
4. Виктор Ф., Ленцен; Роберт П. Мультауф (1964). «Документ 44: Развитие гравитационных маятников в 19 веке». Бюллетень 240 Национального музея США: Материалы Музея истории и технологий перепечатаны в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Издательство Смитсоновского института . п. 307 . Проверено 28 января 2009 г.
5. Исаак Ньютон: Начала, Книга III, Предложение XIX, Проблема III, переведено на английский язык Эндрю Моттом. Современный перевод с возможностью поиска доступен на сайте 17 Centurymaths. Найдите в следующем PDF-файле слово «сфероид».
6. Кларк, Александр Росс (1880). Геодезия. Оксфорд: Кларендон Пресс. ОСЛК  2484948.. Доступен бесплатно на сайтах Archive.org и Forgotten Books ( ISBN 9781440088650 ). Кроме того, книга была переиздана издательством Nabu Press ( ISBN 978-1286804131 ), первая глава посвящена истории ранних исследований.  
7. Кларк, Александр Росс; Джеймс, Генри (1866). Сравнение эталонов длины Англии, Франции, Бельгии, Пруссии, России, Индии, Австралии, проведенное в Артиллерийском бюро в Саутгемптоне. Лондон: GE Eyre и W. Spottiswoode для канцелярского офиса HM. стр. 281–87. ОСЛК  906501.Приложение к рисунку Земли.
8. Хопкинсон, Сара (2012). Справочник шкипера RYA - парус . Хэмбл: Королевская яхтенная ассоциация. п. 76. ИСБН 9781-9051-04949.
9. Рапп, Р., (1991): Геометрическая геодезия, Часть I, §3.5.1, стр. 28–32.
10. Осборн, Питер (2013), Проекции Меркатора , doi : 10.5281/zenodo.35392Раздел 5.6. Этот справочник включает вывод формул кривизны из основных принципов и доказательство теоремы Менье. (Дополнения: файлы Maxima, коды и рисунки Latex)
11. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert и CW Clark, редакторы, 2010, Справочник NIST по математическим функциям (Cambridge University Press).
12. Руководство Mathematica: Эллиптические интегралы
13. Maxima, 2009, Система компьютерной алгебры, версия 5.20.1.
14. Эйлер, Л. (1755). «Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits» [Элементы сфероидальной тригонометрии, взятые из метода максимумов и минимумов]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, 1753 г. (на французском языке). 9 : 258–293.Цифры.
15. Деламбре, JBJ (1799): Аналитические методы для определения d'un Arc du Méridien; Precédées d'un mémoire sur le même sujet by AM Legendre, De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
16. Рэпп, Р., (1991), §3.6, стр. 36–40.
17. Бессель, FW (1837). «Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht» [Оценка осей эллипсоида посредством измерений дуги меридиана]. Astronomische Nachrichten (на немецком языке). 14 (333): 333–346. Бибкод : 1837AN.....14..333B. дои : 10.1002/asna.18370142301.
18. Гельмерт, Франция (1880): Die mathematischen und Physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, Einleitung und 1 Teil, Druck und Verlag von BG Teubner, Лейпциг, § 1.7, стр. 44–48. Английский перевод (Аэронавигационный картографический и информационный центр, Сент-Луис) доступен по адресу doi : 10.5281/zenodo.32050.
19. Крюгер, Л. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene . Королевский прусский геодезический институт, новая серия 52, стр. 12
20. Дж. В. Хагер, Дж. Ф. Бехенский и Б. В. Дрю, 1989. Технический отчет TM 8358.2 Агентства оборонных карт. Универсальные сетки: Универсальная поперечная Меркатора (UTM) и Универсальная полярная стереографическая (UPS).
21. Руководство по системам координат в Великобритании, Артиллерийское управление Великобритании.
22. Bessel, FW (2010). «Расчет долготы и широты по геодезическим измерениям (1825 г.)». Астрон. Нахр . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 2010AN....331..852K. дои : 10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590.Английский перевод Астрона. Нахр. 4 , 241–254 (1825), §5.
23. Гельмерт (1880), §1.11
24. Кавасе, К. (2011): Общая формула для расчета длины дуги меридиана и ее применение для преобразования координат в проекции Гаусса-Крюгера, Бюллетень Управления геопространственной информации Японии , 59 , 1–13
25. Айвори, Дж. (1798). «Новая серия по исправлению многоточия». Труды Королевского общества Эдинбурга . 4 (2): 177–190. дои : 10.1017/s0080456800030817. S2CID  251572677.
26. Гельмерт (1880), §1.10
27. Адамс, Оскар С. (1921). Разработки Latitude, связанные с геодезией и картографией. Специальная публикация береговой и геодезической службы США № 67. с. 127.
28. Гельмерт (1880), §5.6
29. Лежандр, AM (1811). Exercices de Calcul Intégral sur Divers Ordres de Transcendantes et sur les Quadratures [ Упражнения по интегральному исчислению ] (на французском языке). Париж: Курьер. п. 180. OCLC  312469983.
30. Гельмерт (1880), гл. 5
31. Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z. S2CID  119310141. Дополнения.

Внешние ссылки

• Онлайн расчет дуг меридианов на различных опорных геодезических эллипсоидах