Корневая система

Геометрическое расположение точек, лежащее в основе теории Ли.

В математике корневая система — это конфигурация векторов в евклидовом пространстве , удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам. Это понятие является фундаментальным в теории групп Ли и алгебр Ли , особенно в теории классификации и представлений полупростых алгебр Ли . Поскольку группы Ли (и некоторые аналоги, такие как алгебраические группы ) и алгебры Ли стали важными во многих разделах математики в двадцатом веке, кажущаяся особая природа корневых систем скрывает количество областей, в которых они применяются. Кроме того, схема классификации корневых систем с помощью диаграмм Дынкина встречается в разделах математики, не имеющих явной связи с теорией Ли (например, в теории особенностей ). Наконец, корневые системы важны сами по себе, как и в теории спектральных графов . ^[1]

Определения и примеры

Шесть векторов корневой системы A ₂

В качестве первого примера рассмотрим шесть векторов в двумерном евклидовом пространстве R 2 ^, как показано на изображении справа; назовите их корнями . Эти векторы охватывают все пространство. Если вы рассмотрите линию, перпендикулярную любому корню, скажем, β , то отражение R ² в этой линии отправит любой другой корень, скажем, α , к другому корню. При этом корень, которому оно отправляется, равен α + nβ , где n — целое число (в данном случае n равно 1). Эти шесть векторов удовлетворяют следующему определению и, следовательно, образуют корневую систему; этот известен как A ₂ .

Определение

Пусть E — конечномерное евклидово векторное пространство со стандартным евклидовым скалярным произведением, обозначаемым . Система корней в E — это конечное множество ненулевых векторов (называемых корнями ), которые удовлетворяют следующим условиям: ^{[2] [3]} ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. Корни простираются на Е.
2. Единственными скалярными кратными корня , принадлежащими ему, являются он сам и . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$
3. Для каждого корня множество замкнуто при отражении через гиперплоскость, перпендикулярную . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$
4. ( Целостность ) Если и являются корнями в , то проекция на прямую является целым или полуцелым кратным . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Эквивалентный способ записи условий 3 и 4 следующий:

3. Для любых двух корней множество содержит элемент ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. Для любых двух корней число является целым числом . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$

Некоторые авторы включают в определение корневой системы только условия 1–3. ^[4] В этом контексте корневая система, которая также удовлетворяет условию целостности, известна как кристаллографическая корневая система . ^[5] Другие авторы опускают условие 2; тогда корневые системы, удовлетворяющие условию 2, называют редуцированными . ^[6] В этой статье предполагается, что все корневые системы являются редуцированными и кристаллографическими.

Ввиду свойства 3 условие целочисленности эквивалентно утверждению, что β и его отражение σ _α ( β ) отличаются на целое число, кратное  α . Обратите внимание, что оператор

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$

Ранг корневой системы Φ — это размерность E. Две корневые системы можно объединить, рассматривая евклидовы пространства, которые они охватывают, как взаимно ортогональные подпространства общего евклидова пространства. Корневая система, которая не возникает в результате такой комбинации, например системы A2 , B2 и G2 _{, изображенные} справа, _{называется} неприводимой .

_Две системы корней ( E1 _, Φ1 ) и ( _E2 , Φ2 ₎ называются изоморфными , если существует обратимое линейное преобразование E1  →  E2 _, переводящее Φ1 _в Φ2 _{такое ,} что для каждой пары корней число сохраняется. ^[7] ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

The корневая решетка системы корней Φ — этоZ-подмодуль модуляEпорожденный Φ. Эторешеткав E.

Группа Вейля

Группа Вейля корневой системы — это группа симметрии равностороннего треугольника. ${\displaystyle A_{2}}$

Группа изометрий E  , порожденная отражениями через гиперплоскости , связанные с корнями Φ, называется группой Вейля Φ. Поскольку группа Вейля действует точно на конечном множестве Φ, она всегда конечна. Плоскости отражения — это гиперплоскости, перпендикулярные корням, обозначенные пунктирными линиями на рисунке ниже. Группа Вейля — это группа симметрии равностороннего треугольника, состоящего из шести элементов. В этом случае группа Вейля не является полной группой симметрии корневой системы (например, поворот на 60 градусов является симметрией корневой системы, но не является элементом группы Вейля). ${\displaystyle A_{2}}$

Оцените один пример

Существует только одна корневая система ранга 1, состоящая из двух ненулевых векторов . Эта корневая система называется . ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

Расположите два примера

В ранге 2 имеются четыре возможности, соответствующие , где . ^[8] На рисунке справа показаны эти возможности, но с некоторыми избыточностями: изоморфен и изоморфен . ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$ ${\displaystyle n=0,1,2,3}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Обратите внимание, что корневая система не определяется решеткой, которую она порождает: и обе порождают квадратную решетку , а и обе порождают шестиугольную решетку . ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Если Φ — система корней в E , а S — подпространство в E , натянутое на Ψ = Φ ∩  S , то Ψ — система корней в  S. Таким образом, исчерпывающий список четырех корневых систем ранга 2 показывает геометрические возможности любых двух корней, выбранных из корневой системы произвольного ранга. В частности, два таких корня должны встретиться под углом 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 или 180 градусов.

Системы корней, возникающие из полупростых алгебр Ли

Если — комплексная полупростая алгебра Ли и подалгебра Картана , мы можем построить систему корней следующим образом. Мы говорим, что это корень относительно , если и существует такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$

^[9] ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

История

Понятие корневой системы было первоначально введено Вильгельмом Киллингом около 1889 года (на немецком языке Wurzelsystem ^[10] ). ^[11] Он использовал их в своей попытке классифицировать все простые алгебры Ли над полем комплексных чисел . Киллинг первоначально допустил ошибку в классификации, перечислив две исключительные корневые системы 4-го ранга, хотя на самом деле существует только одна, теперь известная как F ₄ . Позже Картан исправил эту ошибку, показав, что две корневые системы Киллинга изоморфны. ^[12]

Киллинг исследовал структуру алгебры Ли , рассматривая то, что сейчас называется подалгеброй Картана . Затем он изучил корни характеристического многочлена , где . Здесь корень рассматривается как функция или даже как элемент двойственного векторного пространства . Этот набор корней образует корневую систему внутри , как определено выше, где внутренним продуктом является форма Киллинга . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \det(\operatorname {ad} _{L}x-t)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

Элементарные следствия аксиом корневой системы

Условие целости для выполняется только для β на одной из вертикальных прямых, а условие целости для выполняется только для β на одном из красных кружков. Любой β, перпендикулярный α (на оси Y ), тривиально удовлетворяет обоим значениям 0, но не определяет неприводимую систему корней. По модулю отражения для данного α существует только 5 нетривиальных возможностей для β и 3 возможных угла между α и β в наборе простых корней. Буквы в нижнем индексе соответствуют ряду корневых систем, для которых данное β может служить первым корнем, а α — вторым корнем (или в F ₄ — средними 2 корнями). ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$

Косинус угла между двумя корнями ограничивается половиной квадратного корня из положительного целого числа. Это связано с тем, что и являются целыми числами, по предположению, и ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}\\&=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$$

Поскольку , единственными возможными значениями для являются и , соответствующие углам 90°, 60° или 120°, 45° или 135°, 30° или 150° и 0° или 180°. Условие 2 гласит, что никакие скалярные числа α , кроме 1 и −1, не могут быть корнями, поэтому 0 или 180 °, которые соответствовали бы 2 α или −2 α , отсутствуют. На диаграмме справа показано, что угол 60° или 120° соответствует корням одинаковой длины, угол 45° или 135° соответствует соотношению длин, а угол 30° или 150° соответствует соотношению длин. из . ${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle 0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Таким образом, вот единственные возможности для каждой пары корней. ^[13]

• Угол 90 градусов; в этом случае соотношение длин не ограничено.
• Угол 60 или 120 градусов, с коэффициентом длины 1.
• Угол 45 или 135 градусов, соотношение длин . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Угол 30 или 150 градусов, соотношение длин . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Положительные корни и простые корни

Помеченные корни представляют собой набор положительных корней корневой системы, при этом и являются простыми корнями. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Учитывая корневую систему, мы всегда можем выбрать (разными способами) набор положительных корней . Это подмножество такого , что ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$

• Для каждого корня ровно один из корней содержится в . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$
• Для любых двух различных, таких, которые являются корнем, . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$

Если выбран набор положительных корней , элементы называются отрицательными корнями . Набор положительных корней можно построить, выбрав гиперплоскость, не содержащую ни одного корня, и полагая , что все корни лежат на фиксированной стороне . Более того, таким образом возникает любое множество положительных корней. ^[14] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle -\Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$

Элемент называется простым корнем (также фундаментальным корнем ), если его нельзя записать в виде суммы двух элементов . (Множество простых корней также называют базой для . ) Множество простых корней является базисом со следующими дополнительными специальными свойствами: ^[15] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$

• Каждый корень представляет собой линейную комбинацию элементов с целыми коэффициентами. ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$
• Для каждого коэффициенты в предыдущем пункте либо все неотрицательные, либо все неположительные. ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

Для каждой корневой системы существует множество различных вариантов выбора набора положительных корней — или, что то же самое, простых корней — но любые два набора положительных корней различаются действием группы Вейля. ^[16] ${\displaystyle \Phi }$

Двойная корневая система, корни и цельные элементы

Двойная корневая система

Если Φ — система корней в E , корень α ^∨ корня α определяется формулой

$${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

Набор кокорней также образует систему корней Φ ^∨ в E , называемую двойственной системой корней (или иногда обратной системой корней ). По определению α ^{∨ ∨} = α, так что Φ — двойственная система корней к Φ ^∨ . Решетка в E , натянутая на Φ ^∨ , называется решеткой кокорней . И Φ, и Φ ^∨ имеют одну и ту же группу Вейля W и для s из W ,

$${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

Если ∆ — множество простых корней для Φ, то ∨ ^— множество простых корней для Φ ^∨ . ^[17]

В описанной ниже классификации корневые системы типа и исключительные корневые системы являются самодуальными, что означает, что двойственная корневая система изоморфна исходной корневой системе. Напротив, корневые системы и двойственны друг другу, но не изоморфны (кроме случаев ). ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n=2}$

Неотъемлемые элементы

Вектор из E называется целым ^[18] , если его скалярное произведение с каждым кокорнем является целым числом: ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$

${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Множество целых элементов называется решеткой весов , ассоциированной с данной корневой системой. Этот термин происходит из теории представлений полупростых алгебр Ли , где целые элементы образуют возможные веса конечномерных представлений.

Определение корневой системы гарантирует, что сами корни являются целостными элементами. Таким образом, всякая целочисленная линейная комбинация корней также является целой. Однако в большинстве случаев будут целые элементы, которые не являются целочисленными комбинациями корней. То есть в общем случае решетка весов не совпадает с решеткой корней.

Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина

Изображения всех связанных диаграмм Дынкина

Корневая система неприводима, если ее нельзя разбить на объединение двух собственных подмножеств , таких, что для всех и . ${\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )=0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \beta \in \Phi _{2}}$

Неприводимым корневым системам соответствуют определенные графы — диаграммы Дынкина имени Евгения Дынкина . Классификация этих графов является простым вопросом комбинаторики и приводит к классификации неприводимых корневых систем.

Построение диаграммы Дынкина

Учитывая систему корней, выберите набор простых корней Δ, как в предыдущем разделе. Вершины соответствующей диаграммы Дынкина соответствуют корням из Δ. Ребра между вершинами рисуются следующим образом, в соответствии с углами. (Обратите внимание, что угол между простыми корнями всегда не менее 90 градусов.)

• Нет края, если векторы ортогональны,
• Ненаправленное одиночное ребро, если они составляют угол 120 градусов,
• Направленное двойное ребро, если они составляют угол 135 градусов, а
• Направленное тройное ребро, если они составляют угол 150 градусов.

Термин «направленное ребро» означает, что двойные и тройные ребра отмечены стрелкой, указывающей в сторону более короткого вектора. (Представление о стрелке как о знаке «больше» проясняет, в какую сторону должна указывать стрелка.)

Заметим, что исходя из отмеченных выше элементарных свойств корней, правила построения диаграммы Дынкина можно описать и следующим образом. Нет ребра, если корни ортогональны; для неортогональных корней - одинарное, двойное или тройное ребро в зависимости от того, равно ли отношение длин более длинного к более короткому 1, , . Например, в случае корневой системы есть два простых корня, расположенных под углом 150 градусов (с соотношением длин ). Таким образом, диаграмма Дынкина имеет две вершины, соединенные тройным ребром, со стрелкой, указывающей от вершины, связанной с более длинным корнем, к другой вершине. (В этом случае стрелка немного избыточна, поскольку диаграмма эквивалентна независимо от направления стрелки.) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Классификация корневых систем

Хотя данная корневая система имеет более одного возможного набора простых корней, группа Вейля действует транзитивно при таком выборе. ^[19] Следовательно, диаграмма Дынкина не зависит от выбора простых корней; это определяется самой корневой системой. И наоборот, имея две корневые системы с одинаковой диаграммой Дынкина, можно сопоставить корни, начиная с корней в основании, и показать, что эти системы на самом деле одинаковы. ^[20]

Таким образом, проблема классификации корневых систем сводится к проблеме классификации возможных диаграмм Дынкина. Корневая система неприводима тогда и только тогда, когда ее диаграммы Дынкина связны. ^[21] Возможные схемы подключения показаны на рисунке. Нижние индексы указывают количество вершин диаграммы (а значит, и ранг соответствующей неприводимой системы корней).

Если это корневая система, то диаграмма Дынкина для двойной корневой системы получается из диаграммы Дынкина путем сохранения всех тех же вершин и ребер, но изменения направления всех стрелок. Таким образом, из их диаграмм Дынкина мы видим, что и двойственны друг другу. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Вейль Чемберс и группа Вейля

Заштрихованная область представляет собой основную камеру Вейля для основания. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Если — корневая система, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню . Напомним, что это означает отражение относительно гиперплоскости и что группа Вейля — это группа преобразований, порожденных всеми буквами 's. Дополнение множества гиперплоскостей несвязно, и каждая компонента связности называется камерой Вейля . Если мы зафиксировали определенное множество ∆ простых корней, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля , связанную с ∆, как набор точек такой, что для всех . ${\displaystyle \Phi \subset E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Поскольку отражения сохраняют , они сохраняют и множество гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет местами камеры Вейля. ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

На рисунке показан случай корневой системы. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть секторов по 60 градусов — это камеры Вейля, а заштрихованная область — это основная камера Вейля, связанная с указанным основанием. ${\displaystyle A_{2}}$

Основная общая теорема о камерах Вейля такова: ^[22]

Теорема : Группа Вейля действует свободно и транзитивно в камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен числу камер Вейля.

В данном случае, например, группа Вейля состоит из шести элементов и шести камер Вейля. ${\displaystyle A_{2}}$

Связанный с этим результат: ^[23]

Теорема : Зафиксируйте камеру Вейля . Тогда для всех орбита Вейля содержит ровно одну точку замыкания . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Корневые системы и теория Ли

Неприводимые корневые системы классифицируют ряд связанных объектов теории Ли, в частности следующие:

• простые комплексные алгебры Ли (см. обсуждение систем корней, возникающих из полупростых алгебр Ли выше),
• односвязные комплексные группы Ли, которые являются простыми по модулю центрами, и
• односвязные компактные группы Ли , являющиеся простыми по модулю центрами.

В каждом случае корни — это ненулевые веса присоединенного представления .

Теперь мы дадим краткое указание на то, как неприводимые системы корней классифицируют простые алгебры Ли над , следуя аргументам Хамфриса. ^[24] Предварительный результат гласит, что полупростая алгебра Ли является простой тогда и только тогда, когда соответствующая корневая система неприводима. ^[25] Таким образом, мы ограничим внимание неприводимыми системами корней и простыми алгебрами Ли. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Во-первых, мы должны установить, что для каждой простой алгебры существует только одна система корней. Это утверждение следует из результата о единственности с точностью до автоморфизма подалгебры Картана, ^[26] из которого следует, что любые две подалгебры Картана дают изоморфные корневые системы. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Далее нам нужно показать, что для каждой неприводимой системы корней может существовать не более одной алгебры Ли, т. е. что система корней определяет алгебру Ли с точностью до изоморфизма. ^[27]
• Наконец, мы должны показать, что каждой неприводимой системе корней соответствует соответствующая простая алгебра Ли. Это утверждение очевидно для систем корней типов A, B, C и D, для которых ассоциированные алгебры Ли являются классическими алгебрами Ли . Тогда можно будет анализировать исключительные алгебры в индивидуальном порядке. В качестве альтернативы можно разработать систематическую процедуру построения алгебры Ли из корневой системы, используя соотношения Серра . ^[28]

О связях между исключительными системами корней и их группами Ли и алгебрами Ли см. E 8 , E 7 , E 6 , F 4 и G 2 .

Свойства неприводимых корневых систем

Неприводимые корневые системы названы в соответствии с соответствующими связными диаграммами Дынкина. Существует четыре бесконечных семейства (An _{, Bn} , Cn и Dn _, называемые классическими корневыми системами ) и пять исключительных случаев ( _{исключительные} корневые системы ). Нижний индекс указывает ранг корневой системы.

В неприводимой корневой системе может быть не более двух значений длины ( α ,  α ) ^1/2 , соответствующих коротким и длинным корням. Если все корни имеют одинаковую длину, они по определению считаются длинными, а корневая система называется просто ажурной ; это происходит в случаях A, D и E. Любые два корня одинаковой длины лежат в одной и той же орбите группы Вейля. В случаях B, C, G и F с непростым переплетением решетка корней натянута на короткие корни, а длинные корни охватывают подрешетку, инвариантную относительно группы Вейля, равную r ² /2 умноженной на решетку кокорней, где r — длина длинного корня.

В соседней таблице |Φ ^< | обозначает количество коротких корней, I обозначает индекс в решетке корней подрешетки, порожденной длинными корнями, D обозначает определитель матрицы Картана и | Вт | обозначает порядок группы Вейля .

Явное построение неприводимых корневых систем.

н _

Модель корневой системы в системе Zometool ${\displaystyle A_{3}}$

Пусть E — подпространство в R ^{n +1} , для которого сумма координат равна 0, и пусть Φ — множество векторов в E длины √ 2 , которые являются целыми векторами, т. е. имеют целые координаты в R ^{n +1} . Такой вектор должен иметь все координаты, кроме двух, равных 0, одну координату, равную 1, и одну, равную -1, поэтому всего имеется n ² ​​+ n корней. Одним из вариантов простых корней, выраженных в стандартном базисе, является α _i = e _i − e _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n .

Отражение σi через гиперплоскость _, перпендикулярную αi _, аналогично перестановке соседних i -й и ( i +  1)-й координат . Такие транспозиции порождают полную группу перестановок . Для соседних простых корней σ _i ( α _{i +1} ) = α _{i +1}  +  α _i =  σ _{i +1} ( α _i ) =  α _i  +  α _{i +1} , то есть отражение эквивалентно добавлению кратного числа 1; но отражение простого корня перпендикулярно несмежному простому корню оставляет его неизменным, отличаясь кратно 0.

Решетку корней An , то есть решетку, порожденную _{корнями} An , проще всего описать как набор целочисленных векторов из R ^{n +1} _, сумма компонентов которых равна нулю.

Корневая решетка A ₂ представляет собой расположение вершин треугольной мозаики .

Корневая решетка А ₃ известна кристаллографам как гранецентрированная кубическая (или кубическая плотноупакованная ) решетка. ^[29] Это расположение вершин тетраэдрально-октаэдрических сот .

Корневую систему А3 (а также другие корневые системы третьего ранга) можно смоделировать в _{конструкторе} Zometool . ^[30]

В общем, корневая решетка An представляет собой расположение вершин n -мерных _{симплектических} сот .

Б н

Пусть E = Rn и Φ состоит из всех целых векторов из E ^длины 1 или √2 . Общее число корней равно 2 n ² . Одним из вариантов простых корней является α _i = e _i – e _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n – 1 (вышеупомянутый выбор простых корней для A _{n −1} ) и более короткий корень α _n = e _n .

Отражение σ _n через гиперплоскость, перпендикулярную короткому корню α _n, является, конечно, просто отрицанием n - й координаты. Для длинного простого корня αn _{− 1} σn _{−1 (} αn ₎ = αn + αn _{− 1 , но для отражения} , перпендикулярного короткому корню, σn ( αn _{− 1} ) = αn _{− 1} + 2 α _n , разница кратна 2 вместо 1.

Решетка корней Bn , то есть решетка, порожденная _{корнями} Bn , состоит из всех целочисленных векторов _.

B ₁ изоморфен A ₁ посредством масштабирования по √ 2 и, следовательно, не является отдельной корневой системой.

С н

Корневая система B ₃ , C ₃ и A ₃ = D ₃ как точки внутри куба и октаэдра .

Пусть E = Rn и Φ состоит из всех целых векторов из E длины √ 2 вместе со всеми векторами вида 2 λ , где λ — ^{целочисленный} вектор длины 1. Общее число корней равно 2 n ² . Один из вариантов простых корней: α _i = e _i − e _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n − 1 (вышеупомянутый выбор простых корней для A _{n −1} ), и более длинный корень α _n = 2 e _n . Отражение σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _n , но σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1} .

Решетка корней C _n , то есть решетка, порожденная корнями C _n , состоит из всех целочисленных векторов, сумма компонентов которых дает четное целое число.

C ₂ изоморфен B ₂ посредством масштабирования на √ 2 и поворота на 45 градусов и, следовательно, не является отдельной корневой системой.

Д н

Пусть E = Rn и Φ состоит из всех целых векторов из E ^длины √ 2 . Общее количество корней равно 2 n ( n − 1) . Одним из вариантов простых корней является α _i = e _i − e _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n − 1 (вышеупомянутый выбор простых корней для A _{n −1} ) вместе с α _n = e _{n −1} + e _n .

Отражение через гиперплоскость, перпендикулярную α _n , аналогично транспонированию и отрицанию соседних n -й и ( n − 1)-й координат. Любой простой корень и его отражение, перпендикулярное другому простому корню, отличаются от второго корня кратным 0 или 1, а не большим кратным.

Решетка корней D _n , то есть решетка, порожденная корнями D _n , состоит из всех целочисленных векторов, сумма компонентов которых дает четное целое число. Это то же самое, что _{решетка} корней Cn .

Корни Dn выражаются как вершины выпрямленного n - ортоплекса , _{диаграммы} Кокстера-Дынкина :.... 2 n ( n − 1) вершин находятся в середине ребер n -ортоплекса.

D ₃ совпадает с A ₃ и поэтому не является отдельной корневой системой. Двенадцать корневых векторов D ₃ выражаются как вершины, конструкция более низкой симметрии кубооктаэдра .

D ₄ обладает дополнительной симметрией, называемой тройственностью . Двадцать четыре корневых вектора D ₄ выражаются как вершины, конструкция с более низкой симметрией 24-элементного .

Е 6 , Е 7 , Е 8

• Корневая система E ₈ — это любой набор векторов из R ⁸ , конгруэнтный следующему набору:
  $${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

Корневая система насчитывает 240 корней. Только что перечисленный набор представляет собой набор векторов длины √ 2 в корневой решетке E8, также известной как решетка E8 или Γ ₈ . Это набор точек в R ⁸ такой, что:

1. все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых и полуцелых чисел не допускается), и
2. сумма восьми координат является четным целым числом .

Таким образом,

$${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• Корневая система E7 _— это набор векторов из E8 _, перпендикулярных фиксированному корню _из E8 . Корневая система Е ₇ насчитывает 126 корней.
• Корневая система E ₆ не является набором векторов из E ₇ , перпендикулярных фиксированному корню из E ₇ , действительно, таким образом можно получить D ₆ . Однако E6 является подсистемой E8 _, перпендикулярной двум соответствующим образом выбранным _корням E8 _. Корневая система Е ₆ имеет 72 корня.

Альтернативное описание решетки Е8 , которое иногда бывает удобным ^, — это множество Г'8 _всех точек в R8 таких, _что

• все координаты целые числа, а сумма координат четная, или
• все координаты полуцелые, а сумма координат нечетная.

Решетки _Г8 и Г'8 изоморфны ; _{_} от одной к другой можно перейти, меняя знаки любого нечетного числа координат. Решетку Г8 _иногда называют четной системой координат для Е8 _, а решетку Г'8 _{называют} нечетной системой координат .

Один из вариантов простых корней для E ₈ в четной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше):

α _i = e _i − e _{i +1} , для 1 ≤ i ≤ 6, и

α ₇ = е ₇ + е ₆

(вышеупомянутый выбор простых корней для D ₇ ) вместе с

$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

Один из вариантов простых корней для E ₈ в нечетной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (см. выше):

α _я знак равно е _я - е _{я +1} , для 1 ≤ я ≤ 7

(вышеупомянутый выбор простых корней для A ₇ ) вместе с

α ₈ = β ₅ , где

β _j = ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

(Использование β ₃ дало бы изоморфный результат. Использование β _1,7 или β _2,6 просто дало бы A ₈ или D ₈ . Что касается β ₄ , его сумма координат равна 0, и то же самое верно для α _{1.. .7} , поэтому они охватывают только 7-мерное подпространство, для которого сумма координат равна 0; на самом деле −2 β ₄ имеет координаты (1,2,3,4,3,2,1) в базисе ( α _i ) .)

Поскольку перпендикулярность к α ₁ означает, что первые две координаты равны, E ₇ тогда является подмножеством E ₈ , где первые две координаты равны, и аналогично E ₆ является подмножеством E ₈ , где первые три координаты равны. Это облегчает явное определение E ₇ и E ₆ как

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2) ⁷  : Σ α _я ² + α ₁ ² = 2, Σ α _я + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ знак равно { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2) ⁶  : Σ α _я ² + 2 α ₁ ² знак равно 2, Σ α _я + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

_{Обратите внимание ,} что удаление α1 _, а затем α2 дает наборы простых корней _для E7 и E6 _. Однако эти наборы простых корней находятся в других подпространствах E7 и E6 пространства E8 _, чем написанные выше, _{поскольку они не ортогональны} α1 или α2 .

Ф 4

48-корневые векторы F4, определяемые вершинами 24-ячейки и ее двойственной ячейки, рассматриваемые в плоскости Кокстера.

Для F ₄ пусть E = R ⁴ и пусть Φ обозначает набор векторов α длины 1 или √ 2 таких, что все координаты 2α являются целыми числами и либо все четные, либо все нечетные. В этой системе 48 корней. Один из вариантов простых корней: выбор простых корней, указанный выше для B ₃ , плюс . ${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$

Корневая решетка F ₄ , то есть решетка, порожденная корневой системой F ₄ , представляет собой набор точек в R ^{4 ,} таких , что либо все координаты являются целыми числами , либо все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых чисел и полуцелых чисел). -целые числа не допускаются). Эта решетка изоморфна решетке кватернионов Гурвица .

Г 2

Корневая система G ₂ имеет 12 корней, образующих вершины гексаграммы . Смотрите картинку выше.

Одним из вариантов простых корней является ( α ₁ , β = α ₂ − α ₁ ), где α _i = e _i − e _{i +1} для i = 1, 2 — это указанный выше выбор простых корней для A ₂ .

Решетка корней G2 , т. е. решетка, порожденная _{корнями G2} , аналогична _{решетке корней} A2 .

Корневой посет

Диаграмма Хассе корневого ЧУМ E6 с метками ребер, обозначающими добавленное простое положение корня

Множество положительных корней естественным образом упорядочивается, говоря, что тогда и только тогда, когда является неотрицательной линейной комбинацией простых корней. Это ЧУ - множество градуировано и обладает многими замечательными комбинаторными свойствами, одно из которых состоит в том, что по этому ЧУ-множеству можно определить степени фундаментальных инвариантов соответствующей группы Вейля. ^[31] Граф Хассе представляет собой визуализацию упорядочения корневого ЧУУ. ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\textstyle \deg \left(\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha \right)=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$

Смотрите также

• Классификация ADE
• Аффинная корневая система
• Диаграмма Кокстера – Дынкина
• Группа Коксетера
• Матрица Кокстера
• Диаграмма Дынкина
• корневая база данных
• Полупростая алгебра Ли
• Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли
• Система корней полупростой алгебры Ли
• Группа Вейля

Примечания

1. Цветкович, Драгош (2002). «Графы с наименьшим собственным значением -2; исторический обзор и последние разработки в области максимальных исключительных графов». Линейная алгебра и ее приложения . 356 (1–3): 189–210. дои : 10.1016/S0024-3795(02)00377-4 .
2. Бурбаки, Глава VI, Раздел 1.
3. Хамфрис 1972, с. 42
4. Хамфрис 1992, с. 6
5. Хамфрис 1992, с. 39
6. Хамфрис 1992, с. 41
7. Хамфрис 1972, с. 43
8. Зал 2015 г., Предложение 8.8
9. Зал 2015, Раздел 7.5.
10. Убийство 1889 г.
11. Бурбаки 1998, с. 270
12. Коулман 1989, с. 34
13. Зал 2015 г., Предложение 8.6.
14. Холл 2015, Теоремы 8.16 и 8.17.
15. Холл 2015, Теорема 8.16.
16. Холл 2015, Предложение 8.28.
17. Холл 2015, Предложение 8.18.
18. Зал 2015, Раздел 8.7.
19. Это следует из Hall 2015, предложение 8.23.
20. Холл 2015, Предложение 8.32.
21. Холл 2015, Предложение 8.23.
22. Холл 2015, предложения 8.23 ​​и 8.27.
23. Холл 2015, Предложение 8.29.
24. См. различные части глав III, IV и V Humphreys 1972, кульминацией которых является раздел 19 главы V.
25. Холл 2015, Теорема 7.35.
26. Хамфрис 1972, раздел 16.
27. Хамфрис 1972, часть (b) теоремы 18.4
28. Хамфрис, 1972 г., раздел 18.3 и теорема 18.4.
29. Конвей, Джон ; Слоан, Нил Дж. А. (1998). «Раздел 6.3». Сферические упаковки, решетки и группы. Спрингер. ISBN 978-0-387-98585-5.
30. Зал 2015 г., раздел 8.9.
31. Хамфрис 1992, Теорема 3.20.

Рекомендации

• Адамс, Дж. Ф. (1983), Лекции о группах лжи , University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5
• Бурбаки, Николя (2002), Группы Ли и алгебры Ли, главы 4–6 (перевод с французского оригинала 1968 года Эндрю Прессли) , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7. Классический справочник по корневым системам.
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы истории математики . Спрингер. ISBN 3540647678.
• Коулман, AJ (лето 1989 г.), «Величайшая математическая статья всех времен», The Mathematical Intelligencer , 11 (3): 29–38, doi : 10.1007/bf03025189, S2CID  35487310
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Спрингер. ISBN 0387900535.
• Хамфрис, Джеймс (1992). Группы отражения и группы Кокстера . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521436133.
• Киллинг, Вильгельм (июнь 1888 г.). «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen». Математические Аннален . 31 (2): 252–290. дои : 10.1007/BF01211904. S2CID  120501356. Архивировано из оригинала 05 марта 2016 г.
  • - (март 1888 г.). "Часть 2". Математика. Анна . 33 (1): 1–48. дои : 10.1007/BF01444109. S2CID  124198118.
  • - (март 1889 г.). «Часть 3». Математика. Анна . 34 (1): 57–122. дои : 10.1007/BF01446792. S2CID  179177899. Архивировано из оригинала 21 февраля 2015 г.
  • - (июнь 1890 г.). «Часть 4». Математика. Анна . 36 (2): 161–189. дои : 10.1007/BF01207837. S2CID  179178061.
• Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6.
• Спрингер, Т.А. (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN 0817640215.

дальнейшее чтение

• Дынкин, Е.Б. (1947). «Строение полупростых алгебр». Успехи мат. Наук . 2 (на русском языке). 4 (20): 59–127. МР  0027752.

Внешние ссылки