Вращающиеся сферы

Аргумент Исаака Ньютона о вращающихся сферах пытается продемонстрировать, что истинное вращательное движение может быть определено путем наблюдения натяжения струны, соединяющей две идентичные сферы. Основой аргумента является то, что все наблюдатели делают два наблюдения: натяжение струны, соединяющей тела (которое одинаково для всех наблюдателей) и скорость вращения сфер (которая различна для наблюдателей с разными скоростями вращения). Только для действительно невращающегося наблюдателя натяжение струны будет объяснено с использованием только наблюдаемой скорости вращения. Для всех других наблюдателей требуется «поправка» (центробежная сила), которая учитывает натяжение, вычисленное иначе, чем ожидаемое с использованием наблюдаемой скорости вращения. ^[1] Это один из пяти аргументов из «свойств, причин и следствий» истинного движения и покоя, которые поддерживают его утверждение о том, что в общем случае истинное движение и покой не могут быть определены как особые случаи движения или покоя относительно других тел, но вместо этого могут быть определены только посредством ссылки на абсолютное пространство . С другой стороны, эти эксперименты дают операциональное определение того, что подразумевается под « абсолютным вращением », и не претендуют на решение вопроса «вращение относительно чего ?» ^[2] Общая теория относительности обходится без абсолютного пространства и физики, причина которой является внешней по отношению к системе, с концепцией геодезических пространства -времени . ^[3]

Фон

Ньютон был озабочен решением проблемы того, как мы можем экспериментально определить истинные движения тел в свете того факта, что абсолютное пространство не является чем-то, что можно воспринять. Такое определение, говорит он, может быть достигнуто путем наблюдения за причинами движения (то есть силами ), а не просто видимыми движениями тел относительно друг друга (как в аргументе о ведре ). В качестве примера, где причины могут быть обнаружены, если два шара , плавающие в пространстве , соединены шнуром, измерение величины натяжения шнура, без других подсказок для оценки ситуации, само по себе достаточно, чтобы указать, насколько быстро два объекта вращаются вокруг общего центра масс. (Этот эксперимент включает наблюдение силы, натяжения). Кроме того, направление вращения — будь то по часовой стрелке или против часовой стрелки — можно обнаружить, прикладывая силы к противоположным граням шаров и выясняя, приводит ли это к увеличению или уменьшению натяжения шнура (опять же с участием силы). Альтернативно, направление вращения можно определить, измеряя видимое движение шаров по отношению к фоновой системе тел, которые, согласно предыдущим методам, уже были установлены как не находящиеся в состоянии вращения, как, например, неподвижные звезды времен Ньютона .

В 1846 году Эндрю Мотте перевел слова Ньютона: ^{[4] [5]}

У нас есть некоторые аргументы, которые могут направлять нас, частично из видимых движений, которые являются различиями истинных движений; частично из сил, которые являются причинами и следствиями истинных движений. Например, если бы два шара, удерживаемые на определенном расстоянии друг от друга посредством шнура, который их соединяет, вращались вокруг их общего центра тяжести; мы могли бы по натяжению шнура обнаружить стремление шаров удалиться от оси их движения. ... И таким образом мы могли бы найти как количество, так и определение этого кругового движения, даже в огромной пустоте, где не было бы ничего внешнего или чувственного, с чем можно было бы сравнить шары.

-  Исаак Ньютон, Начала , Книга 1, Схолиум.

Чтобы подвести итог этому предложению, приведем цитату из Борна: ^[6]

Если бы Земля находилась в состоянии покоя и если бы вместо этого вся звездная система вращалась в противоположном направлении, совершая один оборот вокруг Земли за двадцать четыре часа, то, по мнению Ньютона, центробежные силы [в настоящее время приписываемые вращению Земли] не возникали бы.

—  Макс Борн: Теория относительности Эйнштейна , стр. 81-82

Мах не согласился с этим аргументом, указав, что эксперимент с вращающейся сферой никогда не мог бы быть проведен в пустой Вселенной, где, возможно, законы Ньютона не применимы, поэтому эксперимент на самом деле показывает только то, что происходит, когда сферы вращаются в нашей Вселенной, и поэтому, например, может указывать только на вращение относительно всей массы Вселенной. ^{[2] [7]}

Для меня существуют только относительные движения… Когда тело вращается относительно неподвижных звезд, возникают центробежные силы; когда оно вращается относительно какого-то другого тела, а не относительно неподвижных звезд, никаких центробежных сил не возникает.

—  Эрнст Мах; цитируется по Чиуфолини и Уилеру : Гравитация и инерция , стр. 387

Интерпретация, которая позволяет избежать этого конфликта, заключается в том, что эксперимент с вращающимися сферами на самом деле не определяет вращение относительно чего-либо в частности (например, абсолютного пространства или неподвижных звезд); скорее эксперимент является операциональным определением того, что подразумевается под движением, называемым абсолютным вращением . ^[2]

Рисунок 1: Две сферы, связанные нитью и вращающиеся с угловой скоростью ω. Из-за вращения нить, связывающая сферы, находится под натяжением.

Рисунок 2: Разобранное изображение вращающихся сфер в инерциальной системе отсчета, показывающее центростремительные силы, действующие на сферы, создаваемые натяжением связующей нити.

Формулировка аргумента

Этот пример сферы был использован самим Ньютоном для обсуждения обнаружения вращения относительно абсолютного пространства. ^[8] Проверка фиктивной силы, необходимой для учета натяжения струны, является одним из способов для наблюдателя решить, вращаются ли они или нет — если фиктивная сила равна нулю, они не вращаются. ^[9] (Конечно, в экстремальном случае, таком как аттракцион «Гравитрон» , вам не нужно много убеждаться в том, что вы вращаетесь, но, стоя на поверхности Земли, вопрос становится более тонким.) Ниже представлены математические детали, лежащие в основе этого наблюдения.

На рисунке 1 показаны две одинаковые сферы, вращающиеся вокруг центра соединяющей их струны. Ось вращения показана как вектор Ω с направлением, заданным правилом правой руки , и величиной, равной скорости вращения: |Ω| = ω. Угловая скорость вращения ω предполагается независимой от времени ( равномерное круговое движение ). Из-за вращения струна находится под натяжением. (См. реактивная центробежная сила .) Далее приводится описание этой системы с точки зрения инерциальной системы отсчета и вращающейся системы отсчета.

Инерциальная система отсчета

Примем инерциальную систему отсчета с центром в середине струны. Шары движутся по окружности вокруг начала нашей системы координат. Сначала посмотрим на один из двух шаров. Чтобы двигаться по круговой траектории, которая не является равномерным движением с постоянной скоростью, а круговым движением с постоянной скоростью, требуется сила, действующая на шар таким образом, чтобы непрерывно менять направление его скорости. Эта сила направлена ​​внутрь, вдоль направления струны, и называется центростремительной силой . Другой шар имеет то же требование, но, находясь на противоположном конце струны, требует центростремительной силы той же величины, но противоположного направления. Смотрите рисунок 2. Эти две силы обеспечиваются струной, натягивая ее, что также показано на рисунке 2.

Вращающаяся рама

Примем вращающуюся систему отсчета в середине струны. Предположим, что система вращается с той же угловой скоростью, что и шары, поэтому шары кажутся неподвижными в этой вращающейся системе отсчета. Поскольку шары не движутся, наблюдатели говорят, что они находятся в состоянии покоя. Если бы они теперь применили закон инерции Ньютона, они бы сказали, что на шары не действует никакая сила, поэтому струна должна быть ослаблена. Однако они ясно видят, что струна находится под натяжением. (Например, они могли бы разделить струну и поместить в ее центр пружину, которая растянется.) ^[10] Чтобы учесть это натяжение, они предполагают, что в их системе отсчета на два шара действует центробежная сила, разрывая их. Эта сила возникает из ниоткуда — это просто «факт жизни» в этом вращающемся мире, и она действует на все, что они наблюдают, а не только на эти сферы. Сопротивляясь этой вездесущей центробежной силе, струна находится под натяжением, что объясняет их наблюдение, несмотря на то, что сферы находятся в состоянии покоя. ^[11]

сила Кориолиса

Что, если сферы не вращаются в инерциальной системе отсчета (натяжение струны равно нулю)? Тогда натяжение струны во вращающейся системе отсчета также равно нулю. Но как это может быть? Сферы во вращающейся системе отсчета теперь кажутся вращающимися и для этого должна потребоваться внутренняя сила. Согласно анализу равномерного кругового движения : ^{[12] [13]}

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centripetal} }=-m\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times x_{B}} \right)\ }$

${\displaystyle =-m\omega ^{2}R\ \mathbf {u} _{R}\ ,}$

где u _R — единичный вектор, указывающий от оси вращения к одной из сфер, а Ω — вектор, представляющий угловое вращение, с величиной ω и направлением, нормальным к плоскости вращения, заданным правилом правой руки , m — масса шара, а R — расстояние от оси вращения до сфер (величина вектора смещения, | x _B | = R , определяющего местоположение одной или другой сферы). По мнению вращающегося наблюдателя, не должно ли натяжение струны быть вдвое больше, чем раньше (натяжение от центробежной силы плюс дополнительное натяжение, необходимое для обеспечения центростремительной силы вращения)? Причина, по которой вращающийся наблюдатель видит нулевое натяжение, заключается в еще одной фиктивной силе во вращающемся мире, силе Кориолиса , которая зависит от скорости движущегося объекта. В этом случае нулевого натяжения, по мнению вращающегося наблюдателя, сферы теперь движутся, и сила Кориолиса (которая зависит от скорости) активируется. Согласно статье фиктивная сила , сила Кориолиса равна: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ }$

${\displaystyle =-2m\omega \left(\omega R\right)\ \mathbf {u} _{R},}$

где R — расстояние до объекта от центра вращения, а v _B — скорость объекта под действием силы Кориолиса, | v _B | = ω R .

В геометрии этого примера эта сила Кориолиса имеет величину, вдвое превышающую вездесущую центробежную силу, и имеет точно противоположное направление. Таким образом, она отменяет вездесущую центробежную силу, обнаруженную в первом примере, и делает шаг вперед, чтобы обеспечить именно ту центростремительную силу, которая требуется для равномерного кругового движения, поэтому вращающийся наблюдатель вычисляет, что нет необходимости в натяжении струны − сила Кориолиса заботится обо всем.

Общий случай

Что произойдет, если сферы вращаются с одной угловой скоростью, скажем ω _I ( I = инерционная), а рамка вращается с другой скоростью ω _R ( R = вращательная)? Инерциальные наблюдатели видят круговое движение, а натяжение струны оказывает центростремительную внутреннюю силу на сферы:

${\displaystyle \mathbf {T} =-m\omega _{I}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

Эта сила также является силой, вызванной натяжением, которую видят вращающиеся наблюдатели. Вращающиеся наблюдатели видят сферы в круговом движении с угловой скоростью ω _S = ω _I − ω _R ( S = сферы). То есть, если рамка вращается медленнее, чем сферы, ω _S > 0, и сферы продвигаются против часовой стрелки по окружности, в то время как для более быстро движущейся рамки ω _S < 0, и сферы кажутся отступающими по часовой стрелке по окружности. В любом случае вращающиеся наблюдатели видят круговое движение и требуют чистой внутренней центростремительной силы:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=-m\omega _{S}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

Однако эта сила не является натяжением струны. Поэтому вращательные наблюдатели делают вывод, что существует сила (которую инерциальные наблюдатели называют фиктивной силой), так что:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=\mathbf {T} +\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }\ ,}$

или,

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-m\left(\omega _{S}^{2}R-\omega _{I}^{2}R\right)\mathbf {u} _{R}\ .}$

Фиктивная сила меняет знак в зависимости от того, какая из величин ω _I и ω _S больше. Причина смены знака в том, что когда ω _I > ω _S , сферы на самом деле движутся быстрее, чем измеряют вращающиеся наблюдатели, поэтому они измеряют натяжение струны, которое на самом деле больше, чем они ожидают; следовательно, фиктивная сила должна увеличивать натяжение (указывать наружу). Когда ω _I < ω _S , все меняется на противоположное, поэтому фиктивная сила должна уменьшать натяжение и, следовательно, имеет противоположный знак (указывать внутрь).

Является ли фиктивная силадля этого случая?

Введение F _Fict позволяет вращательным наблюдателям и инерционным наблюдателям прийти к согласию относительно натяжения струны. Однако мы можем спросить: «Соответствует ли это решение общему опыту в других ситуациях или это просто «состряпанное» ad hoc решение?» На этот вопрос можно ответить, посмотрев, как это значение для F _Fict квадратится с общим результатом (выведенным в Fictitious force ): ^[14]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})}$  ${\displaystyle \ -m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ .}$

Нижний индекс B относится к величинам, отнесенным к неинерциальной системе координат. Полные сведения об обозначениях см. в разделе Фиктивная сила . Для постоянной угловой скорости вращения последний член равен нулю. Для оценки других членов нам необходимо положение одной из сфер:

${\displaystyle \mathbf {x} _{B}=R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

и скорость этой сферы, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\omega _{S}R\mathbf {u} _{\theta }\ ,}$

где u _θ — единичный вектор, перпендикулярный u _R и указывающий направление движения.

Рама вращается со скоростью ω _R , поэтому вектор вращения равен Ω = ω _R u _z ( u _{z —} единичный вектор в направлении z ), и Ω × u _R = ω _R ( u _z × u _R ) = ω _R u _θ  ; Ω × u _θ = −ω _R u _R . Тогда центробежная сила равна:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})=m\omega _{R}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

которая, естественно, зависит только от скорости вращения рамки и всегда направлена ​​наружу. Сила Кориолиса равна

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}=2m\omega _{S}\omega _{R}R\mathbf {u} _{R}}$

и имеет способность менять знак, будучи направленным наружу, когда сферы движутся быстрее, чем рамка (ω _S > 0), и будучи направленным внутрь, когда сферы движутся медленнее, чем рамка (ω _S < 0). ^[15] Объединяем термины: ^[16]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }}$  ${\displaystyle =\left(m\omega _{R}^{2}R+2m\omega _{S}\omega _{R}R\right)\mathbf {u} _{R}=m\omega _{R}\left(\omega _{R}+2\omega _{S}\right)R\mathbf {u} _{R}}$

${\displaystyle =m(\omega _{I}-\omega _{S})(\omega _{I}+\omega _{S})\ R\mathbf {u} _{R}=-m\left(\omega _{S}^{2}-\omega _{I}^{2}\right)\ R\mathbf {u} _{R}.}$

Следовательно, фиктивная сила, найденная выше для этой проблемы вращающихся сфер, согласуется с общим результатом и не является специальным решением, просто «состряпанным» для достижения согласия в этом отдельном примере. Более того, именно сила Кориолиса позволяет фиктивной силе менять знак в зависимости от того, какая из ω _I , ω _S больше, поскольку вклад центробежной силы всегда направлен наружу.

Вращение и космическое фоновое излучение

Изотропия космического фонового излучения является еще одним показателем того, что Вселенная не вращается. ^[17]

Смотрите также

• Аргумент к ведру
• Центробежная сила (вращающаяся система отсчета)
• Фиктивная сила
• принцип Маха
• Механика движения плоской частицы
• Эффект Саньяка
• Микроволновый анизотропный зонд Уилкинсона

Ссылки и примечания

1. См. Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Аналитическая механика. Cambridge University Press. стр. 324. ISBN 0-521-57572-9.и I. Бернард Коэн; Джордж Эдвин Смит (2002). Кембриджский компаньон Ньютона. Cambridge University Press. стр. 43. ISBN 0-521-65696-6.
2. Роберт Дисалле (2002). I. Бернард Коэн; Джордж Э. Смит (ред.). The Cambridge Companion to Newton. Cambridge University Press. стр. 43. ISBN 0-521-65696-6.
3. Gilson, James G. (1 сентября 2004 г.), Принцип Маха II , arXiv : physics/0409010 , Bibcode : 2004physics...9010G
4. См. Principia в сети в разделе «Определения». Principia . Получено 13 мая 2010 г.
5. Макс Борн (1962). Теория относительности Эйнштейна . Courier Dover Publications. стр. 80. ISBN 0-486-60769-0. инерционные силы.
6. Макс Борн (1962). Теория относительности Эйнштейна (значительно переработанное и дополненное издание). Courier Dover Publications. стр. 82. ISBN 0-486-60769-0. инерционные силы.
7. Игнацио Чуфолини; Джон Арчибальд Уилер (1995). Гравитация и инерция. Издательство Принстонского университета. стр. 386–387. ISBN 0-691-03323-4.
8. Макс Борн (1962). Теория относительности Эйнштейна . Courier Dover Publications. стр. Рисунок 43, стр. 79. ISBN 0-486-60769-0. инерционные силы.
9. D. Lynden-Bell (1996). Игорь Дмитриевич Новиков; Бернард Жан Трефор Джонс; Драза Маркович (ред.). Релятивистская астрофизика. Cambridge University Press. стр. 167. ISBN 0-521-62113-5.
10. Барри Дейнтон (2001). Время и пространство. McGill-Queen's Press. стр. 175. ISBN 0-7735-2306-5.
11. Йенс М. Кнудсен и Пол Г. Хьёрт (2000). Элементы ньютоновской механики. Спрингер. п. 161. ИСБН 3-540-67652-X.
12. Georg Joos & Ira M. Freeman (1986). Теоретическая физика. Нью-Йорк: Courier Dover Publications. стр. 233. ISBN 0-486-65227-0.
13. Джон Роберт Тейлор (2004). Классическая механика. Sausalito CA: University Science Books. стр. 348–349. ISBN 1-891389-22-X.
14. Многие источники цитируются в Fictitious force . Вот еще два: PF Srivastava (2007). Mechanics. New Delhi: New Age International Publishers. стр. 43. ISBN 978-81-224-1905-4.и NC Rana & PS Joag (2004). Механика. Нью-Дели: Tata McGraw-Hill. стр. 99 и далее. ISBN 0-07-460315-9.
15. Случай ω _S < 0 применим к предыдущему примеру со сферами, покоящимися в инерциальной системе отсчета.
16. Этот результат можно сравнить с уравнением (3.3) у Стоммеля и Мура. Они получили уравнение, где и в их обозначениях, а левая часть — радиальное ускорение в полярных координатах согласно вращающимся наблюдателям. В этом примере их уравнение (3.4) для азимутального ускорения равно нулю, поскольку радиус фиксирован и угловое ускорение отсутствует. См. Henry Stommel; Dennis W. Moore (1989). An Introduction to the Coriolis Force . Columbia University Press. p. 55. ISBN ${\displaystyle {\ddot {r}}-\omega _{S}^{2}r=2\omega _{S}\omega _{R}r+\omega _{R}^{2}r}$ ${\displaystyle \omega _{S}={\dot {\phi }}'}$ ${\displaystyle \omega _{R}=\Omega \ }$ 0-231-06636-8. Кориолис Штоммель.
17. RB Partridge (1995). 3 K: Космическое микроволновое фоновое излучение. Cambridge University Press. С. 279–280. ISBN 0-521-35254-1.^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , Д. Линден-Белл (1996). Релятивистская астрофизика (Игорь Дмитриевич Новиков, Бернард Жан Трефор Джонс, Драза Маркович (редакторы) ред.). Cambridge University Press. стр. 167. ISBN 0-521-62113-5., и Ральф А. Альфер и Роберт Герман (1975). Космология большого взрыва и космическое излучение черного тела (в Proc. Am. Philos. Soc. т. 119, № 5 (1975) ред.). стр. 325–348. ISBN 9781422371077. Хеннинг Генц (2001). Ничто. Да Капо Пресс. п. 275. ИСБН 0-7382-0610-5.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}