Бипирамида

В геометрии бипирамида , дипирамида или двойная пирамида — это многогранник , образованный путем слияния двух пирамид вместе основанием к основанию. Поэтому многоугольное основание каждой пирамиды должно быть одинаковым, и если не указано иное, вершины основания обычно лежат в одной плоскости , а бипирамида обычно симметрична , то есть две пирамиды являются зеркальными отражениями относительно их общей плоскости основания. Когда каждая вершина ( мн. ч. вершины, вершины вне основания) бипирамиды находится на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через ее центр, это правильная бипирамида; ^[a] в противном случае она наклонная . Когда основание представляет собой правильный многоугольник , бипирамида также называется правильной .

Определение и свойства

Треугольная бипирамида , квадратная бипирамида и пятиугольная бипирамида .

Бипирамида — это многогранник, образованный путем слияния двух пирамид , имеющих одно и то же многоугольное основание ; ^[1] пирамида, в свою очередь, образована путем соединения каждой вершины ее основания с одной новой вершиной ( вершиной ), не лежащей в плоскости основания, для углового основания, образующего треугольные грани в дополнение к базовой грани. Таким образом, угловая бипирамида имеет грани, ребра и вершины. $n$ $n$ $n$ $2n$ $3n$ $n+2$ В более общем смысле, правильная пирамида — это пирамида, вершины которой находятся на перпендикулярной линии, проходящей через центроид произвольного многоугольника или инцентр касательного многоугольника , в зависимости от источника. ^[a] Аналогично, правильная бипирамида — это многогранник, построенный путем присоединения двух симметричных правых бипирамидных оснований; бипирамиды, вершины которых не находятся на этой линии, называются косыми бипирамидами . ^[2]

Когда две пирамиды являются зеркальными изображениями, бипирамида называется симметричной . Она называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник . ^[1] Когда основание — правильный многоугольник, а вершины находятся на перпендикулярной линии, проходящей через его центр ( правильная правильная бипирамида ), то все ее грани — равнобедренные треугольники ; иногда название бипирамида относится именно к симметричным правильным прямым бипирамидам, ^[3] Примерами таких бипирамид являются треугольная бипирамида , октаэдр (квадратная бипирамида) и пятиугольная бипирамида . Если все их ребра равны по длине, эти формы состоят из равносторонних треугольных граней, что делает их дельтаэдрами ; ^[4]^[5] треугольная бипирамида и пятиугольная бипирамида являются телами Джонсона , а правильный октаэдр — Платоновым телом . ^[6]

Симметричные правильные прямые бипирамиды имеют призматическую симметрию с группой симметрии диэдра порядка : они не изменяются при вращении вокруг оси симметрии , отражении относительно любой плоскости, проходящей через обе вершины и вершину основания или обе вершины и центр ребра основания, или отражении относительно плоскости зеркала. ^[7] Поскольку их грани транзитивны относительно этих преобразований симметрии, они являются изоэдральными . ^[8]^[9] Они являются двойственными многогранниками призм , а призмы также являются двойственными бипирамидам; вершины бипирамид соответствуют граням призмы, а ребра между парами вершин одной соответствуют ребрам между парами граней другой, и наоборот. ^[10] Призмы обладают той же симметрией, что и бипирамиды. ^[11] Правильный октаэдр еще более симметричен, так как его базовые вершины и вершины неразличимы и могут меняться местами путем отражений или вращений ; правильный октаэдр и его двойственный куб имеют октаэдрическую симметрию . ^[12] $D_{nh}$ $4n$ $1/n$

Объем симметричной бипирамиды равен, где $B$ - площадь основания, а $h -$ высота от плоскости основания до любой вершины. В случае правильного многоугольника с длиной стороны и высотой , объем такой бипирамиды равен: ${\frac {2}{3}}Ч,$ $n$ $с$ $ч$ ${\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Родственные и другие типы бипирамид

Вогнутые бипирамиды

Вогнутая бипирамида имеет вогнутое многоугольное основание, и одним из примеров является вогнутая тетрагональная бипирамида или неправильный вогнутый октаэдр. Бипирамида с произвольным многоугольным основанием может считаться правильной бипирамидой, если вершины находятся на линии, перпендикулярной основанию, проходящей через центроид основания .

Асимметричные бипирамиды

Асимметричная бипирамида имеет вершины, которые не зеркально отражаются относительно плоскости основания; для прямой бипирамиды это происходит только в том случае, если каждая вершина находится на разном расстоянии от основания.

Двойственной асимметричной прямой $n$ -угольной бипирамиде является $n-$ угольный усеченный треугольник .

Правильная асимметричная прямоугольная $n$ -угольная бипирамида имеет группу симметрии $C n v$ порядка $2 n$ .

Разносторонние треугольные бипирамиды

Пример: дитетрагональная бипирамида (

2 n = 2\times4

)

Изотоксальная правильная (симметричная) ди $-n$ -угольная бипирамида — это правильная (симметричная) $2n -$ угольная бипирамида с изотоксальным плоским многоугольным основанием: ее $2n$ $базовых$ вершин лежат в одной плоскости, но чередуются по двум радиусам .

Все его грани — конгруэнтные разносторонние треугольники , и он равногранный . Его можно рассматривать как другой тип прямоугольного симметричного ди- $n$ -угольного скаленоэдра с изотоксальным плоским многоугольным основанием.

Изотоксальная правая (симметричная) ди- $n$ -угольная бипирамида имеет $n$ двукратных осей вращения через противоположные базальные вершины, $n$ плоскостей отражения через противоположные апикальные ребра, $n$ -кратную ось вращения через вершины, плоскость отражения через основание и $n$ -кратную ось вращения-отражения через вершины, ^[13] представляющую группу симметрии $D n h, [n,2], (*22 n),$ порядка $4 n$ . (Отражение относительно плоскости основания соответствует вращению-отражению $на 0°$ . Если $n$ четно, то существует инверсионная симметрия относительно центра, соответствующая вращению-отражению $на 180°$ .)

Пример с $2 n = 2\times3$ :

Изотоксальная правильная (симметричная) дитригональная бипирамида имеет три подобные вертикальные плоскости симметрии, пересекающиеся по (вертикальной) оси вращения

3

-го порядка; перпендикулярно им расположена четвертая плоскость симметрии (горизонтальная); на пересечении трех вертикальных плоскостей с горизонтальной плоскостью находятся три подобные (горизонтальные) оси вращения

2

-го порядка; центра инверсионной симметрии нет, ^[14] но есть центр симметрии : точка пересечения четырех осей.

Пример с $2 n = 2\times4$ :

Изотоксальная правильная (симметричная) дитетрагональная бипирамида имеет четыре вертикальные плоскости симметрии двух видов, пересекающиеся по (вертикальной)

4

-кратной оси вращения; перпендикулярно им находится пятая плоскость симметрии (горизонтальная); на пересечении четырех вертикальных плоскостей с горизонтальной плоскостью находятся четыре (горизонтальные)

2

-кратные оси вращения двух видов, каждая из которых перпендикулярна плоскости симметрии; две вертикальные плоскости делят пополам углы между двумя горизонтальными осями; и имеется центр инверсионной симметрии. ^[15]

Двойной пример:

Бипирамида с изотоксальным 2×2 -угольным основанием вершинами U, U', V, V' и прямоугольными симметричными вершинами A, A' имеет грани равнобедренные. Действительно: ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}={\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\, ;$
- Длины нижних апикальных кромок (равны длинам верхних кромок): ${\begin{align}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {5}}\,.\end{align}}$

Бипирамида с теми же вершинами основания, но с прямыми симметричными вершинами также имеет равнобедренные грани. Действительно: ${\begin{align}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{align}}$
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}=2{\sqrt {2}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки (такая же, как в предыдущем примере): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\, ;$
- Длины нижних апикальных кромок (равны длинам верхних кромок): ${\begin{align}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{align}}$

В кристаллографии существуют изотоксальные правильные (симметричные) дидигональные ^[b] (8-гранные), дитригональные (12-гранные), дитетрагональные (16-гранные) и дигексагональные (24-гранные) бипирамиды. ^[13]^[16]

Скаленоэдры

Пример: дитригональный скаленоэдр (

2 n = 2\times3

)

Скаленоэдр похож на бипирамиду; разница в том, что скаленоэдр имеет зигзагообразный рисунок на средних ребрах. ^[17]

Он имеет две вершины и $2 n$ базальных вершин, $4 n$ граней и $6 n$ ребер; он топологически идентичен $2 n$ -угольной бипирамиде, но его $2 n$ базальных вершин чередуются в двух кольцах выше и ниже центра. ^[16]

Все его грани - конгруэнтные разносторонние треугольники , и он равногранный . Его можно рассматривать как другой тип правильной симметричной ди- $n$ -угольной бипирамиды с основанием в виде правильного зигзагообразного косого многоугольника.

Правильный прямоугольный симметричный ди- $n$ -угольный скаленоэдр имеет $n$ двукратных осей вращения, проходящих через противоположные базальные срединные ребра, $n$ плоскостей отражения, проходящих через противоположные вершинные ребра, $n$ -кратную ось вращения, проходящую через вершины, и $2 n$ -кратную ось вращения-отражения, проходящую через вершины (вокруг которой $1 n$ вращений-отражений глобально сохраняют тело), ^[13] представляя группу симметрии $D n v = D n d, [2 +,2 n], (2* n),$ порядка $4 n$ . (Если $n$ нечетно, то существует инверсионная симметрия относительно центра, соответствующая вращению-отражению на $180°$ .)

Пример с $2 n = 2\times3$ :

Правильный прямоугольный симметричный дитригональный скаленоэдр имеет три подобные вертикальные плоскости симметрии, наклоненные друг к другу под углом

60°

и пересекающиеся по (вертикальной) оси вращения

3-

го порядка, три подобные горизонтальные оси вращения

2

-го порядка, каждая из которых перпендикулярна плоскости симметрии, центр инверсионной симметрии ^[18] и вертикальную ось вращения-отражения

6

-го порядка.

Пример с $2 n = 2\times2$ :

Правильный прямоугольный симметричный двуугольный скаленоэдр имеет только одну вертикальную и две горизонтальные оси вращения

2

-го порядка, две вертикальные плоскости симметрии, которые делят пополам углы между горизонтальной парой осей, и вертикальную ось вращения-отражения

4

^{-го порядка; [19]} он не имеет центра инверсионной симметрии.

Максимум два частных значения граней такого скаленоэдра могут быть равнобедренными . $z_{A}=|z_{A'}|,$

Двойной пример:

Скаленоэдр с правильным зигзагообразным скошенным 2×2 -угольником в основании с вершинами U, U', V, V' и прямыми симметричными вершинами A, A' имеет грани равнобедренные. Действительно: ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}={\sqrt {34}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\, ;$
- Длины нижних апикальных кромок (равны длинам верхних кромок, поменянных местами): ${\begin{align}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {10}}\,.\end{align}}$

Скаленоэдр с теми же вершинами основания, но с прямыми симметричными вершинами также имеет грани равнобедренные. Действительно: ${\begin{align}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{align}}$
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}=3{\sqrt {10}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки (такая же, как в предыдущем примере): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\, ;$
- Длины нижних апикальных кромок (равны длинам верхних кромок, поменянных местами): ${\begin{align}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {34}}\,.\end{align}}$

В кристаллографии существуют правильные прямоугольные симметричные дидигональные ( $8-$ гранные) и дитригональные ( $12 -гранные) скаленоэдры.$ ^[13]^[16]

Наименьшие геометрические скаленоэдры имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае ( $2 n = 2\times2$ ) в кристаллографии правильный симметричный двуугольный ( $8$ -гранный) скаленоэдр называется тетрагональным скаленоэдром . ^[13]^[16]

Давайте временно сосредоточимся на правильных прямоугольных симметричных $8-$ гранных скаленоэдрах с $h = r,$ т.е. их две вершины можно представить как $A, A'$ , а четыре базальные вершины как $U, U', V, V'$ : где $z$ — параметр между $0$ и $1$ . $z_{A}=|z_{A'}|=x_{U}=|x_{U'}|=y_{V}=|y_{V'}|.$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,z),&\quad V&=(0,1,-z),&\quad A&=(0,0,1),\ \U'&=(-1,0,z),&\quad V'&=(0,-1,-z),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{ выровнено}}$

При $z = 0$ это правильный октаэдр; при $z = 1$ он имеет четыре пары копланарных граней, и объединение их в четыре конгруэнтных равнобедренных треугольника делает его двуклиноидом ; при $z > 1$ он вогнутый.

Если основание $2 n$ -угольника является одновременно изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразным , то не все грани изотоксального прямоугольного симметричного скаленоэдра конгруэнтны.

Пример с пятью различными длинами кромок:

Скаленоэдр с изотоксальным зигзагообразным скошенным внутрь-наружу 2×2 -угольником в основании с вершинами U, U', V, V' и прямыми симметричными вершинами A, A' имеет конгруэнтные разносторонние верхние грани и конгруэнтные разносторонние нижние грани, но не все его грани конгруэнтны. Действительно: ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3;$
- Длина нижнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {17}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

Для некоторых конкретных значений $z A = | z A' |$ половина граней такого скаленоэдра может быть равнобедренной или равносторонней .

Пример с тремя разными длинами кромок:

Скаленоэдр с изотоксальным зигзагообразным скошенным внутрь-наружу 2×2 -угольником в основании с вершинами U, U', V, V' и прямыми симметричными вершинами A, A' имеет конгруэнтные разносторонние верхние грани и конгруэнтные равносторонние нижние грани; таким образом, не все его грани конгруэнтны. Действительно: ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}$
- Длина верхнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {146}}\,;\end{aligned}}$
- Длина базовой кромки: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3{\sqrt {10}}\,;$
- Длина(ы) нижнего апикального края: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=3{\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

Звездные бипирамиды

Звездчатая бипирамида имеет в основании звездчатый многоугольник и является самопересекающейся. ^[20]

Правильная симметричная звездчатая бипирамида имеет конгруэнтные равнобедренные треугольные грани и является равногранной .

P $/$ $q$ -бипирамида имеет диаграмму Кокстера $.$ .

4-политопы с бипирамидальными ячейками

Двойственный к выпрямлению каждого выпуклого правильного 4 - многогранника является ячеечно-транзитивным 4-многогранником с бипирамидальными ячейками. В следующем:

$А$ — вершина бипирамиды;
$E$ — вершина экватора;
$EE$ — расстояние между соседними вершинами на экваторе (равно 1);
$AE$ — длина ребра от вершины до экватора;
$AA$ — расстояние между вершинами.

Бипирамидальный 4-политоп будет иметь вершины $V A$ там, где сходятся вершины бипирамид $N A.$ Он будет иметь вершины $V E$ там, где сходятся вершины типа $E бипирамид$ $N E.$

⁠ ⁠ $N_{\overline {AE}}$ Бипирамиды встречаются вдоль каждого ребра типа $AE$ .
⁠ ⁠ $N_{\overline {EE}}$ Бипирамиды встречаются вдоль каждого ребра типа $EE$ .
⁠ ⁠ $C_{\overline {AE}}$ — косинус двугранного угла вдоль ребра $AE$ .
⁠ ⁠ $C_{\overline {EE}}$ — косинус двугранного угла вдоль ребра $EE$ .

Поскольку ячейки должны располагаться по краю, ${\begin{aligned}N_{\overline {EE}}\arccos C_{\overline {EE}}&\leq 2\pi ,\\[4pt]N_{\overline {AE}}\arccos C_{\overline {AE}}&\leq 2\pi .\end{aligned}}$

Другие размеры

Обобщенная $n$ -мерная "бипирамида" - это любой $n$ -политоп , построенный из $(n - 1)$ -политопа основания , лежащего в гиперплоскости , с каждой базовой вершиной, соединенной ребром с двумя вершинами вершин . Если $(n - 1)$ -политоп является правильным политопом и вершины равноудалены от его центра вдоль линии, перпендикулярной базовой гиперплоскости, он будет иметь идентичные пирамидальные грани .

Двумерный аналог правильной симметричной бипирамиды образуется путем соединения двух конгруэнтных равнобедренных треугольников основаниями к основаниям с образованием ромба . В более общем смысле, воздушный змей является двумерным аналогом (возможно, асимметричной) правильной бипирамиды, а любой четырехугольник является двумерным аналогом общей бипирамиды.

Смотрите также

Трапецоэдр

Примечания

^ ab Центр правильного многоугольника однозначен, но для неправильных многоугольников источники расходятся во мнениях. Некоторые источники допускают, что только правильная пирамида может иметь в основании правильный многоугольник. Другие определяют правую пирамиду как имеющую вершины на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через ее центроид . Пойа (1954) ограничивает правильные пирамиды теми, у которых основанием является касательный многоугольник , с вершинами на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через инцентр .
^ Наименьшие геометрические ди- $n$ -угольные бипирамиды имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае ( $2 n = 2\times2$ ):
изотоксальная правильная (симметричная) дидигональная бипирамида называется ромбической бипирамидой , ^[13]^[16] хотя все ее грани являются разносторонними треугольниками, поскольку ее плоское многоугольное основание является ромбом.
^ Дано в числовом виде из-за более сложной формы.
^ Выпрямленный 16-ячеечный многогранник является правильным 24-ячеечным многогранником, и все вершины эквивалентны – октаэдры являются правильными бипирамидами.

Цитаты

^ ab Aarts, JM (2008). Плоская и объемная геометрия. Springer. стр. 303. doi :10.1007/978-0-387-78241-6. ISBN 978-0-387-78241-6.
^ Полиа, Г. (1954). Математика и правдоподобное рассуждение: Индукция и аналогия в математике. Princeton University Press. стр. 138. ISBN 0-691-02509-6.
^ Монтролл, Джон (2009). Конструирование многогранников оригами . АК Петерс. п. 6. ISBN 9781439871065.
^ Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Mathematics Magazine . 51 (1): 55–57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR 2689647. MR 1572246.
^ Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. стр. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID 220150682.
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55432-9.
^ Флуссер, Ян; Сук, Томас; Зитофа, Барбара (2017). Анализ 2D и 3D изображений по моментам. John & Sons Wiley. стр. 126. ISBN 978-1-119-03935-8.
^ Чанг, Ч.; Патцер, ABC; Зюльцле, Д.; Хауэр, Х. «Неорганические фуллерены, подобные луковицам, с точки зрения полиэдральной физики». В Sattler, Клаус Д. (ред.). Нанонаука 21-го века: Справочник . Тейлор и Фрэнсис. стр. 15-4.
^ Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». The Mathematical Gazette . 74 (469): 243–256. doi :10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.
^ Сибли, Томас К. (2015). Думать геометрически: обзор геометрий. Математическая ассоциация Америки. стр. 53. ISBN 978-1-939512-08-6.
^ Кинг, Роберт Б. (1994). "Полиэдральная динамика". В Бончев, Данаил Д.; Мекенян, О.Г. (ред.). Графовые теоретические подходы к химической реактивности . Springer. doi :10.1007/978-94-011-1202-4. ISBN 978-94-011-1202-4.
^ Армстронг, MA (1988). Группа и симметрия. Бакалаврские тексты по математике. Springer. стр. 39. doi :10.1007/978-1-4757-4034-9. ISBN 978-1-4757-4034-9.
^ abcdef "Форма кристалла, зоны, привычка кристалла". Tulane.edu . Получено 16 сентября 2017 г. .
↑ Spencer 1911, 6. Гексагональная система, ромбоэдрическое деление , дитригонально-бипирамидальный класс, стр. 581 (стр. 603 на Wikisource).
↑ Spencer 1911, 2. Теграгональная система, голосимметричный класс, рис. 46, стр. 577 (стр. 599 на Wikisource).
^ abcde "48 особых форм кристаллов". 18 сентября 2013 г. Архивировано из оригинала 18 сентября 2013 г. Получено 18 ноября 2020 г.
^ Кляйн, Корнелис; Филпоттс, Энтони Р. (2013). Земляные материалы: Введение в минералогию и петрологию. Cambridge University Press. стр. 108. ISBN 978-0-521-14521-3.
↑ Spencer 1911, 6. Гексагональная система, ромбоэдрическое деление , голосимметричный класс, рис. 68, стр. 580 (стр. 602 на Wikisource).
↑ Spencer 1911, стр. 2. Тетрагональная система, класс скаленоэдральных, рис. 51, стр. 577 (стр. 599 на Wikisource).
^ Ранкин, Джон Р. (1988). «Классы многогранников, определяемые реактивной графикой». Компьютеры и графика . 12 (2): 239–254. doi :10.1016/0097-8493(88)90036-2.

Цитируемые работы

Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.Глава 4: Двойственные многогранники Архимеда, призмы и антипризмы
Спенсер, Леонард Джеймс (1911). «Кристаллография» . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Том 07 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 569–591.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Бипирамиды .

Вайсштейн, Эрик В. «Дипирамида». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». MathWorld .
Однородные многогранники
Виртуальная реальность Многогранники Энциклопедия многогранников
- Модели VRML (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
  - Обозначение Конвея для многогранников Попробуйте: «dP n », где n = 3, 4, 5, 6, ... Пример: «dP4» — октаэдр.