В математике множество уникальности — это понятие, относящееся к тригонометрическим разложениям, которые не обязательно являются рядами Фурье . Их изучение — относительно чистая ветвь гармонического анализа .
Подмножество E окружности называется множеством уникальности , или U - множеством , если любое тригонометрическое разложение
который сходится к нулю при тождественно нулю; то есть такой, что
В противном случае E — это множество кратности (иногда называемое M - множеством или множеством Меньшова ). Аналогичные определения применимы на действительной прямой и в более высоких размерностях. В последнем случае необходимо указать порядок суммирования, например, «множество уникальности относительно суммирования по шарам».
Чтобы понять важность определения, важно выйти за рамки мышления Фурье . В анализе Фурье нет вопроса об уникальности, поскольку коэффициенты c ( n ) выводятся путем интегрирования функции. Следовательно, в анализе Фурье порядок действий таков:
В теории уникальности порядок иной:
В действительности, обычно достаточно интересно (как в определении выше), чтобы предположить, что сумма сходится к нулю, и спросить, означает ли это, что все c ( n ) должны быть равны нулю. Как обычно в анализе , самые интересные вопросы возникают, когда обсуждается поточечная сходимость . Отсюда и определение выше, которое возникло, когда стало ясно, что ни сходимость везде , ни сходимость почти везде не дают удовлетворительного ответа.
Пустое множество является множеством уникальности. Это просто означает, что если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду , то он тривиален. Это доказал Риманн , используя тонкую технику двойного формального интегрирования; и показав, что полученная сумма имеет некоторый обобщенный вид второй производной с использованием операторов Теплица . Позже Георг Кантор обобщил методы Римана, чтобы показать, что любое счетное замкнутое множество является множеством уникальности, открытие, которое привело его к разработке теории множеств . Пол Коэн , другой новатор в теории множеств, начал свою карьеру с диссертации о множествах уникальности.
По мере развития теории интегрирования Лебега предполагалось, что любое множество нулевой меры будет множеством единственности — в одном измерении принцип локальности для рядов Фурье показывает, что любое множество положительной меры является множеством множественности (в более высоких измерениях это все еще открытый вопрос). Это было опровергнуто Дмитрием Евгеньевичем Меньшовым , который в 1916 году построил пример множества множественности, имеющего меру нуль.
Перевод и расширение множества уникальности — это множество уникальности. Объединение счетного семейства замкнутых множеств уникальности — это множество уникальности. Существует пример двух множеств уникальности, объединение которых не является множеством уникальности, но множества в этом примере не являются борелевскими . Открытой проблемой является то, является ли объединение любых двух борелевских множеств уникальности множеством уникальности.
Замкнутое множество является множеством уникальности тогда и только тогда, когда существует распределение S, поддерживаемое на множестве (поэтому, в частности, оно должно быть сингулярным), такое, что
( вот коэффициенты Фурье). Во всех ранних примерах множеств уникальности рассматриваемое распределение было на самом деле мерой. Однако в 1954 году Илья Пятецкий-Шапиро построил пример множества уникальности, которое не поддерживает никакую меру с коэффициентами Фурье, стремящимися к нулю. Другими словами, необходимо обобщение распределения.
Первое доказательство того, что множества уникальности имеют сложную структуру, было получено при изучении множеств, подобных Кантору . Рафаэль Салем и Зигмунд показали, что множество, подобное Кантору, с коэффициентом рассечения ξ является множеством уникальности тогда и только тогда, когда 1/ξ является числом Пизо , то есть алгебраическим целым числом со свойством, что все его сопряженные числа (если таковые имеются) меньше 1. Это была первая демонстрация того, что свойство быть множеством уникальности связано с арифметическими свойствами, а не просто с некоторой концепцией размера ( Нина Бари доказала случай рационального числа ξ — множество, подобное Кантору, является множеством уникальности тогда и только тогда, когда 1/ξ является целым числом — несколькими годами ранее).
Начиная с 50-х годов [ необходимо разъяснение ] было проделано много работы по формализации этой сложности. Семейство множеств уникальности, рассматриваемое как множество внутри пространства компактных множеств (см. расстояние Хаусдорфа ), было расположено внутри аналитической иерархии . Решающую роль в этом исследовании играет индекс множества , который является порядковым числом между 1 и ω 1 , впервые определенным Пятецким-Шапиро. В настоящее время исследование множеств уникальности является в такой же степени разделом описательной теории множеств , как и гармонического анализа.
