Кососимметричная матрица

Форма матрицы

В математике , в частности в линейной алгебре , кососимметричная (или антисимметричная или антиметрическая ^[1] ) матрица — это квадратная матрица , транспонирование которой равно ее отрицательному значению. То есть она удовлетворяет условию ^{[2] : стр. 38}

${\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.}$

В терминах элементов матрицы, если обозначает элемент в -й строке и -м столбце, то кососимметричное условие эквивалентно ${\textstyle a_{ij}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle j}$

${\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.}$

Пример

Матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}}$

является кососимметричным, потому что

${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.}$

Характеристики

Везде мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю, характеристика которого не равна 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0 , где 1 обозначает мультипликативную идентичность, а 0 — аддитивную идентичность данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица — это то же самое, что и симметричная матрица . ${\textstyle \mathbb {F} }$

• Сумма двух кососимметричных матриц является кососимметричной.
• Скалярное кратное кососимметричной матрицы является кососимметричной.
• Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, поэтому ее след равен нулю.
• Если — действительная кососимметричная матрица и — действительное собственное значение , то , т.е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы недействительны. ${\textstyle A}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda =0}$
• Если — действительная кососимметричная матрица, то — обратимая , где — единичная матрица. ${\textstyle A}$ ${\textstyle I+A}$ ${\textstyle I}$
• Если — кососимметричная матрица, то — симметричная отрицательно полуопределенная матрица . ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{2}}$

Структура векторного пространства

В результате первых двух свойств, указанных выше, множество всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство . Пространство кососимметричных матриц имеет размерность ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$

Пусть обозначает пространство матриц. Кососимметричная матрица определяется скалярами (числом элементов выше главной диагонали ); симметричная матрица определяется скалярами (числом элементов на главной диагонали или выше). Пусть обозначает пространство кососимметричных матриц, а обозначает пространство симметричных матриц. Если то ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}$$

Обратите внимание, что и Это справедливо для любой квадратной матрицы с элементами из любого поля , характеристика которого отлична от 2. Тогда, поскольку и где обозначает прямую сумму . ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},}$ $${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},}$$ ${\displaystyle \oplus }$

Обозначим через стандартное скалярное произведение на Действительная матрица кососимметрична тогда и только тогда, когда ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\textstyle A}$ $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Это также эквивалентно для всех (одно следствие очевидно, другое — простое следствие для всех и ). ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , кососимметричность — это свойство, зависящее только от линейного оператора и выбора скалярного произведения . ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 3\times 3}$Кососимметричные матрицы можно использовать для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц.

Более того, если — кососимметричная (или косоэрмитова ) матрица, то для всех . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x^{T}Ax=0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$

Определитель

Пусть — кососимметричная матрица. Определитель удовлетворяет условию ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}$

В частности, если нечетно, и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель равен нулю. Следовательно, все нечетные размерности кососимметричных матриц являются сингулярными, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат называется теоремой Якоби , в честь Карла Густава Якоби (Eves, 1980). ${\displaystyle n}$

Случай четных измерений более интересен. Оказывается, что определитель для четных можно записать как квадрат многочлена от элементов , что впервые доказал Кэли: ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}$

Этот многочлен называется пфаффианом и обозначается . Таким образом, определитель действительной кососимметричной матрицы всегда неотрицателен. Однако этот последний факт можно доказать элементарным образом следующим образом: собственные значения действительной кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми (см. ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение с той же кратностью; поэтому, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии со своей кратностью, то отсюда сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$

Число различных членов в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка рассматривалось уже Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за сокращений это число довольно мало по сравнению с числом членов определителя общей матрицы порядка , которое равно . Последовательность (последовательность A002370 в OEIS ) имеет вид ${\displaystyle s(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle s(n)}$

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

и это закодировано в экспоненциальной производящей функции

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

Последнее приводит к асимптотике (для четных) ${\displaystyle n}$

${\displaystyle s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

Число положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего числа, хотя их разность принимает все большие положительные и отрицательные значения по мере увеличения (последовательность A167029 в OEIS ). ${\displaystyle n}$

Перекрестное произведение

Кососимметричные матрицы размером три на три можно использовать для представления перекрестных произведений в виде умножений матриц. Рассмотрим векторы и Затем, определив матрицу ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},}$

перекрестное произведение можно записать как

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .}$

Это можно немедленно проверить, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.

На самом деле есть

${\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}$

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с перекрестным произведением трехвекторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются алгеброй Ли группы вращений, это проясняет связь между трехмерным пространством , перекрестным произведением и трехмерными вращениями. Подробнее о бесконечно малых вращениях можно узнать ниже. ${\textstyle SO(3)}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$

Спектральная теория

Поскольку матрица подобна своей транспонированной матрице, они должны иметь одинаковые собственные значения. Из этого следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда идут парами ±λ (за исключением нечетномерного случая, когда есть дополнительное непарное 0 собственное значение). Из спектральной теоремы для действительной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чисто мнимыми и, таким образом, имеют вид , где каждое из является действительным. ${\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Действительные кососимметричные матрицы являются нормальными матрицами (они коммутируют со своими сопряженными матрицами ) и, таким образом, подчиняются спектральной теореме , которая гласит, что любая действительная кососимметричная матрица может быть диагонализирована унитарной матрицей . Поскольку собственные значения действительной кососимметричной матрицы являются мнимыми, диагонализировать ее действительной матрицей невозможно. Однако можно привести каждую кососимметричную матрицу к блочно-диагональной форме с помощью специального ортогонального преобразования . ^{[4] [5]} В частности, каждая действительная кососимметричная матрица может быть записана в виде , где является ортогональной и ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

для действительного положительно-определенного . Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ±λ _k i . В нечетномерном случае Σ всегда имеет по крайней мере одну строку и столбец нулей. ${\displaystyle \lambda _{k}}$

В более общем случае, любая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в виде , где является унитарным и имеет блочно-диагональную форму, указанную выше, с по-прежнему вещественной положительно-определенной. Это пример разложения Юлы комплексной квадратной матрицы. ^[6] ${\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Кососимметричные и чередующиеся формы

Кососимметричная форма на векторном пространстве над полем произвольной характеристики определяется как билинейная форма ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \varphi :V\times V\mapsto K}$

таким образом, что для всех в ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle V,}$

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Это определяет форму с желаемыми свойствами для векторных пространств над полями характеристики, не равной 2, но в векторном пространстве над полем характеристики 2 определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является своим собственным аддитивным обратным.

Если векторное пространство находится над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2, мы можем определить знакопеременную форму как билинейную форму , такую ​​что для всех векторов в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \varphi (v,v)=0.}$

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

${\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),}$

откуда

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Билинейная форма будет представлена ​​матрицей такой, что , как только выбран базис , и наоборот, матрица на приводит к форме, отправляющей в Для каждой из симметричных, кососимметричных и знакопеременных форм представляющие матрицы являются симметричными, кососимметричными и знакопеременными соответственно. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v^{\textsf {T}}Aw.}$

Бесконечно малые вращения

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к действительной ортогональной группе в единичной матрице; формально, специальную ортогональную алгебру Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения . ${\displaystyle O(n)}$

Другими словами, пространство кососимметричных матриц образует алгебру Ли группы Ли. Скобка Ли на этом пространстве задается коммутатором : ${\displaystyle o(n)}$ ${\displaystyle O(n).}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

Тогда матричная экспонента кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в связной компоненте группы Ли, содержащей единичный элемент. В случае группы Ли эта связная компонента является специальной ортогональной группой, состоящей из всех ортогональных матриц с определителем 1. Поэтому будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что каждая ортогональная матрица с единичным определителем может быть записана как экспонента некоторой кососимметричной матрицы. В особо важном случае размерности экспоненциальное представление для ортогональной матрицы сводится к хорошо известной полярной форме комплексного числа с единичным модулем. Действительно, если специальная ортогональная матрица имеет вид ${\displaystyle O(n),}$ ${\displaystyle SO(n),}$ ${\displaystyle R=\exp(A)}$ ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

с . Поэтому, положив и можно записать ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ ${\displaystyle a=\cos \theta }$ ${\displaystyle b=\sin \theta ,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

что в точности соответствует полярной форме комплексного числа единичного модуля. ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка также может быть получено исходя из того факта, что в размерности любая специальная ортогональная матрица может быть записана как где ортогональна, а S - блочно-диагональная матрица с блоками порядка 2, плюс один порядка 1, если нечетно; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица  S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы приведенного выше вида, так что экспонента кососимметричной матрицы Наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочно-диагонализацией для кососимметричных матриц подразумевает блочно-диагонализацию для ортогональных матриц. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}$ ${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}$ ${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}$

Координатно-свободный

Более внутренне (т. е. без использования координат) кососимметричные линейные преобразования на векторном пространстве со скалярным произведением могут быть определены как бивекторы на пространстве, которые являются суммами простых бивекторов ( 2-лезвий ). Соответствие задается отображением , где — ковектор, дуальный вектору ; в ортонормальных координатах это в точности элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого поворота или «ротора», отсюда и название. ${\displaystyle V}$ ${\textstyle v\wedge w.}$ ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$ ${\textstyle v^{*}}$ ${\textstyle v}$

Кососимметризуемая матрица

Матрица называется кососимметризуемой, если существует обратимая диагональная матрица, такая что является кососимметрической. Для действительных матриц иногда добавляется условие, чтобы иметь положительные элементы. ^[7] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle D}$

Смотрите также

• преобразование Кэли
• Симметричная матрица
• Косоэрмитова матрица
• Симплектическая матрица
• Симметрия в математике

Ссылки

1. Ричард А. Реймент; К. Г. Йорескуг ; Лесли Ф. Маркус (1996). Прикладной факторный анализ в естественных науках . Cambridge University Press. стр. 68. ISBN 0-521-57556-7.
2. Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.
3. Кэли, Артур (1847). «Sur les determinants gauches» [О перекосе определителей]. Журнал Крелля . 38 : 93–96.Перепечатано в Cayley, A. (2009). "Sur les Déterminants Gauches". Сборник математических статей . Том 1. С. 410–413. doi :10.1017/CBO9780511703676.070. ISBN 978-0-511-70367-6.
4. Duplij, S.; Nikitin, A.; Galkin, A.; Sergyeyev, A.; Dayi, OF; Mohapatra, R.; Lipatov, L.; Dunne, G.; Feinberg, J.; Aoyama, H.; Voronov, T. (2004). "Pfaffian". В Duplij, S.; Siegel, W.; Bagger, J. (ред.). Concise Encyclopedia of Supersymmetry . Springer. стр. 298. doi :10.1007/1-4020-4522-0_393.
5. Зумино, Бруно (1962). «Нормальные формы комплексных матриц». Журнал математической физики . 3 (5): 1055–7. Bibcode : 1962JMP.....3.1055Z. doi : 10.1063/1.1724294.
6. Youla, DC (1961). «Нормальная форма матрицы при унитарной группе конгруэнтности». Can. J. Math . 13 : 694–704. doi : 10.4153/CJM-1961-059-8 .
7. Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2001). «Кластерные алгебры I: Основы». arXiv : math/0104151v1 .

Дальнейшее чтение

• Ивс, Говард (1980). Элементарная теория матриц . Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], "Кососимметричная матрица", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Эйткен, А.С. (1944). «О числе различных членов в разложении симметричных и косых определителей». Edinburgh Math. Notes . 34 : 1–5. doi : 10.1017/S0950184300000070 .

Внешние ссылки

• «Антисимметричная матрица». Wolfram Mathworld .
• Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. «HAPACK – Программное обеспечение для (косо)гамильтоновых задач на собственные значения».
• Ward, RC; Gray, LJ (1978). "Алгоритм 530: Алгоритм для вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software . 4 (3): 286. doi : 10.1145/355791.355799 . S2CID  8575785.Фортран Фортран90