В геометрии сферический многогранник или сферическая мозаика — это мозаика сферы , в которой поверхность разделена или разделена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками . Большую часть теории симметричных многогранников удобнее всего построить именно таким способом.
Самый известный сферический многогранник — это футбольный мяч , который рассматривается как сферический усеченный икосаэдр . Следующим по популярности сферическим многогранником является пляжный мяч , называемый осоэдром .
Некоторые «неправильные» многогранники, например осоэдры и двойственные им диэдры , существуют как сферические многогранники , но их плоскогранные аналоги вырождаются . Пример шестиугольного пляжного мяча: {2, 6} — это осоэдр, а {6, 2} — его двойной двугранник.
Первые известные рукотворные многогранники — это сферические многогранники, высеченные в камне . Многие из них были найдены в Шотландии и, судя по всему, относятся к периоду неолита (новый каменный век).
В 10 веке исламский ученый Абу аль-Вафа Бузджани (Абул Вафа) написал первое серьезное исследование сферических многогранников.
Двести лет назад, в начале XIX века, Пуансо с помощью сферических многогранников открыл четыре правильных звездчатых многогранника .
В середине 20 века Коксетер использовал их для перечисления всех однородных многогранников , кроме одного, посредством построения калейдоскопов ( конструкция Витхоффа ).
Все правильные многогранники , полуправильные многогранники и двойственные им многогранники можно спроецировать на сферу в виде мозаики:
Сферические мозаики допускают случаи, которых нет у многогранников, а именно : осоэдры : фигуры как {2,n} и диэдры : фигуры как {n,2}. Обычно используются правильные осоэдры и правильные диэдры.
Сферические многогранники, имеющие хотя бы одну инверсную симметрию , относятся к проективным многогранникам [1] (мозаикам вещественной проективной плоскости ) - так же, как сфера имеет накрывающую карту проективной плоскости 2 к 1 , проективные многогранники соответствуют 2-кратному переходят к сферическим многогранникам, симметричным при отражении через начало координат .
Наиболее известными примерами проективных многогранников являются правильные проективные многогранники, факторы центрально-симметричных платоновых тел , а также два бесконечных класса четных диэдров и осоэдров : [2]
