Алгебраический тор

Специфическая алгебраическая группа

В математике алгебраический тор , где одномерный тор обычно обозначается как , , или , является типом коммутативной аффинной алгебраической группы, обычно встречающейся в проективной алгебраической геометрии и торической геометрии . Алгебраические торы более высокой размерности могут быть смоделированы как произведение алгебраических групп . Эти группы были названы по аналогии с теорией торов в теории групп Ли (см. подгруппа Картана ). Например, над комплексными числами алгебраический тор изоморфен групповой схеме , которая является теоретико-схемным аналогом группы Ли . Фактически, любое -действие на комплексном векторном пространстве может быть выведено обратно к -действию из включения как вещественных многообразий. ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}}$

Торы имеют фундаментальное значение в теории алгебраических групп и групп Ли, а также в изучении геометрических объектов, связанных с ними, таких как симметричные пространства и здания .

Алгебраические торы над полями

В большинстве мест мы предполагаем, что базовое поле является совершенным (например, конечным или характеристикой нуль). Эта гипотеза требуется для гладкой групповой схемы ^{[1] стр. 64} , поскольку для того, чтобы алгебраическая группа была гладкой над характеристикой , отображения должны быть геометрически редуцированы для достаточно больших , то есть образ соответствующего отображения на является гладким для достаточно больших . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle (\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$

В общем случае вместо алгебраических замыканий следует использовать отделимые замыкания.

Мультипликативная группа поля

Если является полем , то мультипликативная группа над является алгебраической группой , такой что для любого расширения поля -точки изоморфны группе . Чтобы определить ее должным образом как алгебраическую группу, можно взять аффинное многообразие, определяемое уравнением в аффинной плоскости над с координатами . Умножение тогда задается ограничением регулярного рационального отображения , определяемого , а обратное является ограничением регулярного рационального отображения . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{\times }}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F^{2}\times F^{2}\to F^{2}}$ ${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

Определение

Пусть — поле с алгебраическим замыканием . Тогда -тор — это алгебраическая группа, определенная над , которая изоморфна конечному произведению копий мультипликативной группы. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$

Другими словами, если является -группой, то она является тором тогда и только тогда, когда для некоторого . Основная терминология, связанная с тором, следующая. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}}$ ${\displaystyle r\geq 1}$

• Целое число называется рангом или абсолютным рангом тора . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$
• Говорят, что тор расщепляется над расширением поля , если . Существует единственное минимальное конечное расширение , над которым расщепляется, которое называется полем расщепления . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} (E)\cong (E^{\times })^{r}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$
• -Ранг — это максимальный ранг расщепляемого подтора . Тор расщепляется тогда и только тогда, когда его -ранг равен его абсолютному рангу. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$
• Тор называется анизотропным, если его -ранг равен нулю. ${\displaystyle F}$

Изогении

Изогения между алгебраическими группами является сюръективным морфизмом с конечным ядром; два тора называются изогенными, если существует изогения из первого во второй. Изогении между торами ведут себя особенно хорошо: для любой изогении существует «двойственная» изогения, такая что — отображение мощности. В частности, изогенность является отношением эквивалентности между торами. ${\displaystyle \phi :\mathbf {T} \to \mathbf {T} '}$ ${\displaystyle \psi :\mathbf {T} '\to \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \psi \circ \phi }$

Примеры

Над алгебраически замкнутым полем

Над любым алгебраически замкнутым полем с точностью до изоморфизма существует единственный тор любого заданного ранга. Для ранга алгебраический тор над этим задается групповой схемой ^{[1] стр. 230} . ${\displaystyle k={\overline {k}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}^{n}={\text{Spec}}_{k}(k[t_{1},t_{1}^{-1},\ldots ,t_{n},t_{n}^{-1}])}$

По сравнению с реальными цифрами

Над полем действительных чисел имеется ровно (с точностью до изоморфизма) два тора ранга 1: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• расщепленный тор ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$
• компактная форма, которая может быть реализована как унитарная группа или как специальная ортогональная группа . Это анизотропный тор. Как группа Ли, она также изоморфна 1- тору , что объясняет картину диагонализируемых алгебраических групп как торов. ${\displaystyle \mathbf {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{1}}$

Любой действительный тор изогенен конечной сумме этих двух; например, действительный тор дважды покрыт (но не изоморфен) . Это дает пример изогенных, неизоморфных торов. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {T} ^{1}}$

Над конечным полем

Над конечным полем имеются два тора ранга 1: расщепляемый, мощности , и анизотропный, мощности . Последний может быть реализован как матричная группа ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle q+1}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}t&du\\u&t\end{pmatrix}}:t,u\in \mathbb {F} _{q},t^{2}-du^{2}=1\right\}\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{q}).}$$

В более общем случае, если — конечное расширение поля степени , то ограничение Вейля с на мультипликативной группы из является -тором ранга и -ранга 1 (обратите внимание, что ограничение скаляров по неотделимому расширению поля даст коммутативную алгебраическую группу, которая не является тором). Ядро его полевой нормы также является тором, который анизотропен и имеет ранг . Любой -тор ранга один либо расщепляется, либо изоморфен ядру нормы квадратичного расширения. ^[2] Два приведенных выше примера являются частными случаями этого: компактный вещественный тор является ядром полевой нормы , а анизотропный тор над является ядром полевой нормы . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N_{E/F}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}}$

Веса и совесы

Над сепарабельно замкнутым полем тор T допускает два первичных инварианта. Решетка весов — это группа алгебраических гомоморфизмов T  →  G _m , а решетка ковесов — это группа алгебраических гомоморфизмов  G _m  →  T . Обе они являются свободными абелевыми группами, ранг которых равен рангу тора, и у них есть каноническое невырожденное спаривание, заданное формулой , где степень — это число n такое, что композиция равна отображению n-й степени на мультипликативной группе. Функтор, заданный взятием весов, является антиэквивалентностью категорий между торами и свободными абелевыми группами, а функтор ковесов является эквивалентностью. В частности, отображения торов характеризуются линейными преобразованиями весов или ковесов, а группа автоморфизмов тора является общей линейной группой над  Z . Квазиобратный функтор весов задается функтором дуализации из свободных абелевых групп в торы, определяемым его функтором точек как: ${\displaystyle X^{\bullet }(T)}$ ${\displaystyle X_{\bullet }(T)}$ ${\displaystyle X^{\bullet }(T)\times X_{\bullet }(T)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (f,g)\mapsto \deg(f\circ g)}$

${\displaystyle D(M)_{S}(X):=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {G} _{m,S}(X)).}$

Эту эквивалентность можно обобщить для распространения между группами мультипликативного типа (выдающийся класс формальных групп ) и произвольными абелевыми группами, и такое обобщение может быть удобным, если требуется работать в хорошо организованной категории, поскольку категория торов не имеет ядер или отфильтрованных копределов.

Когда поле K не является сепарабельно замкнутым, решетки весов и ковесов тора над K определяются как соответствующие решетки над сепарабельным замыканием. Это индуцирует канонические непрерывные действия абсолютной группы Галуа поля K на решетках. Веса и ковесы, которые фиксируются этим действием, являются в точности отображениями, которые определены над  K . Функтор взятия весов является антиэквивалентностью между категорией торов над K с алгебраическими гомоморфизмами и категорией конечно порожденных абелевых групп без кручения с действием абсолютной группы Галуа поля K .

При наличии конечного сепарабельного расширения поля L / K и тора T над L мы имеем изоморфизм модулей Галуа

${\displaystyle X^{\bullet }(\mathrm {Res} _{L/K}T)\cong \mathrm {Ind} _{G_{L}}^{G_{K}}X^{\bullet }(T).}$

Если T — мультипликативная группа, то это дает ограничению скаляров структуру модуля перестановки. Торы, весовые решетки которых являются модулями перестановки для группы Галуа, называются квазирасщепляемыми, и все квазирасщепляемые торы являются конечными произведениями ограничений скаляров.

Торы в полупростых группах

Линейные представления торов

Как видно из приведенных выше примеров, торы могут быть представлены как линейные группы. Альтернативное определение для торов:

Линейная алгебраическая группа является тором тогда и только тогда, когда она диагонализируема над алгебраическим замыканием.

Тор расщепляется над полем тогда и только тогда, когда он диагонализуем над этим полем.

Разделение ранга полупростой группы

Если — полупростая алгебраическая группа над полем, то: ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$

• ее ранг (или абсолютный ранг ) — это ранг максимальной подгруппы тора в (обратите внимание, что все максимальные торы сопряжены над , поэтому ранг определен корректно); ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$
• его -ранг (иногда называемый -рангом разделения ) — это максимальный ранг подгруппы тора, в которой разделяется по . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Очевидно, что ранг больше или равен -рангу ; группа называется расщепляемой тогда и только тогда, когда имеет место равенство (то есть существует максимальный тор, в котором расщепляется по ). Группа называется анизотропной, если она не содержит расщепляемых торов (то есть ее -ранг равен нулю). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Классификация полупростых групп

В классической теории полупростых алгебр Ли над комплексным полем подалгебры Картана играют фундаментальную роль в классификации с помощью корневых систем и диаграмм Дынкина . Эта классификация эквивалентна классификации связных алгебраических групп над комплексным полем, а подалгебры Картана соответствуют максимальным торам в них. Фактически классификация переносится на случай произвольного базового поля при предположении, что существует расщепляемый максимальный тор (что автоматически выполняется над алгебраически замкнутым полем). Без предположения о расщепляемости все становится намного сложнее, и должна быть разработана более подробная теория, которая по-прежнему частично основана на изучении присоединенных действий торов.

Если — максимальный тор в полупростой алгебраической группе , то над алгебраическим замыканием он порождает корневую систему в векторном пространстве . С другой стороны, если — максимальный -расщепляемый тор, его действие на -алгебре Ли порождает другую корневую систему . Отображение ограничений индуцирует отображение , а индекс Титса — это способ кодирования свойств этого отображения и действия группы Галуа на . Индекс Титса — это «относительная» версия «абсолютной» диаграммы Дынкина, связанной с ; очевидно, что только конечное число индексов Титса может соответствовать данной диаграмме Дынкина. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle V=X^{*}(\mathbf {T} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} \subset \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {}_{F}\Phi }$ ${\displaystyle X^{*}(\mathbf {T} )\to X^{*}(_{F}\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \Phi \to {}_{F}\Phi \cup \{0\}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}/F}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Другим инвариантом, связанным с расщепленным тором, является анизотропное ядро ​​: это полупростая алгебраическая группа, полученная как производная подгруппа централизатора в (последняя является только редуктивной группой). Как следует из ее названия, это анизотропная группа, и ее абсолютный тип однозначно определяется . ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {}_{F}\Phi }$

Первым шагом к классификации является следующая теорема ^[3]

Две полупростые -алгебраические группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые индексы Титса и изоморфные анизотропные ядра. ${\displaystyle F}$

Это сводит задачу классификации к анизотропным группам и к определению того, какие индексы Титса могут встречаться для данной диаграммы Дынкина. Последняя задача была решена в работе Титса (1966). Первая связана с группами когомологий Галуа . Точнее, каждому индексу Титса соответствует уникальная квазирасщепляемая группа над ; тогда каждая -группа с тем же индексом является внутренней формой этой квазирасщепляемой группы, и они классифицируются когомологиями Галуа с коэффициентами в присоединенной группе. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Торы и геометрия

Плоские подпространства и ранг симметричных пространств

Если — полупростая группа Ли, то ее действительный ранг равен -рангу, определенному выше (для любой -алгебраической группы, группа действительных точек которой изоморфна ), другими словами, максимальному такому, что существует вложение . Например, действительный ранг равен , а действительный ранг равен . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times })^{r}\to G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \min(p,q)}$

Если — симметричное пространство, ассоциированное с и — максимальный расщепляемый тор, то существует единственная орбита в , в которой — полностью геодезическое плоское подпространство в . Это на самом деле максимальное плоское подпространство и все максимальные такие получаются как орбиты расщепляемых торов таким образом. Таким образом, существует геометрическое определение действительного ранга как максимальной размерности плоского подпространства в . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T\subset G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Q-ранг решеток

Если группа Ли получается как вещественные точки алгебраической группы над рациональным полем , то -ранг также имеет геометрическое значение. Чтобы получить его, нужно ввести арифметическую группу , связанную с , которая грубо является группой целых точек , и факторпространство , которое является римановым орбифолдом и, следовательно, метрическим пространством. Тогда любой асимптотический конус гомеоморфен конечному симплициальному комплексу с симплексами верхней размерности, равными -рангу . В частности, является компактным тогда и только тогда, когда является анизотропным. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle M=\Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Отметим, что это позволяет определить -ранг любой решетки в полупростой группе Ли как размерность ее асимптотического конуса. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Здания

Если — полупростая группа над максимальными расщепляемыми торами в , соответствующими квартирам здания Брюа-Титса, ассоциированного с . В частности, размерность равна -рангу . ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Алгебраические торы над произвольной базовой схемой

Определение

При наличии базовой схемы S алгебраический тор над S определяется как групповая схема над S , которая локально изоморфна конечному произведению копий мультипликативной групповой схемы G _m / S над S . Другими словами, существует точно плоское отображение X  →  S такое, что любая точка в X имеет квазикомпактную открытую окрестность U , образ которой является открытой аффинной подсхемой S , такой, что замена базы на U дает конечное произведение копий GL _{1 , U} = G _m / U . ^{[ необходимо разъяснение ]} Один особенно важный случай — когда S является спектром поля K , что делает тор над S алгебраической группой, расширение которой до некоторого конечного сепарабельного расширения L является конечным произведением копий G _m / L . В общем случае кратность этого произведения (т. е. размерность схемы) называется рангом тора и является локально постоянной функцией на S .

Большинство понятий, определенных для торов над полями, переносятся и на эту более общую ситуацию.

Примеры

Одним из распространенных примеров алгебраического тора является рассмотрение аффинного конуса проективной схемы . Затем, при удалении начала координат, индуцированное отображение проекции дает структуру алгебраического тора над . ${\displaystyle {\text{Aff}}(X)\subset \mathbb {A} ^{n+1}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ $${\displaystyle \pi :({\text{Aff}}(X)-\{0\})\to X}$$ ${\displaystyle X}$

Веса

Для общей базовой схемы S веса и ковесы определяются как fpqc-пучки свободных абелевых групп на S. Они обеспечивают представления фундаментальных группоидов базы относительно fpqc-топологии. Если тор локально тривиализуем относительно более слабой топологии, такой как этальная топология, то пучки групп спускаются к тем же топологиям, и эти представления факторизуются соответствующими факторгруппоидами. В частности, этальный пучок порождает квазиизотривиальный тор, а если S локально нётеров и нормален (в более общем случае, геометрически неразветвлен ), тор изотривиален. В качестве частичного обратного утверждения теорема Гротендика утверждает, что любой тор конечного типа квазиизотривиален, т. е. расщепляется этальной сюръекцией.

Для данного тора T ранга n над S скрученная форма — это тор над S , для которого существует fpqc-покрытие S, для которого их базовые расширения изоморфны, т. е. это тор того же ранга. Классы изоморфизма скрученных форм расщепляемого тора параметризуются неабелевыми плоскими когомологиями , где группа коэффициентов образует постоянный пучок. В частности, скрученные формы расщепляемого тора T над полем K параметризуются элементами когомологии Галуа, точечного множества с тривиальным действием Галуа на коэффициенты. В одномерном случае коэффициенты образуют группу порядка два, и классы изоморфизма скрученных форм G _m находятся в естественной биекции с отделимыми квадратичными расширениями  K . ${\displaystyle H^{1}(S,GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$ ${\displaystyle H^{1}(G_{K},GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$

Поскольку взятие весовой решетки является эквивалентностью категорий, короткие точные последовательности торов соответствуют коротким точным последовательностям соответствующих весовых решеток. В частности, расширения торов классифицируются пучками Ext ^1. Они естественным образом изоморфны плоским группам когомологий . Над полем расширения параметризуются элементами соответствующей группы когомологий Галуа. ${\displaystyle H^{1}(S,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(X^{\bullet }(T_{1}),X^{\bullet }(T_{2})))}$

Арифметические инварианты

В своей работе о числах Тамагавы Т. Оно ввел тип функториальных инвариантов торов над конечными сепарабельными расширениями выбранного поля k . Такой инвариант представляет собой набор положительных вещественных функций f _K на классах изоморфизма торов над K , поскольку K пробегает конечные сепарабельные расширения k , удовлетворяя трем свойствам:

1. Мультипликативность: даны два тора T ₁ и T ₂ над K , f _K ( T ₁ × T ₂ ) = f _K ( T ₁ ) f _K ( T ₂ )
2. Ограничение: Для конечного отделимого расширения L / K функция f _L , вычисленная на торе L , равна функции f _{K ,} вычисленной на его ограничении скаляров до K .
3. Проективная тривиальность: если T — тор над K , решетка весов которого является проективным модулем Галуа, то f _K ( T ) = 1.

Т. Оно показал, что число Тамагавы тора над числовым полем является таким инвариантом. Более того, он показал, что оно является частным двух когомологических инвариантов, а именно порядка группы (иногда ошибочно называемой группой Пикара T , хотя она не классифицирует торсоры G m над T ₎ и порядка группы Тейта–Шафаревича . ${\displaystyle H^{1}(G_{k},X^{\bullet }(T))\cong Ext^{1}(T,\mathbb {G} _{m})}$

Понятие инварианта, данное выше, естественным образом обобщается на торы над произвольными базовыми схемами, с функциями, принимающими значения в более общих кольцах. В то время как порядок группы расширения является общим инвариантом, два других инварианта выше, похоже, не имеют интересных аналогов за пределами области полей дробей одномерных областей и их пополнений.

Смотрите также

• Математический портал

• Торическая геометрия
• Тор
• Криптография на основе тора
• алгебра Хопфа

Примечания

1. Milne. "Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-03-07.
2. Воскресенский, ВС (1998). Алгебраические группы и их бирациональные инварианты . Переводы математических монографий. American Math. Soc.
3. Титс 1966, Теорема 2.7.1.
4. Витте-Моррис 2015, стр. 22.
5. Витте-Моррис 2015, стр. 25.

Ссылки

• А. Гротендик, SGA 3 Эксп. VIII–X
• Т. Оно, О числах Тамагавы
• Т. Оно, О числе Тамагавы алгебраических торов, Анналы математики, 78 (1), 1963.
• Титс, Жак (1966). «Классификация алгебраических полупростых групп». В Борель, Арман; Мостов, Джордж Д. (ред.). Алгебраические группы и разрывные группы . Труды симпозиумов по чистой математике. Том 9. Американское мат. общество. стр. 33–62.
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы. Deductive Press. стр. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2.