закон Гука

Физический закон: сила, необходимая для деформации пружины, линейно зависит от расстояния.

Закон Гука: сила пропорциональна удлинению

Трубки Бурдона основаны на законе Гука. Сила, создаваемая давлением газа внутри спиральной металлической трубки, расположенной выше, раскручивает ее на величину, пропорциональную давлению.

Балансировочное колесо, лежащее в основе многих механических часов, зависит от закона Гука. Поскольку крутящий момент, создаваемый спиральной пружиной, пропорционален углу поворота колеса, его колебания имеют почти постоянный период.

В физике закон Гука — это эмпирический закон , который гласит, что сила ( F ) , необходимая для растяжения или сжатия пружины на некоторое расстояние ( x ), линейно масштабируется относительно этого расстояния, то есть F _s = kx , где k — постоянный фактор, характерный для пружины (т. е. ее жесткость ), а x мало по сравнению с полной возможной деформацией пружины. Закон назван в честь британского физика 17-го века Роберта Гука . Он впервые сформулировал закон в 1676 году в виде латинской анаграммы . ^{[1] [2]} Он опубликовал решение своей анаграммы в 1678 году ^[3] как: ut tensio, sic vis («как растяжение, так и сила» или «растяжение пропорционально силе»). Гук утверждает в работе 1678 года, что он знал об этом законе с 1660 года.

Уравнение Гука справедливо (в некоторой степени) во многих других ситуациях, когда упругое тело деформируется , например, когда ветер дует на высокое здание, или когда музыкант дергает струну гитары . Упругое тело или материал, для которого можно предположить это уравнение, называется линейно-упругим или гуковским .

Закон Гука — это всего лишь линейное приближение первого порядка к реальному отклику пружин и других упругих тел на приложенные силы. Он должен в конечном итоге перестать работать, как только силы превысят некоторый предел, поскольку ни один материал не может быть сжат сверх определенного минимального размера или растянут сверх максимального размера без некоторой постоянной деформации или изменения состояния. Многие материалы будут заметно отклоняться от закона Гука задолго до того, как будут достигнуты эти пределы упругости .

С другой стороны, закон Гука является точным приближением для большинства твердых тел, пока силы и деформации достаточно малы. По этой причине закон Гука широко используется во всех отраслях науки и техники и является основой многих дисциплин, таких как сейсмология , молекулярная механика и акустика . Он также является фундаментальным принципом, лежащим в основе пружинных весов , манометра , гальванометра и балансира механических часов .

Современная теория упругости обобщает закон Гука, утверждая, что напряжение (деформация) упругого объекта или материала пропорционально приложенному к нему напряжению . Однако, поскольку общие напряжения и деформации могут иметь несколько независимых компонентов, «коэффициент пропорциональности» может больше не быть просто одним действительным числом, а скорее линейным отображением ( тензором ), которое может быть представлено матрицей действительных чисел.

В этой общей форме закон Гука позволяет вывести соотношение между деформацией и напряжением для сложных объектов с точки зрения внутренних свойств материалов, из которых они сделаны. Например, можно вывести, что однородный стержень с равномерным поперечным сечением будет вести себя как простая пружина при растяжении, с жесткостью k, прямо пропорциональной площади его поперечного сечения и обратно пропорциональной его длине.

Формальное определение

Линейные пружины

Растяжение и сжатие пружины

Рассмотрим простую винтовую пружину, один конец которой прикреплен к некоторому фиксированному объекту, в то время как свободный конец тянется силой, величина которой равна F _s . Предположим, что пружина достигла состояния равновесия , в котором ее длина больше не меняется. Пусть x будет величиной, на которую свободный конец пружины был смещен из своего «расслабленного» положения (когда он не растягивается). Закон Гука гласит, что F s = k x {\displaystyle F_{s}=kx} или, что то же самое, где k — положительное действительное число, характерное для пружины. Пружина с промежутками между витками может быть сжата, и та же формула справедлива для сжатия, причем F _s и x в этом случае отрицательны. ^[4] $${\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}$$

Графическое выведение

Согласно этой формуле график приложенной силы F _s как функции смещения x будет представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат , наклон которой равен k .

Закон Гука для пружины также формулируется в соответствии с соглашением, что F _s — это восстанавливающая сила, оказываемая пружиной на то, что тянет ее свободный конец. В этом случае уравнение становится таким, поскольку направление восстанавливающей силы противоположно направлению смещения. $${\displaystyle F_{s}=-kx}$$

Пружины кручения

Торсионный аналог закона Гука применим к торсионным пружинам . Он гласит, что крутящий момент (τ), необходимый для вращения объекта, прямо пропорционален угловому смещению (θ) от положения равновесия. Он описывает связь между крутящим моментом, приложенным к объекту, и результирующей угловой деформацией из -за кручения. Математически это можно выразить как:

${\displaystyle \tau =-k\theta }$

Где:

• τ — крутящий момент , измеряемый в Ньютон-метрах или Н·м.
• k — крутильная постоянная (измеряется в Н·м/радиан), характеризующая жесткость торсионной пружины или сопротивление угловому смещению.
• θ — угловое смещение (измеряется в радианах) от положения равновесия.

Как и в линейном случае, этот закон показывает, что крутящий момент пропорционален угловому смещению, а отрицательный знак указывает на то, что крутящий момент действует в направлении, противоположном угловому смещению, обеспечивая возвращающую силу для возвращения системы в состояние равновесия.

Общие "скалярные" пружины

Закон упругости Гука обычно применим к любому упругому объекту произвольной сложности, если и деформация, и напряжение могут быть выражены одним числом, которое может быть как положительным, так и отрицательным.

Например, когда блок резины, прикрепленный к двум параллельным пластинам, деформируется сдвигом , а не растяжением или сжатием, сдвигающая сила Fs и боковое смещение пластин _x подчиняются закону Гука (для достаточно малых деформаций).

Закон Гука также применим, когда прямой стальной стержень или бетонная балка (например, те, что используются в зданиях), поддерживаемые с обоих концов, изгибаются под действием веса F, помещенного в некоторой промежуточной точке. Смещение x в этом случае представляет собой отклонение балки, измеренное в поперечном направлении, относительно ее ненагруженной формы.

Векторная формулировка

В случае спиральной пружины, которая растягивается или сжимается вдоль своей оси , приложенная (или восстанавливающая) сила и результирующее удлинение или сжатие имеют одно и то же направление (которое является направлением указанной оси). Поэтому, если F _s и x определены как векторы , уравнение Гука по-прежнему справедливо и гласит, что вектор силы является вектором удлинения, умноженным на фиксированный скаляр .

Общая тензорная форма

Некоторые упругие тела будут деформироваться в одном направлении, если подвергнуть их воздействию силы с другим направлением. Одним из примеров является горизонтальная деревянная балка с неквадратным прямоугольным поперечным сечением, которая изгибается поперечной нагрузкой, которая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. В таких случаях величина смещения x будет пропорциональна величине силы F _s , пока направление последней остается тем же (и ее значение не слишком велико); поэтому скалярная версия закона Гука F _s = − kx будет верна. Однако векторы силы и смещения не будут скалярными кратными друг другу, поскольку они имеют разные направления. Более того, отношение k между их величинами будет зависеть от направления вектора F _s .

Тем не менее, в таких случаях часто существует фиксированная линейная связь между векторами силы и деформации, пока они достаточно малы. А именно, существует функция κ от векторов к векторам, такая, что F = κ ( X ) , и κ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ ) для любых действительных чисел α , β и любых векторов смещения X ₁ , X ₂ . Такая функция называется тензором (второго порядка) .

Относительно произвольной декартовой системы координат векторы силы и смещения могут быть представлены матрицами действительных чисел размером 3 × 1. Тогда тензор κ, соединяющий их, может быть представлен матрицей действительных коэффициентов размером 3 × 3 κ , которая при умножении на вектор смещения дает вектор силы: То есть для i = 1, 2, 3. Поэтому можно сказать, что закон Гука F = κ X выполняется также и тогда, когда X и F являются векторами с переменными направлениями, за исключением того, что жесткость объекта является тензором κ , а не одним действительным числом k . $${\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }$$ $${\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}$$

Закон Гука для сплошных сред

(a) Схема полимерной нанопружины. Радиус катушки, R, шаг, P, длина пружины, L, и количество витков, N, составляют 2,5 мкм, 2,0 мкм, 13 мкм и 4 соответственно. Электронные микрофотографии нанопружины до нагрузки (be), растянутой (f), сжатой (g), согнутой (h) и восстановленной (i). Все масштабные линейки составляют 2 мкм. Пружина следовала линейной реакции на приложенную силу, демонстрируя справедливость закона Гука в наномасштабе. ^[5]

Напряжения и деформации материала внутри сплошного упругого материала (такого как блок резины, стенка котла или стальной стержень) связаны линейной зависимостью, которая математически аналогична закону упругости Гука и часто называется этим именем.

Однако состояние деформации в твердой среде вокруг некоторой точки не может быть описано одним вектором. Один и тот же кусок материала, каким бы малым он ни был, может быть сжат, растянут и сдвинут одновременно в разных направлениях. Аналогично, напряжения в этом куске могут быть одновременно толкающими, тянущими и сдвигающими.

Чтобы охватить эту сложность, соответствующее состояние среды вокруг точки должно быть представлено двумя тензорами второго порядка, тензором деформации ε (вместо смещения X ) и тензором напряжения σ (заменяющим восстанавливающую силу F ). Аналог закона пружины Гука для сплошных сред тогда имеет вид где c — тензор четвертого порядка (то есть линейное отображение между тензорами второго порядка), обычно называемое тензором жесткости или тензором упругости . Его также можно записать как где тензор s , называемый тензором податливости , представляет собой обратное указанному линейному отображению. $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}$$

В декартовой системе координат тензоры напряжений и деформаций могут быть представлены матрицами 3 × 3. Будучи линейным отображением между девятью числами σ _ij и девятью числами ε _kl , тензор жесткости c представлен матрицей 3 × 3 × 3 × 3 = 81 действительных чисел c _ijkl . Закон Гука тогда гласит, что где i , j = 1,2,3 . $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$$

Все три тензора, как правило, изменяются от точки к точке внутри среды и могут также меняться со временем. Тензор деформации ε просто определяет смещение частиц среды в окрестности точки, в то время как тензор напряжения σ определяет силы, которые соседние участки среды оказывают друг на друга. Поэтому они не зависят от состава и физического состояния материала. Тензор жесткости c , с другой стороны, является свойством материала и часто зависит от переменных физического состояния, таких как температура, давление и микроструктура .

Из-за присущих симметрий σ , ε и c только 21 упругий коэффициент последнего являются независимыми. ^[6] Это число может быть дополнительно уменьшено с помощью симметрии материала: 9 для орторомбического кристалла, 5 для гексагональной структуры и 3 для кубической симметрии. ^[7] Для изотропных сред (которые имеют одинаковые физические свойства в любом направлении) c может быть уменьшен только до двух независимых чисел, объемного модуля K и модуля сдвига G , которые количественно определяют сопротивление материала изменениям объема и сдвиговым деформациям соответственно.

Аналогичные законы

Поскольку закон Гука представляет собой простую пропорциональность между двумя величинами, его формулы и следствия математически аналогичны формулам и следствиям многих других физических законов, например, описывающих движение жидкостей или поляризацию диэлектрика электрическим полем .

В частности, тензорное уравнение σ = cε, связывающее упругие напряжения с деформациями, полностью аналогично уравнению τ = με̇, связывающему тензор вязких напряжений τ и тензор скорости деформации ε̇ в потоках вязких жидкостей; хотя первое относится к статическим напряжениям (связанным с величиной деформации), а второе — к динамическим напряжениям (связанным со скоростью деформации).

Единицы измерения

В единицах СИ смещения измеряются в метрах (м), а силы в ньютонах (Н или кг·м/с ² ). Таким образом, жесткость пружины k и каждый элемент тензора κ измеряются в ньютонах на метр (Н/м) или килограммах на секунду в квадрате (кг/с ² ).

Для сплошных сред каждый элемент тензора напряжений σ представляет собой силу, деленную на площадь; поэтому он измеряется в единицах давления, а именно паскалях (Па, или Н/м ² , или кг/(м·с ² ). Элементы тензора деформаций ε безразмерны (перемещения , деленные на расстояния). Поэтому записи c _ijkl также выражаются в единицах давления.

Общее применение для эластичных материалов

Кривая зависимости деформации от напряжения для низкоуглеродистой стали, показывающая соотношение между напряжением (силой на единицу площади) и деформацией (результирующим сжатием/растяжением, известным как деформация). Закон Гука действителен только для части кривой между началом координат и пределом текучести (2).

1. Предельная сила
2. Предел текучести (предел текучести)
3. Разрыв
4. Область деформационного упрочнения
5. Шейная область

1. Кажущееся напряжение ( F / A0 ₎
2. Фактическое напряжение ( F / A )

Объекты, которые быстро восстанавливают свою первоначальную форму после деформации под действием силы, при этом молекулы или атомы их материала возвращаются в исходное состояние устойчивого равновесия, часто подчиняются закону Гука.

Закон Гука справедлив только для некоторых материалов при определенных условиях нагрузки. Сталь проявляет линейно-упругое поведение в большинстве инженерных приложений; закон Гука справедлив для нее во всем ее упругом диапазоне (т. е. для напряжений ниже предела текучести ). Для некоторых других материалов, таких как алюминий, закон Гука справедлив только для части упругого диапазона. Для этих материалов определено пропорциональное предельное напряжение, ниже которого ошибки, связанные с линейным приближением, пренебрежимо малы.

Резина обычно считается «негуковским» материалом, поскольку ее эластичность зависит от напряжения и чувствительна к температуре и скорости нагрузки.

Обобщения закона Гука на случай больших деформаций дают модели неогуковых тел и тел Муни–Ривлина .

Выведенные формулы

Растягивающее напряжение однородного стержня

Стержень из любого упругого материала можно рассматривать как линейную пружину . Стержень имеет длину L и площадь поперечного сечения A. Его растягивающее напряжение σ линейно пропорционально его относительному удлинению или деформации ε по модулю упругости E : $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}$$

Модуль упругости часто можно считать постоянным. В свою очередь, (то есть дробное изменение длины), и поскольку следует, что: $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}$$ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}$$

Изменение длины можно выразить как $${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}$$

Весенняя энергия

Потенциальная энергия U _el ( x ), хранящаяся в пружине, определяется как которая получается путем сложения энергии, необходимой для постепенного сжатия пружины. То есть интеграла силы по смещению. Поскольку внешняя сила имеет то же общее направление, что и смещение, потенциальная энергия пружины всегда неотрицательна. Подстановка дает $${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$$ ${\displaystyle x=F/k}$ $${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}$$

Этот потенциал U _el можно визуализировать как параболу на плоскости Ux, такую, что U _el ( x ) = ⁠1/2⁠ kx ² . При растяжении пружины в положительном направлении x потенциальная энергия увеличивается параболически (то же самое происходит при сжатии пружины). Поскольку изменение потенциальной энергии изменяется с постоянной скоростью: Обратите внимание, что изменение изменения U постоянно, даже когда смещение и ускорение равны нулю. $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}$$

Релаксированные силовые константы (обобщенные константы податливости)

Релаксированные силовые константы (обратные обобщенным константам податливости ) однозначно определены для молекулярных систем, в отличие от обычных «жестких» силовых констант, и, таким образом, их использование позволяет устанавливать значимые корреляции между силовыми полями, рассчитанными для реагентов , переходных состояний и продуктов химической реакции . Так же, как потенциальная энергия может быть записана в виде квадратичной формы во внутренних координатах, ее также можно записать в терминах обобщенных сил. Полученные коэффициенты называются константами податливости . Существует прямой метод расчета константы податливости для любой внутренней координаты молекулы без необходимости проведения анализа нормального режима. ^[8] Пригодность расслабленных силовых констант (обратных констант податливости) в качестве дескрипторов прочности ковалентных связей была продемонстрирована еще в 1980 году. Недавно была продемонстрирована также пригодность в качестве дескрипторов прочности нековалентных связей. ^[9]

Гармонический осциллятор

Масса, подвешенная на пружине, является классическим примером гармонического осциллятора.

Масса m, прикрепленная к концу пружины, является классическим примером гармонического осциллятора . Если слегка потянуть за массу и затем отпустить ее, система будет приведена в синусоидальное колебательное движение около положения равновесия. В той степени, в которой пружина подчиняется закону Гука, и можно пренебречь трением и массой пружины, амплитуда колебания останется постоянной; а ее частота f будет независима от ее амплитуды, определяемой только массой и жесткостью пружины: Это явление сделало возможным создание точных механических часов , которые можно было носить на кораблях и в карманах людей. $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

Вращение в пространстве без гравитации

Если бы масса m была прикреплена к пружине с силой постоянной k и вращалась в свободном пространстве, то натяжение пружины ( F _t ) обеспечивало бы требуемую центростремительную силу ( F _c ): Поскольку F _t = F _c и x = r , то: Учитывая, что ω = 2π f , это приводит к тому же уравнению частоты, что и выше: $${\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$$ $${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$$ $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

Линейная теория упругости для сплошных сред

Изотропные материалы

Изотропные материалы характеризуются свойствами, которые не зависят от направления в пространстве. Физические уравнения, включающие изотропные материалы, должны, следовательно, быть независимыми от системы координат, выбранной для их представления. Тензор деформации является симметричным тензором. Поскольку след любого тензора не зависит от любой системы координат, наиболее полное разложение симметричного тензора без учета координат состоит в его представлении в виде суммы постоянного тензора и бесследового симметричного тензора. ^[10] Таким образом, в индексной записи : где δ _ij — дельта Кронекера . В прямой тензорной записи: где I — тензор тождественности второго порядка. $${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

Первый член справа — постоянный тензор, также известный как тензор объемной деформации , а второй член — бесследовый симметричный тензор, также известный как тензор девиаторной деформации или тензор сдвига.

Наиболее общую форму закона Гука для изотропных материалов теперь можно записать в виде линейной комбинации этих двух тензоров: где K — модуль объемной упругости , а G — модуль сдвига . $${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

Используя соотношения между упругими модулями , эти уравнения могут быть выражены и другими способами. Распространенная форма закона Гука для изотропных материалов, выраженная в прямой тензорной записи, есть ^[11], где λ = K − ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}$2/3⁠ G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂ и μ = G = c ₁₂₁₂ — константы Ламе , I — тензор идентичности второго ранга, а I — симметричная часть тензора идентичности четвертого ранга. В индексной записи: Обратное соотношение равно ^[12] Следовательно, тензор податливости в соотношении ε = s  : σ равен В терминах модуля Юнга и коэффициента Пуассона закон Гука для изотропных материалов может быть выражен как Это форма, в которой деформация выражается через тензор напряжений в машиностроении. Выражение в развернутом виде равно где E — модуль Юнга , а ν — коэффициент Пуассона . (См. 3-D эластичность ). $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$ $${\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$

Вывод закона Гука в трех измерениях

Трехмерную форму закона Гука можно вывести с помощью коэффициента Пуассона и одномерной формы закона Гука следующим образом. Рассмотрим соотношение деформации и напряжения как суперпозицию двух эффектов: растяжения в направлении нагрузки (1) и сжатия (вызванного нагрузкой) в перпендикулярных направлениях (2 и 3), где ν — коэффициент Пуассона, а E — модуль Юнга. $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}}$$

Аналогичные уравнения мы получаем для нагрузок в направлениях 2 и 3, и $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}}$$

Суммируя три случая вместе ( ε _i = ε _i ′ + ε _i ″ + ε _i ‴ ), мы получаем или путем прибавления и вычитания одного νσ и далее, решая σ _{1 ,} получаем $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.}$$

Вычислив сумму и подставив ее в уравнение, решенное относительно σ _{1 ,} получим , где μ и λ — параметры Ламе . $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}}$$

Аналогичная обработка направлений 2 и 3 дает закон Гука в трех измерениях.

В матричной форме закон Гука для изотропных материалов можно записать как где γ _ij = 2 ε _ij — инженерная деформация сдвига . Обратное соотношение можно записать как что можно упростить благодаря константам Ламе: В векторной записи это становится где I — единичный тензор. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}$$

Плоскостное напряжение

В условиях плоского напряженного состояния σ ₃₁ = σ ₁₃ = σ ₃₂ = σ ₂₃ = σ ₃₃ = 0. В этом случае закон Гука принимает вид $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

В векторной записи это становится $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}$$

Обратное отношение обычно записывается в сокращенной форме $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$

Плоская деформация

В условиях плоской деформации ε ₃₁ = ε ₁₃ = ε ₃₂ = ε ₂₃ = ε ₃₃ = 0. В этом случае закон Гука принимает вид $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

Анизотропные материалы

Симметрия тензора напряжений Коши ( σ _ij = σ _ji ) и обобщенных законов Гука ( σ _ij = c _ijkl ε _kl ) подразумевает, что c _ijkl = c _jikl . Аналогично, симметрия тензора бесконечно малых деформаций подразумевает, что c _ijkl = c _ijlk . Эти симметрии называются малыми симметриями тензора жесткости c . Это уменьшает число упругих констант с 81 до 36.

Если в дополнение, поскольку градиент смещения и напряжение Коши сопряжены по работе, соотношение напряжение-деформация может быть выведено из функционала плотности энергии деформации ( U ), то Произвольность порядка дифференциации подразумевает, что c _ijkl = c _klij . Они называются главными симметриями тензора жесткости. Это уменьшает число упругих констант с 36 до 21. Главная и второстепенная симметрии указывают, что тензор жесткости имеет только 21 независимую компоненту. $${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}$$

Матричное представление (тензор жесткости)

Часто бывает полезно выразить анизотропную форму закона Гука в матричной записи, также называемой записью Фойгта . Для этого мы воспользуемся симметрией тензоров напряжений и деформаций и выразим их как шестимерные векторы в ортонормированной системе координат ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) как Тогда тензор жесткости ( c ) можно выразить как и закон Гука запишется как Аналогично тензор податливости ( s ) можно записать как $${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}$$ $${\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}$$

Изменение системы координат

Если линейный упругий материал поворачивается из одной исходной конфигурации в другую, то материал симметричен относительно поворота, если компоненты тензора жесткости в повернутой конфигурации связаны с компонентами в исходной конфигурации соотношением ^[13] , где l _ab — компоненты ортогональной матрицы поворота [ L ] . Такое же соотношение справедливо и для инверсий. $${\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}$$

В матричной записи, если преобразованный базис (повернутый или инвертированный) связан с опорным базисом соотношением , то Кроме того, если материал симметричен относительно преобразования [ L ] , то $${\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}$$ $${\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.}$$ $${\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}$$

Ортотропные материалы

Ортотропные материалы имеют три ортогональные плоскости симметрии . Если базисные векторы ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) являются нормалями к плоскостям симметрии, то соотношения преобразования координат подразумевают, что Обратное отношение этого соотношения обычно записывается как ^{[14] [ нужна страница ]} где $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

• E _i — модуль Юнга вдоль оси i
• G _ij — модуль сдвига в направлении j на плоскости, нормаль которой направлена ​​в направлении i.
• ν _ij — коэффициент Пуассона , соответствующий сжатию в направлении j при приложении растяжения в направлении i .

В условиях плоского напряженного состояния σ _zz = σ _zx = σ _yz = 0 закон Гука для ортотропного материала принимает вид Обратное соотношение имеет вид Часто также используется транспонированная форма приведенной выше матрицы жесткости. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$

Поперечно-изотропные материалы

Трансверсально изотропный материал симметричен относительно вращения вокруг оси симметрии . Для такого материала, если e ₃ является осью симметрии, закон Гука можно выразить как $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$

Чаще всего ось x ≡ e ₁ принимают за ось симметрии, а обратный закон Гука записывают в виде ^[15] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

Универсальный индекс упругой анизотропии

Для понимания степени анизотропии любого класса был сформулирован универсальный индекс упругой анизотропии (AU) ^[16] . Он заменяет отношение Ценера , которое подходит для кубических кристаллов .

Термодинамическая основа

Линейные деформации упругих материалов можно аппроксимировать как адиабатические . При этих условиях и для квазистатических процессов первый закон термодинамики для деформированного тела можно выразить как где δU - увеличение внутренней энергии , а δW - работа, совершаемая внешними силами. Работу можно разделить на два члена , где δW _s - работа, совершаемая поверхностными силами , а δW _b - работа, совершаемая объемными силами . Если δ u - это изменение поля смещения u в теле, то два члена внешней работы можно выразить как где t - вектор поверхностного натяжения , b - вектор объемной силы, Ω представляет тело, а ∂ Ω представляет его поверхность. Используя соотношение между напряжением Коши и поверхностным натяжением, t = n · σ (где n — единичная внешняя нормаль к ∂ Ω ), мы имеем Преобразование интеграла поверхности в объемный интеграл с помощью теоремы о расходимости дает Используя симметрию напряжения Коши и тождество, мы имеем следующее Из определения деформации и из уравнений равновесия имеем Следовательно, мы можем записать и, следовательно, изменение плотности внутренней энергии определяется как Упругий материал определяется как материал, в котором полная внутренняя энергия равна потенциальной энергии внутренних сил (также называемой энергией упругой деформации ). Следовательно, плотность внутренней энергии является функцией деформаций, U ₀ = U ₀ ( ε ) , а изменение внутренней энергии можно выразить как Поскольку изменение деформации произвольно, соотношение напряжение-деформация упругого материала определяется как Для линейного упругого материала величина ⁠ $${\displaystyle \delta W=\delta U}$$ $${\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }}$$ $${\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV}$$ $${\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.}$$ $${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ $${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.}$$ $${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.}$$ $${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV}$$ $${\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$ $${\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.}$$∂ U0_​/∂ ε⁠ является линейной функцией ε и, следовательно, может быть выражена как , где c — тензор четвертого ранга материальных констант, также называемый тензором жесткости . Мы можем понять, почему c должен быть тензором четвертого ранга, заметив, что для линейного упругого материала В индексной нотации Константа правой стороны требует четырех индексов и является величиной четвертого ранга. Мы также можем увидеть, что эта величина должна быть тензором, поскольку она является линейным преобразованием, которое переводит тензор деформации в тензор напряжения. Мы также можем показать, что константа подчиняется правилам преобразования тензора для тензоров четвертого ранга. $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}={\mathsf {c}}\,.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.}$$

Смотрите также

• Акустоупругий эффект
• Упругая потенциальная энергия
• Законы науки
• Список научных законов, названных в честь людей
• Квадратичная форма
• Последовательные и параллельные пружины
• Пружинная система
• Простое гармоническое движение груза на пружине
• Синусоидальная волна
• Механика твёрдого тела
• Пружинный маятник

Примечания

1. Анаграмма была дана в алфавитном порядке, ceiiinosssttuv , представляющая Ut tensio, sic vis – «Как расширение, так и сила»: Петроски, Генри (1996). Изобретение по замыслу: как инженеры переходят от мысли к вещи . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. стр. 11. ISBN 978-0674463684.
2. См. http://civil.lindahall.org/design.shtml, где также можно найти анаграмму для слова «цепная линия» .
3. Роберт Гук , De Potentia Restitutiva, или о пружине. Объяснение силы пружинящих тел , Лондон, 1678.
4. Янг, Хью Д.; Фридман, Роджер А.; Форд, А. Льюис (2016). Университетская физика Сирса и Земанского: с современной физикой (14-е изд.). Пирсон. стр. 209.
5. Ушиба, Шота; Масуи, Кёко; Тагучи, Нацуо; Хамано, Томоки; Кавата, Сатоши; Сёдзи, Сатору (2015). «Размерозависимая наномеханика полимерных нанопроволок в форме винтовой пружины». Научные отчеты . 5 : 17152. Бибкод : 2015NatSR...517152U. дои : 10.1038/srep17152. ПМЦ 4661696 . ПМИД  26612544. 
6. Беленький; Салаев (1988). «Эффекты деформации в слоистых кристаллах». Успехи физических наук . 155 (5): 89. doi : 10.3367/УФНр.0155.198805c.0089 .
7. Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (5 декабря 2014 г.). «Необходимые и достаточные условия упругой устойчивости в различных кристаллических системах». Physical Review B. 90 ( 22): 224104. arXiv : 1410.0065 . Bibcode : 2014PhRvB..90v4104M. doi : 10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN  1098-0121. S2CID  54058316.
8. Виджай Мадхав, М.; Маногаран, С. (2009). «Пересмотр констант соответствия в избыточных внутренних координатах и ​​некоторые новые идеи». J. Chem. Phys . 131 (17): 174112–174116. Bibcode : 2009JChPh.131q4112V. doi : 10.1063/1.3259834. PMID  19895003.
9. Пономарева, Алла; Юренко, Евгений; Журакивский, Роман; Ван Мурик, Таня; Говорун, Дмитрий (2012). «Полное конформационное пространство потенциальных ингибиторов обратной транскриптазы ВИЧ-1 d4U и d4C. Квантово-химическое исследование». Phys. Chem. Chem. Phys . 14 (19): 6787–6795. Bibcode :2012PCCP...14.6787P. doi :10.1039/C2CP40290D. PMID  22461011.
10. Symon, Keith R. (1971). "Глава 10". Механика . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 9780201073928.
11. Симо, Дж. К.; Хьюз, Т. Дж. Р. (1998). Вычислительная неэластичность . Springer. ISBN 9780387975207.
12. Милтон, Грэм В. (2002). Теория композитов . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике. Cambridge University Press. ISBN 9780521781251.
13. Слотер, Уильям С. (2001). Линеаризованная теория упругости . Биркхойзер. ISBN 978-0817641177.
14. Бореси, А. П.; Шмидт, Р. Дж.; Сайдботтом, О. М. (1993). Advanced Mechanics of Materials (5-е изд.). Wiley. ISBN 9780471600091.
15. Тан, SC (1994). Концентрации напряжений в слоистых композитах . Ланкастер, Пенсильвания: Technomic Publishing Company. ISBN 9781566760775.
16. Ранганатан, СИ; Остоя-Старжевски, М. (2008). «Универсальный индекс упругой анизотропии». Physical Review Letters . 101 (5): 055504–1–4. Bibcode : 2008PhRvL.101e5504R. doi : 10.1103/PhysRevLett.101.055504. PMID  18764407. S2CID  6668703.

Ссылки

• Закон Гука - Фейнмановские лекции по физике
• Закон Гука - Классическая механика - Физика - MIT OpenCourseWare

Внешние ссылки

• JavaScript-апплет, демонстрирующий законы Пружины и Гука
• JavaScript-апплет, демонстрирующий силу пружины