В алгебраической геометрии проблема разрешения особенностей спрашивает, имеет ли каждое алгебраическое многообразие V разрешение, которое является неособым многообразием W с собственным бирациональным отображением W → V. Для многообразий над полями характеристики 0 это было доказано Хейсуке Хиронакой в 1964 году; [1] в то время как для многообразий размерности не менее 4 над полями характеристики p это открытая проблема. [2]
Первоначально проблема разрешения особенностей заключалась в нахождении неособой модели для поля функций многообразия X , другими словами, полного неособого многообразия X′ с тем же полем функций. На практике удобнее просить другое условие следующим образом: многообразие X имеет разрешение особенностей , если мы можем найти неособое многообразие X′ и собственное бирациональное отображение из X′ в X . Условие, что отображение является собственным, необходимо для исключения тривиальных решений, таких как взятие X′ в качестве подмногообразия неособых точек X .
В более общем случае часто бывает полезно разрешить особенности многообразия X, вложенного в большее многообразие W. Предположим, что у нас есть замкнутое вложение X в регулярное многообразие W. Сильное устранение особенностей X задается собственным бирациональным морфизмом из регулярного многообразия W ′ в W при соблюдении некоторых из следующих условий (точный выбор условий зависит от автора):
Хиронака показал, что существует сильная десингуляризация, удовлетворяющая первым трем условиям выше, когда X определено над полем характеристики 0, и его конструкция была улучшена несколькими авторами (см. ниже) так, что она удовлетворяет всем условиям выше.
Каждая алгебраическая кривая имеет уникальную несингулярную проективную модель, что означает, что все методы разрешения по сути одинаковы, поскольку все они строят эту модель. В более высоких измерениях это уже не так: многообразия могут иметь много различных несингулярных проективных моделей.
Коллар (2007) перечисляет около 20 способов доказательства разрешения особенностей кривых.
Разрешение особенностей кривых было по существу впервые доказано Ньютоном (1676), который показал существование ряда Пюизе для кривой, из которого разрешение следует легко.
Риман построил гладкую риманову поверхность из функционального поля комплексной алгебраической кривой, что дает разрешение ее особенностей. Это можно сделать над более общими полями, используя набор дискретных колец нормирования поля в качестве замены римановой поверхности.
Метод Альбанезе состоит в том, чтобы взять кривую, охватывающую проективное пространство достаточно большой размерности (более чем в два раза больше степени кривой), и многократно проецировать вниз из особых точек в проективные пространства меньшей размерности. Этот метод распространяется на многообразия большей размерности и показывает, что любое n -мерное многообразие имеет проективную модель с особенностями кратности не более n !. Для кривой n = 1 , и, таким образом, особых точек нет.
Muhly & Zariski (1939) предложили одношаговый метод разрешения сингулярностей кривой, принимая нормализацию кривой. Нормализация удаляет все сингулярности в коразмерности 1, поэтому она работает для кривых, но не в более высоких размерностях.
Другой одношаговый метод разрешения особенностей кривой заключается в том, чтобы взять пространство колец оценки поля функций кривой. Это пространство можно превратить в неособую проективную кривую, бирациональную исходной кривой.
Многократное раздувание особых точек кривой в конечном итоге разрешит сингулярности. Основная задача этого метода — найти способ измерить сложность сингулярности и показать, что раздувание улучшает эту меру. Есть много способов сделать это. Например, можно использовать арифметический род кривой.
Метод Нётер берёт плоскую кривую и многократно применяет к ней квадратичные преобразования (определяемые особой точкой и двумя точками в общем положении). В конечном итоге это создаёт плоскую кривую, единственными сингулярностями которой являются обычные кратные точки (все касательные имеют кратность два).
Метод Бертини похож на метод Нётер. Он начинается с плоской кривой и многократно применяет бирациональные преобразования к плоскости для улучшения кривой. Бирациональные преобразования сложнее квадратичных преобразований, используемых в методе Нётер, но дают лучший результат, так как единственными сингулярностями являются обычные двойные точки.
Поверхности имеют много различных несингулярных проективных моделей (в отличие от случая кривых, где несингулярная проективная модель уникальна). Однако поверхность все еще имеет уникальное минимальное разрешение, через которое все остальные факторы (все остальные являются ее разрешениями). В более высоких измерениях не обязательно должно быть минимальное разрешение.
Было несколько попыток доказать разрешение для поверхностей над комплексными числами Дель Пеццо (1892), Леви (1899), Севери (1914), Кизини (1921) и Альбанезе (1924), но Зариски (1935, глава I, раздел 6) указывает, что ни одна из этих ранних попыток не является полной, и все они неопределенны (или даже неверны) в некоторой критической точке аргумента. Первое строгое доказательство было дано Уокером (1935), а алгебраическое доказательство для всех полей характеристики 0 было дано Зариски (1939). Абхьянкар (1956) дал доказательство для поверхностей ненулевой характеристики. Разрешение особенностей также было показано для всех превосходных 2-мерных схем (включая все арифметические поверхности) Липманом (1978).
Метод Зарисского разрешения особенностей для поверхностей заключается в многократном чередовании нормализации поверхности (что убивает особенности коразмерности 1) с раздутием точек (что улучшает особенности коразмерности 2, но может ввести новые особенности коразмерности 1). Хотя это само по себе разрешит особенности поверхностей, Зарисский использовал более окольный метод: сначала он доказал теорему локальной униформизации, показывающую, что каждая оценка поверхности может быть разрешена, затем использовал компактность поверхности Зарисского–Римана, чтобы показать, что можно найти конечное множество поверхностей, такое, что центр каждой оценки является простым по крайней мере на одной из этих поверхностей, и, наконец, изучая бирациональные отображения между поверхностями, показал, что это конечное множество поверхностей может быть заменено одной неособой поверхностью.
Применяя сильное встроенное разрешение для кривых, Юнг (1908) сводит к поверхности только с довольно специальными сингулярностями (абелевыми факторсингулярностями), которые затем рассматриваются явно. Более многомерная версия этого метода — метод де Йонга.
В общем, аналог метода Альбанезе для кривых показывает, что для любого многообразия можно свести его к особенностям порядка не выше n !, где n — размерность. Для поверхностей это сводится к случаю особенностей порядка 2, что достаточно легко сделать явно.
Абхьянкар (1956) доказал разрешение особенностей для поверхностей над полем любой характеристики, доказав теорему локальной униформизации для колец оценки. Самый сложный случай — кольца оценки ранга 1, группа оценки которых является недискретной подгруппой рациональных чисел. Остальная часть доказательства следует методу Зарисского.
Метод Хиронаки для произвольных характеристических многообразий дает метод разрешения поверхностей, который заключается в многократном раздутии точек или гладких кривых в сингулярном множестве.
Липман (1978) показал, что поверхность Y (двумерная редуцированная нётерова схема) имеет десингуляризацию тогда и только тогда, когда её нормализация конечна над Y и аналитически нормальна (пополнения её особых точек нормальны) и имеет только конечное число особых точек. В частности, если Y превосходна , то она имеет десингуляризацию.
Его метод состоял в том, чтобы рассмотреть нормальные поверхности Z с бирациональным собственным отображением в Y и показать, что существует минимальная поверхность с минимально возможным арифметическим родом. Затем он показывает, что все сингулярности этой минимальной поверхности Z являются псевдорациональными, и показывает, что псевдорациональные сингулярности могут быть разрешены путем многократного раздутия точек.
Проблема разрешения сингулярностей в высших измерениях печально известна множеством неверных опубликованных доказательств и объявлений о доказательствах, которые так и не появились.
Для 3-мерных многообразий разрешение особенностей было доказано в характеристике 0 Зариским (1944). Сначала он доказал теорему о локальной униформизации колец оценки, верную для многообразий любой размерности над любым полем характеристики 0. Затем он показал, что пространство оценок Зариского–Римана является квазикомпактным (для любого многообразия любой размерности над любым полем), подразумевая, что существует конечное семейство моделей любого проективного многообразия, такое, что любая оценка имеет гладкий центр по крайней мере над одной из этих моделей. Последняя и самая сложная часть доказательства, которая использует тот факт, что многообразие имеет размерность 3, но которая работает для всех характеристик, состоит в том, чтобы показать, что для двух данных моделей можно найти третью, которая разрешает особенности, которые разрешает каждая из двух данных моделей.
Абхьянкар (1966) доказал разрешение особенностей для 3-кратного множества с характеристикой, большей 6. Ограничение на характеристику возникает из-за того, что Абхьянкар показывает, что можно разрешить любую особенность 3-кратного множества с кратностью, меньшей характеристики, а затем использует метод Альбанезе, чтобы показать, что особенности можно свести к особенностям с кратностью не более (размерность)! = 3! = 6. Каткоски (2009) дал упрощенную версию доказательства Абхьянкара.
Коссарт и Пилтант (2008, 2009) доказали разрешение особенностей 3-мерных множеств во всех характеристиках, доказав локальную униформизацию в размерности не более 3, а затем проверив, что доказательство Зарисского о том, что это подразумевает разрешение для 3-мерных множеств, все еще работает в случае положительной характеристики.
Разрешение особенностей в характеристике 0 во всех измерениях было впервые доказано Хиронакой (1964). Он доказал, что можно разрешить особенности многообразий над полями характеристики 0 путем многократного раздутия вдоль неособых подмногообразий, используя очень сложный аргумент индукции по размерности. Упрощенные версии его грозного доказательства были даны несколькими людьми, включая Бирстоуна и Милмана (1991), Бирстоуна и Милмана (1997), Вилламайора (1992), Энсинаса и Вилламайора (1998), Энсинаса и Хаузера (2002), Влодарчика (2005), Коллара (2007). Некоторые из последних доказательств составляют примерно десятую часть длины оригинального доказательства Хиронаки и достаточно просты, чтобы привести их в вводном курсе для аспирантов. Для пояснительного изложения теоремы см. (Hauser 2003), а для исторического обсуждения см. (Hauser 2000).
де Йонг (1996) нашел другой подход к разрешению особенностей, обобщив метод Юнга для поверхностей, который был использован Богомоловым и Пантевым (1996) и Абрамовичем и де Йонгом (1997) для доказательства разрешения особенностей в характеристике 0. Метод де Йонга дал более слабый результат для многообразий всех размерностей в характеристике p , который достаточно силен, чтобы выступать в качестве замены разрешения для многих целей. Де Йонг доказал, что для любого многообразия X над полем существует доминирующий собственный морфизм, который сохраняет размерность из регулярного многообразия на X . Это не обязательно должно быть бирациональным отображением, поэтому это не разрешение особенностей, поскольку оно может быть в общем случае конечным до единицы и, таким образом, включать конечное расширение поля функций X . Идея де Йонга состояла в том, чтобы попытаться представить X как расслоение над меньшим пространством Y со слоями, являющимися кривыми (это может потребовать изменения X ), затем устранить особенности Y индукцией по размерности, а затем устранить особенности в слоях.
Легко распространить определение разрешения на все схемы. Не все схемы имеют разрешения своих особенностей: Гротендик и Дьедонне (1965, раздел 7.9) показали, что если локально нётерова схема X обладает свойством разрешать особенности любой конечной интегральной схемы над X , то X должна быть квазипревосходной . Гротендик также предположил, что может иметь место обратное: другими словами, если локально нётерова схема X приведена и квазипревосходна, то можно разрешить её особенности. Когда X определена над полем характеристики 0 и является нётеровой, это следует из теоремы Хиронаки, а когда X имеет размерность не более 2, это было доказано Липманом.
Хаузер (2010) дал обзор работ по нерешенной проблеме разрешения характеристического p .
Длительное восприятие того, что доказательство разрешения очень сложно, постепенно расходится с реальностью. ... доказать разрешение вполне возможно за последние две недели начального курса алгебраической геометрии.
(Коллар 2007, Лекции по разрешению особенностей)
Существует много конструкций сильной десингуляризации, но все они дают по сути один и тот же результат. В каждом случае глобальный объект (многообразие, которое должно быть десингуляризовано) заменяется локальными данными ( пучок идеалов многообразия и пучки исключительных делителей и некоторые порядки , которые представляют, насколько должен быть разрешен идеал на этом шаге). С этими локальными данными определяются центры раздутия. Центры будут определены локально, и поэтому проблема заключается в том, чтобы гарантировать, что они будут соответствовать глобальному центру. Это можно сделать, определив, какие раздутия разрешены для разрешения каждого идеала. Если сделать это надлежащим образом, это автоматически сопоставит центры. Другой способ — определить локальный инвариант в зависимости от многообразия и истории разрешения (предыдущие локальные центры), так что центры состоят из максимального локуса инварианта. Определение этого сделано таким образом, что этот выбор имеет смысл, давая гладкие центры, трансверсальные исключительным делителям.
В любом случае задача сводится к разрешению особенностей кортежа, образованного пучком идеалов и дополнительными данными (исключительными делителями и порядком d , к которому должно прийти разрешение для этого идеала). Этот кортеж называется отмеченным идеалом , а множество точек, в которых порядок идеала больше d, называется его ко-носителем. Доказательство того, что существует разрешение для отмеченных идеалов, выполняется индукцией по размерности. Индукция разбивается на два шага:
Здесь мы говорим, что отмеченный идеал имеет максимальный порядок , если в некоторой точке его коносителя порядок идеала равен d . Ключевым ингредиентом в сильном разрешении является использование функции Гильберта–Сэмюэля локальных колец точек многообразия. Это один из компонентов инварианта разрешения.
Наиболее очевидным инвариантом сингулярности является ее кратность. Однако она не обязательно должна уменьшаться при увеличении, поэтому необходимо использовать более тонкие инварианты для измерения улучшения.
Например, рамфоидный касп y 2 = x 5 имеет в начале координат особенность порядка 2. После взрыва в своей особой точке он становится обычным каспом y 2 = x 3 , который по-прежнему имеет кратность 2.
Ясно, что особенность улучшилась, так как степень определяющего многочлена уменьшилась. В общем случае этого не происходит. Примером, когда этого не происходит, является изолированная особенность x 2 + y 3 z + z 3 = 0 в начале координат. Раздувание ее дает особенность x 2 + y 2 z + yz 3 = 0. Не сразу очевидно, что эта новая особенность лучше, так как обе особенности имеют кратность 2 и задаются суммой одночленов степеней 2, 3 и 4.
Естественной идеей для улучшения сингулярностей является раздувание геометрического места «худших» особых точек. Зонтик Уитни x 2 = y 2 z имеет сингулярное множество на оси z , большинство точек которого являются обычными двойными точками, но в начале координат есть более сложная сингулярность точки защемления , поэтому раздувание наихудших особых точек предполагает, что следует начать с раздувания начала координат. Однако раздувание начала координат воспроизводит ту же самую сингулярность на одной из координатных диаграмм. Поэтому раздувание (очевидно) «худших» особых точек не улучшает сингулярность. Вместо этого сингулярность можно разрешить раздуванием вдоль оси z .
Существуют алгоритмы, которые работают, разрушая «худшие» особые точки в некотором смысле, например (Bierstone & Milman 1997), но этот пример показывает, что определение «худших» точек должно быть довольно тонким.
Для более сложных особенностей, таких как x 2 = y m z n , которая является особой вдоль x = yz = 0, разрушение наихудшей особенности в начале координат приводит к особенностям x 2 = y m + n −2 z n и x 2 = y m z m + n −2, которые хуже исходной особенности, если m и n оба не меньше 3.
После разрешения полное преобразование (объединение строгого преобразования и исключительных дивизоров) представляет собой многообразие с особенностями типа простых нормальных пересечений. Естественно рассмотреть возможность разрешения особенностей без разрешения этого типа особенностей, это нахождение разрешения, которое является изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда строгое преобразование является дивизором (т.е. может быть вложено как подмногообразие коразмерности один в гладкое многообразие), известно, что существует сильное разрешение, избегающее простых нормальных точек пересечения. Зонтик Уитни показывает, что невозможно разрешить особенности, избежав раздутия особенностей нормальных пересечений.
Естественным способом разрешения сингулярностей является многократное раздувание некоторого канонически выбранного гладкого подмногообразия. Это приводит к следующей проблеме. Особый набор x 2 = y 2 z 2 — это пара линий, заданных осями y и z . Единственными разумными разновидностями для раздувания являются начало координат, одна из этих двух осей или весь особый набор (обе оси). Однако весь особый набор использовать нельзя, поскольку он не является гладким, а выбор одной из двух осей нарушает симметрию между ними, поэтому он не является каноническим. Это означает, что мы должны начать с раздувания начала координат, но это воспроизводит исходную особенность, поэтому мы, кажется, ходим по кругу.
Решение этой проблемы заключается в том, что хотя раздутие начала координат не меняет тип сингулярности, оно дает тонкое улучшение: оно нарушает симметрию между двумя сингулярными осями, поскольку одна из них является исключительным делителем для предыдущего раздутия, поэтому теперь допустимо раздуть только одну из них. Однако, чтобы воспользоваться этим, процедура разрешения должна обрабатывать эти две сингулярности по-разному, даже если они локально одинаковы. Иногда это делается путем предоставления процедуре разрешения некоторой памяти, поэтому центр раздутия на каждом шаге зависит не только от сингулярности, но и от предыдущих раздутий, использованных для ее создания.
Некоторые методы разрешения (в характеристике 0) являются функториальными для всех гладких морфизмов. Однако невозможно найти сильный функториальный резолютив для всех (возможно, негладких) морфизмов. Примером может служить отображение из аффинной плоскости A 2 в коническую особенность x 2 + y 2 = z 2 , переводящее ( X , Y ) в (2 XY , X 2 − Y 2 , X 2 + Y 2 ). Плоскость XY уже неособая, поэтому не должна изменяться разрешением, и любое разрешение конической особенности факторизуется через минимальное разрешение, полученное путем раздутия особой точки. Однако рациональное отображение из плоскости XY в это раздутие не продолжается до регулярного отображения.
Минимальные разрешения (разрешения, такие, что каждое разрешение факторизуется через них) существуют в измерениях 1 и 2, но не всегда в более высоких измерениях. Флоп Атьи дает пример в 3 измерениях сингулярности без минимального разрешения. Пусть Y будут нулями xy = zw в A 4 , и пусть V будет раздутием Y в начале координат. Исключительное локус этого раздутия изоморфно P 1 × P 1 и может быть раздуто до P 1 двумя различными способами, что дает два малых разрешения X 1 и X 2 для Y , ни одно из которых не может быть раздуто дальше.
Коллар (2007, пример 3.4.4, стр. 121) приводит следующий пример, показывающий, что нельзя ожидать, что достаточно хорошая процедура разрешения будет коммутировать с произведениями. Если f : A → B — это раздутие начала координат квадратичного конуса B в аффинном 3-пространстве, то f × f : A × A → B × B не может быть получено с помощью этальной локальной процедуры разрешения, по сути, потому что исключительное локус имеет 2 пересекающихся компонента.
Особенности торических многообразий дают примеры особенностей высокой размерности, которые легко разрешить явно. Торическое многообразие определяется веером, набором конусов в решетке. Особенности можно разрешить, разделив каждый конус на объединение конусов, каждый из которых порождается базисом решетки, и взяв соответствующее торическое многообразие.
Построение десингуляризации многообразия X может не производить центры раздутий, которые являются гладкими подмногообразиями X. Многие построения десингуляризации абстрактного многообразия X осуществляются путем локального вложения X в гладкое многообразие W , рассмотрения его идеала в W и вычисления канонической десингуляризации этого идеала. Десингуляризация идеалов использует порядок идеала как меру того, насколько сингулярным является идеал. Десингуляризация идеала может быть сделана таким образом, что можно обосновать, что локальные центры соединяются вместе, чтобы дать глобальные центры. Этот метод приводит к доказательству, которое относительно проще представить по сравнению с исходным доказательством Хиронаки, которое использует функцию Гильберта-Самуэля как меру того, насколько плохи сингулярности. Например, доказательства в Villamayor (1992), Encinas & Villamayor (1998), Encinas & Hauser (2002) и Kollár (2007) используют эту идею. Однако этот метод обеспечивает только центры взрыва, регулярные в W.
Следующий пример показывает, что этот метод может создавать центры , которые имеют негладкие пересечения с (строгим преобразованием) X. [3] Следовательно, результирующая десингуляризация, ограниченная абстрактным многообразием X , не получается путем раздутия регулярных подмногообразий X.
Пусть X будет подмногообразием четырехмерной аффинной плоскости с координатами x,y,z,w , порожденным y 2 - x 3 и x 4 + xz 2 - w 3 . Каноническое устранение сингулярности идеала с этими генераторами взорвет центр C 0 , заданный x = y = z = w =0. Преобразование идеала в x -карте if генерируется x - y 2 и y 2 ( y 2 + z 2 - w 3 ). Следующий центр взрыва C 1 задается x = y =0. Однако строгим преобразованием X является X 1 , которое генерируется x - y 2 и y 2 + z 2 - w 3 . Это означает, что пересечение C 1 и X 1 задается x = y =0 и z 2 - w 3 =0, что не является регулярным.
Для создания центров раздутий, которые являются регулярными подмногообразиями X, более сильные доказательства используют функцию Гильберта-Самуэля локальных колец X, а не порядок его идеала в локальном вложении в W. [4]
После разрешения полное преобразование, объединение строгого преобразования, X и исключительного дивизора, представляет собой многообразие, которое можно сделать, в лучшем случае, имеющим простые нормальные сингулярности пересечения. Тогда естественно рассмотреть возможность разрешения сингулярностей без разрешения этого типа сингулярностей. Проблема состоит в том, чтобы найти разрешение, которое является изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда X является дивизором, т. е. его можно вложить как подмногообразие коразмерности один в гладкое многообразие, известно, что истинно существование сильного разрешения, избегающего простых нормальных точек пересечения. Общий случай или обобщения для избежания различных типов сингулярностей до сих пор неизвестны. [5]
Избежать некоторых сингулярностей невозможно. Например, нельзя разрешить сингулярности, избежав раздутия сингулярностей нормального пересечения. Фактически, чтобы разрешить сингулярность точки защемления, необходимо раздуть все сингулярное локус, включая точки, где присутствуют сингулярности нормального пересечения.
