Теория хирургии

В математике , в частности в геометрической топологии , теория хирургии представляет собой набор методов, используемых для создания одного конечномерного многообразия из другого «контролируемым» способом, введенный Джоном Милнором  (1961). Милнор назвал этот метод хирургией , в то время как Эндрю Уоллес назвал его сферической модификацией . ^[1] «Хирургия» на дифференцируемом многообразии M размерности может быть описана как удаление вложенной сферы размерности p из M. ^[2] Первоначально разработанные для дифференцируемых (или гладких ) многообразий , методы хирургии также применяются к кусочно-линейным (PL-) и топологическим многообразиям . ${\displaystyle n=p+q+1}$

Хирургия относится к вырезанию частей коллектора и замене его частью другого коллектора, совпадающего по разрезу или границе. Это тесно связано, но не идентично, с разложениями handlebody .

Более технически, идея состоит в том, чтобы начать с хорошо понятного многообразия M и выполнить операцию над ним, чтобы получить многообразие M ′, обладающее некоторым желаемым свойством, таким образом, чтобы были известны эффекты на гомологии , гомотопические группы или другие инварианты многообразия. Относительно простой аргумент с использованием теории Морса показывает, что многообразие может быть получено из другого с помощью последовательности сферических модификаций тогда и только тогда, когда эти два принадлежат к одному и тому же классу кобордизма . ^[1]

Классификация экзотических сфер Мишеля Кервера и Милнора  (1963) привела к появлению теории хирургии как основного инструмента в многомерной топологии.

Операция на коллекторе

Основное наблюдение

Если X , Y — многообразия с границей, то граница многообразия произведения — это

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

Основное наблюдение, оправдывающее хирургию, заключается в том, что пространство можно понимать либо как границу , либо как границу . В символах, ${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$ ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$,

где — q -мерный диск, т. е. множество точек, находящихся на расстоянии, равном единице или меньше, от заданной фиксированной точки (центра диска); например, тогда — гомеоморфно единичному интервалу, а — окружность вместе с точками внутри нее. ${\displaystyle D^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ ${\displaystyle D^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Операция

Теперь, имея многообразие M размерности и вложение , определим другое n -мерное многообразие как ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$ ${\displaystyle M'}$

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Так как и из уравнения из нашего основного наблюдения ранее, склеивание оправдано, то ${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})}$

${\displaystyle \phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).}$

Говорят, что многообразие M ′ получено с помощью операции вырезания и склеивания , или с помощью p - хирургии, если требуется указать число p . Строго говоря, M ′ — это многообразие с углами, но есть канонический способ их сгладить. Обратите внимание, что подмногообразие, которое было заменено в M , имело ту же размерность, что и M ( коразмерность была равна 0). ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$

Прикрепление ручек и кобордизмов

Хирургия тесно связана с (но не то же самое) присоединением ручек . Для данного -многообразия с границей и вложения , где , определите другое -многообразие с границей L ′ с помощью ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle (L,\partial L)}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$ ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

Многообразие L ′ получается путем «присоединения -ручки», при этом получается из с помощью p -хирургии ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle \partial L'}$ ${\displaystyle \partial L}$

${\displaystyle \partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Операция на M не только создает новое многообразие M ′, но и кобордизм W между M и M ′. След операции — кобордизм , причем ${\displaystyle (W;M,M')}$

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

-мерное многообразие с границей, полученное из произведения путем присоединения -ручки . ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \partial W=M\cup M'}$ ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$

Операция симметрична в том смысле, что многообразие M может быть получено заново из M ′ с помощью -операции, след которой совпадает со следом исходной операции с точностью до ориентации. ${\displaystyle (q-1)}$

В большинстве приложений многообразие M поставляется с дополнительной геометрической структурой, такой как отображение в некоторое ссылочное пространство или дополнительные данные пучка. Затем требуется, чтобы процесс хирургии наделил M ′ такой же дополнительной структурой. Например, стандартным инструментом в теории хирургии является хирургия нормальных карт : такой процесс изменяет нормальную карту на другую нормальную карту в пределах того же класса бордизма.

Примеры

1. Операция на круге

   

   Рис. 1

   Согласно вышеприведенному определению, операция на круге заключается в вырезании копии и вклеивании . Рисунки на рис. 1 показывают, что результатом этого действия является либо (i) снова, либо (ii) две копии . ${\displaystyle S^{0}\times D^{1}}$ ${\displaystyle D^{1}\times S^{0}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

   

   Рис. 2а

   

   Рис. 2б

2. Операция на 2-сфере

   В этом случае возможностей больше, поскольку мы можем начать с вырезания либо , либо . ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$

   1. ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$: Если мы удалим цилиндр из 2-сферы, у нас останется два диска. Нам нужно склеить обратно – то есть два диска – и ясно, что в результате этого мы получим две непересекающиеся сферы. (Рис. 2а) ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$

      

      Рис. 2c. Эту форму невозможно встроить в 3-мерное пространство.

   2. ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$: Вырезав два диска , мы склеиваем их обратно в цилиндр . Возможны два результата в зависимости от того, имеют ли наши карты склеивания одинаковую или противоположную ориентацию на двух граничных окружностях. Если ориентации одинаковы (рис. 2b), то полученное многообразие — тор , но если они различны, то мы получаем бутылку Клейна (рис. 2c). ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$
3. Операция на n -сфере

   Если , то ${\displaystyle n=p+q}$

   ${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^{q})=S^{p}\times D^{q}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}}$.

   Следовательно, p - операция на ' ${\displaystyle S^{n}}$

   ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}=S^{p+1}\times S^{q-1}}$.

   Примеры 1 и 2 выше являются частным случаем этого.
4. Функции Морса Предположим, что f — функция Морса на ( n  + 1)-мерном многообразии, и предположим, что c — критическое значение с ровно одной критической точкой в ​​его прообразе. Если индекс этой критической точки равен , то множество уровня получается из с помощью p -хирургии. Бордизм можно отождествить со следом этой хирургии. Действительно, в некоторой координатной карте вокруг критической точки функция f имеет вид , причем , и . На рис. 3 на этой локальной карте многообразие M показано синим цветом, а многообразие M ′ — красным. Цветная область между M и M ′ соответствует бордизму W . На рисунке показано, что W диффеоморфно объединению ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle M':=f^{-1}(c+\varepsilon )}$ ${\displaystyle M:=f^{-1}(c-\varepsilon )}$ ${\displaystyle W:=f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])}$ ${\displaystyle -\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}}$ ${\displaystyle x\in R^{p+1},y\in R^{q}}$ ${\displaystyle p+q+1=n+1}$

   ${\displaystyle W\cong M\times I\cup _{S^{p}\times D^{q}}D^{p+1}\times D^{q}}$

   (пренебрегая вопросом выпрямления углов), где окрашено в желтый цвет, а окрашено в зеленый цвет. Многообразие M ′, будучи граничным компонентом W , поэтому получается из M с помощью p -хирургии. Поскольку каждый бордизм между замкнутыми многообразиями имеет функцию Морса, где различные критические точки имеют различные критические значения, это показывает, что любой бордизм может быть разложен на следы хирургий ( разложение handlebody ). В частности, каждое многообразие M можно рассматривать как бордизм от границы ∂ M (которая может быть пустой) до пустого многообразия, и поэтому может быть получено из путем присоединения ручек. ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$ ${\displaystyle \partial M\times I}$

Влияние на гомотопические группы и сравнение с прикреплением клеток

Интуитивно, процесс хирургии является многообразным аналогом присоединения клетки к топологическому пространству, где вложение занимает место присоединения карты. Простое присоединение -клетки к n -многообразию разрушило бы многообразную структуру по соображениям размерности, поэтому ее приходится утолщать путем пересечения с другой клеткой. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (p+1)}$

С точностью до гомотопии процесс хирургии вложения можно описать как присоединение -клетки , дающее гомотопический тип следа, и отсоединение q -клетки для получения N. Необходимость процесса отсоединения можно понять как эффект двойственности Пуанкаре . ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$ ${\displaystyle (p+1)}$

Точно так же, как ячейка может быть присоединена к пространству, чтобы убить элемент в некоторой гомотопической группе пространства, p -хирургия на многообразии M часто может быть использована для убийства элемента . Однако важны два момента: во-первых, элемент должен быть представлен вложением (что означает вложение соответствующей сферы с тривиальным нормальным расслоением ). Например, невозможно выполнить операцию на петле, меняющей ориентацию. Во-вторых, необходимо учитывать эффект процесса отсоединения, поскольку он также может оказать влияние на рассматриваемую гомотопическую группу. Грубо говоря, этот второй момент важен только тогда, когда p по крайней мере порядка половины размерности  M. ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$ ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$

Применение к классификации коллекторов

Происхождение и основное применение теории хирургии заключается в классификации многообразий размерности больше четырех. В общих чертах, организующие вопросы теории хирургии таковы:

• Является ли X многообразием?
• Является ли f диффеоморфизмом?

Более формально, эти вопросы задаются с точностью до гомотопии :

• Имеет ли пространство X гомотопический тип гладкого многообразия данной размерности?
• Является ли гомотопическая эквивалентность между двумя гладкими многообразиями гомотопной диффеоморфизму? ${\displaystyle f\colon M\to N}$

Оказывается, что второй вопрос («уникальность») является относительной версией вопроса первого типа («существование»); таким образом, оба вопроса можно рассматривать одними и теми же методами.

Обратите внимание, что теория хирургии не дает полного набора инвариантов для этих вопросов. Вместо этого она является теоретико-препятственной : есть первичное препятствие и вторичное препятствие, называемое хирургическим препятствием , которое определяется только в том случае, если первичное препятствие исчезает, и которое зависит от выбора, сделанного при проверке того, что первичное препятствие исчезает.

Хирургический подход

В классическом подходе, разработанном Уильямом Браудером , Сергеем Новиковым , Деннисом Салливаном и CTC Wall , хирургия выполняется на нормальных картах первой степени. Используя хирургию, вопрос «Является ли нормальная карта первой степени кобордантной гомотопической эквивалентности?» может быть переведен (в размерностях больше четырех) в алгебраическое утверждение о некотором элементе в L-группе группового кольца . Точнее, вопрос имеет положительный ответ тогда и только тогда, когда препятствие хирургии равно нулю, где n — размерность M . ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle \sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

Например, рассмотрим случай, когда размерность n = 4k кратна четырем, и . Известно, что изоморфно целым числам ; при этом изоморфизме препятствие к хирургии f пропорционально разности сигнатур X и M . Следовательно, нормальное отображение степени один кобордантно гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда сигнатуры домена и кодомена совпадают . ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$ ${\displaystyle L_{4k}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$

Возвращаясь к вопросу о «существовании» выше, мы видим, что пространство X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда оно получает нормальное отображение степени один, препятствие к хирургии которого исчезает. Это приводит к многошаговому процессу препятствий: чтобы говорить о нормальных отображениях, X должно удовлетворять подходящей версии двойственности Пуанкаре , которая превращает его в комплекс Пуанкаре . Предполагая, что X является комплексом Пуанкаре, конструкция Понтрягина–Тома показывает, что нормальное отображение степени один в X существует тогда и только тогда, когда нормальное расслоение Спивака для X имеет редукцию к стабильному векторному расслоению . Если существуют нормальные отображения степени один в X , их классы бордизмов (называемые нормальными инвариантами ) классифицируются по множеству гомотопических классов . Каждый из этих нормальных инвариантов имеет препятствие к хирургии; X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда одно из этих препятствий равно нулю. Другими словами, это означает, что существует выбор нормального инварианта с нулевым изображением при карте препятствий хирургии. ${\displaystyle [X,G/O]}$

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).}$

Структурные наборы и точная последовательность операций

Понятие набора структур является объединяющей основой для вопросов существования и единственности. Грубо говоря, набор структур пространства X состоит из гомотопических эквивалентностей M → X из некоторого многообразия в X , где два отображения отождествляются при отношении типа бордизма. Необходимое (но не в общем случае достаточное) условие для того, чтобы набор структур пространства X был непустым, состоит в том, чтобы X был n -мерным комплексом Пуанкаре, т. е. чтобы группы гомологии и когомологии были связаны изоморфизмами n -мерного многообразия для некоторого целого числа n . В зависимости от точного определения и категории многообразий ( гладких , PL или топологических ) существуют различные версии наборов структур. Поскольку, по теореме о s-кобордизме , некоторые бордизмы между многообразиями изоморфны (в соответствующей категории) цилиндрам, понятие набора структур допускает классификацию даже с точностью до диффеоморфизма . ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$

Структурный набор и отображение препятствий хирургии объединены в точную последовательность хирургии . Эта последовательность позволяет определить структурный набор комплекса Пуанкаре после того, как будет понятна карта препятствий хирургии (и ее относительная версия). В важных случаях гладкое или топологическое структурное множество может быть вычислено с помощью точной последовательности хирургии. Примерами являются классификация экзотических сфер и доказательства гипотезы Бореля для отрицательно искривленных многообразий и многообразий с гиперболической фундаментальной группой.

В топологической категории точная последовательность хирургии — это длинная точная последовательность, индуцированная последовательностью расслоения спектров . Это подразумевает, что все множества, участвующие в последовательности, на самом деле являются абелевыми группами. На уровне спектра карта препятствий хирургии — это сборочная карта , волокном которой является пространство блочной структуры соответствующего многообразия.

Смотрите также

• теорема о s-кобордизме
• теорема о h-кобордизме
• торсия Уайтхеда
• операция Дена
• Разложение многообразия
• Ориентация характера
• Сантехника (математика)

Цитаты

1. Milnor 2007, стр. 6.
2. Милнор 2007, стр. 39.

Ссылки

• Милнор, Джон (2007). Сборник статей Джона Милнора III Дифференциальная топология . AMS . ISBN 978-0-8218-4230-0.
• Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных многообразиях , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0358813
• Каппелл, Сильвен ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан , ред. (2000), Обзоры теории хирургии. Том 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, том 145, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04938-0, г-н  1746325
• Каппелл, Сильвен; Раницки, Эндрю; Розенберг, Джонатан, ред. (2001), Обзоры теории хирургии. Том 2 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, том 149, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08815-0, г-н  1818769
• Кервер, Мишель А.; Милнор , Джон У. (1963), «Группы гомотопических сфер: I», Annals of Mathematics , 77 (3): 504–537, doi :10.2307/1970128, JSTOR  1970128, MR  0148075
• Милнор, Джон Уиллард (1961), «Процедура уничтожения гомотопических групп дифференцируемых многообразий», Proc. Sympos. Pure Math., т. III , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 39–55, MR  0130696
• Милнор, Джон Уиллард (1965), Лекции по теореме о h-кобордизме , Заметки Лорана Зибенмана и Джонатана Сондова, Princeton University Press , MR  0190942
• Постников, Микаил М.; Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], "Хирургия Морзе", Энциклопедия математики , EMS Press
• Раницки, Эндрю (1980), «Алгебраическая теория хирургии. I. Основы» (PDF) , Труды Лондонского математического общества , 40 (3): 87–192, CiteSeerX  10.1.1.309.4753 , doi :10.1112/plms/s3-40.1.87
• Раницки, Эндрю (1980), «Алгебраическая теория хирургии. II. Приложения к топологии» (PDF) , Труды Лондонского математического общества , 40 (2): 193–283, doi :10.1112/plms/s3-40.2.193
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, МР  2061749
• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ред.), Surgery on compact multiples (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, т. 69 (2-е изд.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, г-н  1687388

Внешние ссылки

• Теория хирургии для любителей
• Эдинбургская группа по изучению теории хирургии
• Семинар в Обервольфахе 2012 года по теории хирургии в рамках проекта «Многообразный атлас»
• Семинар в Регенсбургском блоке 2012 года по теории хирургии в рамках проекта «Атлас многообразий»
• Конспект лекций по курсу хирургии в Гарварде, написанный Джейкобом Лури в 2011 году
• Домашняя страница Эндрю Раницки
• Домашняя страница Шмуэля Вайнбергера