В математике симметричная разность двух множеств , также известная как дизъюнктивное объединение и сумма множеств , — это набор элементов, которые находятся в любом из множеств, но не в их пересечении. Например, симметричная разность множеств и равна .
Симметричная разность множеств A и B обычно обозначается (альтернативно ), или . Его можно рассматривать как форму сложения по модулю 2 .
Набор степеней любого набора становится абелевой группой в результате операции симметричной разности, при этом пустой набор является нейтральным элементом группы, а каждый элемент в этой группе является своим собственным обратным . Набор степеней любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей в виде сложения кольца и пересечением в виде умножения кольца.
Характеристики
Диаграмма Венна
Симметричная разность эквивалентна объединению обоих относительных дополнений , то есть: [1]
Тот же факт можно сформулировать как индикаторную функцию (обозначенную здесь ) симметричной разности, представляющую собой XOR (или сложение по модулю 2 ) индикаторных функций двух ее аргументов: или используя обозначение скобки Айверсона .
Симметричную разность также можно выразить как объединение двух множеств за вычетом их пересечения :
[1]
В частности, ; равенство в этом нестрогом включении имеет место тогда и только тогда, когда и являются непересекающимися множествами . Кроме того, обозначая и , то и всегда непересекающиеся, поэтому и разбиение . Следовательно, если предположить пересечение и симметричную разность как примитивные операции, объединение двух множеств можно корректно определить в терминах симметричной разности с помощью правой части равенства
Пустое множество нейтрально , и каждое множество является своим обратным:
Таким образом, степенное множество любого множества X становится абелевой группой при выполнении операции симметричной разности. (В более общем смысле, любое поле множеств образует группу с симметричной разницей в качестве операции.) Группа, в которой каждый элемент является собственным обратным (или, что то же самое, в которой каждый элемент имеет порядок 2), иногда называется булевой группой ; [2] [3] симметричное различие представляет собой типичный пример таких групп. Иногда булева группа фактически определяется как операция симметричной разности на множестве. [4] В случае, когда X имеет только два элемента, полученная таким образом группа является четырехгруппой Клейна .
Из свойства инверсий в булевой группе следует, что симметричная разность двух повторяющихся симметричных разностей эквивалентна повторяющейся симметричной разности соединения двух мультимножеств, где для каждого двойного набора оба могут быть удалены. В частности:
Отсюда следует неравенство треугольника: [5] симметричная разность А и С содержится в объединении симметричной разности А и В и разности В и С.
Пересечение распределяет по симметричной разности:
и это показывает, что набор степеней X становится кольцом с симметричной разницей в виде сложения и пересечением в виде умножения. Это прототип булевого кольца .
Дополнительные свойства симметричной разности включают:
если и только если .
, где , является дополнением, дополнением соответственно относительно любого (фиксированного) набора, содержащего оба.
, где – произвольное непустое индексное множество.
Если есть какая-либо функция и есть какие-либо множества в кодомене , то
Симметричную разность можно определить в любой булевой алгебре , написав
Эта операция имеет те же свойства, что и симметричная разность множеств.
n -арная симметричная разность
Повторяющаяся симметричная разность в некотором смысле эквивалентна операции над множеством наборов (возможно, с несколькими появлениями одного и того же набора), дающей набор элементов, находящихся в нечетном количестве наборов.
Симметричная разность коллекции множеств содержит только элементы, находящиеся в нечетном количестве множеств в коллекции:
Очевидно, это четко определено только тогда, когда каждый элемент объединения содержит конечное число элементов .
Пусть есть мультимножество и . Тогда есть формула для количества элементов в , заданного исключительно в терминах пересечений элементов :
Симметричная разность в пространствах с мерой
Пока существует понятие «насколько велико» множество, симметричную разницу между двумя наборами можно считать мерой того, насколько «далеко друг от друга» они находятся.
Сначала рассмотрим конечное множество S и считающую меру подмножеств, определяемую их размером. Теперь рассмотрим два подмножества S и определим расстояние между ними как размер их симметричной разности. Это расстояние на самом деле является метрикой , что делает набор степеней на S метрическим пространством . Если S имеет n элементов, то расстояние от пустого множества до S равно n , и это максимальное расстояние для любой пары подмножеств. [6]
Используя идеи теории меры , разделение измеримых множеств можно определить как меру их симметричной разности. Если µ — σ-конечная мера , определенная на σ-алгебре Σ, функция
является псевдометрикой на Σ. d µ становится метрикой , если Σ рассматривается по модулю отношения эквивалентности X ~ Y тогда и только тогда, когда . Иногда ее называют метрикой Фреше - Никодима . Полученное метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда L 2 (μ) сепарабельно.
Если мы имеем: . Действительно,
Если — пространство с мерой и — измеримые множества, то измерима и их симметричная разность: . Можно определить отношение эквивалентности на измеримых множествах, разрешив и
быть связанными, если . Это отношение обозначается .
Учитывая , пишут , если для каждого существует такое, что . Отношение " " является частичным порядком в семействе подмножеств .
Пишем если и . Отношение " " является отношением эквивалентности между подмножествами .
Симметричное замыкание — это совокупность всех -измеримых множеств, принадлежащих некоторым . Симметричное замыкание содержит . Если является подалгеброй , то и симметричное замыкание .
Расстояние Хаусдорфа и (площадь) симметричной разности являются псевдометриками множества измеримых геометрических фигур. Однако они ведут себя совсем по-другому. На рисунке справа показаны две последовательности фигур: «Красный» и «Красный ∪ Зеленый». Когда расстояние Хаусдорфа между ними становится меньше, площадь симметричной разницы между ними становится больше, и наоборот. Продолжая эти последовательности в обоих направлениях, можно получить две последовательности, в которых расстояние Хаусдорфа между ними сходится к 0, а симметричное расстояние между ними расходится, или наоборот.