Тензорное произведение

Математическая операция над векторными пространствами

В математике тензорное произведение двух векторных пространств V и W (над одним и тем же полем ) — это векторное пространство, с которым связано билинейное отображение , которое отображает пару в элемент обозначенного ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W\rightarrow V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w),\ v\in V,w\in W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Элемент формы называется тензорным произведением v и w . Элемент из является тензором , а тензорное произведение двух векторов иногда называется элементарным тензором или разложимым тензором . Элементарные тензоры охватывают в том смысле, что каждый элемент из является суммой элементарных тензоров. Если для V и W заданы базисы , то базис из образован всеми тензорными произведениями базисного элемента V и базисного элемента W . ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

Тензорное произведение двух векторных пространств охватывает свойства всех билинейных отображений в том смысле, что билинейное отображение из в другое векторное пространство Z однозначно раскладывается на линейное отображение (см. Универсальное свойство ). ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W\to Z}$

Тензорные произведения используются во многих прикладных областях, включая физику и инженерию. Например, в общей теории относительности гравитационное поле описывается с помощью метрического тензора , который является тензорным полем с одним тензором в каждой точке пространственно-временного многообразия , и каждый из которых принадлежит тензорному произведению кокасательного пространства в точке с самим собой.

Определения и конструкции

Тензорное произведение двух векторных пространств — это векторное пространство, определенное с точностью до изоморфизма . Существует несколько эквивалентных способов его определения. Большинство из них заключаются в явном определении векторного пространства, называемого тензорным произведением, и, как правило, доказательство эквивалентности почти немедленно вытекает из основных свойств векторных пространств, определенных таким образом.

Тензорное произведение также может быть определено через универсальное свойство ; см. § Универсальное свойство ниже. Как и для каждого универсального свойства, все объекты , которые удовлетворяют свойству, изоморфны посредством уникального изоморфизма, который совместим с универсальным свойством. Когда используется это определение, другие определения могут рассматриваться как конструкции объектов, удовлетворяющих универсальному свойству, и как доказательства того, что существуют объекты, удовлетворяющие универсальному свойству, то есть что существуют тензорные произведения.

С баз

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F с соответствующими базисами и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

Тензорное произведение V и W — это векторное пространство , имеющее в качестве основы множество всех с и ⁠ ⁠ . Это определение можно формализовать следующим образом (эта формализация редко используется на практике, поскольку в целом достаточно предыдущего неформального определения): — это множество функций из декартова произведения в F , имеющих конечное число ненулевых значений. Поточечные операции образуют векторное пространство. Функция, которая отображается в 1 , а остальные элементы — в 0, обозначается ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle v\in B_{V}}$ ${\displaystyle w\in B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Тогда множество является непосредственно базисом ⁠ ⁠ , который называется тензорным произведением базисов и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

Мы можем эквивалентно определить как множество билинейных форм на , которые не равны нулю только в конечном числе элементов ⁠ ⁠ . Чтобы увидеть это, учитывая и билинейную форму ⁠ ⁠ , мы можем разложить и по основаниям и как: где только конечное число ' и ' не равны нулю, и найти по билинейности этого: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B:V\times W\to F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ $${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$ ${\displaystyle x_{v}}$ ${\displaystyle y_{w}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

Следовательно, мы видим, что значение для любого однозначно и полностью определяется значениями, которые оно принимает на ⁠ ⁠ . Это позволяет нам расширить отображения, определенные на , как и прежде, до билинейных отображений , допуская: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w:V\times W\to F}$ $${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

Тогда мы можем выразить любую билинейную форму как (потенциально бесконечную) формальную линейную комбинацию отображений согласно: делая эти отображения подобными базису Шаудера для векторного пространства всех билинейных форм на ⁠ ⁠ . Чтобы вместо этого получить правильный базис Гамеля , остается только добавить требование, чтобы он был ненулевым только для конечного числа элементов ⁠ ⁠ , и вместо этого рассмотреть подпространство таких отображений. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ $${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W;F)}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$

В любой конструкции тензорное произведение двух векторов определяется из их разложения по базисам. Точнее, взяв базисные разложения и как и прежде: ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in W}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

Это определение совершенно ясно выводится из коэффициентов в разложении по билинейности с использованием баз и ⁠ ⁠ , как это сделано выше. Затем легко проверить, что при этом определении отображение является билинейным отображением из в , удовлетворяющим универсальному свойству , которому удовлетворяет любая конструкция тензорного произведения (см. ниже). ${\displaystyle B(v,w)}$ ${\displaystyle B(x,y)}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ ${\displaystyle {\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

Если расположить в прямоугольном массиве, то вектор координат будет внешним произведением векторов координат и ⁠ ⁠ . Таким образом, тензорное произведение является обобщением внешнего произведения, то есть его абстракцией за пределами векторов координат. ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ограничением этого определения тензорного произведения является то, что при смене базиса определяется другое тензорное произведение. Однако разложение на одном базисе элементов другого базиса определяет канонический изоморфизм между двумя тензорными произведениями векторных пространств, что позволяет их идентифицировать. Также, в отличие от двух следующих альтернативных определений, это определение не может быть расширено до определения тензорного произведения модулей над кольцом .

Как фактор-пространство

Построение тензорного произведения, не зависящее от базиса, можно получить следующим образом.

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F.

Сначала рассмотрим векторное пространство L , которое имеет декартово произведение в качестве базиса . То есть, базисными элементами L являются пары с и ⁠ ⁠ . Чтобы получить такое векторное пространство, можно определить его как векторное пространство функций , которые имеют конечное число ненулевых значений и отождествляя с функцией, которая принимает значение 1 при и 0 в противном случае. ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle V\times W\to F}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle (v,w)}$

Пусть R — линейное подпространство L , охватываемое соотношениями, которым должно удовлетворять тензорное произведение. Точнее, R охватывается элементами одной из форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$ , и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$ ${\displaystyle s\in F}$

Тогда тензорное произведение определяется как факторпространство :

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

а изображение в этом частном обозначается ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Несложно доказать, что результат этой конструкции удовлетворяет универсальному свойству, рассматриваемому ниже. (Очень похожая конструкция может быть использована для определения тензорного произведения модулей .)

Универсальная собственность

Универсальное свойство тензорного произведения: если h билинейно, то существует единственное линейное отображение~часчто делает диаграмму коммутативной (то есть h =~час∘ φ ).

В этом разделе описывается универсальное свойство, которому удовлетворяет тензорное произведение. Как и для каждого универсального свойства, два объекта, удовлетворяющие свойству, связаны уникальным изоморфизмом . Из этого следует, что это (неконструктивный) способ определения тензорного произведения двух векторных пространств. В этом контексте предыдущие построения тензорных произведений можно рассматривать как доказательства существования тензорного произведения, определенного таким образом.

Следствием такого подхода является то, что каждое свойство тензорного произведения может быть выведено из универсального свойства, и что на практике можно забыть метод, который использовался для доказательства его существования.

«Универсальное определение» тензорного произведения двух векторных пространств выглядит следующим образом (напомним, что билинейное отображение — это функция, которая является линейной по каждому из своих аргументов):

Тензорное произведение двух векторных пространств V и W — это векторное пространство, обозначаемое как ⁠ ⁠ ${\displaystyle V\otimes W}$ , вместе с билинейным отображением из в ⁠ ⁠ , таким, что для каждого билинейного отображения ⁠ ⁠ существует единственное линейное отображение ⁠ ⁠ , такое, что (то есть для каждого и ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle {\otimes }:(v,w)\mapsto v\otimes w}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle h:V\times W\to Z}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$ ${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\otimes }}$ ${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$

Линейно непересекающиеся

Подобно универсальному свойству, указанному выше, следующая характеристика может также использоваться для определения того, образуют ли заданное векторное пространство и заданное билинейное отображение тензорное произведение. ^[1]

Теорема  —  Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle X,Y}$ , и будут комплексными векторными пространствами и пусть будет билинейным отображением. Тогда является тензорным произведением и тогда и только тогда, когда ^[1] образ охватывает все (то есть ⁠ ⁠ ), а также и являются -линейно непересекающимися , что по определению означает, что для всех положительных целых чисел и всех элементов и таких, что ⁠ ⁠ , ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \;T(X\times Y)=Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i}\right)=0}$

1. если все линейно независимы , то все являются ⁠ ⁠ , и ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0}$
2. если все линейно независимы, то все ⁠ ⁠ . ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0}$

Эквивалентно, и являются -линейно непересекающимися тогда и только тогда, когда для всех линейно независимых последовательностей в и всех линейно независимых последовательностей в ⁠ ⁠ векторы линейно независимы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

Например, отсюда немедленно следует, что если и являются положительными целыми числами, то и билинейное отображение , определенное путем отправки , образует тензорное произведение и ⁠ ⁠ . ^[2] Часто это отображение будет обозначаться как , так что обозначает значение этого билинейного отображения в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z:=\mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle (x,y)=\left(\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{i}y_{j}\right)_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle x\otimes y\;:=\;T(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

В качестве другого примера предположим, что — векторное пространство всех комплекснозначных функций на множестве со сложением и скалярным умножением, определенным поточечно (то есть — отображение , а — отображение ⁠ ⁠ ). Пусть и — любые множества и для любых и ⁠ ⁠ , пусть обозначает функцию, определенную как ⁠ ⁠ . Если и — векторные подпространства, то векторное подпространство вместе с билинейным отображением: образуют тензорное произведение и ⁠ ⁠ . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$ ${\displaystyle cf}$ ${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$ ${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t)}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Характеристики

Измерение

Если V и W — векторные пространства конечной размерности , то является конечномерным, и его размерность является произведением размерностей V и W. ${\displaystyle V\otimes W}$

Это вытекает из того факта , что базис формируется путем взятия всех тензорных произведений базисного элемента V и базисного элемента W. ${\displaystyle V\otimes W}$

Ассоциативность

Тензорное произведение ассоциативно в том смысле, что для трех векторных пространств ⁠ ⁠ ${\displaystyle U,V,W}$ существует канонический изоморфизм:

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

который отображается в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$ ${\displaystyle u\otimes (v\otimes w)}$

Это позволяет опускать скобки в тензорном произведении более чем двух векторных пространств или векторов.

Коммутативность как операция векторного пространства

Тензорное произведение двух векторных пространств и является коммутативным в том смысле, что существует канонический изоморфизм: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

который отображается в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle w\otimes v}$

С другой стороны, даже когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle V=W}$ , тензорное произведение векторов не является коммутативным; то есть ⁠ ⁠ ${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$ , в общем случае.

Отображение из в себя индуцирует линейный автоморфизм , который называется ${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$ ${\displaystyle V\otimes V}$braiding map . В более общем смысле и как обычно (см.тензорную алгебру), пустьобозначает тензорное произведениеnкопий векторного пространстваV. Для каждойперестановкиsпервыхnположительных целых чисел, отображение: ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

индуцирует линейный автоморфизм ⁠ ⁠ ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$ , который называется отображением сплетения.

Тензорное произведение линейных отображений

Дано линейное отображение ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:U\to V}$ и векторное пространство W , тензорное произведение:

${\displaystyle f\otimes W:U\otimes W\to V\otimes W}$

является единственным линейным отображением, таким что:

${\displaystyle (f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.}$

Аналогично определяется тензорное произведение . ${\displaystyle W\otimes f}$

Даны два линейных отображения и ⁠ ⁠ , их тензорное произведение: ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle f\otimes g:U\otimes W\to V\otimes Z}$

— это единственное линейное отображение, удовлетворяющее:

${\displaystyle (f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).}$

Один имеет:

${\displaystyle f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).}$

В терминах теории категорий это означает, что тензорное произведение является бифунктором из категории векторных пространств в себя. ^[3]

Если f и g оба инъективны или сюръективны , то то же самое верно для всех определенных выше линейных отображений. В частности, тензорное произведение с векторным пространством является точным функтором ; это означает, что каждая точная последовательность отображается в точную последовательность ( тензорные произведения модулей не преобразуют инъекции в инъекции, но они являются правильными точными функторами ).

Выбирая базисы всех задействованных векторных пространств, линейные отображения f и g могут быть представлены матрицами . Тогда, в зависимости от того, как векторизован тензор , матрица, описывающая тензорное произведение, является произведением Кронекера двух матриц. Например, если V , X , W и Y выше являются двумерными и базисы были зафиксированы для всех из них, а f и g заданы матрицами: соответственно, то тензорное произведение этих двух матриц равно: ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle f\otimes g}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$$

Результирующий ранг не превышает 4, и, таким образом, результирующая размерность равна 4. Здесь ранг обозначает ранг тензора , т.е. количество требуемых индексов (тогда как ранг матрицы подсчитывает количество степеней свободы в результирующем массиве). ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}$ .

Диадическое произведение является частным случаем тензорного произведения двух векторов одинаковой размерности.

Общие тензоры

Для неотрицательных целых чисел r и s тензор типа на векторном пространстве V является элементом: Здесь — двойственное векторное пространство (которое состоит из всех линейных отображений f из V в основное поле K ). ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$$ ${\displaystyle V^{*}}$

Существует отображение произведения, называемое (тензорным) произведением тензоров : ^[4] $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$$

Он определяется путем группировки всех встречающихся «факторов» V вместе: записи для элемента V и для элемента двойственного пространства: ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ $${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$$

Если V конечномерно, то выбор базиса V и соответствующего дуального базиса естественным образом индуцирует базис (этот базис описан в статье о произведениях Кронекера ). В терминах этих базисов можно вычислить компоненты (тензорного) произведения двух (или более) тензоров . Например, если F и G — два ковариантных тензора порядков m и n соответственно (т.е. и ⁠ ⁠ ), то компоненты их тензорного произведения задаются следующим образом: ^[5] ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle F\in T_{m}^{0}}$ ${\displaystyle G\in T_{n}^{0}}$ $${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$$

Таким образом, компоненты тензорного произведения двух тензоров являются обычным произведением компонент каждого тензора. Другой пример: пусть U — тензор типа (1, 1) с компонентами ⁠ ⁠ ${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }}$ , а V — тензор типа с компонентами ⁠ ⁠ . Тогда: и: ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle V^{\gamma }}$ $${\displaystyle \left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$$ $${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$$

Тензоры, снабженные операцией произведения, образуют алгебру , называемую тензорной алгеброй .

Оценочная карта и тензорная контракция

Для тензоров типа (1, 1) существует каноническое оценочное отображение: определяемое его действием на чистые тензоры: $${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$ $${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

В более общем случае для тензоров типа ⁠ ⁠ ${\displaystyle (r,s)}$ с r , s > 0 существует отображение, называемое тензорной контракцией : (Необходимо указать копии и , к которым должно применяться это отображение.) $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

С другой стороны, если является конечномерным , то существует каноническое отображение в другом направлении (называемое отображением кооценки ): где — любой базис ⁠ ⁠ , а — его двойственный базис . Это отображение не зависит от выбора базиса. ^[6] ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{i}^{*}}$

Взаимодействие оценки и совместной оценки можно использовать для характеристики конечномерных векторных пространств без ссылки на базисы. ^[7]

Сопряженное представление

Тензорное произведение можно естественным образом рассматривать как модуль для алгебры Ли посредством диагонального действия: для простоты предположим ⁠ ⁠ , тогда для каждого ⁠ ⁠ , где — транспонированная u , то есть, в терминах очевидного спаривания на ⁠ ⁠ , ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle r=s=1}$ ${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$ ${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ $${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

Существует канонический изоморфизм, заданный формулой: ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

При этом изоморфизме каждый u в можно сначала рассматривать как эндоморфизм , а затем как эндоморфизм ⁠ ⁠ . Фактически это сопряженное представление ad( u ) ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

Линейные отображения как тензоры

Для двух конечномерных векторных пространств U , V над одним и тем же полем K обозначим дуальное пространство U как U* , а K -векторное пространство всех линейных отображений из U в V как Hom( U , V ) . Существует изоморфизм: определяемый действием чистого тензора на элемент ⁠ ⁠ , $${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),}$$ ${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$$

Его «обратное» значение можно определить с помощью базиса и его двойственного базиса , как в разделе «Карта оценки и свертка тензора» выше: ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$$

Этот результат подразумевает: что автоматически дает важный факт, который образует основу того , где находятся основания U и V. $${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$$ ${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$ ${\displaystyle U\otimes V}$ ${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

Кроме того, если заданы три векторных пространства U , V , W, то тензорное произведение связано с векторным пространством всех линейных отображений следующим образом: Это пример сопряженных функторов : тензорное произведение «сопряжено слева» к Hom. $${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$$

Тензорные произведения модулей над кольцом

Тензорное произведение двух модулей A и B над коммутативным кольцом R определяется точно так же, как тензорное произведение векторных пространств над полем: где теперь — свободный R -модуль, порожденный декартовым произведением, а G — R -модуль, порожденный этими соотношениями . $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G,}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$

В более общем случае тензорное произведение может быть определено даже если кольцо некоммутативно . В этом случае A должен быть правым R -модулем, а B - левым R -модулем, и вместо последних двух соотношений выше накладывается соотношение:. Если R некоммутативно, то это уже не R -модуль, а просто абелева группа . $${\displaystyle (ar,b)\sim (a,rb)}$$

Универсальное свойство также переносится, слегка измененное: отображение, определяемое как, является средним линейным отображением (называемым «каноническим средним линейным отображением» ^[8] ); то есть оно удовлетворяет: ^[9] ${\displaystyle \varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a\otimes b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (a+a',b)&=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)\\\varphi (a,b+b')&=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')\\\varphi (ar,b)&=\varphi (a,rb)\end{aligned}}}$$

Первые два свойства делают φ билинейным отображением абелевой группы ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\times B}$ . Для любого среднего линейного отображения ⁠ ⁠ , единственный гомоморфизм групп f удовлетворяет ⁠ ⁠ , и это свойство определяет внутригрупповой изоморфизм. Подробности см . в основной статье . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle \psi =f\circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Тензорное произведение модулей над некоммутативным кольцом

Пусть A — правый R -модуль, а B — левый R -модуль. Тогда тензорное произведение A и B является абелевой группой, определяемой соотношением: где — свободная абелева группа над , а G — подгруппа группы , порожденная соотношениями: $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

Универсальное свойство можно сформулировать следующим образом. Пусть G — абелева группа с отображением , которое является билинейным в том смысле, что: ${\displaystyle q:A\times B\to G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

Тогда существует единственная карта такая, что для всех и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$ ${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

Кроме того, мы можем задать структуру модуля при некоторых дополнительных условиях: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

1. Если A является ( S , R )-бимодулем, то является левым S -модулем, где ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$
2. Если B является ( R , S )-бимодулем, то является правым S -модулем, где ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$
3. Если A является ( S , R )-бимодулем, а B является ( R , T )-бимодулем, то является ( S , T )-бимодулем, где левые и правые действия определяются так же, как в предыдущих двух примерах. ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
4. Если R — коммутативное кольцо, то A и B являются ( R , R )-бимодулями, где и ⁠ ⁠ . По 3) можно заключить, что является ( R , R )-бимодулем. ${\displaystyle ra:=ar}$ ${\displaystyle br:=rb}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Вычисление тензорного произведения

Для векторных пространств тензорное произведение вычисляется быстро, поскольку базисы V из W немедленно определяют базис ⁠ ⁠ , как было упомянуто выше. Для модулей над общим (коммутативным) кольцом не каждый модуль свободен. Например, Z / n Z не является свободной абелевой группой ( Z -модулем). Тензорное произведение с Z / n Z задается формулой: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ $${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

В более общем случае, если задано представление некоторого R -модуля M , то есть ряда генераторов вместе с соотношениями: тензорное произведение может быть вычислено как следующее коядро : ${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$ $${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

Здесь ⁠ ⁠ ${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N}$ , и отображение определяется путем отправки некоторого в j -й копии в (в ⁠ ⁠ ). В разговорной речи это можно перефразировать, сказав, что представление M приводит к представлению ⁠ ⁠ . Это упоминается, говоря, что тензорное произведение является правым точным функтором . Он не является в общем случае левым точным, то есть, учитывая инъективное отображение R -модулей ⁠ ⁠ , тензорное произведение: обычно не является инъективным. Например, тензоризация (инъективного) отображения, заданного умножением на n , n  : Z → Z с Z / n Z дает нулевое отображение 0 : Z / n Z → Z / n Z , которое не является инъективным. Высшие функторы Tor измеряют дефект тензорного произведения, не являющегося левым точным. Все высшие функторы Tor собираются в производное тензорное произведение . ${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle N^{J}}$ ${\displaystyle a_{ij}n}$ ${\displaystyle N^{I}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$

Тензорное произведение алгебр

Пусть R — коммутативное кольцо. Тензорное произведение R -модулей применяется, в частности, если A и B — R -алгебры . В этом случае тензорное произведение само является R -алгеброй, если положить: Например: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ $${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).}$$ $${\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].}$$

Конкретным примером является случай, когда A и B являются полями, содержащими общее подполе R. Тензорное произведение полей тесно связано с теорией Галуа : если, скажем, A = R [ x ] / f ( x ) , где f — некоторый неприводимый многочлен с коэффициентами в R , тензорное произведение можно вычислить как: где теперь f интерпретируется как тот же многочлен, но с его коэффициентами, рассматриваемыми как элементы B . В большем поле B многочлен может стать приводимым, что приводит к теории Галуа. Например, если A = B является расширением Галуа R , то: изоморфно (как A -алгебра) ⁠ ⁠ . $${\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)}$$ $${\displaystyle A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)}$$ ${\displaystyle A^{\operatorname {deg} (f)}}$

Собственные конфигурации тензоров

Квадратные матрицы с элементами в поле представляют линейные отображения векторных пространств , скажем ⁠ ⁠ , и, таким образом, линейные отображения проективных пространств над ⁠ ⁠ . Если невырождено , то хорошо определено всюду , и собственные векторы соответствуют неподвижным точкам ⁠ ⁠ . Собственная конфигурация состоит из точек в ⁠ ⁠ , при условии, что является общим и алгебраически замкнутым . Неподвижные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Пусть будет -мерным тензором формата с элементами, лежащими в алгебраически замкнутом поле нулевой характеристики . Такой тензор определяет полиномиальные отображения и с координатами: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ $${\displaystyle \psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n}$$

Таким образом, каждая из координат является однородным многочленом степени в ⁠ ⁠ . Собственные векторы являются решениями ограничения: и собственная конфигурация задается многообразием миноров этой матрицы. ^[10] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1}$$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Другие примеры тензорных произведений

Топологические тензорные произведения

Гильбертовы пространства обобщают конечномерные векторные пространства на произвольные размерности. Существует аналогичная операция , также называемая «тензорным произведением», которая делает гильбертовы пространства симметричной моноидальной категорией . Она по сути построена как пополнение метрического пространства алгебраического тензорного произведения, обсуждавшегося выше. Однако она не удовлетворяет очевидному аналогу универсального свойства, определяющего тензорные произведения; ^[11] морфизмы для этого свойства должны быть ограничены операторами Гильберта–Шмидта . ^[12]

В ситуациях, когда наложение внутреннего произведения нецелесообразно, можно все равно попытаться завершить алгебраическое тензорное произведение, как топологическое тензорное произведение . Однако такая конструкция больше не является однозначно определенной: во многих случаях существует несколько естественных топологий на алгебраическом тензорном произведении.

Тензорное произведение градуированных векторных пространств

Некоторые векторные пространства могут быть разложены на прямые суммы подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств может быть разложено на суммы произведений подпространств (по аналогии с тем, как умножение распределяется по сложению).

Тензорное произведение представлений

Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебрами . Тензорное произведение таких алгебр описывается правилом Литтлвуда–Ричардсона .

Тензорное произведение квадратичных форм

Тензорное произведение полилинейных форм

Если заданы две полилинейные формы и на векторном пространстве над полем их тензорное произведение является полилинейной формой: ^[13] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

Это частный случай произведения тензоров, если они рассматриваются как полилинейные отображения (см. также тензоры как полилинейные отображения ). Таким образом, компоненты тензорного произведения полилинейных форм могут быть вычислены с помощью произведения Кронекера .

Тензорное произведение пучков модулей

Тензорное произведение линейных расслоений

Тензорное произведение полей

Тензорное произведение графов

Следует отметить, что, хотя это и называется «тензорным произведением», это не тензорное произведение графов в указанном выше смысле; на самом деле это категориально -теоретическое произведение в категории графов и гомоморфизмов графов . Однако на самом деле это тензорное произведение Кронекера матриц смежности графов. Сравните также раздел Тензорное произведение линейных отображений выше.

Моноидальные категории

Наиболее общей настройкой для тензорного произведения является моноидальная категория . Она охватывает алгебраическую сущность тензоризации, не делая никаких конкретных ссылок на то, что тензорируется. Таким образом, все тензорные произведения могут быть выражены как приложение моноидальной категории к некоторой конкретной настройке, действующей на некоторые конкретные объекты.

Факторные алгебры

Ряд важных подпространств тензорной алгебры можно построить как факторы : к ним относятся внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебра Клиффорда , алгебра Вейля и универсальная обертывающая алгебра в целом.

Внешняя алгебра строится из внешнего произведения . Для векторного пространства V внешнее произведение определяется как: ${\displaystyle V\wedge V}$ $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$$

Если базовое поле V не имеет характеристики 2, то это определение эквивалентно следующему: $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

Образ во внешнем произведении обычно обозначается и удовлетворяет, по построению, ⁠ ⁠ . Аналогичные построения возможны для ( n факторов), порождая ⁠ ⁠ , n -ю внешнюю степень V . Последнее понятие является основой дифференциальных n -форм . ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}}$ ${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$ ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$

Симметричная алгебра строится аналогичным образом из симметричного произведения : $${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

В более общем плане: $${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}{\big /}(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$$

То есть в симметричной алгебре два соседних вектора (а значит, и все из них) можно поменять местами. Получающиеся объекты называются симметричными тензорами .

Тензорное произведение в программировании

Языки программирования массивов

Языки программирования массивов могут иметь встроенный шаблон. Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.×(например A ○.× B, или A ○.× B ○.× C). В J тензорное произведение является диадической формой */(например a */ b, или a */ b */ c).

Обработка J также допускает представление некоторых тензорных полей, так как aи могут бытьb функциями вместо констант. Это произведение двух функций является производной функцией, и если aи bдифференцируемы , то дифференцируемо.a */ b

Однако эти виды обозначений не всегда присутствуют в языках массивов. Другие языки массивов могут требовать явной обработки индексов (например, MATLAB ) и/или могут не поддерживать функции более высокого порядка, такие как производная Якоби (например, Fortran /APL).

Смотрите также

• Диадика  – Тензор второго порядка в векторной алгебре
• Расширение скаляров
• Моноидальная категория  – Категория, допускающая тензорные произведения
• Тензорная алгебра  – Универсальная конструкция в полилинейной алгебре
• Свертка тензора  – Операция в математике и физике
• Топологическое тензорное произведение  – Конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств

Примечания

1. Trèves 2006, стр. 403–404.
2. Trèves 2006, стр. 407.
3. Хазевинкель, Мишель; Губарени Надежда Михайловна; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир Владимирович (2004). Алгебры, кольца и модули . Спрингер. п. 100. ИСБН 978-1-4020-2690-4.
4. Бурбаки (1989), стр. 244 определяет использование «тензорного произведения x и y », элементов соответствующих модулей.
5. Аналогичные формулы справедливы также для контравариантных тензоров, а также тензоров смешанной дисперсии. Хотя во многих случаях, например, когда определен внутренний продукт , различие несущественно.
6. "The Coevaluation on Vector Spaces". The Unapologetic Mathematician . 2008-11-13. Архивировано из оригинала 2017-02-02 . Получено 2017-01-26 .
7. См . Компактная закрытая категория .
8. Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Springer. ISBN 0-387-90518-9.
9. Чэнь, Джункай Альфред (весна 2004 г.), «Тензорное произведение» (PDF) , Advanced Algebra II (лекции), Национальный университет Тайваня, архив (PDF) из оригинала 2016-03-04{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Або, Х.; Сейгал, А.; Штурмфельс, Б. (2015). «Собственные конфигурации тензоров». arXiv : 1505.05729 [math.AG].
11. Гарретт, Пол (22 июля 2010 г.). «Несуществование тензорных произведений гильбертовых пространств» (PDF) .
12. Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1997). Основы теории операторных алгебр . Аспирантура по математике . Том I. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . Теория 2.6.4. ISBN 978-0-8218-0819-1. МР  1468229.
13. Tu, LW (2010). Введение в многообразия . Universitext. Springer. стр. 25. ISBN 978-1-4419-7399-3.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989). Элементы математики, Алгебра I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Гауэрс, Тимоти . «Как избавиться от страха перед тензорными произведениями». Архивировано из оригинала 7 мая 2021 г.
• Гриле, Пьер А. (2007). Абстрактная алгебра . Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Халмош, Пол (1974). Конечномерные векторные пространства . Спрингер. ISBN 0-387-90093-4.
• Хангерфорд, Томас В. (2003). Алгебра . Springer. ISBN 0387905189.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S. ; Birkhoff, G. (1999). Алгебра . AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Агиар, М.; Махаджан, С. (2010). Моноидальные функторы, виды и алгебры Хопфа . Серия монографий CRM, том 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• «Библиография по неабелеву тензорному произведению групп».