Singular value decomposition

Матричное разложение

Illustration of the singular value decomposition UΣV^⁎ of a real 2 × 2 matrix M.

• Top: The action of M, indicated by its effect on the unit disc D and the two canonical unit vectors e₁ and e₂.
• Left: The action of V^⁎, a rotation, on D, e₁, and e₂.
• Bottom: The action of Σ, a scaling by the singular values σ₁ horizontally and σ₂ vertically.
• Right: The action of U, another rotation.

In linear algebra, the singular value decomposition (SVD) is a factorization of a real or complex matrix into a rotation, followed by a rescaling followed by another rotation. It generalizes the eigendecomposition of a square normal matrix with an orthonormal eigenbasis to any ⁠ ${\displaystyle m\times n}$⁠ matrix. It is related to the polar decomposition.

Specifically, the singular value decomposition of an ${\displaystyle m\times n}$ complex matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ is a factorization of the form ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U\Sigma V^{*}} ,}$ where ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ is an ⁠ ${\displaystyle m\times m}$⁠ complex unitary matrix, ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ is an ${\displaystyle m\times n}$ rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ is an ${\displaystyle n\times n}$ complex unitary matrix, and ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ is the conjugate transpose of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠. Such decomposition always exists for any complex matrix. If ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ is real, then ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ can be guaranteed to be real orthogonal matrices; in such contexts, the SVD is often denoted ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\mathrm {T} }.}$

The diagonal entries ${\displaystyle \sigma _{i}=\Sigma _{ii}}$ of ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ are uniquely determined by ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ and are known as the singular values of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠. The number of non-zero singular values is equal to the rank of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠. The columns of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and the columns of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ are called left-singular vectors and right-singular vectors of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠, respectively. They form two sets of orthonormal bases ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n},}$⁠ and if they are sorted so that the singular values ${\displaystyle \sigma _{i}}$ with value zero are all in the highest-numbered columns (or rows), the singular value decomposition can be written as

$${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i=1}^{r}\sigma _{i}\mathbf {u} _{i}\mathbf {v} _{i}^{*},}$$

where ${\displaystyle r\leq \min\{m,n\}}$ is the rank of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠

The SVD is not unique, however it is always possible to choose the decomposition such that the singular values ${\displaystyle \Sigma _{ii}}$ are in descending order. In this case, ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ (but not ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠) is uniquely determined by ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠

The term sometimes refers to the compact SVD, a similar decomposition ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U\Sigma V} ^{*}}$⁠ in which ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$⁠ is square diagonal of size ⁠ ${\displaystyle r\times r,}$⁠ where ⁠ ${\displaystyle r\leq \min\{m,n\}}$⁠ is the rank of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$⁠ and has only the non-zero singular values. In this variant, ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ is an ⁠ ${\displaystyle m\times r}$⁠ semi-unitary matrix and ${\displaystyle \mathbf {V} }$ is an ⁠ ${\displaystyle n\times r}$⁠ semi-unitary matrix, such that ${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {V} ^{*}\mathbf {V} =\mathbf {I} _{r}.}$

Mathematical applications of the SVD include computing the pseudoinverse, matrix approximation, and determining the rank, range, and null space of a matrix. The SVD is also extremely useful in all areas of science, engineering, and statistics, such as signal processing, least squares fitting of data, and process control.

Intuitive interpretations

Анимированная иллюстрация SVD двумерной действительной матрицы сдвига M. Сначала мы видим единичный диск синего цвета вместе с двумя каноническими единичными векторами . Затем мы видим действия M , которые искажают диск до эллипса . SVD разлагает M на три простых преобразования: начальное вращение V ^⁎ , масштабирование вдоль осей координат и конечное вращение U. Длины σ ₁ и σ ₂ полуосей эллипса являются сингулярными значениями M , а именно Σ _1,1 и Σ _2,2 . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

Визуализация умножения матриц в сингулярном разложении

Вращение, масштабирование координат и отражение

В особом случае, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ является ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\times m}$ действительной квадратной матрицей , матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ также могут быть выбраны действительными ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\times m}$ матрицами. В этом случае «унитарный» — то же самое, что и « ортогональный ». Затем, интерпретируя как унитарные матрицы, так и диагональную матрицу, суммированную здесь как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ как линейное преобразование ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {Ax} }$ пространства ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} _{m},}$ матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ представляют повороты или отражение пространства, в то время как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ представляет масштабирование каждой координаты ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ на коэффициент ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}.}$ Таким образом, разложение SVD разбивает любое линейное преобразование ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$ на композицию трех геометрических преобразований : поворот или отражение ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ ), за которым следует масштабирование по координатам ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ), за которым следует еще один поворот или отражение ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ).

In particular, if ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ has a positive determinant, then ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$⁠ can be chosen to be both rotations with reflections, or both rotations without reflections.^{[citation needed]} If the determinant is negative, exactly one of them will have a reflection. If the determinant is zero, each can be independently chosen to be of either type.

If the matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ is real but not square, namely ⁠ ${\displaystyle m\times n}$⁠ with ⁠ ${\displaystyle m\neq n,}$⁠ it can be interpreted as a linear transformation from ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$⁠ to ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}.}$⁠ Then ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$⁠ can be chosen to be rotations/reflections of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$⁠ respectively; and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ,}$⁠ besides scaling the first ⁠ ${\displaystyle \min\{m,n\}}$⁠ coordinates, also extends the vector with zeros, i.e. removes trailing coordinates, so as to turn ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$⁠ into ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}.}$⁠

Singular values as semiaxes of an ellipse or ellipsoid

As shown in the figure, the singular values can be interpreted as the magnitude of the semiaxes of an ellipse in 2D. This concept can be generalized to ⁠ ${\displaystyle n}$⁠-dimensional Euclidean space, with the singular values of any ⁠ ${\displaystyle n\times n}$⁠ square matrix being viewed as the magnitude of the semiaxis of an ⁠ ${\displaystyle n}$⁠-dimensional ellipsoid. Similarly, the singular values of any ⁠ ${\displaystyle m\times n}$⁠ matrix can be viewed as the magnitude of the semiaxis of an ⁠ ${\displaystyle n}$⁠-dimensional ellipsoid in ⁠ ${\displaystyle m}$⁠-dimensional space, for example as an ellipse in a (tilted) 2D plane in a 3D space. Singular values encode magnitude of the semiaxis, while singular vectors encode direction. See below for further details.

The columns of U and V are orthonormal bases

Поскольку ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ являются унитарными, столбцы каждого из них образуют набор ортонормированных векторов , которые можно рассматривать как базисные векторы . Матрица ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ отображает базисный вектор ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$ в растянутый единичный вектор ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}\mathbf {U} _{i}.}$ По определению унитарной матрицы то же самое верно для их сопряженных транспонированных ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}}$ и ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbf {V} ,}$ за исключением того, что геометрическая интерпретация сингулярных значений как растяжек теряется. Короче говоря, столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} ,}$ ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{*},}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ являются ортонормированными базисами . Когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ является положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ обе равны унитарной матрице, используемой для диагонализации ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$ Однако, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ не является положительно-полуопределенной и эрмитовой, но все еще диагонализируемой , ее собственное разложение и разложение по сингулярным значениям различны.

Отношение к четырем фундаментальным подпространствам

• Первые ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ являются базисом столбчатого пространства ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {M} }$
• Последние ⁠ ⁠ ${\displaystyle m-r}$ столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ являются базисом нулевого пространства ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}}$
• Первые ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ являются базисом пространства столбцов ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}}$ ( пространства строк ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ в действительном случае).
• Последние ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-r}$ столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ являются базисом нулевого пространства ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ .

Геометрическое значение

Поскольку ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ являются унитарными, мы знаем, что столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} _{1},\ldots ,\mathbf {U} _{m}}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ дают ортонормированный базис ⁠ ⁠ , ${\displaystyle K^{m}}$ а столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} _{1},\ldots ,\mathbf {V} _{n}}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ дают ортонормированный базис ⁠ ⁠ ${\displaystyle K^{n}}$ (относительно стандартных скалярных произведений в этих пространствах).

Линейное преобразование

$${\displaystyle T:\left\{{\begin{aligned}K^{n}&\to K^{m}\\x&\mapsto \mathbf {M} x\end{aligned}}\right.}$$

has a particularly simple description with respect to these orthonormal bases: we have

$${\displaystyle T(\mathbf {V} _{i})=\sigma _{i}\mathbf {U} _{i},\qquad i=1,\ldots ,\min(m,n),}$$

where ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$⁠ is the ⁠ ${\displaystyle i}$⁠-th diagonal entry of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ,}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle T(\mathbf {V} _{i})=0}$⁠ for ⁠ ${\displaystyle i>\min(m,n).}$⁠

The geometric content of the SVD theorem can thus be summarized as follows: for every linear map ⁠ ${\displaystyle T:K^{n}\to K^{m}}$⁠ one can find orthonormal bases of ⁠ ${\displaystyle K^{n}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle K^{m}}$⁠ such that ⁠ ${\displaystyle T}$⁠ maps the ⁠ ${\displaystyle i}$⁠-th basis vector of ⁠ ${\displaystyle K^{n}}$⁠ to a non-negative multiple of the ⁠ ${\displaystyle i}$⁠-th basis vector of ⁠ ${\displaystyle K^{m},}$⁠ and sends the leftover basis vectors to zero. With respect to these bases, the map ⁠ ${\displaystyle T}$⁠ is therefore represented by a diagonal matrix with non-negative real diagonal entries.

To get a more visual flavor of singular values and SVD factorization – at least when working on real vector spaces – consider the sphere ⁠ ${\displaystyle S}$⁠ of radius one in ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.}$⁠ The linear map ⁠ ${\displaystyle T}$⁠ maps this sphere onto an ellipsoid in ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}.}$⁠ Non-zero singular values are simply the lengths of the semi-axes of this ellipsoid. Especially when ⁠ ${\displaystyle n=m,}$⁠ and all the singular values are distinct and non-zero, the SVD of the linear map ⁠ ${\displaystyle T}$⁠ can be easily analyzed as a succession of three consecutive moves: consider the ellipsoid ⁠ ${\displaystyle T(S)}$⁠ and specifically its axes; then consider the directions in ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$⁠ sent by ⁠ ${\displaystyle T}$⁠ onto these axes. These directions happen to be mutually orthogonal. Apply first an isometry ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$⁠ sending these directions to the coordinate axes of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.}$⁠ On a second move, apply an endomorphism ⁠ ${\displaystyle \mathbf {D} }$⁠ diagonalized along the coordinate axes and stretching or shrinking in each direction, using the semi-axes lengths of ⁠ ${\displaystyle T(S)}$⁠ as stretching coefficients. The composition ⁠ ${\displaystyle \mathbf {D} \circ \mathbf {V} ^{*}}$⁠ then sends the unit-sphere onto an ellipsoid isometric to ⁠ ${\displaystyle T(S).}$⁠ To define the third and last move, apply an isometry ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ to this ellipsoid to obtain ⁠ ${\displaystyle T(S).}$⁠ As can be easily checked, the composition ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} \circ \mathbf {D} \circ \mathbf {V} ^{*}}$⁠ coincides with ⁠ ${\displaystyle T.}$⁠

Example

Consider the ⁠ ${\displaystyle 4\times 5}$⁠ matrix

$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&0&3&0&0\\0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\end{bmatrix}}}$$

A singular value decomposition of this matrix is given by ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$⁠

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\begin{bmatrix}\color {Green}0&\color {Blue}-1&\color {Cyan}0&\color {Emerald}0\\\color {Green}-1&\color {Blue}0&\color {Cyan}0&\color {Emerald}0\\\color {Green}0&\color {Blue}0&\color {Cyan}0&\color {Emerald}-1\\\color {Green}0&\color {Blue}0&\color {Cyan}-1&\color {Emerald}0\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {\Sigma } &={\begin{bmatrix}3&0&0&0&\color {Gray}{\mathit {0}}\\0&{\sqrt {5}}&0&0&\color {Gray}{\mathit {0}}\\0&0&2&0&\color {Gray}{\mathit {0}}\\0&0&0&\color {Red}\mathbf {0} &\color {Gray}{\mathit {0}}\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {V} ^{*}&={\begin{bmatrix}\color {Violet}0&\color {Violet}0&\color {Violet}-1&\color {Violet}0&\color {Violet}0\\\color {Plum}-{\sqrt {0.2}}&\color {Plum}0&\color {Plum}0&\color {Plum}0&\color {Plum}-{\sqrt {0.8}}\\\color {Magenta}0&\color {Magenta}-1&\color {Magenta}0&\color {Magenta}0&\color {Magenta}0\\\color {Orchid}0&\color {Orchid}0&\color {Orchid}0&\color {Orchid}1&\color {Orchid}0\\\color {Purple}-{\sqrt {0.8}}&\color {Purple}0&\color {Purple}0&\color {Purple}0&\color {Purple}{\sqrt {0.2}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

The scaling matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$⁠ is zero outside of the diagonal (grey italics) and one diagonal element is zero (red bold, light blue bold in dark mode). Furthermore, because the matrices ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$⁠ are unitary, multiplying by their respective conjugate transposes yields identity matrices, as shown below. In this case, because ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$⁠ are real valued, each is an orthogonal matrix.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {I} _{4}\\[6pt]\mathbf {V} \mathbf {V} ^{*}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {I} _{5}\end{aligned}}}$$

This particular singular value decomposition is not unique. Choosing ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ such that

$${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}={\begin{bmatrix}\color {Violet}0&\color {Violet}1&\color {Violet}0&\color {Violet}0&\color {Violet}0\\\color {Plum}0&\color {Plum}0&\color {Plum}1&\color {Plum}0&\color {Plum}0\\\color {Magenta}{\sqrt {0.2}}&\color {Magenta}0&\color {Magenta}0&\color {Magenta}0&\color {Magenta}{\sqrt {0.8}}\\\color {Orchid}{\sqrt {0.4}}&\color {Orchid}0&\color {Orchid}0&\color {Orchid}{\sqrt {0.5}}&\color {Orchid}-{\sqrt {0.1}}\\\color {Purple}-{\sqrt {0.4}}&\color {Purple}0&\color {Purple}0&\color {Purple}{\sqrt {0.5}}&\color {Purple}{\sqrt {0.1}}\end{bmatrix}}}$$

is also a valid singular value decomposition.

SVD and spectral decomposition

Singular values, singular vectors, and their relation to the SVD

A non-negative real number ⁠ ${\displaystyle \sigma }$⁠ is a singular value for ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ if and only if there exist unit-length vectors ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ in ⁠ ${\displaystyle K^{m}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ in ⁠ ${\displaystyle K^{n}}$⁠ such that

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Mv} &=\sigma \mathbf {u} ,\\[3mu]\mathbf {M} ^{*}\mathbf {u} &=\sigma \mathbf {v} .\end{aligned}}}$$

The vectors ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ are called left-singular and right-singular vectors for ⁠ ${\displaystyle \sigma ,}$⁠ respectively.

In any singular value decomposition

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$$

the diagonal entries of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$⁠ are equal to the singular values of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠ The first ⁠ ${\displaystyle p=\min(m,n)}$⁠ columns of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ are, respectively, left- and right-singular vectors for the corresponding singular values. Consequently, the above theorem implies that:

• An ⁠ ${\displaystyle m\times n}$⁠ matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ has at most ⁠ ${\displaystyle p}$⁠ distinct singular values.
• It is always possible to find a unitary basis ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ for ⁠ ${\displaystyle K^{m}}$⁠ with a subset of basis vectors spanning the left-singular vectors of each singular value of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠
• It is always possible to find a unitary basis ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ for ⁠ ${\displaystyle K^{n}}$⁠ with a subset of basis vectors spanning the right-singular vectors of each singular value of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠

A singular value for which we can find two left (or right) singular vectors that are linearly independent is called degenerate. If ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$⁠ are two left-singular vectors which both correspond to the singular value σ, then any normalized linear combination of the two vectors is also a left-singular vector corresponding to the singular value σ. The similar statement is true for right-singular vectors. The number of independent left and right-singular vectors coincides, and these singular vectors appear in the same columns of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ corresponding to diagonal elements of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$⁠ all with the same value ⁠ ${\displaystyle \sigma .}$⁠

As an exception, the left and right-singular vectors of singular value 0 comprise all unit vectors in the cokernel and kernel, respectively, of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$⁠ which by the rank–nullity theorem cannot be the same dimension if ⁠ ${\displaystyle m\neq n.}$⁠ Even if all singular values are nonzero, if ⁠ ${\displaystyle m>n}$⁠ then the cokernel is nontrivial, in which case ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ is padded with ⁠ ${\displaystyle m-n}$⁠ orthogonal vectors from the cokernel. Conversely, if ⁠ ${\displaystyle m<n,}$⁠ then ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ is padded by ⁠ ${\displaystyle n-m}$⁠ orthogonal vectors from the kernel. However, if the singular value of ⁠ ${\displaystyle 0}$⁠ exists, the extra columns of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ or ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ already appear as left or right-singular vectors.

Non-degenerate singular values always have unique left- and right-singular vectors, up to multiplication by a unit-phase factor ⁠ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$⁠ (for the real case up to a sign). Consequently, if all singular values of a square matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ are non-degenerate and non-zero, then its singular value decomposition is unique, up to multiplication of a column of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ by a unit-phase factor and simultaneous multiplication of the corresponding column of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ by the same unit-phase factor. In general, the SVD is unique up to arbitrary unitary transformations applied uniformly to the column vectors of both ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ spanning the subspaces of each singular value, and up to arbitrary unitary transformations on vectors of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ spanning the kernel and cokernel, respectively, of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠

Relation to eigenvalue decomposition

Разложение по сингулярным значениям является очень общим в том смысле, что его можно применить к любой матрице , ${\displaystyle m\times n}$ тогда как разложение по собственным значениям можно применить только к квадратным диагонализируемым матрицам . Тем не менее, эти два разложения связаны.

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ имеет SVD ⁠ ⁠, то ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*},}$ выполняются следующие два соотношения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} &=\mathbf {V} \mathbf {\Sigma } ^{*}\mathbf {U} ^{*}\,\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}=\mathbf {V} (\mathbf {\Sigma } ^{*}\mathbf {\Sigma } )\mathbf {V} ^{*},\\[3mu]\mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}&=\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}\,\mathbf {V} \mathbf {\Sigma } ^{*}\mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} (\mathbf {\Sigma } \mathbf {\Sigma } ^{*})\mathbf {U} ^{*}.\end{aligned}}}$$

Правые части этих соотношений описывают разложения собственных значений левых частей. Следовательно:

• Столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ (называемые правыми сингулярными векторами) являются собственными векторами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} .}$
• Столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ (называемые левыми сингулярными векторами) являются собственными векторами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}.}$
• Ненулевые элементы ⁠ ⁠ (ненулевые сингулярные значения) ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$являются квадратными корнями ненулевых собственных значений ⁠ ⁠ или ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}.}$

В частном случае ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbf {M} }$ являющейся нормальной матрицей , и, следовательно, также квадратной, спектральная теорема гарантирует, что она может быть унитарно диагонализирована с использованием базиса собственных векторов , и, таким образом, разложена как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {D} \mathbf {U} ^{*}}$ для некоторой унитарной матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и диагональной матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ с комплексными элементами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ вдоль диагонали. Когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ является положительно полуопределенной , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ будут неотрицательными действительными числами, так что разложение ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {D} \mathbf {U} ^{*}}$ также является разложением по сингулярным значениям. В противном случае его можно переформулировать как SVD, переместив фазу ⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ либо в соответствующую ⁠ ⁠ , ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$ либо ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} _{i}.}$ Естественная связь SVD с ненормальными матрицами осуществляется через теорему о полярном разложении : ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {S} \mathbf {R} ,}$ где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {U} ^{*}}$ является положительно полуопределенной и нормальной, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$ является унитарным.

Таким образом, за исключением положительно полуопределенных матриц, разложение по собственным значениям и SVD матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ хотя и связаны, различаются: разложение по собственным значениям ⁠ ⁠ ${\displaystyle {1}}$ где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ не обязательно унитарно и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ не обязательно положительно полуопределено, в то время как SVD ⁠ ⁠ ${\displaystyle {1}}$ где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ является диагональным и положительно полуопределенным, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ являются унитарными матрицами, которые не обязательно связаны, за исключением матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$ В то время как только недефектные квадратные матрицы имеют разложение по собственным значениям, любая ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\times n}$ матрица имеет SVD.

Применение СВД

Псевдообратный

Сингулярное разложение может быть использовано для вычисления псевдообратной матрицы. Псевдообратная матрица матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ с сингулярным разложением ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$ имеет вид:

$${\displaystyle \mathbf {M} ^{+}=\mathbf {V} {\boldsymbol {\Sigma }}^{+}\mathbf {U} ^{\ast },}$$

где — псевдообратная матрица , которая формируется путем замены каждого ненулевого диагонального элемента на его обратную величину и транспонирования полученной матрицы. Псевдообратная матрица — один из способов решения линейных задач наименьших квадратов . ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{+}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

Решение однородных линейных уравнений

A set of homogeneous linear equations can be written as ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {0} }$⁠ for a matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ and vector ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$⁠ A typical situation is that ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ is known and a non-zero ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠ is to be determined which satisfies the equation. Such an ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠ belongs to ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠'s null space and is sometimes called a (right) null vector of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$⁠ The vector ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠ can be characterized as a right-singular vector corresponding to a singular value of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ that is zero. This observation means that if ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ is a square matrix and has no vanishing singular value, the equation has no non-zero ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠ as a solution. It also means that if there are several vanishing singular values, any linear combination of the corresponding right-singular vectors is a valid solution. Analogously to the definition of a (right) null vector, a non-zero ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠ satisfying ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {0} }$⁠ with ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$⁠ denoting the conjugate transpose of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$⁠ is called a left null vector of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$⁠

Total least squares minimization

A total least squares problem seeks the vector ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠ that minimizes the 2-norm of a vector ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} }$⁠ under the constraint ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=1.}$ The solution turns out to be the right-singular vector of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ corresponding to the smallest singular value.

Range, null space and rank

Another application of the SVD is that it provides an explicit representation of the range and null space of a matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠ The right-singular vectors corresponding to vanishing singular values of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ span the null space of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ and the left-singular vectors corresponding to the non-zero singular values of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ span the range of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠ For example, in the above example the null space is spanned by the last row of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$⁠ and the range is spanned by the first three columns of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} .}$⁠

As a consequence, the rank of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ equals the number of non-zero singular values which is the same as the number of non-zero diagonal elements in ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$. In numerical linear algebra the singular values can be used to determine the effective rank of a matrix, as rounding error may lead to small but non-zero singular values in a rank deficient matrix. Singular values beyond a significant gap are assumed to be numerically equivalent to zero.

Low-rank matrix approximation

Some practical applications need to solve the problem of approximating a matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ with another matrix ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}}$, said to be truncated, which has a specific rank ⁠ ${\displaystyle r}$⁠. In the case that the approximation is based on minimizing the Frobenius norm of the difference between ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}}$⁠ under the constraint that ${\displaystyle \operatorname {rank} {\bigl (}{\tilde {\mathbf {M} }}{\bigr )}=r,}$ it turns out that the solution is given by the SVD of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$⁠ namely

$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}=\mathbf {U} {\tilde {\mathbf {\Sigma } }}\mathbf {V} ^{*},}$$

where ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {\Sigma } }}}$ is the same matrix as ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ except that it contains only the ⁠ ${\displaystyle r}$⁠ largest singular values (the other singular values are replaced by zero). This is known as the Eckart–Young theorem, as it was proved by those two authors in 1936 (although it was later found to have been known to earlier authors; see Stewart 1993).

Separable models

The SVD can be thought of as decomposing a matrix into a weighted, ordered sum of separable matrices. By separable, we mean that a matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ can be written as an outer product of two vectors ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}$⁠ or, in coordinates, ⁠ ${\displaystyle A_{ij}=u_{i}v_{j}.}$⁠ Specifically, the matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ can be decomposed as,

$${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}\mathbf {A} _{i}=\sum _{i}\sigma _{i}\mathbf {U} _{i}\otimes \mathbf {V} _{i}.}$$

Here ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} _{i}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$⁠ are the ⁠ ${\displaystyle i}$⁠-th columns of the corresponding SVD matrices, ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$⁠ are the ordered singular values, and each ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$⁠ is separable. The SVD can be used to find the decomposition of an image processing filter into separable horizontal and vertical filters. Note that the number of non-zero ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$⁠ is exactly the rank of the matrix.^{[citation needed]} Separable models often arise in biological systems, and the SVD factorization is useful to analyze such systems. For example, some visual area V1 simple cells' receptive fields can be well described^[1] by a Gabor filter in the space domain multiplied by a modulation function in the time domain. Thus, given a linear filter evaluated through, for example, reverse correlation, one can rearrange the two spatial dimensions into one dimension, thus yielding a two-dimensional filter (space, time) which can be decomposed through SVD. The first column of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ in the SVD factorization is then a Gabor while the first column of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ represents the time modulation (or vice versa). One may then define an index of separability

$${\displaystyle \alpha ={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sum _{i}\sigma _{i}^{2}}},}$$

which is the fraction of the power in the matrix M which is accounted for by the first separable matrix in the decomposition.^[2]

Nearest orthogonal matrix

It is possible to use the SVD of a square matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ to determine the orthogonal matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {O} }$⁠ closest to ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$⁠ The closeness of fit is measured by the Frobenius norm of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {O} -\mathbf {A} .}$⁠ The solution is the product ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}.}$⁠^[3] This intuitively makes sense because an orthogonal matrix would have the decomposition ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {I} \mathbf {V} ^{*}}$⁠ where ⁠ ${\displaystyle \mathbf {I} }$⁠ is the identity matrix, so that if ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$⁠ then the product ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$⁠ amounts to replacing the singular values with ones. Equivalently, the solution is the unitary matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$⁠ of the Polar Decomposition ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {R} \mathbf {P} =\mathbf {P} '\mathbf {R} }$ in either order of stretch and rotation, as described above.

A similar problem, with interesting applications in shape analysis, is the orthogonal Procrustes problem, which consists of finding an orthogonal matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {O} }$⁠ which most closely maps ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ to ⁠ ${\displaystyle \mathbf {B} .}$⁠ Specifically,

$${\displaystyle \mathbf {O} ={\underset {\Omega }{\operatorname {argmin} }}\|\mathbf {A} {\boldsymbol {\Omega }}-\mathbf {B} \|_{F}\quad {\text{subject to}}\quad {\boldsymbol {\Omega }}^{\operatorname {T} }{\boldsymbol {\Omega }}=\mathbf {I} ,}$$

where ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ denotes the Frobenius norm.

This problem is equivalent to finding the nearest orthogonal matrix to a given matrix ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\mathbf {B} }$.

The Kabsch algorithm

The Kabsch algorithm (called Wahba's problem in other fields) uses SVD to compute the optimal rotation (with respect to least-squares minimization) that will align a set of points with a corresponding set of points. It is used, among other applications, to compare the structures of molecules.

Signal processing

The SVD and pseudoinverse have been successfully applied to signal processing,^[4] image processing^[5] and big data (e.g., in genomic signal processing).^[6][7][8][9]

Other examples

The SVD is also applied extensively to the study of linear inverse problems and is useful in the analysis of regularization methods such as that of Tikhonov. It is widely used in statistics, where it is related to principal component analysis and to correspondence analysis, and in signal processing and pattern recognition. It is also used in output-only modal analysis, where the non-scaled mode shapes can be determined from the singular vectors. Yet another usage is latent semantic indexing in natural-language text processing.

In general numerical computation involving linear or linearized systems, there is a universal constant that characterizes the regularity or singularity of a problem, which is the system's "condition number" ${\displaystyle \kappa :=\sigma _{\text{max}}/\sigma _{\text{min}}}$. It often controls the error rate or convergence rate of a given computational scheme on such systems.^[10][11]

The SVD also plays a crucial role in the field of quantum information, in a form often referred to as the Schmidt decomposition. Through it, states of two quantum systems are naturally decomposed, providing a necessary and sufficient condition for them to be entangled: if the rank of the ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ matrix is larger than one.

One application of SVD to rather large matrices is in numerical weather prediction, where Lanczos methods are used to estimate the most linearly quickly growing few perturbations to the central numerical weather prediction over a given initial forward time period; i.e., the singular vectors corresponding to the largest singular values of the linearized propagator for the global weather over that time interval. The output singular vectors in this case are entire weather systems. These perturbations are then run through the full nonlinear model to generate an ensemble forecast, giving a handle on some of the uncertainty that should be allowed for around the current central prediction.

SVD has also been applied to reduced order modelling. The aim of reduced order modelling is to reduce the number of degrees of freedom in a complex system which is to be modeled. SVD was coupled with radial basis functions to interpolate solutions to three-dimensional unsteady flow problems.^[12]

Interestingly, SVD has been used to improve gravitational waveform modeling by the ground-based gravitational-wave interferometer aLIGO.^[13] SVD can help to increase the accuracy and speed of waveform generation to support gravitational-waves searches and update two different waveform models.

Singular value decomposition is used in recommender systems to predict people's item ratings.^[14] Distributed algorithms have been developed for the purpose of calculating the SVD on clusters of commodity machines.^[15]

Low-rank SVD has been applied for hotspot detection from spatiotemporal data with application to disease outbreak detection.^[16] A combination of SVD and higher-order SVD also has been applied for real time event detection from complex data streams (multivariate data with space and time dimensions) in disease surveillance.^[17]

In astrodynamics, the SVD and its variants are used as an option to determine suitable maneuver directions for transfer trajectory design^[18] and orbital station-keeping.^[19]

Proof of existence

An eigenvalue ⁠ ${\displaystyle \lambda }$⁠ of a matrix ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ is characterized by the algebraic relation ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} .}$⁠ When ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ is Hermitian, a variational characterization is also available. Let ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ be a real ⁠ ${\displaystyle n\times n}$⁠ symmetric matrix. Define

$${\displaystyle f:\left\{{\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to \mathbb {R} \\\mathbf {x} &\mapsto \mathbf {x} ^{\operatorname {T} }\mathbf {M} \mathbf {x} \end{aligned}}\right.}$$

By the extreme value theorem, this continuous function attains a maximum at some ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ when restricted to the unit sphere ${\displaystyle \{\|\mathbf {x} \|=1\}.}$ By the Lagrange multipliers theorem, ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ necessarily satisfies

$${\displaystyle \nabla \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }\mathbf {M} \mathbf {u} -\lambda \cdot \nabla \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }\mathbf {u} =0}$$

for some real number ⁠ ${\displaystyle \lambda .}$⁠ The nabla symbol, ⁠ ${\displaystyle \nabla }$⁠, is the del operator (differentiation with respect to ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠). Using the symmetry of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ we obtain

$${\displaystyle \nabla \mathbf {x} ^{\operatorname {T} }\mathbf {M} \mathbf {x} -\lambda \cdot \nabla \mathbf {x} ^{\operatorname {T} }\mathbf {x} =2(\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {x} .}$$

Therefore ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} ,}$⁠ so ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ is a unit length eigenvector of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠ For every unit length eigenvector ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ its eigenvalue is ⁠ ${\displaystyle f(\mathbf {v} ),}$⁠ so ⁠ ${\displaystyle \lambda }$⁠ is the largest eigenvalue of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$⁠ The same calculation performed on the orthogonal complement of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ gives the next largest eigenvalue and so on. The complex Hermitian case is similar; there ⁠ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {x} }$⁠ is a real-valued function of ⁠ ${\displaystyle 2n}$⁠ real variables.

Singular values are similar in that they can be described algebraically or from variational principles. Although, unlike the eigenvalue case, Hermiticity, or symmetry, of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ is no longer required.

This section gives these two arguments for existence of singular value decomposition.

Based on the spectral theorem

Let ${\displaystyle \mathbf {M} }$ be an ⁠ ${\displaystyle m\times n}$⁠ complex matrix. Since ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ is positive semi-definite and Hermitian, by the spectral theorem, there exists an ⁠ ${\displaystyle n\times n}$⁠ unitary matrix ${\displaystyle \mathbf {V} }$ such that

$${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} ={\bar {\mathbf {D} }}={\begin{bmatrix}\mathbf {D} &0\\0&0\end{bmatrix}},}$$

where ${\displaystyle \mathbf {D} }$ is diagonal and positive definite, of dimension ${\displaystyle \ell \times \ell }$, with ${\displaystyle \ell }$ the number of non-zero eigenvalues of ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ (which can be shown to verify ${\displaystyle \ell \leq \min(n,m)}$). Note that ${\displaystyle \mathbf {V} }$ is here by definition a matrix whose ${\displaystyle i}$-th column is the ${\displaystyle i}$-th eigenvector of ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$, corresponding to the eigenvalue ${\displaystyle {\bar {\mathbf {D} }}_{ii}}$. Moreover, the ${\displaystyle j}$-th column of ${\displaystyle \mathbf {V} }$, for ${\displaystyle j>\ell }$, is an eigenvector of ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ with eigenvalue ${\displaystyle {\bar {\mathbf {D} }}_{jj}=0}$. This can be expressed by writing ${\displaystyle \mathbf {V} }$ as ${\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{1}&\mathbf {V} _{2}\end{bmatrix}}}$, where the columns of ${\displaystyle \mathbf {V} _{1}}$ and ${\displaystyle \mathbf {V} _{2}}$ therefore contain the eigenvectors of ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ corresponding to non-zero and zero eigenvalues, respectively. Using this rewriting of ${\displaystyle \mathbf {V} }$, the equation becomes:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{1}^{*}\\\mathbf {V} _{2}^{*}\end{bmatrix}}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \,{\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{1}&\!\!\mathbf {V} _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{1}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{1}&\mathbf {V} _{1}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{2}\\\mathbf {V} _{2}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{1}&\mathbf {V} _{2}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {D} &0\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

This implies that

$${\displaystyle \mathbf {V} _{1}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{1}=\mathbf {D} ,\quad \mathbf {V} _{2}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{2}=\mathbf {0} .}$$

Moreover, the second equation implies ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {V} _{2}=\mathbf {0} }$.^[20] Finally, the unitary-ness of ${\displaystyle \mathbf {V} }$ translates, in terms of ${\displaystyle \mathbf {V} _{1}}$ and ${\displaystyle \mathbf {V} _{2}}$, into the following conditions:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{1}^{*}\mathbf {V} _{1}&=\mathbf {I} _{1},\\\mathbf {V} _{2}^{*}\mathbf {V} _{2}&=\mathbf {I} _{2},\\\mathbf {V} _{1}\mathbf {V} _{1}^{*}+\mathbf {V} _{2}\mathbf {V} _{2}^{*}&=\mathbf {I} _{12},\end{aligned}}}$$

where the subscripts on the identity matrices are used to remark that they are of different dimensions.

Let us now define

$${\displaystyle \mathbf {U} _{1}=\mathbf {M} \mathbf {V} _{1}\mathbf {D} ^{-{\frac {1}{2}}}.}$$

Then,

$${\displaystyle \mathbf {U} _{1}\mathbf {D} ^{\frac {1}{2}}\mathbf {V} _{1}^{*}=\mathbf {M} \mathbf {V} _{1}\mathbf {D} ^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {D} ^{\frac {1}{2}}\mathbf {V} _{1}^{*}=\mathbf {M} (\mathbf {I} -\mathbf {V} _{2}\mathbf {V} _{2}^{*})=\mathbf {M} -(\mathbf {M} \mathbf {V} _{2})\mathbf {V} _{2}^{*}=\mathbf {M} ,}$$

since ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {V} _{2}=\mathbf {0} .}$ This can be also seen as immediate consequence of the fact that ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {V} _{1}\mathbf {V} _{1}^{*}=\mathbf {M} }$. This is equivalent to the observation that if ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{i}\}_{i=1}^{\ell }}$ is the set of eigenvectors of ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ corresponding to non-vanishing eigenvalues ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=1}^{\ell }}$, then ${\displaystyle \{\mathbf {M} {\boldsymbol {v}}_{i}\}_{i=1}^{\ell }}$ is a set of orthogonal vectors, and ${\displaystyle {\bigl \{}\lambda _{i}^{-1/2}\mathbf {M} {\boldsymbol {v}}_{i}{\bigr \}}{\vphantom {|}}_{i=1}^{\ell }}$ is a (generally not complete) set of orthonormal vectors. This matches with the matrix formalism used above denoting with ${\displaystyle \mathbf {V} _{1}}$ the matrix whose columns are ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{i}\}_{i=1}^{\ell }}$, with ${\displaystyle \mathbf {V} _{2}}$ the matrix whose columns are the eigenvectors of ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ with vanishing eigenvalue, and ${\displaystyle \mathbf {U} _{1}}$ the matrix whose columns are the vectors ${\displaystyle {\bigl \{}\lambda _{i}^{-1/2}\mathbf {M} {\boldsymbol {v}}_{i}{\bigr \}}{\vphantom {|}}_{i=1}^{\ell }}$.

We see that this is almost the desired result, except that ${\displaystyle \mathbf {U} _{1}}$ and ${\displaystyle \mathbf {V} _{1}}$ are in general not unitary, since they might not be square. However, we do know that the number of rows of ${\displaystyle \mathbf {U} _{1}}$ is no smaller than the number of columns, since the dimensions of ${\displaystyle \mathbf {D} }$ is no greater than ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle n}$. Also, since

$${\displaystyle \mathbf {U} _{1}^{*}\mathbf {U} _{1}=\mathbf {D} ^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {V} _{1}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{1}\mathbf {D} ^{-{\frac {1}{2}}}=\mathbf {D} ^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {D} \mathbf {D} ^{-{\frac {1}{2}}}=\mathbf {I_{1}} ,}$$

the columns in ${\displaystyle \mathbf {U} _{1}}$ are orthonormal and can be extended to an orthonormal basis. This means that we can choose ${\displaystyle \mathbf {U} _{2}}$ such that ${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{1}&\mathbf {U} _{2}\end{bmatrix}}}$ is unitary.

For ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} _{1}}$⁠ we already have ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} _{2}}$⁠ to make it unitary. Now, define

$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}\mathbf {D} ^{\frac {1}{2}}&0\\0&0\end{bmatrix}}\\0\end{bmatrix}},}$$

where extra zero rows are added or removed to make the number of zero rows equal the number of columns of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} _{2},}$⁠ and hence the overall dimensions of ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ equal to ${\displaystyle m\times n}$. Then

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{1}&\mathbf {U} _{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}\mathbf {} D^{\frac {1}{2}}&0\\0&0\end{bmatrix}}\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{1}&\mathbf {V} _{2}\end{bmatrix}}^{*}={\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{1}&\mathbf {U} _{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {D} ^{\frac {1}{2}}\mathbf {V} _{1}^{*}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {U} _{1}\mathbf {D} ^{\frac {1}{2}}\mathbf {V} _{1}^{*}=\mathbf {M} ,}$$

which is the desired result:

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}.}$$

Notice the argument could begin with diagonalizing ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}}$⁠ rather than ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$⁠ (This shows directly that ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$⁠ have the same non-zero eigenvalues).

Based on variational characterization

The singular values can also be characterized as the maxima of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {M} \mathbf {v} ,}$⁠ considered as a function of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ,}$⁠ over particular subspaces. The singular vectors are the values of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ where these maxima are attained.

Let ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ denote an ⁠ ${\displaystyle m\times n}$⁠ matrix with real entries. Let ⁠ ${\displaystyle S^{k-1}}$⁠ be the unit ${\displaystyle (k-1)}$-sphere in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, and define ${\displaystyle \sigma (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{\operatorname {T} }\mathbf {M} \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in S^{m-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in S^{n-1}.}$

Consider the function ⁠ ${\displaystyle \sigma }$⁠ restricted to ⁠ ${\displaystyle S^{m-1}\times S^{n-1}.}$⁠ Since both ⁠ ${\displaystyle S^{m-1}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle S^{n-1}}$⁠ are compact sets, their product is also compact. Furthermore, since ⁠ ${\displaystyle \sigma }$⁠ is continuous, it attains a largest value for at least one pair of vectors ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ in ⁠ ${\displaystyle S^{m-1}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ in ⁠ ${\displaystyle S^{n-1}.}$⁠ This largest value is denoted ⁠ ${\displaystyle \sigma _{1}}$⁠ and the corresponding vectors are denoted ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}.}$⁠ Since ⁠ ${\displaystyle \sigma _{1}}$⁠ is the largest value of ⁠ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$⁠ it must be non-negative. If it were negative, changing the sign of either ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$⁠ or ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$⁠ would make it positive and therefore larger.

Statement. ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$⁠ are left and right-singular vectors of ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ with corresponding singular value ⁠ ${\displaystyle \sigma _{1}.}$⁠

Proof. Similar to the eigenvalues case, by assumption the two vectors satisfy the Lagrange multiplier equation:

$${\displaystyle \nabla \sigma =\nabla \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }\mathbf {M} \mathbf {v} -\lambda _{1}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }\mathbf {u} -\lambda _{2}\cdot \nabla \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }\mathbf {v} }$$

After some algebra, this becomes

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} \mathbf {v} _{1}&=2\lambda _{1}\mathbf {u} _{1}+0,\\\mathbf {M} ^{\operatorname {T} }\mathbf {u} _{1}&=0+2\lambda _{2}\mathbf {v} _{1}.\end{aligned}}}$$

Multiplying the first equation from left by ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\textrm {T}}}$⁠ and the second equation from left by ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}^{\textrm {T}}}$⁠ and taking ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1}$ into account gives

$${\displaystyle \sigma _{1}=2\lambda _{1}=2\lambda _{2}.}$$

Plugging this into the pair of equations above, we have

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} \mathbf {v} _{1}&=\sigma _{1}\mathbf {u} _{1},\\\mathbf {M} ^{\operatorname {T} }\mathbf {u} _{1}&=\sigma _{1}\mathbf {v} _{1}.\end{aligned}}}$$

This proves the statement.

More singular vectors and singular values can be found by maximizing ⁠ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$⁠ over normalized ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ which are orthogonal to ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$⁠ and ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},}$⁠ respectively.

The passage from real to complex is similar to the eigenvalue case.

Calculating the SVD

One-sided Jacobi algorithm

One-sided Jacobi algorithm is an iterative algorithm,^[21]where a matrix is iteratively transformed into a matrix with orthogonal columns. The elementary iteration is given as a Jacobi rotation,

$${\displaystyle M\leftarrow MJ(p,q,\theta ),}$$

where the angle ${\displaystyle \theta }$ of the Jacobi rotation matrix ${\displaystyle J(p,q,\theta )}$ is chosen such that after the rotation the columns with numbers ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$ become orthogonal. The indices ${\displaystyle (p,q)}$ are swept cyclically, ${\displaystyle (p=1\dots m,q=p+1\dots m)}$, where ${\displaystyle m}$ is the number of columns.

После сходимости алгоритма сингулярное разложение восстанавливается следующим образом: матрица представляет собой накопление матриц вращения Якоби, матрица задается путем нормализации столбцов преобразованной матрицы , а сингулярные значения задаются как нормы столбцов преобразованной матрицы . ${\displaystyle M=USV^{T}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Двусторонний алгоритм Якоби

Двусторонний алгоритм Jacobi SVD — обобщение алгоритма Jacobi eigenvalue — это итеративный алгоритм, в котором квадратная матрица итеративно преобразуется в диагональную матрицу. Если матрица не квадратная, сначала выполняется QR-разложение , а затем к матрице применяется алгоритм . Элементарная итерация обнуляет пару недиагональных элементов, сначала применяя вращение Гивенса для симметризации пары элементов, а затем применяя преобразование Jacobi для их обнуления, ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle M\leftarrow J^{T}GMJ}$$

где — матрица вращения Гивенса с углом, выбранным таким образом, чтобы заданная пара недиагональных элементов стала равной после вращения, а где — матрица преобразования Якоби, которая обнуляет эти недиагональные элементы. Итерации происходят точно так же, как в алгоритме собственных значений Якоби: циклическими проходами по всем недиагональным элементам. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$

После сходимости алгоритма результирующая диагональная матрица содержит сингулярные значения. Матрицы и накапливаются следующим образом: , . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\leftarrow UG^{T}J}$ ${\displaystyle V\leftarrow VJ}$

Численный подход

Разложение по сингулярным значениям можно вычислить, используя следующие наблюдения:

• Левые сингулярные векторы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ представляют собой набор ортонормированных собственных векторов ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}}$
• Право-сингулярные векторы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ представляют собой набор ортонормированных собственных векторов ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ .
• Ненулевые сингулярные значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ (найденные на диагональных элементах ) являются квадратными корнями ненулевых собственных значений как ⁠ ⁠ , так и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}}$

SVD матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ обычно вычисляется с помощью двухэтапной процедуры. На первом этапе матрица сводится к двухдиагональной матрице . Это занимает порядка ⁠ ⁠ ${\displaystyle O(mn^{2})}$ операций с плавающей точкой (флоп), предполагая, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\geq n.}$ Вторым этапом является вычисление SVD двухдиагональной матрицы. Этот этап можно выполнить только итеративным методом ( как в алгоритмах собственных значений ). Однако на практике достаточно вычислить SVD с определенной точностью, например, машинного эпсилона . Если эта точность считается постоянной, то второй этап занимает ⁠ ⁠ ${\displaystyle O(n)}$ итераций, каждая из которых стоит ⁠ ⁠ ${\displaystyle O(n)}$ флопов. Таким образом, первый этап более затратный, и общая стоимость составляет ⁠ ⁠ ${\displaystyle O(mn^{2})}$ флопов (Trefethen & Bau III 1997, Lecture 31).

Первый шаг можно сделать с помощью отражений Хаусхолдера за стоимость ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4mn^{2}-4n^{3}/3}$ флопов, предполагая, что нужны только сингулярные значения, а не сингулярные векторы. Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle m}$ намного больше ⁠ ⁠, ${\displaystyle n}$ то выгодно сначала свести матрицу ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ к треугольной матрице с помощью QR-разложения , а затем использовать отражения Хаусхолдера для дальнейшего сведения матрицы к двухдиагональной форме; общая стоимость составляет ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2mn^{2}+2n^{3}}$ флопов (Trefethen & Bau III 1997, Lecture 31).

Второй шаг может быть выполнен с помощью варианта алгоритма QR для вычисления собственных значений, который был впервые описан Голубом и Каханом (1965). Подпрограмма LAPACK DBDSQR ^[22] реализует этот итерационный метод с некоторыми модификациями для покрытия случая, когда сингулярные значения очень малы (Demmel & Kahan 1990). Вместе с первым шагом, использующим отражения Хаусхолдера и, при необходимости, разложение QR, это формирует процедуру DGESVD ^[23] для вычисления разложения сингулярных значений.

Тот же алгоритм реализован в GNU Scientific Library (GSL). GSL также предлагает альтернативный метод, который использует одностороннюю ортогонализацию Якоби на шаге 2 (GSL Team 2007). Этот метод вычисляет SVD двухдиагональной матрицы, решая последовательность ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\times 2}$ задач SVD, аналогично тому, как алгоритм собственных значений Якоби решает последовательность ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\times 2}$ методов собственных значений (Golub & Van Loan 1996, §8.6.3). Еще один метод для шага 2 использует идею алгоритмов собственных значений «разделяй и властвуй» (Trefethen & Bau III 1997, Lecture 31).

Существует альтернативный способ, который явно не использует разложение собственных значений. ^[24] Обычно проблема сингулярных значений матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ преобразуется в эквивалентную симметричную проблему собственных значений, такую ​​как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*},}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} ,}$ или

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {M} \\\mathbf {M} ^{*}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}.}$$

Подходы, использующие разложения собственных значений, основаны на алгоритме QR , который хорошо разработан, чтобы быть стабильным и быстрым. Обратите внимание, что сингулярные значения являются действительными, а правые и левые сингулярные векторы не требуются для формирования преобразований подобия. Можно итеративно чередовать разложение QR и разложение LQ , чтобы найти действительные диагональные эрмитовы матрицы . Разложение QR дает ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \Rightarrow \mathbf {Q} \mathbf {R} }$ и разложение LQ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ дает ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} \Rightarrow \mathbf {L} \mathbf {P} ^{*}.}$ Таким образом, на каждой итерации мы имеем ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \Rightarrow \mathbf {Q} \mathbf {L} \mathbf {P} ^{*},}$ обновление ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} \Leftarrow \mathbf {L} }$ и повторение ортогонализаций. В конечном итоге ^{[ необходимо разъяснение ]} эта итерация между разложением QR и разложением LQ дает левые и правые унитарные сингулярные матрицы. Этот подход не может быть легко ускорен, как алгоритм QR может со спектральными сдвигами или дефляцией. Это связано с тем, что метод сдвига нелегко определить без использования преобразований подобия. Однако этот итеративный подход очень прост в реализации, поэтому является хорошим выбором, когда скорость не имеет значения. Этот метод также дает представление о том, как чисто ортогональные/унитарные преобразования могут получить SVD.

Аналитический результат 2 × 2 SVD

Сингулярные значения матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\times 2}$ можно найти аналитически. Пусть матрица будет ${\displaystyle \mathbf {M} =z_{0}\mathbf {I} +z_{1}\sigma _{1}+z_{2}\sigma _{2}+z_{3}\sigma _{3}}$

где — комплексные числа, параметризующие матрицу, ⁠ ⁠ — единичная матрица, а обозначают матрицы Паули . Тогда ее два сингулярных значения задаются как ${\displaystyle z_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\pm }&={\sqrt {|z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}\pm {\sqrt {{\bigl (}|z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}{\bigr )}^{2}-|z_{0}^{2}-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}|^{2}}}}}\\&={\sqrt {|z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}\pm 2{\sqrt {(\operatorname {Re} z_{0}z_{1}^{*})^{2}+(\operatorname {Re} z_{0}z_{2}^{*})^{2}+(\operatorname {Re} z_{0}z_{3}^{*})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1}z_{2}^{*})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2}z_{3}^{*})^{2}+(\operatorname {Im} z_{3}z_{1}^{*})^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

Сокращенные СВД

Визуализация сокращенных вариантов SVD. Сверху вниз: 1: Полный SVD, 2: Тонкий SVD (удаление столбцов U , не соответствующих строкам V ^* ), 3: Компактный SVD (удаление исчезающих сингулярных значений и соответствующих столбцов/строк в U и V ^* ), 4: Усеченный SVD (сохранение только наибольших сингулярных значений t и соответствующих столбцов/строк в U и V ^* )

В приложениях довольно необычно, чтобы требовалось полное SVD, включая полное унитарное разложение нулевого пространства матрицы. Вместо этого часто достаточно (а также быстрее и экономичнее для хранения) вычислить сокращенную версию SVD. Для матрицы ⁠ ⁠ ранга ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\times n}$ можно выделить следующее : ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle r}$

Тонкая СВД

Тонкий, или экономичный, SVD матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ определяется по формуле ^[25]

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} _{k}\mathbf {\Sigma } _{k}\mathbf {V} _{k}^{*},}$$

где матрицы ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ содержат только первые ⁠ ⁠ столбцы ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ содержит только первые ⁠ ⁠ сингулярные значения из ⁠ ⁠ Матрица ⁠ ⁠, таким образом , ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ является ⁠ ⁠ диагональной, и ⁠ ⁠ является ⁠ ⁠ ${\displaystyle k=\min(m,n),}$ ${\displaystyle \mathbf {U} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } .}$ ${\displaystyle \mathbf {U} _{k}}$ ${\displaystyle m\times k,}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{k}^{*}}$ ${\displaystyle k\times n.}$

Тонкий SVD использует значительно меньше пространства и времени вычислений, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle k\ll \max(m,n).}$ Первым этапом его вычислений обычно будет QR-разложение ⁠ ⁠ , ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ что может значительно ускорить вычисления в этом случае.

Компактная СВД

Компактное SVD матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ задается выражением

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} _{r}\mathbf {\Sigma } _{r}\mathbf {V} _{r}^{*}.}$$

Вычисляются только ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ векторы-столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ векторы-строки ⁠ ⁠, соответствующие ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ ненулевым сингулярным значениям ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{r}}$ . Остальные векторы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ не вычисляются. Это быстрее и экономичнее, чем тонкий SVD, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle r\ll \min(m,n).}$ Матрица ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbf {U} _{r}}$ таким образом , ⁠ ${\displaystyle m\times r,}$ ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{r}}$ является ⁠ ⁠ ${\displaystyle r\times r}$ диагональной, и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} _{r}^{*}}$ является ⁠ ⁠ ${\displaystyle r\times n.}$

Укороченная СВД

Во многих приложениях число ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ ненулевых сингулярных значений велико, что делает даже Compact SVD непрактичным для вычисления. В таких случаях наименьшие сингулярные значения могут потребоваться усечь, чтобы вычислить только ⁠ ⁠ ${\displaystyle t\ll r}$ ненулевые сингулярные значения. Усеченный SVD больше не является точным разложением исходной матрицы ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ а скорее обеспечивает оптимальное приближение матрицы низкого ранга ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}}$ любой матрицей фиксированного ранга ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}=\mathbf {U} _{t}\mathbf {\Sigma } _{t}\mathbf {V} _{t}^{*},}$$

где матрица ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} _{t}}$ является ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\times t,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{t}}$ является ⁠ ⁠ ${\displaystyle t\times t}$ диагональной, и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} _{t}^{*}}$ является ⁠ ⁠ ${\displaystyle t\times n.}$ Вычисляются только ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ векторы-столбцы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ векторы-строки ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ соответствующие ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ наибольшим сингулярным значениям ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{t}}$ . Это может быть намного быстрее и экономичнее, чем компактный SVD, если ⁠ ⁠, ${\displaystyle t\ll r,}$ но требует совершенно другого набора инструментов численных решателей.

В приложениях, требующих приближения к обратной матрице Мура–Пенроуза ⁠ ⁠ , представляют интерес наименьшие ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ сингулярные значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ , вычислить которые сложнее, чем наибольшие.

Усеченный SVD используется в скрытой семантической индексации . ^[26]

Нормы

Нормы Ки Фана

Сумма наибольших ${\displaystyle k}$ сингулярных значений ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ является матричной нормой , нормой Ки Фана ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$⁠ ⁠ [ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$ 27 ^]

Первая из норм Ky Fan, Ky Fan 1-норма, совпадает с операторной нормой ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ как линейный оператор относительно евклидовых норм ⁠ ⁠ ${\displaystyle K^{m}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle K^{n}.}$ Другими словами, Ky Fan 1-норма является операторной нормой, индуцированной стандартным евклидовым скалярным произведением. По этой причине ее также называют операторной 2-нормой. Можно легко проверить связь между Ky Fan 1-нормой и сингулярными значениями. Это верно в общем случае для ограниченного оператора ⁠ ⁠ на (возможно, бесконечномерных) гильбертовых пространствах ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle \|\mathbf {M} \|=\|\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \|^{\frac {1}{2}}}$$

Но в случае матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} )^{1/2}}$ является нормальной матрицей , поэтому наибольшее собственное значение ⁠ ⁠ т.е. наибольшее сингулярное значение ⁠ ⁠ ${\displaystyle \|\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \|^{1/2}}$ ${\displaystyle (\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} )^{1/2},}$ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$

Последняя из норм Ки Фана, сумма всех сингулярных значений, является следовой нормой (также известной как «ядерная норма»), определяемой как (собственные значения ⁠ ⁠ являются квадратами сингулярных значений). ${\displaystyle \|\mathbf {M} \|=\operatorname {Tr} (\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} )^{1/2}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$

Норма Гильберта–Шмидта

Сингулярные значения связаны с другой нормой на пространстве операторов. Рассмотрим скалярное произведение Гильберта–Шмидта на матрицах ${\displaystyle n\times n}$ , определяемое как

$${\displaystyle \langle \mathbf {M} ,\mathbf {N} \rangle =\operatorname {tr} \left(\mathbf {N} ^{*}\mathbf {M} \right).}$$

Итак, индуцированная норма равна

$${\displaystyle \|\mathbf {M} \|={\sqrt {\langle \mathbf {M} ,\mathbf {M} \rangle }}={\sqrt {\operatorname {tr} \left(\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \right)}}.}$$

Поскольку след инвариантен относительно унитарной эквивалентности, это показывает,

$${\displaystyle \|\mathbf {M} \|={\sqrt {{\vphantom {\bigg |}}\sum _{i}\sigma _{i}^{2}}}}$$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ — сингулярные значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$ Это называется нормой Фробениуса , 2-нормой Шаттена или нормой Гильберта–Шмидта ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$ Прямое вычисление показывает, что норма Фробениуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} =(m_{i}j)}$ совпадает с:

$${\displaystyle {\sqrt {{\vphantom {\bigg |}}\sum _{ij}|m_{ij}|^{2}}}.}$$

Кроме того, норма Фробениуса и норма следа (ядерная норма) являются частными случаями нормы Шаттена .

Вариации и обобщения

Масштабно-инвариантный SVD

Сингулярные значения матрицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ определены однозначно и инвариантны относительно левых и/или правых унитарных преобразований ⁠ ⁠ Другими ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ словами, сингулярные значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {A} \mathbf {V} ,}$ для унитарных матриц ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ,}$ равны сингулярным значениям ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ Это важное свойство для приложений, в которых необходимо сохранять евклидовы расстояния и инвариантность относительно вращений.

Масштабно-инвариантный SVD, или SI-SVD, ^[28] аналогичен обычному SVD, за исключением того, что его однозначно определенные сингулярные значения инвариантны относительно диагональных преобразований ⁠ ⁠ Другими ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ словами, сингулярные значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {E} ,}$ для обратимых диагональных матриц ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {E} ,}$ равны сингулярным значениям ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ Это важное свойство для приложений, для которых требуется инвариантность к выбору единиц измерения переменных (например, метрические или имперские единицы).

Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах

Факторизацию ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$ можно расширить до ограниченного оператора ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ в сепарабельном гильбертовом пространстве ⁠ ⁠ ${\displaystyle H.}$ А именно, для любого ограниченного оператора ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ существуют частичная изометрия ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} ,}$ унитарное ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} ,}$ пространство с мерой ⁠ ⁠ ${\displaystyle (X,\mu ),}$ и неотрицательная измеримая ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ такая, что

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} T_{f}\mathbf {V} ^{*}}$$

где ⁠ ⁠ — ${\displaystyle T_{f}}$ это умножение на ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ на ⁠ ⁠ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu ).}$

Это можно показать, имитируя линейный алгебраический аргумент для матричного случая выше. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} T_{f}\mathbf {V} ^{*}}$ является единственным положительным квадратным корнем ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} ,}$ как дано функциональным исчислением Бореля для самосопряженных операторов . Причина, по которой ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ не обязательно должен быть унитарным, заключается в том, что, в отличие от конечномерного случая, при изометрии ⁠ ⁠ ${\displaystyle U_{1}}$ с нетривиальным ядром, подходящее ⁠ ⁠ ${\displaystyle U_{2}}$ может не быть найдено таким образом, что

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}}$$

является унитарным оператором.

Что касается матриц, то факторизация по сингулярным значениям эквивалентна полярному разложению для операторов: мы можем просто записать

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}\cdot \mathbf {V} T_{f}\mathbf {V} ^{*}}$$

и обратите внимание, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$ по-прежнему является частичной изометрией, в то время как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {V} T_{f}\mathbf {V} ^{*}}$ является положительным.

Сингулярные значения и компактные операторы

Понятие сингулярных значений и лево/право-сингулярных векторов может быть расширено до компактного оператора в гильбертовом пространстве, поскольку они имеют дискретный спектр. Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle T}$ компактно, каждое ненулевое ⁠ ⁠ ${\displaystyle \lambda }$ в его спектре является собственным значением. Более того, компактный самосопряженный оператор может быть диагонализирован его собственными векторами. Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ компактно, то и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ . Применяя результат диагонализации, унитарный образ его положительного квадратного корня ⁠ ⁠ ${\displaystyle T_{f}}$ имеет набор ортонормированных собственных векторов ⁠ ⁠, ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ соответствующих строго положительным собственным значениям ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{\sigma _{i}\}}$ . Для любого ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi }$ в ⁠ ⁠ ${\displaystyle H,}$

$${\displaystyle \mathbf {M} \psi =\mathbf {U} T_{f}\mathbf {V} ^{*}\psi =\sum _{i}\left\langle \mathbf {U} T_{f}\mathbf {V} ^{*}\psi ,\mathbf {U} e_{i}\right\rangle \mathbf {U} e_{i}=\sum _{i}\sigma _{i}\left\langle \psi ,\mathbf {V} e_{i}\right\rangle \mathbf {U} e_{i},}$$

где ряд сходится в топологии нормы на ⁠ ⁠ ${\displaystyle H.}$ Обратите внимание, как это напоминает выражение из конечномерного случая. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ называются сингулярными значениями ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{\mathbf {U} e_{i}\}}$ (соответственно ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{\mathbf {U} e_{i}\}}$ ) можно считать левосингулярными (соответственно правосингулярными) векторами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} .}$

Компактные операторы в гильбертовом пространстве являются замыканием операторов конечного ранга в равномерной операторной топологии. Вышеприведенное выражение ряда дает явное такое представление. Непосредственным следствием этого является:

Теорема. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ компактен тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$ компактен.

История

Сингулярное разложение было первоначально разработано дифференциальными геометрами , которые хотели определить, можно ли сделать действительную билинейную форму равной другой посредством независимых ортогональных преобразований двух пространств , на которых она действует. Эудженио Бельтрами и Камиль Джордан независимо друг от друга в 1873 и 1874 годах соответственно открыли, что сингулярные значения билинейных форм, представленные в виде матрицы, образуют полный набор инвариантов для билинейных форм при ортогональных подстановках. Джеймс Джозеф Сильвестр также пришел к сингулярному разложению для действительных квадратных матриц в 1889 году, по-видимому, независимо как от Бельтрами, так и от Джордана. Сильвестр назвал сингулярные значения каноническими множителями матрицы ⁠ ⁠ Четвертым математиком, независимо открывшим сингулярное разложение, был Отонн в 1915 году, который пришел к нему с помощью полярного разложения . Первое доказательство сингулярного разложения для прямоугольных и комплексных матриц, по-видимому, было получено Карлом Эккартом и Гейлом Дж. Янгом в 1936 году; ^[29] они рассматривали это как обобщение преобразования главной оси для эрмитовых матриц . ${\displaystyle \mathbf {A} .}$

В 1907 году Эрхард Шмидт определил аналог сингулярных значений для интегральных операторов (которые являются компактными при некоторых слабых технических предположениях); по-видимому, он не знал о параллельной работе по сингулярным значениям конечных матриц. Эта теория была далее развита Эмилем Пикаром в 1910 году, который первым назвал числа сингулярными значениями (или по-французски valeurs singulières ). ${\displaystyle \sigma _{k}}$

Практические методы вычисления SVD восходят к Когбетлянцу в 1954–1955 годах и Хестенсу в 1958 году ^[30], очень напоминающие алгоритм собственных значений Якоби , который использует вращения плоскости или вращения Гивенса . Однако они были заменены методом Джина Голуба и Уильяма Кахана , опубликованным в 1965 году ^[31] , который использует преобразования Хаусхолдера или отражения. В 1970 году Голуб и Кристиан Рейнш ^[32] опубликовали вариант алгоритма Голуба/Кахана, который до сих пор является наиболее используемым сегодня.

Смотрите также

• Каноническая корреляция
• Каноническая форма
• Анализ соответствия (CA)
• Проклятие размерности
• Цифровая обработка сигнала
• Уменьшение размерности
• Собственное разложение матрицы
• Эмпирические ортогональные функции (EOF)
• анализ Фурье
• Обобщенное сингулярное разложение
• Неравенства относительно сингулярных значений
• К-СВД
• Латентный семантический анализ
• Скрытая семантическая индексация
• Линейный метод наименьших квадратов
• Список преобразований Фурье
• Хеширование, чувствительное к местоположению
• Низкоранговое приближение
• Матричное разложение
• Многолинейный анализ главных компонент (MPCA)
• Поиск ближайшего соседа
• Нелинейный итеративный метод частичных наименьших квадратов
• Полярное разложение
• Анализ главных компонент (PCA)
• разложение Шмидта
• Нормальная форма Смита
• Единственное значение
• Временной ряд
• Двумерное сингулярное разложение (2DSVD)
• Неравенство следа фон Неймана
• Вейвлет-сжатие

Примечания

1. DeAngelis, GC; Ohzawa, I.; Freeman, RD (октябрь 1995 г.). «Динамика рецептивного поля в центральных зрительных путях». Trends Neurosci . 18 (10): 451–8. doi :10.1016/0166-2236(95)94496-R. PMID  8545912. S2CID  12827601.
2. Depireux, DA; Simon, JZ; Klein, DJ; Shamma, SA (март 2001 г.). «Характеристика спектрально-временного поля ответа с динамическими рябями в первичной слуховой коре хорька». J. Neurophysiol . 85 (3): 1220–34. doi :10.1152/jn.2001.85.3.1220. PMID  11247991.
3. Разложение сингулярных значений в симметричной (Lowdin) ортогонализации и сжатии данных
4. Sahidullah, Md.; Kinnunen, Tomi (март 2016). «Локальные спектральные характеристики изменчивости для проверки говорящего». Цифровая обработка сигналов . 50 : 1–11. doi :10.1016/j.dsp.2015.10.011.
5. Mademlis, Ioannis; Tefas, Anastasios; Pitas, Ioannis (2018). «Регуляризированная значимость видеокадра на основе SVD для неконтролируемого суммирования видео активности». Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP) 2018 года. IEEE. стр. 2691–2695. doi :10.1109/ICASSP.2018.8462274. ISBN 978-1-5386-4658-8. S2CID  52286352 . Получено 19 января 2023 г. .
6. O. Alter, PO Brown и D. Botstein (сентябрь 2000 г.). «Разложение сингулярных значений для обработки и моделирования данных экспрессии генома». PNAS . 97 (18): 10101–10106. Bibcode :2000PNAS...9710101A. doi : 10.1073/pnas.97.18.10101 . PMC 27718 . PMID  10963673. 
7. O. Alter; GH Golub (ноябрь 2004 г.). «Интегративный анализ данных в масштабе генома с использованием псевдообратной проекции предсказывает новую корреляцию между репликацией ДНК и транскрипцией РНК». PNAS . 101 (47): 16577–16582. Bibcode :2004PNAS..10116577A. doi : 10.1073/pnas.0406767101 . PMC 534520 . PMID  15545604. 
8. O. Alter; GH Golub (август 2006 г.). «Разложение сингулярных значений распределения длин мРНК в масштабе генома выявляет асимметрию в расширении полос электрофореза РНК в геле». PNAS . 103 (32): 11828–11833. Bibcode :2006PNAS..10311828A. doi : 10.1073/pnas.0604756103 . PMC 1524674 . PMID  16877539. 
9. Bertagnolli, NM; Drake, JA; Tennessen, JM; Alter, O. (ноябрь 2013 г.). "SVD идентифицирует функции распределения длины транскрипта из данных ДНК-микрочипов и выявляет эволюционные силы, глобально влияющие на метаболизм ГБМ". PLOS ONE . ​​8 (11): e78913. Bibcode :2013PLoSO...878913B. doi : 10.1371/journal.pone.0078913 . PMC 3839928 . PMID  24282503. Выделение. 
10. Эдельман, Алан (1992). «О распределении масштабированного числа обусловленности» (PDF) . Math. Comp . 58 (197): 185–190. Bibcode :1992MaCom..58..185E. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1106966-2 .
11. Шен, Цзяньхун (Джеки) (2001). «О сингулярных значениях гауссовых случайных матриц». Linear Alg. Appl . 326 (1–3): 1–14. doi : 10.1016/S0024-3795(00)00322-0 .
12. Уолтон, С.; Хассан, О.; Морган, К. (2013). «Моделирование пониженного порядка для нестационарного потока жидкости с использованием надлежащего ортогонального разложения и радиальных базисных функций». Прикладное математическое моделирование . 37 (20–21): 8930–8945. doi : 10.1016/j.apm.2013.04.025 .
13. Setyawati, Y.; Ohme, F.; Khan, S. (2019). «Улучшение модели гравитационной волны с помощью динамической калибровки». Physical Review D. 99 ( 2): 024010. arXiv : 1810.07060 . Bibcode : 2019PhRvD..99b4010S. doi : 10.1103/PhysRevD.99.024010. S2CID  118935941.
14. Сарвар, Бадрул; Карипис, Джордж; Констан, Джозеф А. и Ридл, Джон Т. (2000). «Применение снижения размерности в рекомендательной системе – пример» (PDF) . Университет Миннесоты . {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
15. Босаг Заде, Реза; Карлссон, Гуннар (2013). «Квадрат матрицы, не зависящей от размерности, с использованием MapReduce» (PDF) . arXiv : 1304.1467 . Bibcode :2013arXiv1304.1467B. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
16. Хади Фанаи Торк; Жуан Гама (сентябрь 2014 г.). «Метод собственного пространства для обнаружения пространственно-временных горячих точек». Expert Systems . 32 (3): 454–464. arXiv : 1406.3506 . Bibcode :2014arXiv1406.3506F. doi :10.1111/exsy.12088. S2CID  15476557.
17. Хади Фанаи Торк; Жуан Гама (май 2015 г.). «EigenEvent: алгоритм обнаружения событий из сложных потоков данных в синдромном наблюдении». Интеллектуальный анализ данных . 19 (3): 597–616. arXiv : 1406.3496 . doi : 10.3233/IDA-150734. S2CID  17966555.
18. Муралидхаран, Вивек; Хауэлл, Кэтлин (2023). «Растяжение направлений в цислунарном пространстве: применение для отправлений и проектирования трансферов». Астродинамика . 7 (2): 153–178. Bibcode : 2023AsDyn...7..153M. doi : 10.1007/s42064-022-0147-z. S2CID  252637213.
19. Муралидхаран, Вивек; Хауэлл, Кэтлин (2022). «Использование направлений растяжения для поддержания стационарности на гало-орбитах Земля-Луна». Достижения в космических исследованиях . 69 (1): 620–646. Bibcode : 2022AdSpR..69..620M. doi : 10.1016/j.asr.2021.10.028. S2CID  239490016.
20. Чтобы увидеть это, нам просто нужно это заметить и запомнить . ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbf {V} _{2}^{*}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} \mathbf {V} _{2})=\|\mathbf {M} \mathbf {V} _{2}\|^{2}}$ ${\displaystyle \|A\|=0\Leftrightarrow A=0}$
21. Rijk, PPM de (1989). «Односторонний алгоритм Якоби для вычисления разложения сингулярных значений на векторном компьютере». SIAM J. Sci. Stat. Comput . 10 : 359.
22. Netlib.org
23. Netlib.org
24. mathworks.co.kr/matlabcentral/fileexchange/12674-simple-svd
25. Деммель, Джеймс (2000). «Разложения». Шаблоны для решения алгебраических задач на собственные значения. Бай, Чжаоцзюнь; Деммель, Джеймс; Донгарра, Джек Дж.; Руэ, Аксель; ван дер Ворст, Хенк А. Общество промышленной и прикладной математики. doi : 10.1137/1.9780898719581. ISBN 978-0-89871-471-5.
26. Chicco, D; Masseroli, M (2015). «Программный пакет для прогнозирования аннотаций генов и белков и поиска сходства». Труды IEEE/ACM по вычислительной биологии и биоинформатике . 12 (4): 837–843. doi : 10.1109/TCBB.2014.2382127. hdl : 11311/959408 . PMID  26357324. S2CID  14714823.
27. Фань, Кентукки (1951). «Максимальные свойства и неравенства для собственных значений вполне непрерывных операторов». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 37 (11): 760–766. Bibcode :1951PNAS...37..760F. doi : 10.1073/pnas.37.11.760 . PMC 1063464 . PMID  16578416. 
28. Ульманн, Джеффри (2018), Обобщенная обратная матрица, согласованная с диагональными преобразованиями (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis, т. 239, стр. 781–800, архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2019 г.
29. Эккарт, К.; Янг, Г. (1936). «Аппроксимация одной матрицы другой более низкого ранга». Психометрика . 1 (3): 211–8. doi :10.1007/BF02288367. S2CID  10163399.
30. Хестенс, MR (1958). «Обращение матриц с помощью биортогонализации и связанные с этим результаты». Журнал Общества промышленной и прикладной математики . 6 (1): 51–90. doi :10.1137/0106005. JSTOR  2098862. MR  0092215.
31. (Голуб и Кахан 1965)
32. Голуб, Г.Х .; Рейнш, К. (1970). «Разложение по сингулярным значениям и решения методом наименьших квадратов». Числовая математика . 14 (5): 403–420. дои : 10.1007/BF02163027. MR  1553974. S2CID  123532178.

Ссылки

• Баннерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистической науке (1-е изд.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Бисгард, Джеймс (2021). Анализ и линейная алгебра: разложение сингулярных значений и приложения . Студенческая математическая библиотека (1-е изд.). AMS. ISBN 978-1-4704-6332-8.
• Chicco, D; Masseroli, M (2015). «Программный пакет для прогнозирования аннотаций генов и белков и поиска сходства». Труды IEEE/ACM по вычислительной биологии и биоинформатике . 12 (4): 837–843. doi : 10.1109/TCBB.2014.2382127. hdl : 11311/959408 . PMID  26357324. S2CID  14714823.
• Трефетен, Ллойд Н.; Бау III, Дэвид (1997). Численная линейная алгебра . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 978-0-89871-361-9.
• Деммель, Джеймс ; Кахан, Уильям (1990). «Точные сингулярные значения двухдиагональных матриц». Журнал SIAM по научным и статистическим вычислениям . 11 (5): 873–912. CiteSeerX  10.1.1.48.3740 . doi :10.1137/0911052.
• Голуб, Джин Х.; Кахан , Уильям (1965). «Вычисление сингулярных значений и псевдообратной матрицы». Журнал Общества промышленной и прикладной математики, Серия B: Численный анализ . 2 (2): 205–224. Bibcode : 1965SJNA....2..205G. doi : 10.1137/0702016. JSTOR  2949777.
• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления (3-е изд.). Университет Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-5414-9.
• GSL Team (2007). "§14.4 Разложение сингулярных значений". Научная библиотека GNU. Справочное руководство .
• Халлдор, Бьёрнссон и Венегас, Сильвия А. (1997). «Руководство по EOF и SVD-анализу климатических данных». Университет Макгилла, Отчет CCGCR № 97-1, Монреаль, Квебек, 52 стр.
• Хансен, ПК (1987). «Усеченный SVD как метод регуляризации». BIT . 27 (4): 534–553. doi :10.1007/BF01937276. S2CID  37591557.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985). "Раздел 7.3". Матричный анализ . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1991). "Глава 3" . Темы анализа матриц . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1.
• Самет, Х. (2006). Основы многомерных и метрических структур данных . Морган Кауфманн. ISBN 978-0-12-369446-1.
• Стрэнг Г. (1998). "Раздел 6.7". Введение в линейную алгебру (3-е изд.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0-9614088-5-5.
• Стюарт, GW (1993). «О ранней истории разложения сингулярных значений». SIAM Review . 35 (4): 551–566. CiteSeerX  10.1.1.23.1831 . doi :10.1137/1035134. hdl :1903/566. JSTOR  2132388.
• Wall, Michael E.; Rechtsteiner, Andreas; Rocha, Luis M. (2003). «Разложение сингулярных значений и анализ главных компонент». В DP Berrar; W. Dubitzky; M. Granzow (ред.). Практический подход к анализу данных микрочипов . Norwell, MA: Kluwer. стр. 91–109.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 2.6», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки

• Онлайн-калькулятор SVD