Единичная сфера

Сфера с радиусом один, обычно с центром в начале координат пространства.

Некоторые 1-сферы: ‖ x ‖ ₂ — норма для евклидова пространства.

В математике единичная сфера — это сфера единичного радиуса : множество точек на евклидовом расстоянии 1 от некоторой центральной точки в трехмерном пространстве . В более общем смысле единичная сфера ${\displaystyle n}$ — это сфера единичного радиуса в -мерном евклидовом пространстве ; единичная окружность — это частный случай, единичная сфера на плоскости . ( Открытый ) единичный шар — это область внутри единичной сферы, множество точек на расстоянии менее 1 от центра. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle 1}$

Сфера или шар с единичным радиусом и центром в начале координат пространства называется единичной сферой или единичным шаром. Любая произвольная сфера может быть преобразована в единичную сферу путем комбинации переноса и масштабирования , поэтому изучение сфер в целом часто можно свести к изучению единичной сферы.

Единичная сфера часто используется в качестве модели для сферической геометрии , поскольку она имеет постоянную кривизну сечения, равную 1, что упрощает вычисления. В тригонометрии длина дуги окружности на единичной окружности называется радианами и используется для измерения углового расстояния ; в сферической тригонометрии площадь поверхности на единичной сфере называется стерадианами и используется для измерения телесного угла .

В более общем контексте единичная сфера — это множество точек, находящихся на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где различные нормы могут использоваться в качестве общих понятий «расстояния», а (открытый) единичный шар — это область внутри.

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве измерений -мерная единичная сфера представляет собой множество всех точек , удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Открытый единичный шар — это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$

а замкнутый единичный шар — это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

Объем и площадь

Графики объемов ( V ) и площадей поверхности ( S ) единичных n -шаров

Классическое уравнение единичной сферы — это уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений осей -, - или -: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Объем единичного шара в евклидовом -пространстве и площадь поверхности единичной сферы появляются во многих важных формулах анализа . Объем единичного шара, который мы обозначаем, может быть выражен с помощью гамма-функции . Это ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V_{n},}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}$

где двойной факториал . ${\displaystyle n!!}$

Гиперобъем -мерной единичной сферы ( т.е. «площадь» границы -мерного единичного шара), который мы обозначим, можно выразить как ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1},}$

${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}}$

Например, — это «площадь» границы единичного шара , которая просто подсчитывает две точки. Тогда — это «площадь» границы единичного диска, которая является окружностью единичной окружности. — это площадь границы единичного шара , которая является площадью поверхности единичной сферы . ${\displaystyle A_{0}=2}$ ${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{1}=2\pi }$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$

Площади поверхности и объемы для некоторых значений следующие: ${\displaystyle n}$

где десятичные развернутые значения округляются до отображаемой точности. ${\displaystyle n\geq 2}$

Рекурсия

Значения удовлетворяют рекурсии: ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=2}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi }$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$для . ${\displaystyle n>1}$

Значения удовлетворяют рекурсии: ${\displaystyle V_{n}}$

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$для . ${\displaystyle n>1}$

Неотрицательные действительные измерения

Значение при неотрицательных действительных значениях иногда используется для нормализации меры Хаусдорфа. ^{[1] [2]} ${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$ ${\displaystyle n}$

Другие радиусы

Площадь поверхности -сферы радиусом равна , а объем -шара радиусом равен Например, площадь равна для двумерной поверхности трехмерного шара радиусом , объем равен для трехмерного шара радиусом  . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

Единичные шары в нормированных векторных пространствах

Открытый единичный шар нормированного векторного пространства с нормой задается выражением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$

Это топологическая внутренность замкнутого единичного шара ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$

Последнее есть непересекающееся объединение первого и их общей границы, единичной сферы ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$

«Форма» единичного шара полностью зависит от выбранной нормы; она вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть так, как в случае максимальной нормы в . Получается естественно круглый шар как единичный шар, относящийся к обычной норме гильбертова пространства , основанной в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница — это то, что обычно подразумевается под единичной сферой . ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Определим обычную -норму для как: ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

Тогда — обычная норма гильбертова пространства . называется нормой Хэмминга, или -нормой. Условие необходимо в определении нормы , так как единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым вследствие неравенства треугольника . Пусть обозначает максимальную норму или -норму . ${\displaystyle \|x\|_{2}}$ ${\displaystyle \|x\|_{1}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

Обратите внимание, что для одномерных окружностей двумерных единичных шаров мы имеем: ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$минимальное значение.

${\displaystyle C_{2}=2\pi }$

${\displaystyle C_{\infty }=8}$максимальное значение.

Обобщения

Метрические пространства

Все три из приведенных выше определений могут быть напрямую обобщены на метрическое пространство относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно должны применяться таким же образом (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а единичная сфера может быть даже пустой в некоторых метрических пространствах.

Квадратичные формы

Если — линейное пространство с действительной квадратичной формой, то его можно назвать единичной сферой ^{[3] [4]} или единичной квазисферой Например, квадратичная форма , приравненная к единице, образует единичную гиперболу , которая играет роль «единичной окружности» в плоскости расщепленных комплексных чисел . Аналогично, квадратичная форма образует пару прямых для единичной сферы в плоскости дуальных чисел . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{p\in V:F(p)=1\}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Смотрите также

• Мяч
• ${\displaystyle n}$-сфера
• Сфера
• Суперэллипс
• Единичная окружность
• Дисковый блок
• Единичное касательное расслоение
• Квадрат единицы

Примечания и ссылки

1. Китайский университет Гонконга, Математика 5011, Глава 3, Меры Лебега и Хаусдорфа
2. Манин, Юрий И. (2006). «Понятие размерности в геометрии и алгебре» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 43 (2): 139–161. doi :10.1090/S0273-0979-06-01081-0 . Получено 17 декабря 2021 г. .
3. Такаши Оно (1994) Вариации на тему Эйлера: квадратичные формы, эллиптические кривые и отображения Хопфа , глава 5: Квадратичные сферические отображения, стр. 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4 
4. Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровки , «Обобщенные сферы», стр. 42, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 

• Махлон М. Дэй (1958) Нормированные линейные пространства , стр. 24, Springer-Verlag .
• Деза, Э .; Деза, М. (2006), Словарь расстояний , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Обзор в Информационном бюллетене Европейского математического общества 64 (июнь 2007 г.), стр. 57. Эта книга организована как список расстояний многих типов, каждое из которых снабжено кратким описанием.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Единичная сфера". MathWorld .