В математике специальная линейная группа SL(2, R) или SL 2 (R) — это группа вещественных матриц размера 2 × 2 с определителем один:
Это связная некомпактная простая вещественная группа Ли размерности 3, имеющая приложения в геометрии , топологии , теории представлений и физике .
SL(2, R ) действует на комплексную верхнюю полуплоскость дробно -линейными преобразованиями . Действие группы факторизуется через фактор PSL(2, R) ( проективная специальная линейная группа размера 2 × 2 над R ). Более конкретно,
где I обозначает единичную матрицу 2 × 2 . Он содержит модульную группу PSL(2, Z ).
Также тесно связана 2-кратная накрывающая группа Mp(2, R ), метаплектическая группа (думая о SL(2, R ) как о симплектической группе ).
Другая родственная группа - это SL ± (2, R ), группа действительных матриц размера 2 × 2 с определителем ±1; Однако это чаще используется в контексте модульной группы .
SL(2, R ) — группа всех линейных преобразований R2 , сохраняющих ориентированную площадь . Она изоморфна симплектической группе Sp(2, R ) и специальной унитарной группе SU(1, 1) . Он также изоморфен группе кокватернионов единичной длины . Группа SL ± (2, R ) сохраняет неориентированную область: она может менять ориентацию.
Фактор PSL(2, R ) имеет несколько интересных описаний, вплоть до изоморфизма группы Ли:
Элементы модулярной группы PSL(2, Z ) имеют дополнительные интерпретации, как и элементы группы SL(2, Z ) (как линейные преобразования тора), и эти интерпретации также можно рассматривать в свете общей теории СЛ(2, Р ).
Элементы PSL(2, R ) являются гомографиями на вещественной проективной прямой R ∪ {∞} :
Эти проективные преобразования образуют подгруппу PSL(2, C ), которая действует на сфере Римана преобразованиями Мёбиуса .
Когда действительная линия считается границей гиперболической плоскости , PSL(2, R ) выражает гиперболические движения .
Элементы PSL(2, R ) действуют на комплексной плоскости преобразованиями Мёбиуса:
Это именно набор преобразований Мёбиуса, сохраняющих верхнюю полуплоскость . Отсюда следует, что PSL(2, R ) — группа конформных автоморфизмов верхней полуплоскости. По теореме Римана об отображении он также изоморфен группе конформных автоморфизмов единичного круга.
Эти преобразования Мёбиуса действуют как изометрии модели верхней полуплоскости гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями модели диска Пуанкаре .
Приведенную выше формулу можно также использовать для определения преобразований Мёбиуса двойственных и двойных (так называемых разделенных комплексов) чисел . Соответствующие геометрии находятся в нетривиальных отношениях [1] с геометрией Лобачевского .
Группа SL(2, R ) действует на своей алгебре Ли sl(2, R ) путем сопряжения (помните, что элементы алгебры Ли также являются матрицами размера 2 × 2), давая точное трехмерное линейное представление PSL(2, R ) ). Альтернативно это можно описать как действие PSL(2, R ) на пространство квадратичных форм на R 2 . В результате получается следующее представление:
Форма Киллинга на sl(2, R ) имеет сигнатуру (2,1) и индуцирует изоморфизм между PSL(2, R ) и группой Лоренца SO + (2,1). Это действие PSL(2, R ) на пространстве Минковского ограничивается изометрическим действием PSL(2, R ) на гиперболоидной модели гиперболической плоскости.
Собственные значения элемента A ∈ SL(2, R ) удовлетворяют характеристическому многочлену
и поэтому
Это приводит к следующей классификации элементов с соответствующим действием на евклидовой плоскости:
Названия соответствуют классификации конических сечений по эксцентриситету : если определить эксцентриситет как половину абсолютного значения трассы (ε = ½ |tr|; деление на 2 корректирует эффект размера, а абсолютное значение соответствует игнорированию общего значения). коэффициент ±1, например, при работе в PSL(2, R )), то это дает: , эллиптический; , параболический; , гиперболический.
Единичный элемент 1 и отрицательный единичный элемент -1 (в PSL(2, R ) они одинаковы) имеют след ±2 и, следовательно, согласно этой классификации являются параболическими элементами, хотя их часто рассматривают отдельно.
Та же классификация используется для SL(2, C ) и PSL(2, C ) ( преобразования Мёбиуса ) и PSL(2, R ) (действительные преобразования Мёбиуса), с добавлением «локсодромных» преобразований, соответствующих комплексным следам; аналогичные классификации используются и в других местах.
Подгруппа, содержащая эллиптические (соответственно параболические, гиперболические) элементы плюс единицу и отрицательную единицу, называется эллиптической подгруппой (соответственно параболическая подгруппа , гиперболическая подгруппа ).
Трихотомия SL(2, R ) на эллиптические, параболические и гиперболические элементы представляет собой классификацию на подмножества, а не на подгруппы: эти множества не замкнуты при умножении (произведение двух параболических элементов не обязательно должно быть параболическим и т. д.). Однако каждый элемент сопряжен с членом одной из трех стандартных однопараметрических подгрупп (возможно, раз ±1), как подробно описано ниже.
Топологически, поскольку трассировка является непрерывным отображением, эллиптические элементы (исключая ±1) образуют открытое множество , как и гиперболические элементы (исключая ±1). Напротив, параболические элементы вместе с ±1 образуют замкнутое множество , которое не является открытым.
Собственные значения эллиптического элемента являются комплексными и являются сопряженными значениями на единичной окружности . Такой элемент сопряжен с вращением евклидовой плоскости - их можно интерпретировать как вращения в возможно неортогональном базисе - а соответствующий элемент PSL(2, R ) действует как (сопряженный) вращение гиперболической плоскости. и пространства Минковского .
Эллиптические элементы модулярной группы должны иметь собственные значения {ω, ω −1 }, где ω — примитивный корень 3-й, 4-й или 6-й степени из единицы . Это все элементы модулярной группы конечного порядка , и они действуют на торе как периодические диффеоморфизмы.
Элементы трассы 0 можно назвать «круговыми элементами» (по аналогии с эксцентриситетом), но это делается редко; они соответствуют элементам с собственными значениями ± i , сопряжены с вращением на 90 ° и квадратичны с - I : это нетождественные инволюции в PSL(2).
Эллиптические элементы сопряжены в подгруппу вращений евклидовой плоскости — специальную ортогональную группу SO(2); угол поворота равен arccos половины трассы, причем знак поворота определяется ориентацией. (Вращение и обратное ему сопряжены в GL(2), но не в SL(2).)
Параболический элемент имеет только одно собственное значение: 1 или -1. Такой элемент действует как сдвиговое отображение на евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2, R ) действует как предельное вращение гиперболической плоскости и как нулевое вращение пространства Минковского .
Параболические элементы модульной группы действуют как скручивания Дена тора.
Параболические элементы сопряжены в двухкомпонентную группу стандартных сдвигов × ± I : . Фактически все они сопряжены (в SL(2)) с одной из четырёх матриц , (в GL(2) или SL ± (2) знак ± можно опустить, а в SL(2) — нет).
Собственные значения гиперболического элемента действительны и обратны. Такой элемент действует как отображение сжатия евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2, R ) действует как сдвиг гиперболической плоскости и как усиление Лоренца в пространстве Минковского .
Гиперболические элементы модулярной группы действуют как диффеоморфизмы Аносова тора.
Гиперболические элементы сопряжены в двухкомпонентную группу стандартных сжатий × ± I : ; гиперболический угол гиперболического поворота задается дугой половины следа, но знак может быть положительным или отрицательным: в отличие от эллиптического случая сжатие и обратное ему сопряжены в SL₂ (поворотом по осям; для стандартных осей поворот на 90°).
По жордановой нормальной форме матрицы классифицируются с точностью до сопряженности (в GL( n , C )) по собственным значениям и нильпотентности (конкретно, нильпотентность означает, что 1 встречаются в жордановых блоках). Таким образом, элементы SL(2) классифицируются с точностью до сопряженности в GL(2) (или даже в SL ± (2)) по следу (поскольку определитель фиксирован, а след и определитель определяют собственные значения), за исключением случаев, когда собственные значения равны, поэтому ±I и параболические элементы трасс +2 и трассы -2 не сопряжены (первые не имеют недиагональных элементов в жордановой форме, а вторые — есть).
Вплоть до сопряжения в SL(2) (вместо GL(2)) существует дополнительная база данных, соответствующая ориентации: вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки (эллиптическое) не являются сопряженными, а также не являются положительным и отрицательным сдвигом, как подробно описано выше. ; таким образом, для абсолютного значения следа менее 2 для каждого следа существует два класса сопряжения (вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки), для абсолютного значения следа, равного 2, для каждого следа существует три класса сопряжения (положительный сдвиг, тождество, отрицательный сдвиг). ), а при абсолютном значении следа больше 2 существует один класс сопряженности для данного следа.
Разложение группы Ивасавы — это метод построения группы как произведения трех подгрупп Ли K , A , N. Для этих трех подгрупп
Эти три элемента являются генераторами эллиптического, гиперболического и параболического подмножеств соответственно.
Как топологическое пространство PSL(2, R ) можно описать как единичное касательное расслоение гиперболической плоскости. Это расслоение окружностей и имеет естественную контактную структуру , индуцированную симплектической структурой на гиперболической плоскости. SL(2, R ) является двукратным накрытием PSL(2, R ), и его можно рассматривать как расслоение спиноров на гиперболической плоскости.
Фундаментальной группой SL(2, R ) является бесконечная циклическая группа Z. Универсальная накрывающая группа , обозначенная , является примером конечномерной группы Ли, которая не является матричной группой . То есть не допускает точного конечномерного представления .
Как топологическое пространство, представляет собой линейное расслоение над гиперболической плоскостью. Будучи наполненным левоинвариантной метрикой , 3-многообразие становится одной из восьми геометрий Терстона . Например, – универсальное накрытие единичного касательного расслоения к любой гиперболической поверхности . Любое многообразие, моделируемое на нем , ориентируемо и представляет собой расслоение окружностей над некоторым двумерным гиперболическим орбифолдом ( расслоением Зейферта ).
При этом накрытии прообразом модулярной группы PSL(2, Z ) является группа кос с тремя образующими B 3 , которая является универсальным центральным расширением модулярной группы. Это решетки внутри соответствующих алгебраических групп, что алгебраически соответствует универсальной накрывающей группе в топологии.
Двукратную накрывающую группу можно идентифицировать как Mp(2, R ), метаплектическую группу , рассматривая SL(2, R ) как симплектическую группу Sp(2, R ).
Вышеупомянутые группы вместе образуют последовательность:
Однако существуют другие накрывающие группы PSL(2, R ), соответствующие всем n , например n Z < Z ≅ π 1 (PSL(2, R )), которые образуют решетку накрывающих групп по делимости; они покрывают SL(2, R ) тогда и только тогда, когда n четно.
Центром SL(2, R ) является двухэлементная группа {±1}, а фактор PSL (2, R ) прост .
Дискретные подгруппы PSL(2, R ) называются фуксовыми группами . Это гиперболический аналог евклидовых групп обоев и групп Фриза . Самая известная из них — модулярная группа PSL(2, Z ), действующая на мозаике гиперболической плоскости идеальными треугольниками.
Группа окружностей SO(2) — максимальная компактная подгруппа группы SL(2, R ), а окружность SO(2)/{±1} — максимальная компактная подгруппа группы PSL(2, R ).
Мультипликатор Шура дискретной группы PSL(2, R ) намного больше, чем Z , а универсальное центральное расширение намного больше, чем универсальная накрывающая группа. Однако эти большие центральные расширения не учитывают топологию и являются несколько патологическими.
SL(2, R ) — действительная, некомпактная простая группа Ли и является расщепленной вещественной формой комплексной группы Ли SL(2, C ). Алгебра Ли SL(2, R ), обозначаемая sl(2, R ), является алгеброй всех вещественных бесследовых матриц размера 2 × 2. Это алгебра Бьянки типа VIII.
Конечномерная теория представлений SL(2, R ) эквивалентна теории представлений SU(2) , которая является компактной вещественной формой SL(2, C ). В частности, SL(2, R ) не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Это свойство каждой связной простой некомпактной группы Ли. Схема доказательства см. в разделе « Неунитарность представлений» .
Бесконечномерная теория представлений SL(2, R ) весьма интересна. В группе имеется несколько семейств унитарных представлений, детально разработанных Гельфандом и Наймарком (1946), В. Баргманном (1947) и Хариш-Чандрой (1952).