Векторнозначная дифференциальная форма

В математике векторнозначная дифференциальная форма на многообразии M — это дифференциальная форма на M со значениями в векторном пространстве V. В более общем смысле, это дифференциальная форма со значениями в некотором векторном расслоении E над M . Обыкновенные дифференциальные формы можно рассматривать как R -значные дифференциальные формы.

Важным случаем векторнозначных дифференциальных форм являются формы со значениями алгебры Ли . ( Форма подключения является примером такой формы.)

Определение

Пусть M — гладкое многообразие и E → M — гладкое векторное расслоение над M. Обозначим пространство гладких сечений расслоения E через Γ( E ). Дифференциальная форма с E-значением степени p — это гладкое сечение тензорного расслоения произведения E с Λ ^p ( T ^∗ M ) , p -й внешней степенью кокасательного расслоения M. Пространство таких форм обозначается

${\displaystyle \Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).}$

Поскольку Γ — сильный моноидальный функтор , ^[1] это также можно интерпретировать как

${\displaystyle \Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

где два последних тензорных произведения являются тензорными произведениями модулей над кольцом Ω0 ( M ) гладких R -значных функций на M (см . седьмой пример ^здесь ). По соглашению, E -значная 0-форма — это просто часть расслоения E. То есть,

${\displaystyle \Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,}$

Эквивалентно, E -значная дифференциальная форма может быть определена как морфизм расслоения.

${\displaystyle TM\otimes \cdots \otimes TM\to E}$

который полностью кососимметричен .

Пусть V — фиксированное векторное пространство . V -значная дифференциальная форма степени p — это дифференциальная форма степени p со значениями в тривиальном расслоении M × V . Пространство таких форм обозначается Ωp ⁽ M , V ) . Когда V = R , восстанавливается определение обыкновенной дифференциальной формы. Если V конечномерно, то можно показать, что естественный гомоморфизм

${\displaystyle \Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),}$

где первое тензорное произведение представляет собой векторное пространство над R , является изоморфизмом. ^[2]

Операции над векторными формами

Откат

Обращение векторных форм можно определить с помощью гладких отображений , как и для обычных форм. Обратный образ E -значной формы на N с помощью гладкого отображения φ : M → N — это (φ* E )-значная форма на M , где φ* E — расслоение обратного образа E по φ.

Формула приводится так же, как и в обычном случае. Для любой E -значной p -формы ω на N обратный образ φ*ω определяется выражением

${\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}$

Клиновой продукт

Как и для обычных дифференциальных форм, можно определить клиновое произведение векторных форм. Произведение клина p -формы со значением E _{1 на} q -форму со значением E ₂ естественно является ( E ₁ ⊗ E ₂ )-значной ( p + q )-формой:

${\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).}$

Определение такое же, как и для обычных форм, за исключением того, что действительное умножение заменяется тензорным произведением :

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

В частности, произведение клина обычной ( R -значной) p -формы на E -значную q -форму естественно является E -значной ( p + q )-формой (поскольку тензорное произведение E с тривиальным расслоением M × R естественно изоморфен E ) . Для ω ∈ Ω ^p ( M ) и η ∈ Ω ^q ( M , E ) имеет место обычное соотношение коммутативности:

${\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .}$

В общем, произведение клина двух E -значных форм - это не другая E -значная форма, а скорее ( E ⊗ E )-значная форма. Однако, если E является расслоением алгебр (т.е. пучком алгебр , а не просто векторными пространствами), можно составить композицию с умножением в E , чтобы получить E -значную форму. Если E — пучок коммутативных ассоциативных алгебр , то с этим модифицированным клиновым произведением множество всех E -значных дифференциальных форм

${\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)}$

становится градуированной коммутативной ассоциативной алгеброй. Если слои E некоммутативны, то Ω( M , E ) не будет градуированно-коммутативным.

Внешняя производная

Для любого векторного пространства V существует естественная внешняя производная в пространстве V -значных форм. Это обычная внешняя производная , действующая покомпонентно относительно любого базиса V . Явно, если { e _α } является базисом для V , то дифференциал V -значной p -формы ω = ω ^α e _α задается формулой

${\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,}$

Внешняя производная на V -значных формах полностью характеризуется обычными соотношениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}$

В более общем смысле, приведенные выше замечания относятся к E -значным формам, где E — любое плоское векторное расслоение над M (т. е. векторное расслоение, функции перехода которого постоянны). Внешняя производная определяется, как указано выше, на любой локальной тривиализации E .

Если E не плоское, то не существует естественного понятия внешней производной, действующей на E -значные формы. Нужен выбор подключения по Е. Связность на E — это линейный дифференциальный оператор , приводящий сечения E к E -значному виду:

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).}$

Если E снабжено связностью ∇, то существует единственная ковариантная внешняя производная

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)}$

продолжая ∇. Ковариантная внешняя производная характеризуется линейностью и уравнением

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta }$

где ω — E -значная p -форма, а η — обычная q -форма. В общем случае не обязательно, чтобы d _∇ ² = 0. Фактически это происходит тогда и только тогда, когда связность ∇ плоская (т. е. имеет исчезающую кривизну ).

Базовые или тензорные формы на главных расслоениях

Пусть E → M — гладкое векторное расслоение ранга k над M и пусть π  : F( E ) → M — ( ассоциированное ) фрейм-расслоение E , которое является главным расслоением GL _k ( R ) над M. Обратный образ E по π канонически изоморфен F( E ) × _ρ R ^k посредством обратного к [ u , v ] → u ( v ), где ρ — стандартное представление. Следовательно, обратный образ E -значной формы на M на π определяет R ^k -значную форму на F( E ). Нетрудно проверить, что эта поднятая форма правоэквивариантна относительно естественного действия GL _k ( R ) на F( E ) × R ^k и обращается в нуль на вертикальных векторах (касательных векторах к F( E ), которые лежат в ядре dπ ) . Такие векторные формы на F( E ) достаточно важны, чтобы требовать специальной терминологии: они называются базовыми или тензорными формами на F( E ).

Пусть π  : P → M — (гладкое) главное G -расслоение и V — фиксированное векторное пространство вместе с представлением ρ  : G → GL( V ). Базисной или тензорной формой на P типа ρ является V -значная форма ω на P , которая эквивариантна и горизонтальна в том смысле, что

1. ${\displaystyle (R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,}$для всех g ∈ G и
2. ${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0}$всякий раз, когда хотя бы один из v _i вертикальен (т. е. d π ( v _i ) = 0).

Здесь Rg обозначает правое действие группы G на P для некоторого g _∈ G. Заметим, что для 0-форм второе условие не имеет истинного значения .

Пример: Если ρ — присоединенное представление группы G в алгебре Ли, то форма связности ω удовлетворяет первому условию (но не второму). Соответствующая форма кривизны Ω удовлетворяет обоим требованиям; следовательно, Ω — тензорная форма присоединенного типа. «Разница» двух форм связи есть тензорная форма.

Учитывая P и ρ , как указано выше, можно построить соответствующее векторное расслоение E = P × _ρ V . Тензориальные q -формы на P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с E - значными q -формами на M. Как и в случае с главным расслоением F( E ) выше, для заданной q -формы на M со значениями в E определите φ на P послойно, скажем, в точке u , ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}}$

где u рассматривается как линейный изоморфизм . тогда φ является тензорной формой типа ρ. Обратно, для тензорной формы φ типа ρ та же формула определяет E -значную форму на M (ср. гомоморфизм Черна–Вейля ). В частности, существует естественный изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f}$.

Пример: Пусть E — касательное расслоение к M . Тогда тождественное отображение расслоения id _E : E → E является E -значной формой на M . Тавтологическая форма — это единственная форма на расслоении реперов E , которая соответствует идентификатору _E . Обозначаемая θ, это тензорная форма стандартного типа.

Теперь предположим, что на P существует связность, так что существует внешнее ковариантное дифференцирование D на (различных) векторных формах на P . Благодаря указанному выше соответствию D также действует на E -значные формы: определим ∇ как

${\displaystyle \nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.}$

В частности, для нулевых форм

${\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)}$.

Это в точности ковариантная производная связности на векторном расслоении E . ^[3]

Примеры

Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля . ^[4]

Примечания

1. «Глобальные сечения тензорного произведения векторных расслоений на гладком многообразии». math.stackexchange.com . Проверено 27 октября 2014 г.
2. Доказательство: это можно проверить для p = 0, превратив базис для V в набор постоянных функций для V , что позволяет построить обратный гомоморфизму выше. Общий случай можно доказать, заметив, что

   ${\displaystyle \Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

   и это потому, что это подкольцо Ω ⁰ ( M ) через постоянные функции, ${\displaystyle \mathbb {R} }$

   ${\displaystyle \Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).}$

3. Доказательство: для любой скалярнозначной тензорной нулевой формы f и любой тензорной нулевой формы φ типа ρ и Df = df , поскольку f спускается до функции на M ; ср. эта лемма 2 . ${\displaystyle D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi }$
4. Хулек, Клаус; Шанкаран, ГК (2002). «Геометрия модульных многообразий Зигеля». Продвинутые исследования в области чистой математики . 35 : 89–156.

Рекомендации

• Сошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , Том. 1, Уайли Интерсайенс .