Уравнение вихреобразования

Уравнение вихреобразования динамики жидкости описывает эволюцию вихреобразования ω $частицы$ жидкости , движущейся вместе с ее потоком ; то есть локальное вращение жидкости (в терминах векторного исчисления это ротор скорости потока ) . Основное уравнение имеет вид:

${\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}$

где $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠Д/Дт⁠$ — оператор производной материала , $u$ — скорость потока , $ρ$ — локальная плотность жидкости , $p$ — локальное давление , $τ$ — тензор вязких напряжений , а $B$ представляет собой сумму внешних сил тела . Первый исходный член в правой части представляет собой растяжение вихря .

Уравнение справедливо при отсутствии каких-либо концентрированных моментов и линейных сил для сжимаемой , ньютоновской жидкости . В случае несжимаемого потока (т.е. низкого числа Маха ) и изотропных жидкостей с консервативными объемными силами уравнение упрощается до уравнения переноса вихреобразования :

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

где $ν$ — кинематическая вязкость , а — оператор Лапласа . При дальнейшем предположении двумерного течения уравнение упрощается до: $\nabla ^{2}$

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

Физическая интерпретация

Термин $⁠$ $D ω / Дт ⁠$ слева — материальная производная вектора завихренности $ω$ . Она описывает скорость изменения завихренности движущейся частицы жидкости. Это изменение можно объяснить неустойчивостью течения ( $⁠$ $\partial ω / \partial т ⁠$ , нестационарный член ) или из-за движения частицы жидкости при ее перемещении из одной точки в другую ( $(u ∙ \nabla) ω$ , конвективный член ).
Член $(ω ∙ \nabla) u$ в правой части описывает растяжение или наклон вихря из-за градиентов скорости потока. Обратите внимание, что $(ω ∙ \nabla) u$ является векторной величиной, поскольку $ω ∙ \nabla$ является скалярным дифференциальным оператором, в то время как $\nabla u$ является девятиэлементной тензорной величиной.
Член $ω (\nabla ∙ u)$ описывает растяжение вихря из- за сжимаемости потока. Это следует из уравнения Навье-Стокса для непрерывности , а именно, где $v$ $=$ $⁠$ ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}$ $1 / ρ ⁠$ — удельный объем элемента жидкости. Можно рассматривать $\nabla ∙ u$ как меру сжимаемости потока. Иногда в этот термин включается знак «минус».
Термин $⁠$ $1 / ρ 2 ⁠ \nabla ρ \times \nabla p$ — бароклинный член . Он учитывает изменения завихренности из-за пересечения поверхностей плотности и давления.
Термин $\nabla \times (⁠ \nabla ∙ τ / ρ ⁠)$ учитывает диффузию завихренности из-за вязкостных эффектов.
Термин $\nabla \times B$ предусматривает изменения, вызванные внешними силами тела. Это силы, которые распределены по трехмерной области жидкости, такие как гравитация или электромагнитные силы . (В отличие от сил, которые действуют только по поверхности (например, сопротивление на стенке) или линии (например, поверхностное натяжение вокруг мениска ).

Упрощения

В случае консервативных массовых сил ∇ $\times B = 0$ .
Для баротропной жидкости ∇ $ρ \times \nabla p = 0.$ Это также верно для жидкости постоянной плотности (включая несжимаемую жидкость), где $\nabla ρ = 0.$ Обратите внимание, что это не то же самое, что несжимаемый поток , для которого баротропным членом нельзя пренебречь.
Для невязких жидкостей тензор вязкости $τ$ равен нулю.

Таким образом, для невязкой баротропной жидкости с консервативными массовыми силами уравнение вихря упрощается до

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u}

С другой стороны, в случае несжимаемой, невязкой жидкости с консервативными объемными силами,

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u}

^[1]

Для краткого обзора дополнительных случаев и упрощений см. также ^[2] Для уравнения вихреобразования в теории турбулентности в контексте течений в океанах и атмосфере см. ^[3]

Вывод

Уравнение вихреобразования можно вывести из уравнения Навье–Стокса для сохранения момента импульса . При отсутствии каких-либо сосредоточенных моментов и линейных сил получается:

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B} }{\rho }}

Теперь завихренность определяется как ротор вектора скорости потока; взяв ротор уравнения импульса, получаем искомое уравнение. Следующие тождества полезны при выводе уравнения:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}

где — любое скалярное поле. $\phi$

Тензорная нотация

Уравнение вихря можно выразить в тензорной нотации, используя соглашение Эйнштейна о суммировании и символ Леви-Чивиты $e ijk$ :

{\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}

В конкретных науках

Атмосферные науки

В атмосферных науках уравнение вихреобразования может быть сформулировано в терминах абсолютного вихреобразования воздуха относительно инерциальной системы отсчета или вихреобразования относительно вращения Земли. Абсолютная версия:

{\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)

Здесь $η$ — полярная ( $z$ ) составляющая завихренности, $ρ —$ плотность атмосферы , $u$ , $v$ и w — компоненты скорости ветра , а $\nabla h$ — двумерная (т.е. содержащая только горизонтальную составляющую) del .

Смотрите также

Ссылки

^ Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Д. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред (1-е изд.). Dover Publications. стр. 351. ISBN 978-0-486-43261-8.
^ Берр, К. П. «Морская гидродинамика, лекция 9» (PDF) . Лекции Массачусетского технологического института .
^ Салмон, Ричард Л. "Лекции по геофизической гидродинамике, Глава 4" (PDF) . Oxford University Press; 1-е издание (26 февраля 1998 г.) .

Дальнейшее чтение

Манна, Утпал; Шритаран, С. С. (2007). «Функционалы Ляпунова и локальная диссипативность для уравнения вихреобразования в пространствах $L p$ и Бесова». Дифференциальные и интегральные уравнения . 20 (5): 581–598. arXiv : 0802.2898 . doi :10.57262/die/1356039440. S2CID 50701138.
Барбу, В.; Шритаран, С. С. (2000). «M-аккретивное квантование уравнения вихреобразования» (PDF) . В Балакришнан, А. В. (ред.). Полугруппы операторов: теория и приложения . Бостон: Birkhauser. стр. 296–303.
Кригель, А. М. (1983). «Эволюция вихря». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика . 24 (3): 213–223. Bibcode : 1983GApFD..24..213K. doi : 10.1080/03091928308209066.