Распределение Вейбулла

Непрерывное распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике распределение Вейбулла / ˈ w aɪ b ʊ l / является непрерывным распределением вероятностей . Оно моделирует широкий диапазон случайных величин, в основном в природе времени до отказа или времени между событиями. Примерами являются максимальные однодневные осадки и время, которое пользователь проводит на веб-странице.

Распределение названо в честь шведского математика Валлодди Вейбулла , который подробно описал его в 1939 году ^{[1] [2],} хотя впервые оно было идентифицировано Рене Морисом Фреше и впервые применено Розином и Раммлером (1933) для описания распределения частиц по размерам .

Определение

Стандартная параметризация

Функция плотности вероятности случайной величины Вейбулла равна ^{[3] [4]}

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}}$

где k > 0 — параметр формы , а λ > 0 — параметр масштаба распределения. Его дополнительная кумулятивная функция распределения — растянутая экспоненциальная функция . Распределение Вейбулла связано с рядом других распределений вероятностей; в частности, оно интерполирует между экспоненциальным распределением ( k = 1) и распределением Рэлея ( k = 2 и ^[5] ). ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$

Если величина x является "временем до отказа", распределение Вейбулла дает распределение, для которого интенсивность отказов пропорциональна мощности времени. Параметр формы k равен этой мощности плюс один, и поэтому этот параметр можно интерпретировать непосредственно следующим образом: ^[6]

• Значение указывает на то, что частота отказов уменьшается со временем (как в случае эффекта Линди , который, однако, соответствует распределениям Парето ^[7], а не распределениям Вейбулла). Это происходит, если существует значительная «детская смертность», или дефектные элементы выходят из строя на ранней стадии, а частота отказов уменьшается со временем, поскольку дефектные элементы отсеиваются из популяции. В контексте распространения инноваций это означает отрицательное сарафанное радио: функция риска является монотонно убывающей функцией доли последователей; ${\displaystyle k<1\,}$
• Значение указывает на то, что частота отказов постоянна с течением времени. Это может означать, что случайные внешние события вызывают смертность или отказ. Распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению; ${\displaystyle k=1\,}$
• Значение указывает на то, что частота отказов увеличивается со временем. Это происходит, если есть процесс «старения» или детали, которые с большей вероятностью выйдут из строя с течением времени. В контексте распространения инноваций это означает позитивную молву: функция риска является монотонно возрастающей функцией доли последователей. Функция сначала выпуклая, затем вогнутая с точкой перегиба в . ${\displaystyle k>1\,}$ ${\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,}$

В области материаловедения параметр формы k распределения прочности известен как модуль Вейбулла . В контексте диффузии инноваций распределение Вейбулла является «чистой» моделью имитации/отторжения.

Альтернативные параметризации

Первая альтернатива

Приложения в медицинской статистике и эконометрике часто принимают другую параметризацию. ^{[8] [9]} Параметр формы k такой же, как и выше, в то время как параметр масштаба равен . В этом случае для x ≥ 0 функция плотности вероятности равна ${\displaystyle b=\lambda ^{-k}}$

${\displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},}$

кумулятивная функция распределения равна

${\displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},}$

функция квантиля равна

${\displaystyle Q(p;k,b)=\left(-{\frac {1}{b}}\ln(1-p)\right)^{\frac {1}{k}},}$

функция опасности - это

${\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},}$

и среднее значение равно

${\displaystyle b^{-1/k}\Gamma (1+1/k).}$

Вторая альтернатива

Также можно найти вторую альтернативную параметризацию. ^{[10] [11]} Параметр формы k такой же, как и в стандартном случае, в то время как параметр масштаба λ заменяется параметром скорости β = 1/ λ . Тогда для x ≥ 0 функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}}$

кумулятивная функция распределения равна

${\displaystyle F(x;k,\beta )=1-e^{-(\beta x)^{k}},}$

функция квантиля равна

${\displaystyle Q(p;k,\beta )={\frac {1}{\beta }}(-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}},}$

и функция опасности равна

${\displaystyle h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}.}$

Во всех трех параметризациях риск уменьшается при k < 1, увеличивается при k > 1 и постоянен при k = 1, в этом случае распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению.

Характеристики

Функция плотности

Форма функции плотности распределения Вейбулла радикально меняется со значением k . Для 0 < k < 1 функция плотности стремится к ∞, когда x приближается к нулю сверху, и строго убывает. Для k = 1 функция плотности стремится к 1/ λ, когда x приближается к нулю сверху, и строго убывает. Для k > 1 функция плотности стремится к нулю, когда x приближается к нулю сверху, увеличивается до своей моды и уменьшается после нее. Функция плотности имеет бесконечный отрицательный наклон при x = 0, если 0 < k < 1, бесконечный положительный наклон при x = 0, если 1 < k < 2, и нулевой наклон при x = 0, если k > 2. Для k = 1 плотность имеет конечный отрицательный наклон при x = 0. Для k = 2 плотность имеет конечный положительный наклон при x = 0. Когда k стремится к бесконечности, распределение Вейбулла сходится к дельта-распределению Дирака с центром в точке x = λ. При этом асимметрия и коэффициент вариации зависят только от параметра формы. Обобщением распределения Вейбулла является гиперболастическое распределение типа III .

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения для распределения Вейбулла имеет вид

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

для x ≥ 0 и F ( x ; k ; λ) = 0 для x < 0.

Если x = λ, то F ( x ; k ; λ) = 1 −  e ⁻¹ ≈ 0,632 для всех значений  k . Наоборот: при F ( x ; k ; λ ) = 0,632 значение  x  ≈  λ .

Функция квантиля (обратного кумулятивного распределения) для распределения Вейбулла имеет вид

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

для 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h (или функция опасности) определяется по формуле

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

Среднее время между отказами MTBF составляет

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}$

Моменты

Функция генерации моментов логарифма случайной величины, распределенной по закону Вейбулла, определяется выражением ^[12]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

где Γ — гамма-функция . Аналогично, характеристическая функция log X задается выражением

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

В частности, n- й сырой момент X определяется как

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Среднее значение и дисперсию случайной величины Вейбулла можно выразить как

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

и

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

Асимметрия определяется как

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}$

где , что также может быть записано как ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

где среднее значение обозначается как μ , а стандартное отклонение обозначается как σ .

Избыточный эксцесс определяется по формуле

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

где . Эксцесс эксцесса может быть также записан как: ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.}$

Функция создания момента

Для функции генерации моментов самого X доступны различные выражения . Как степенной ряд , поскольку исходные моменты уже известны, можно иметь

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

В качестве альтернативы можно попытаться иметь дело непосредственно с интегралом

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Если параметр k предполагается рациональным числом, выраженным как k = p / q , где p и q — целые числа, то этот интеграл можно вычислить аналитически. ^[13] Заменив t на − t , можно найти

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

где G — G-функция Мейера .

Характеристическая функция также была получена Муралидхараном и др. (2007). Характеристическая функция и функция генерации моментов 3-параметрического распределения Вейбулла также были получены Муралидхараном и Соаресом (2014) прямым подходом. harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help)

Минимумы

Пусть будут независимыми и одинаково распределенными случайными величинами Вейбулла с параметром масштаба и параметром формы . Если минимум этих случайных величин равен , то кумулятивное распределение вероятностей задается как ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.}$

То есть, также будет распределено Вейбулл с параметром масштаба и параметром формы . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle n^{-1/k}\lambda }$ ${\displaystyle k}$

Трюки репараметризации

Зафиксируем некоторые . Пусть будут неотрицательными, и не все нулевыми, и пусть будут независимыми выборками , тогда ^[14] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})}$ ${\displaystyle g_{1},...,g_{n}}$ ${\displaystyle {\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})}$

• ${\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$
• ${\displaystyle \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)}$.

энтропия Шеннона

Информационная энтропия определяется по формуле ^[15]

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

где — константа Эйлера–Маскерони . Распределение Вейбулла — это распределение максимальной энтропии для неотрицательной действительной случайной величины с фиксированным ожидаемым значением x k ^, равным λ ^{k ,} и фиксированным ожидаемым значением ln( x ^k ), равным ln( λ ^k ) −  . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Расхождение Кульбака–Лейблера

Расхождение Кульбака –Лейблера между двумя распределениями Вейбулла определяется выражением ^[16]

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$

Оценка параметров

Наименьший квадрат с использованием графика Вейбулла

График Вейбулла

Соответствие распределения Вейбулла данным можно визуально оценить с помощью графика Вейбулла. ^[17] График Вейбулла — это график эмпирической кумулятивной функции распределения данных по специальным осям в виде графика типа Q–Q . Оси представляют собой зависимость от . Причина такого изменения переменных заключается в том, что кумулятивную функцию распределения можно линеаризировать: ${\displaystyle {\widehat {F}}(x)}$ ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$ ${\displaystyle \ln(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

что можно увидеть в стандартной форме прямой линии. Таким образом, если данные получены из распределения Вейбулла, то на графике Вейбулла ожидается прямая линия.

Существуют различные подходы к получению эмпирической функции распределения из данных. Один из методов заключается в получении вертикальной координаты для каждой точки с помощью

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$,

где — ранг точки данных, а — количество точек данных. ^{[18] [19]} Другой распространенной оценкой ^[20] является ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.5}{n}}}$.

Линейная регрессия также может быть использована для численной оценки соответствия и оценки параметров распределения Вейбулла. Градиент напрямую информирует о параметре формы , а параметр масштаба также может быть выведен. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

Метод моментов

Коэффициент вариации распределения Вейбулла зависит только от параметра формы: ^[21]

${\displaystyle CV^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}.}$

Приравнивая величины выборки к , моментную оценку параметра формы можно считать либо из таблицы поиска, либо из графика зависимости от . Более точную оценку можно найти, используя алгоритм поиска корня для решения ${\displaystyle s^{2}/{\bar {x}}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CV^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}={\frac {s^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}.}$

Оценку момента параметра масштаба можно затем найти с помощью уравнения первого момента как

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {\bar {x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{\hat {k}}}\right)}}.}$

Максимальная вероятность

Оценка максимального правдоподобия для данного параметра равна ^[21] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}}$

Оценка максимального правдоподобия для является решением для k следующего уравнения ^[22] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

Это уравнение определяет только неявно, его обычно приходится решать численными методами. ${\displaystyle {\widehat {k}}}$ ${\displaystyle k}$

Когда наибольшие наблюдаемые выборки из набора данных, состоящего из более чем выборок, то оценка максимального правдоподобия для заданного параметра равна ^[22] ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}$

Также, учитывая это условие, оценка максимального правдоподобия для равна ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

Опять же, поскольку это неявная функция, ее обычно приходится решать численными методами. ${\displaystyle k}$

Приложения

Используется распределение Вейбулла ^{[ требуется ссылка ]}

Подогнанное кумулятивное распределение Вейбулла к максимальному количеству осадков за один день с использованием CumFreq , см. также подгонку распределения ^[23]

Подогнанных кривых для данных временного ряда добычи нефти ^[24]

• В анализе выживания
• В области надежности техники и анализа отказов
• В электротехнике для обозначения перенапряжения, возникающего в электрической системе.
• В промышленном машиностроении для представления сроков изготовления и поставки
• В теории экстремальных значений
• В прогнозировании погоды и ветроэнергетике для описания распределения скорости ветра , поскольку естественное распределение часто соответствует форме Вейбулла ^[25]
• В области проектирования систем связи
  • В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемых сигналов, создаваемой некоторыми типами помех
  • Для моделирования затухающих каналов в беспроводной связи, поскольку модель затухания Вейбулла , по-видимому, хорошо соответствует экспериментальным измерениям затухающих каналов .
• В поиске информации для моделирования времени пребывания на веб-страницах. ^[26]
• В общем страховании для моделирования размера претензий по перестрахованию и совокупного развития убытков от асбестоза
• В прогнозировании технологических изменений (также известном как модель Шарифа-Ислама) ^[27]
• В гидрологии распределение Вейбулла применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и речные стоки.
• В анализе кривой падения для моделирования кривой дебита нефти скважин сланцевой нефти. ^[24]
• При описании размера частиц, образующихся в результате операций измельчения, помола и дробления , используется 2-параметрическое распределение Вейбулла, и в этих приложениях его иногда называют распределением Розина–Раммлера. ^[28] В этом контексте оно предсказывает меньше мелких частиц, чем логарифмически нормальное распределение , и, как правило, является наиболее точным для узких распределений размеров частиц. ^[29] Интерпретация кумулятивной функции распределения заключается в том, что — это массовая доля частиц с диаметром, меньшим , где — средний размер частиц, а — мера разброса размеров частиц. ${\displaystyle F(x;k,\lambda )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$
• При описании случайных точечных облаков (таких как положения частиц в идеальном газе): вероятность нахождения ближайшей соседней частицы на расстоянии от данной частицы задается распределением Вейбулла с плотностью частиц и равной ей. ^[30] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle \rho =1/\lambda ^{3}}$
• При расчете скорости эффектов единичного события, вызванного радиацией на борту космического корабля, используется четырехпараметрическое распределение Вейбулла для подгонки экспериментально измеренных данных вероятности поперечного сечения устройства к линейному спектру передачи энергии частиц . ^[31] Подгонка Вейбулла изначально использовалась из-за убеждения, что уровни энергии частиц согласуются со статистическим распределением, но позже это убеждение было доказано ложным ^{[ требуется ссылка ]} , и подгонка Вейбулла продолжает использоваться из-за ее многочисленных регулируемых параметров, а не из-за продемонстрированной физической основы. ^[32]

Связанные дистрибутивы

• Если , то переменная распределена по закону Гумбеля (минимум) с параметром местоположения и параметром масштаба . То есть, . ${\displaystyle W\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,k)}$ ${\displaystyle G=\log W}$ ${\displaystyle \mu =\log \lambda }$ ${\displaystyle \beta =1/k}$ ${\displaystyle G\sim \mathrm {Gumbel} _{\min }(\log \lambda ,1/k)}$
• Распределение Вейбулла представляет собой обобщенное гамма-распределение, оба параметра формы которого равны k .
• Переводимое распределение Вейбулла (или 3-параметрическое распределение Вейбулла) содержит дополнительный параметр. ^[12] Оно имеет функцию плотности вероятности

  ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,}$

  для и для , где — параметр формы , — параметр масштаба и — параметр местоположения распределения. значение задает начальное время безотказной работы до начала обычного процесса Вейбулла. Когда это сводится к 2-параметрическому распределению. ${\displaystyle x\geq \theta }$ ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )=0}$ ${\displaystyle x<\theta }$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0}$
• Распределение Вейбулла можно охарактеризовать как распределение случайной величины, при котором случайная величина ${\displaystyle W}$

  ${\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}}$

  является стандартным экспоненциальным распределением с интенсивностью 1. ^[12]
• Это подразумевает, что распределение Вейбулла также можно охарактеризовать в терминах равномерного распределения : если равномерно распределено на , то случайная величина распределена по Вейбуллу с параметрами и . Обратите внимание, что здесь эквивалентно вышеприведенному. Это приводит к легко реализуемой числовой схеме для моделирования распределения Вейбулла. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle -\ln(U)}$ ${\displaystyle X}$
• Распределение Вейбулла интерполирует между экспоненциальным распределением с интенсивностью , когда и распределением Рэлея моды , когда . ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle k=2}$
• Распределение Вейбулла (обычно достаточное в технике надежности ) является частным случаем трехпараметрического экспоненциального распределения Вейбулла , где дополнительный показатель степени равен 1. Экспоненциальное распределение Вейбулла учитывает унимодальные , в форме ванны ^[33] и монотонные интенсивности отказов .
• Распределение Вейбулла является частным случаем обобщенного распределения экстремальных значений . Именно в этой связи распределение было впервые идентифицировано Морисом Фреше в 1927 году. ^[34] Тесно связанное распределение Фреше , названное в честь этой работы, имеет функцию плотности вероятности

  ${\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}$

• Распределение случайной величины, определяемое как минимум нескольких случайных величин, каждая из которых имеет свое распределение Вейбулла, называется поли-распределением Вейбулла .
• Распределение Вейбулла было впервые применено Розином и Раммлером (1933) для описания распределения размеров частиц. Оно широко используется в переработке полезных ископаемых для описания распределения размеров частиц в процессах измельчения . В этом контексте кумулятивное распределение задается как

  ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

  где
  • ${\displaystyle x}$размер частиц
  • ${\displaystyle P_{\rm {80}}}$это 80-й процентиль распределения размеров частиц
  • ${\displaystyle m}$это параметр, описывающий разброс распределения
• Благодаря своей доступности в электронных таблицах он также используется там, где базовое поведение на самом деле лучше моделируется распределением Эрланга . ^[35]
• Если то ( Экспоненциальное распределение ) ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})}$
• При тех же значениях k гамма-распределение принимает схожие формы, но распределение Вейбулла более плоское .

• С точки зрения стабильного распределения счетов , можно рассматривать как параметр стабильности Леви. Распределение Вейбулла можно разложить на интеграл плотности ядра, где ядро ​​является либо распределением Лапласа , либо распределением Рэлея : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(x;1,\lambda )}$ ${\displaystyle F(x;2,\lambda )}$

  ${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,F(x;1,\lambda \nu )\left(\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right)\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,F(x;2,{\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0;\end{cases}}}$

  где — стабильное распределение количества , — стабильное распределение объема . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$ ${\displaystyle V_{k}(s)}$

Смотрите также

• Дискретное распределение Вейбулла
• Теорема Фишера–Типпета–Гнеденко
• Логистическое распределение
• Распределение Розина-Раммлера для анализа размера частиц
• Распределение Рэлея
• Стабильное распределение количества

Ссылки

1. В. Вейбулл (1939). «Статистическая теория сопротивления материалов». Академия Ingeniors Vetenskaps Handlingar (151). Стокгольм: Generalstabens Litografiska Anstalts Förlag: 1–45.
2. Боуэрс и др. (1997) Актуарная математика, 2-е изд. Общество актуариев.
3. Папулис, Афанасиос Папулис; Пиллаи, С. Унникришна (2002). Вероятность, случайные величины и стохастические процессы (4-е изд.). Бостон: McGraw-Hill. ISBN 0-07-366011-6.
4. Кизилерсу, Айсе; Креер, Маркус; Томас, Энтони В. (2018). «Распределение Вейбулла». Значимость . 15 (2): 10–11. doi : 10.1111/j.1740-9713.2018.01123.x .
5. «Распределение Рэлея – MATLAB и Simulink – MathWorks Australia». www.mathworks.com.au .
6. Цзян, Р.; Мурти, DNP (2011). «Исследование параметра формы Вейбулла: свойства и значение». Надежность техники и безопасность систем . 96 (12): 1619–26. doi :10.1016/j.ress.2011.09.003.
7. Элиазар, Иддо (ноябрь 2017 г.). «Закон Линди». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 486 : 797–805. Bibcode : 2017PhyA..486..797E. doi : 10.1016/j.physa.2017.05.077. S2CID  125349686.
8. Коллетт, Дэвид (2015). Моделирование данных о выживаемости в медицинских исследованиях (3-е изд.). Бока-Ратон: Chapman and Hall / CRC. ISBN 978-1439856789.
9. Кэмерон, AC; Триведи, PK (2005). Микроэконометрика: методы и приложения . Cambridge University Press. стр. 584. ISBN 978-0-521-84805-3.
10. Kalbfleisch, JD; Prentice, RL (2002). Статистический анализ данных о времени отказа (2-е изд.). Hoboken, NJ: J. Wiley. ISBN 978-0-471-36357-6. OCLC  50124320.
11. Терно, Т. (2020). «Пакет для анализа выживания в R». Версия пакета R 3.1.
12. Джонсон, Коц и Балакришнан 1994
13. См. (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) для случая, когда k является целым числом, и (Sagias & Karagiannidis 2005) для рационального случая. harv error: no target: CITEREFChengTellamburaBeaulieu2004 (help)
14. Балог, Матей; Трипуранени, Нилеш; Гахрамани, Зубин; Веллер, Адриан (2017-07-17). «Потерянные родственники трюка Гумбеля». Международная конференция по машинному обучению . PMLR: 371–379.
15. Чо, Ёнсык; Сан, Хокеун; Ли, Кёнджун (5 января 2015 г.). «Оценка энтропии распределения Вейбулла при обобщенном прогрессивном гибридном цензурировании». Энтропия . 17 (1): 102–122. doi : 10.3390/e17010102 . ISSN  1099-4300.
16. Bauckhage, Christian (2013). «Вычисление расхождения Кульбака-Лейблера между двумя распределениями Вейбулла». arXiv : 1310.3713 [cs.IT].
17. "1.3.3.30. График Вейбулла". www.itl.nist.gov .
18. Уэйн Нельсон (2004) Прикладной анализ данных о жизни . Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5 
19. Барнетт, В. (1975). «Методы построения вероятностных диаграмм и порядковая статистика». Журнал Королевского статистического общества. Серия C (Прикладная статистика) . 24 (1): 95–108. doi :10.2307/2346708. ISSN  0035-9254. JSTOR  2346708.
20. ISO 20501:2019 — Тонкая керамика (высококачественная керамика, высококачественная техническая керамика) — Статистика Вейбулла для определения прочностных характеристик.
21. Cohen, A. Clifford (ноябрь 1965 г.). «Оценка максимального правдоподобия в распределении Вейбулла на основе полных и цензурированных выборок» (PDF) . Technometrics . 7 (4): 579–588. doi :10.1080/00401706.1965.10490300.
22. Sornette, D. (2004). Критические явления в естественных науках: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок ..
23. "CumFreq, Подгонка распределения вероятности, свободное программное обеспечение, кумулятивная частота".
24. Lee, Se Yoon; Mallick, Bani (2021). «Байесовское иерархическое моделирование: применение к результатам добычи в сланцевом месторождении Игл-Форд в Южном Техасе». Sankhya B . 84 : 1–43. doi : 10.1007/s13571-020-00245-8 .
25. «Распределение скорости ветра Вейбулла – REUK.co.uk». www.reuk.co.uk .
26. Лю, Чао; Уайт, Райен В.; Дюмейс, Сьюзан (2010-07-19). Понимание поведения при просмотре веб-страниц с помощью анализа времени пребывания по методу Вейбулла . ACM. стр. 379–386. doi :10.1145/1835449.1835513. ISBN 9781450301534. S2CID  12186028.
27. Шариф, М. Наваз; Ислам, М. Назрул (1980). «Распределение Вейбулла как общая модель для прогнозирования технологических изменений». Технологическое прогнозирование и социальные изменения . 18 (3): 247–56. doi :10.1016/0040-1625(80)90026-8.
28. Вычислительная оптимизация двигателя внутреннего сгорания, стр. 49
29. Остин, LG; Климпель, RR; Лаки, PT (1984). Технология процесса уменьшения размера . Хобокен, Нью-Джерси: Guinn Printing Inc. ISBN 0-89520-421-5.
30. Чандрашекар, С. (1943). «Стохастические проблемы в физике и астрономии». Обзоры современной физики . 15 (1): 86.
31. ECSS-E-ST-10-12C – Методы расчета полученного излучения и его эффектов, а также политика в отношении проектных запасов (Отчет). Европейское сотрудничество по космической стандартизации. 15 ноября 2008 г.
32. LD Edmonds; CE Barnes; LZ Scheick (май 2000 г.). «8.3 Подгонка кривой». Введение в эффекты космической радиации на микроэлектронику (PDF) (Отчет). Лаборатория реактивного движения NASA, Калифорнийский технологический институт. стр. 75–76.
33. "Эволюция систем и надежность систем". Sysev (Бельгия). 2010-01-01.
34. Монтгомери, Дуглас (2012-06-19). Введение в статистический контроль качества . [Sl]: John Wiley. стр. 95. ISBN 9781118146811.
35. Чатфилд, К.; Гудхардт, Г.Дж. (1973). «Модель потребительских покупок с интервалами между покупками Эрланга». Журнал Американской статистической ассоциации . 68 (344): 828–835. doi :10.1080/01621459.1973.10481432.

Библиография

• Фреше, Морис (1927), «Sur la loi de probilité de l'écart max», Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie , 6 : 93–116.
• Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1994), Непрерывные одномерные распределения. Том 1 , Серия Wiley по теории вероятностей и математической статистике: прикладная теория вероятностей и статистики (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, г-н  1299979
• Манн, Нэнси Р.; Шефер, Рэй Э.; Сингпурвалла, Нозер Д. (1974), Методы статистического анализа надежности и данных о сроке службы , серия Wiley по вероятности и математической статистике: прикладная вероятность и статистика (1-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-56737-0
• Muraleedharan, G.; Rao, AD; Kurup, PG; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), «Модифицированное распределение Вейбулла для моделирования и прогнозирования максимальной и значительной высоты волны», Coastal Engineering , 54 (8): 630–638, doi :10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
• Розин, П.; Раммлер, Э. (1933), «Законы, управляющие тонкостью измельченного угля», Журнал Института топлива , 7 : 29–36.
• Sagias, NC; Karagiannidis, GK (2005). "Многомерные распределения Вейбулла гауссовского класса: теория и применение в каналах с замиранием". IEEE Transactions on Information Theory . 51 (10): 3608–19. doi :10.1109/TIT.2005.855598. MR  2237527. S2CID  14654176.
• Вейбулл, В. (1951), «Статистическая функция распределения широкой применимости» (PDF) , Журнал прикладной механики , 18 (3): 293–297, Bibcode : 1951JAM....18..293W, doi : 10.1115/1.4010337.
• «Распределение Вейбулла». Справочник по инженерной статистике . Национальный институт стандартов и технологий . 2008.
• Нельсон-младший, Ральф (2008-02-05). "Диспергирование порошков в жидкостях, часть 1, глава 6: Распределение объема частиц" . Получено 2008-02-05 .

Внешние ссылки

• «Распределение Вейбулла», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Упрощение надежности оборудования: интуитивное понимание распределения Вейбулла менее чем за 5 минут! ..(с кодом Python)
• Mathpages – Анализ Вейбулла
• Распределение Вейбулла
• Анализ надежности с помощью Вейбулла
• Интерактивная графика: Одномерные распределительные соотношения
• Онлайн-график вероятности Вейбулла