Производная алгебраическая геометрия

Раздел математики

Производная алгебраическая геометрия — это раздел математики, который обобщает алгебраическую геометрию до ситуации, когда коммутативные кольца , которые предоставляют локальные карты, заменяются либо дифференциальными градуированными алгебрами (над ), симплициальными коммутативными кольцами , либо -кольцевыми спектрами из алгебраической топологии , чьи высшие гомотопические группы учитывают недискретность (например, Tor) структурного пучка. Теория схем Гротендика позволяет структурному пучку нести нильпотентные элементы . Производную алгебраическую геометрию можно рассматривать как расширение этой идеи, и она предоставляет естественные настройки для теории пересечений (или мотивной гомотопической теории ^[1] ) сингулярных алгебраических многообразий и кокасательных комплексов в теории деформаций (ср. Дж. Фрэнсис), среди других приложений. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Введение

Основными объектами изучения в этой области являются производные схемы и производные стеки . Часто цитируемой мотивацией является формула пересечения Серра . ^[2] В обычной формулировке формула включает функтор Tor и, таким образом, если только высший Tor не обращается в нуль, схемно-теоретическое пересечение (т.е. послойное произведение погружений) не дает правильного числа пересечения . В производном контексте берется производное тензорное произведение , высшая гомотопия которого есть высший Tor, чей Spec является не схемой, а производной схемой . Следовательно, «производное» послойное произведение дает правильное число пересечения. (В настоящее время это гипотетически; производная теория пересечения еще не разработана.) ${\displaystyle A\otimes ^{L}B}$

Термин «производный» используется в том же смысле, что и производный функтор или производная категория , в том смысле, что категория коммутативных колец заменяется ∞-категорией «производных колец». В классической алгебраической геометрии производная категория квазикогерентных пучков рассматривается как триангулированная категория , но она имеет естественное расширение до стабильной ∞-категории , которую можно рассматривать как ∞-категоричный аналог абелевой категории .

Определения

Производная алгебраическая геометрия по сути является изучением геометрических объектов с использованием гомологической алгебры и гомотопии. Поскольку объекты в этой области должны кодировать гомологическую и гомотопическую информацию, существуют различные представления о том, что инкапсулируют производные пространства. Основными объектами изучения в производной алгебраической геометрии являются производные схемы и, в более общем смысле, производные стеки. Эвристически производные схемы должны быть функторами из некоторой категории производных колец в категорию множеств

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{Sets}}}$

которые могут быть обобщены далее, чтобы иметь цели более высоких группоидов (которые, как ожидается, будут моделироваться гомотопическими типами). Эти производные стеки являются подходящими функторами формы

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{HoT}}}$

Многие авторы моделируют такие функторы как функторы со значениями в симплициальных множествах, поскольку они моделируют гомотопические типы и хорошо изучены. Различные определения этих производных пространств зависят от выбора того, какими являются производные кольца и как должны выглядеть гомотопические типы. Некоторые примеры производных колец включают коммутативные дифференциальные градуированные алгебры, симплициальные кольца и -кольца. ${\displaystyle E_{\infty }}$

Производная геометрия по характеристике 0

Над характеристикой 0 многие из производных геометрий согласуются, поскольку производные кольца одинаковы. алгебры — это просто коммутативные дифференциальные градуированные алгебры над характеристикой 0. Затем мы можем определить производные схемы аналогично схемам в алгебраической геометрии. Подобно алгебраической геометрии, мы также могли бы рассматривать эти объекты как пару , которая является топологическим пространством с пучком коммутативных дифференциальных градуированных алгебр. Иногда авторы принимают соглашение, что они отрицательно градуированы, поэтому для . Условие пучка также можно ослабить, так что для покрытия пучки будут склеивать наложения только посредством квазиизоморфизма. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}=0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{ij}}$

К сожалению, над характеристикой p дифференциальные градуированные алгебры плохо работают для теории гомотопий из-за того, что [1]. Это можно преодолеть, используя симплициальные алгебры. ${\displaystyle d[x^{p}]=pd[x^{p-1}]}$

Производная геометрия по произвольной характеристике

Производные кольца над произвольной характеристикой принимаются как симплициальные коммутативные кольца из-за хороших категориальных свойств, которые они имеют. В частности, категория симплициальных колец симплициально обогащена, что означает, что hom-множества сами являются симплициальными множествами. Кроме того, существует каноническая модельная структура на симплициальных коммутативных кольцах, происходящая от симплициальных множеств. ^[3] Фактически, это теорема Квиллена, что модельная структура на симплициальных множествах может быть перенесена на симплициальные коммутативные кольца.

Более высокие стеки

Предполагается, что существует окончательная теория высших стеков, которые моделируют гомотопические типы . Гротендик предположил, что они будут моделироваться глобулярными группоидами или слабой формой их определения. Симпсон ^[4] дает полезное определение в духе идей Гротендика. Напомним, что алгебраический стек (здесь 1-стек) называется представимым, если произведение слоев любых двух схем изоморфно схеме. ^[5] Если мы возьмем анзац, что 0-стек — это просто алгебраическое пространство, а 1-стек — это просто стек, мы можем рекурсивно определить n-стек как объект, такой что произведение слоев по любым двум схемам будет (n-1)-стеком. Если мы вернемся к определению алгебраического стека, это новое определение согласуется.

Спектральные схемы

Другая теория производной алгебраической геометрии инкапсулирована теорией спектральных схем. Их определение требует изрядного количества технологий для точного утверждения. ^[6] Но, короче говоря, спектральные схемы задаются спектрально окольцованным -топосом вместе с пучком -колец на нем, подчиняющимся некоторым условиям локальности, аналогичным определению аффинных схем. В частности ${\displaystyle X=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$

1. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\cong {\text{Shv}}(X_{top})}$должен быть эквивалентен -топосу некоторого топологического пространства ${\displaystyle \infty }$
2. Должно существовать покрытие такое , что индуцированный топос эквивалентен спектрально окольцованному топосу для некоторого -кольца ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{top}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(A_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle A_{i}}$

При этом спектральная схема называется связной, если для . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0}$ ${\displaystyle i<0}$

Примеры

Напомним, что топос точки эквивалентен категории множеств. Тогда в настройке -топоса мы вместо этого рассматриваем -пучки -группоидов (которые являются -категориями со всеми обратимыми морфизмами), обозначаемые , что дает аналог топоса точки в настройке -топоса. Тогда структура спектрально окольцованного пространства может быть задана путем присоединения -кольца . Обратите внимание, это подразумевает, что спектрально окольцованные пространства обобщают -кольца, поскольку каждое -кольцо может быть связано со спектрально окольцованным сайтом. ${\displaystyle {\text{Sh}}(*)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\text{Shv}}(*)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$

Этот спектрально окольцованный топос может быть спектральной схемой, если спектр этого кольца дает эквивалентный -топос, так что его базовое пространство является точкой. Например, это может быть задано спектром кольца , называемым спектром Эйленберга–Маклейна, построенным из пространств Эйленберга–Маклейна . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle H\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,n)}$

Приложения

• Полученная алгебраическая геометрия была использована Керцем, Странком и Тамме (2018) для доказательства гипотезы Вейбеля об исчезновении отрицательной К-теории .
• Формулировка геометрической гипотезы Ленглендса Аринкина и Гейтсгори использует производную алгебраическую геометрию. ^[7]

Смотрите также

• Производная схема
• В погоне за стеками
• Некоммутативная алгебраическая геометрия
• Симплициальное коммутативное кольцо
• Дериватор
• Алгебра над операдой
• En-кольцо
• Теория высшего топоса
• ∞-топос
• этальный спектр

Примечания

1. Хан, Адиль А. (2019). «Смелая новая мотивная гомотопическая теория I». Geom. Topol . 23 : 3647–3685. arXiv : 1610.06871 . doi : 10.2140/gt.2019.23.3647. S2CID  119661301.
2. Формула пересечения Серра и производная алгебраическая геометрия?
3. Мэтью, Ахил. "Simplicial Commutative Rings, I" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2019 г.
4. Симпсон, Карлос (1996-09-17). "Алгебраические (геометрические) $n$-стеки". arXiv : alg-geom/9609014 .
5. Что можно проверить, посмотрев на диагональный морфизм и проверив, является ли он сам по себе представимым. Для получения дополнительной информации посетите https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-harvard.pdf
6. Резк, Чарльз. "Спектральная алгебраическая геометрия" (PDF) . стр. 23 (раздел 10.6). Архивировано (PDF) из оригинала 2020-04-25.
7. Аринкин, Дима; Гайцгори, Деннис (2015). «Сингулярная поддержка когерентных пучков и геометрическая гипотеза Ленглендса». Selecta Math . 21 (1): 1–199. CiteSeerX 10.1.1.763.8289 . doi :10.1007/s00029-014-0167-5. S2CID  119136874. 

Ссылки

Симплициальный DAG

• Тоен, Бертран (06.01.2014). «Производная алгебраическая геометрия». arXiv : 1401.1044 [math.AG].
• Toën, Bertrand ; Vezzosi, Gabriele (2004). "From HAG to DAG: derived moduli stacks". В Greenlees, JPC (ред.). Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Труды NATO Advanced Study Institute, Кембридж, Великобритания, 9–20 сентября 2002 г. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Том 131. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 173–216. ISBN 1-4020-1833-9. Збл  1076.14002.
• Веццоси, Габриэле (2011). «Что такое ...производный стек?» (PDF) . Notices Am. Math. Soc . 58 (7): 955–958. Zbl  1228.14004.

Дифференциальный градуированный DAG

• Эугстер, Дж.; Придхэм, Дж. П. (2021-10-25). «Введение в производную (алгебраическую) геометрию». arXiv : 2109.14594 [math.AG].

Эни Э∞-кольца

• Спектральная алгебраическая геометрия - Резк
• Операда и когомологии пучков - JP May - -кольца над характеристикой 0 и -структура для когомологий пучков ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$
• Касательный комплекс и когомологии Хохшильда E _n -колец https://arxiv.org/abs/1104.0181
• Фрэнсис, Джон; Производная алгебраическая геометрия над E n {\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}} -кольцами

Приложения

• Лоури, Паркер; Шюрг, Тимо. (2018). Гротендик-Риман-Рох для производных схем
• Чокан-Фонтанин И., Капранов М. (2007). Виртуальные фундаментальные классы через dg-многообразия
• Манн, Э., Робало М. (2018). Теория Громова-Виттена с производной алгебраической геометрией
• Бен-Цви, Д. , Фрэнсис, Дж. и Надлер Д. Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии.
• Керц, Мориц; Штранк, Флориан; Тамме, Георг (2018), «Алгебраическая K -теория и спуск для раздутий», Invent. Math. , 211 (2): 523–577, arXiv : 1611.08466 , Bibcode : 2018InMat.211..523K, doi : 10.1007/s00222-017-0752-2, MR  3748313, S2CID  119165673

Квантовые теории поля

• Заметки о суперсимметричных и голоморфных теориях поля в размерностях 2 и 4

Внешние ссылки

• Домашняя страница Якоба Лури
• Обзор спектральной алгебраической геометрии
• Группа чтения DAG (осень 2011 г.) в Гарварде
• http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
• Учебный семинар RTG по производной алгебраической геометрии Мичиганского университета, 2012 г.
• Производная алгебраическая геометрия: как достичь исследовательского уровня математики?
• Производная алгебраическая геометрия и кольца Чоу/мотивы Чоу
• Габриэле Веццоси, Обзор производной алгебраической геометрии, октябрь 2013 г.