Алгебраическая К-теория

Предметная область математики

Алгебраическая K -теория — это предметная область математики, связанная с геометрией , топологией , теорией колец и теорией чисел . Геометрическим, алгебраическим и арифметическим объектам присваиваются объекты, называемые K -группами. Это группы в смысле абстрактной алгебры . Они содержат подробную информацию об исходном объекте, но, как известно, их трудно вычислить; например, важной нерешенной проблемой является вычисление K -групп целых чисел .

K -теория была открыта в конце 1950-х годов Александром Гротендиком в его исследовании теории пересечений на алгебраических многообразиях . На современном языке Гротендик определил только K ₀ , нулевую K -группу, но даже эта единственная группа имеет множество приложений, таких как теорема Гротендика–Римана–Роха . Теория пересечений по-прежнему является движущей силой в развитии (высшей) алгебраической K -теории благодаря ее связям с мотивными когомологиями и, в частности, группами Чжоу . Предмет также включает классические темы теории чисел, такие как квадратичная взаимность и вложения числовых полей в действительные числа и комплексные числа , а также более современные проблемы, такие как построение высших регуляторов и специальные значения L -функций .

Низшие K -группы были открыты первыми, в том смысле, что были найдены адекватные описания этих групп в терминах других алгебраических структур. Например, если F — поле , то K ₀ ( F ) изоморфна целым числам Z и тесно связана с понятием размерности векторного пространства . Для коммутативного кольца R группа K ₀ ( R ) связана с группой Пикара кольца R , а когда R — кольцо целых чисел в числовом поле, это обобщает классическую конструкцию группы классов . Группа K ₁ ( R ) тесно связана с группой единиц R ^× , а если R — поле, то это в точности группа единиц. Для числового поля F группа K ₂ ( F ) связана с теорией полей классов , символом Гильберта и разрешимостью квадратных уравнений над пополнениями. Напротив, нахождение правильного определения высших K -групп колец было трудным достижением Дэниела Квиллена , и многие из основных фактов о высших K -группах алгебраических многообразий не были известны до работы Роберта Томасона .

История

История К -теории была подробно описана Чарльзом Вайбелем . ^[1]

Группа ГротендикК0

В 19 веке Бернхард Риман и его ученик Густав Рох доказали то, что сейчас известно как теорема Римана–Роха . Если X — риманова поверхность , то множества мероморфных функций и мероморфных дифференциальных форм на X образуют векторные пространства. Линейное расслоение на X определяет подпространства этих векторных пространств, и если X проективно, то эти подпространства конечномерны. Теорема Римана–Роха утверждает, что разность размерностей между этими подпространствами равна степени линейного расслоения (мере скрученности) плюс один минус род X. В середине 20 века теорема Римана–Роха была обобщена Фридрихом Хирцебрухом на все алгебраические многообразия. В формулировке Хирцебруха, теореме Хирцебруха–Римана–Роха , теорема стала утверждением об эйлеровых характеристиках : эйлерова характеристика векторного расслоения на алгебраическом многообразии (которое является знакопеременной суммой размерностей его групп когомологий) равна эйлеровой характеристике тривиального расслоения плюс поправочный множитель, исходящий из характеристических классов векторного расслоения. Это обобщение, поскольку на проективной римановой поверхности эйлерова характеристика линейного расслоения равна разности размерностей, упомянутой ранее, эйлерова характеристика тривиального расслоения равна единице минус род, а единственным нетривиальным характеристическим классом является степень.

Предмет K -теории берет свое название от конструкции 1957 года Александра Гротендика , которая появилась в теореме Гротендика–Римана–Роха , его обобщении теоремы Хирцебруха. ^[2] Пусть X — гладкое алгебраическое многообразие. Каждому векторному расслоению на X Гротендик сопоставляет инвариант, его класс . Множество всех классов на X было названо K ( X ) от немецкого Klasse . По определению, K ( X ) является фактором свободной абелевой группы по классам изоморфизма векторных расслоений на X , и поэтому это абелева группа. Если базисный элемент, соответствующий векторному расслоению V , обозначается [ V ], то для каждой короткой точной последовательности векторных расслоений:

${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0,}$

Гротендик ввел соотношение [ V ] = [ V′ ] + [ V″ ] . Эти генераторы и соотношения определяют K ( X ), и они подразумевают, что это универсальный способ назначения инвариантов векторным расслоениям способом, совместимым с точными последовательностями.

Гротендик принял точку зрения, что теорема Римана–Роха является утверждением о морфизмах многообразий, а не самих многообразиях. Он доказал, что существует гомоморфизм из K ( X ) в группы Чжоу из X, исходящий из характера Черна и класса Тодда для X . Кроме того, он доказал, что собственный морфизм f  : X → Y в гладкое многообразие Y определяет гомоморфизм f _*  : K ( X ) → K ( Y ), называемый прямым проталкиванием . Это дает два способа определения элемента в группе Чжоу из Y из векторного расслоения на X : начиная с X , можно сначала вычислить прямой проталкивание в K -теории, а затем применить характер Черна и класс Тодда для Y , или можно сначала применить характер Черна и класс Тодда для X , а затем вычислить прямой проталкивание для групп Чжоу. Теорема Гротендика–Римана–Роха утверждает, что они равны. Когда Y — точка, векторное расслоение — это векторное пространство, класс векторного пространства — его размерность, а теорема Гротендика–Римана–Роха сводится к теореме Хирцебруха.

Группа K ( X ) теперь известна как K ₀ ( X ). После замены векторных расслоений проективными модулями K ₀ также стала определена для некоммутативных колец, где она имела приложения к представлениям групп . Атья и Хирцебрух быстро перенесли конструкцию Гротендика в топологию и использовали ее для определения топологической K-теории . ^[3] Топологическая K -теория была одним из первых примеров необычной теории когомологий : она сопоставляет каждому топологическому пространству X (удовлетворяющему некоторым мягким техническим ограничениям) последовательность групп K _n ( X ), которые удовлетворяют всем аксиомам Эйленберга–Стинрода , за исключением аксиомы нормализации. Однако настройка алгебраических многообразий гораздо более жесткая, и гибкие конструкции, используемые в топологии, были недоступны. В то время как группа K _{0 ,} казалось, удовлетворяла необходимым свойствам, чтобы стать началом теории когомологий алгебраических многообразий и некоммутативных колец, не было четкого определения высшего K _n ( X ). Даже когда такие определения были разработаны, технические проблемы, связанные с ограничением и склеиванием, обычно вынуждали определять K _{n только для колец, а не для многообразий.}

К0,К1, иК2

Группа, тесно связанная с K ₁ для групповых колец, была ранее введена Дж. Х. Уайтхедом . Анри Пуанкаре попытался определить числа Бетти многообразия в терминах триангуляции. Однако его методы имели серьезный пробел: Пуанкаре не мог доказать, что две триангуляции многообразия всегда давали одни и те же числа Бетти. Было очевидно, что числа Бетти не изменялись при подразделении триангуляции, и поэтому было ясно, что любые две триангуляции, которые разделяли общее подразделение, имели одинаковые числа Бетти. Не было известно, что любые две триангуляции допускали общее подразделение. Эта гипотеза стала гипотезой, известной как Hauptvermutung ( примерно «основная гипотеза»). Тот факт, что триангуляции были устойчивы при подразделении, привел Дж. Х. Уайтхеда к введению понятия простого гомотопического типа . ^[4] Простая гомотопическая эквивалентность определяется в терминах добавления симплексов или ячеек к симплициальному комплексу или клеточному комплексу таким образом, что каждая дополнительная деформация симплекса или ячейки втягивается в подразделение старого пространства. Частью мотивации для этого определения является то, что подразделение триангуляции является простым гомотопически эквивалентным исходной триангуляции, и поэтому две триангуляции, которые имеют общее подразделение, должны быть простыми гомотопически эквивалентными. Уайтхед доказал, что простая гомотопическая эквивалентность является более тонким инвариантом, чем гомотопическая эквивалентность, введя инвариант, называемый кручением . Кручение гомотопической эквивалентности принимает значения в группе, которая теперь называется группой Уайтхеда и обозначается Wh ( π ), где π — фундаментальная группа целевого комплекса. Уайтхед нашел примеры нетривиального кручения и тем самым доказал, что некоторые гомотопические эквивалентности не были простыми. Позднее было обнаружено, что группа Уайтхеда является фактором K ₁ ( Z π ), где Z π — целочисленное групповое кольцо π . Позже Джон Милнор использовал кручение Рейдемейстера , инвариант, связанный с кручением Уайтхеда, чтобы опровергнуть Hauptvermutung.

Первое адекватное определение K ₁ кольца было дано Хайманом Бассом и Стивеном Шануэлем . ^[5] В топологической K -теории K ₁ определяется с помощью векторных расслоений на подвеске пространства. Все такие векторные расслоения происходят из конструкции сцепления , где два тривиальных векторных расслоения на двух половинах пространства склеиваются вдоль общей полосы пространства. Эти данные склеивания выражаются с помощью общей линейной группы , но элементы этой группы, происходящие из элементарных матриц (матриц, соответствующих элементарным операциям строк или столбцов), определяют эквивалентные склеивания. Мотивированное этим, определение Басса–Шануэля для K ₁ кольца R имеет вид GL ( R ) / E ( R ) , где GL ( R ) — бесконечная общая линейная группа (объединение всех GL _n ( R )), а E ( R ) — подгруппа элементарных матриц. Они также дали определение гомоморфизма колец K _{0 и доказали, что} K ₀ и K ₁ можно объединить в точную последовательность, аналогичную точной последовательности относительной гомологии.

Работа в области K -теории этого периода достигла кульминации в книге Басса «Алгебраическая K -теория» . ^[6] Помимо предоставления связного изложения известных тогда результатов, Басс улучшил многие утверждения теорем. Особо следует отметить, что Басс, основываясь на своей более ранней работе с Мурти, ^[7] предоставил первое доказательство того, что сейчас известно как фундаментальная теорема алгебраической K -теории . Это четырехчленная точная последовательность, связывающая _K0 кольца R с K1 кольца R , кольцом многочленов _R [ t ] и локализацией R [ t , t ⁻¹ _] . Басс признал, что эта теорема дает описание K0 полностью в терминах K1 . Применяя это описание рекурсивно, он создал отрицательные K -группы K _−n ( R ). В независимой работе Макс Каруби дал другое определение отрицательных K -групп для некоторых категорий и доказал _, что его определения дают те же самые группы, что и определения Басса. ^[8]

Следующим крупным достижением в этой области стало определение K ₂ . Стейнберг изучал универсальные центральные расширения группы Шевалле над полем и дал явное представление этой группы в терминах генераторов и соотношений. ^[9] В случае группы E _n ( k ) элементарных матриц универсальное центральное расширение теперь записывается как St _n ( k ) и называется группой Стейнберга . Весной 1967 года Джон Милнор определил K ₂ ( R ) как ядро ​​гомоморфизма St( R ) → E ( R ) . ^[10] Группа K ₂ далее расширила некоторые из точных последовательностей, известных для K ₁ и K ₀ , и имела поразительные приложения к теории чисел. Диссертация Хидеи Мацумото 1968 года ^[11] показала, что для поля F , K ₂ ( F ) изоморфна:

${\displaystyle F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .}$

Это соотношение также удовлетворяется символом Гильберта , который выражает разрешимость квадратных уравнений над локальными полями . В частности, Джон Тейт смог доказать, что K ₂ ( Q ) по существу структурирован вокруг закона квадратичной взаимности .

ВышеК-группы

В конце 1960-х и начале 1970-х годов было предложено несколько определений высшей K -теории. Свон ^[12] и Герстен ^[13] оба дали определения K _n для всех n , и Герстен доказал, что его теории и теории Свона эквивалентны, но обе теории не были известны как удовлетворяющие всем ожидаемым свойствам. Нобиле и Вилламайор также предложили определение высших K -групп. ^[14] Каруби и Вилламайор определили хорошо себя ведущие K -группы для всех n , ^[15] но их эквивалент K ₁ иногда был собственным фактором Басса-Шануэля K ₁ . Их K -группы теперь называются KV _n и связаны с гомотопически-инвариантными модификациями K -теории.

Вдохновленный отчасти теоремой Мацумото, Милнор дал определение высших K -групп поля. ^[16] Он назвал свое определение «чисто ad hoc » ^[17], и оно, по-видимому, не обобщалось на все кольца и не было правильным определением высшей K -теории полей. Гораздо позже Нестеренко и Суслин ^[18] и Тотаро ^[19] обнаружили , что K -теория Милнора на самом деле является прямым слагаемым истинной K -теории поля. В частности, K -группы имеют фильтрацию, называемую весовой фильтрацией , и K -теория Милнора поля является наивысшей весовой градуированной частью K -теории. Кроме того, Томасон обнаружил, что не существует аналога K -теории Милнора для общего многообразия. ^[20]

Первое определение высшей K -теории, получившее широкое признание, было дано Дэниелом Квилленом . ^[21] В рамках работы Квиллена над гипотезой Адамса в топологии он построил отображения из классифицирующих пространств BGL ( F _q ) в гомотопическое волокно ψ ^q − 1 , где ψ ^q — q -я операция Адамса, действующая на классифицирующем пространстве BU . Это отображение ациклично, и после небольшой модификации BGL ( F _q ) для получения нового пространства BGL ( F _q ) ⁺ , отображение стало гомотопической эквивалентностью. Эта модификация была названа конструкцией plus . Было известно, что операции Адамса связаны с классами Черна и с K -теорией со времен работы Гротендика, и поэтому Квиллен был вынужден определить K -теорию R как гомотопические группы BGL ( R ) ⁺ . Это не только позволило восстановить K ₁ и K ₂ , но и связь K -теории с операциями Адамса позволила Квиллену вычислить K -группы конечных полей.

Классифицирующее пространство BGL связно, поэтому определение Квиллена не дало правильного значения для K ₀ . Кроме того, оно не дало никаких отрицательных K -групп. Поскольку K ₀ имел известное и принятое определение, можно было обойти эту трудность, но оно оставалось технически неуклюжим. Концептуально проблема заключалась в том, что определение возникло из GL , который был классическим источником K ₁ . Поскольку GL знает только о склеивании векторных расслоений, а не о самих векторных расслоениях, для него было невозможно описать K ₀ .

Вдохновленный беседами с Квилленом, Сигал вскоре представил другой подход к построению алгебраической K -теории под названием Γ-объектов. ^[22] Подход Сигала является гомотопическим аналогом конструкции Гротендика K ₀ . Там, где Гротендик работал с классами изоморфизма расслоений, Сигал работал с самими расслоениями и использовал изоморфизмы расслоений как часть своих данных. Это приводит к спектру, гомотопическими группами которого являются высшие K -группы (включая K ₀ ). Однако подход Сигала был способен налагать соотношения только для расщепляемых точных последовательностей, а не для общих точных последовательностей. В категории проективных модулей над кольцом каждая короткая точная последовательность расщепляется, и поэтому Γ-объекты можно было использовать для определения K -теории кольца. Однако существуют нерасщепляемые короткие точные последовательности в категории векторных расслоений на многообразии и в категории всех модулей над кольцом, поэтому подход Сигала не применим ко всем интересующим случаям.

Весной 1972 года Квиллен нашел другой подход к построению высшей K -теории, который оказался чрезвычайно успешным. Это новое определение начиналось с точной категории , категории, удовлетворяющей определенным формальным свойствам, аналогичным, но немного более слабым, чем свойства, удовлетворяемые категорией модулей или векторных расслоений. Из этого он построил вспомогательную категорию, используя новый прием, названный его « Q -конструкцией ». Как и Γ-объекты Сигала, Q -конструкция имеет свои корни в определении Гротендика K0 . Однако, в отличие от определения Гротендика, Q -конструкция строит категорию, а не абелеву группу, и, в отличие от Γ-объектов Сигала, Q _- конструкция работает напрямую с короткими точными последовательностями. Если C — абелева категория , то QC — это категория с теми же объектами, что и C , но чьи морфизмы определяются в терминах коротких точных последовательностей в C. K -группы точной категории являются гомотопическими группами Ω BQC , пространства петель геометрической реализации (взятие пространства петель исправляет индексацию). Квиллен дополнительно доказал свою " теорему + = Q ", что его два определения K -теории согласуются друг с другом. Это дало правильный K ₀ и привело к более простым доказательствам, но все еще не дало никаких отрицательных K -групп.

Все абелевы категории являются точными категориями, но не все точные категории являются абелевыми. Поскольку Квиллен мог работать в этой более общей ситуации, он мог использовать точные категории в качестве инструментов в своих доказательствах. Эта техника позволила ему доказать многие из основных теорем алгебраической K -теории. Кроме того, удалось доказать, что более ранние определения Свона и Герстена были эквивалентны определениям Квиллена при определенных условиях.

K -теория теперь, по-видимому, была теорией гомологии для колец и теорией когомологии для многообразий. Однако многие из ее основных теорем несли гипотезу, что рассматриваемое кольцо или многообразие было регулярным. Одним из основных ожидаемых соотношений была длинная точная последовательность (называемая «локализационной последовательностью»), связывающая K -теорию многообразия X и открытого подмножества U . Квиллен не смог доказать существование локализационной последовательности в полной общности. Однако он смог доказать ее существование для связанной теории, называемой G -теорией (или иногда K ′-теорией). G -теория была определена на раннем этапе развития предмета Гротендиком. Гротендик определил G ₀ ( X ) для многообразия X как свободную абелеву группу на классах изоморфизма когерентных пучков на X , по модулю соотношений, вытекающих из точных последовательностей когерентных пучков. В категориальной структуре, принятой более поздними авторами, K -теория многообразия является K -теорией его категории векторных расслоений, в то время как его G -теория является K -теорией его категории когерентных пучков. Квиллен не только смог доказать существование локализационной точной последовательности для G -теории, он смог доказать, что для регулярного кольца или многообразия K -теория равна G -теории, и, следовательно, K -теория регулярных многообразий имеет локализационную точную последовательность. Поскольку эта последовательность была основополагающей для многих фактов в предмете, гипотезы регулярности пронизывали ранние работы по высшей K -теории.

Приложения алгебраическихК-теория в топологии

Самым ранним применением алгебраической K -теории к топологии было построение Уайтхеда кручения Уайтхеда. Тесно связанная конструкция была найдена К. Т. С. Уоллом в 1963 году. ^[23] Уолл обнаружил, что пространство X, доминируемое конечным комплексом, имеет обобщенную эйлерову характеристику, принимающую значения в частном K ₀ ( Z π ), где π — фундаментальная группа пространства. Этот инвариант называется препятствием к конечности Уолла, поскольку X гомотопически эквивалентно конечному комплексу тогда и только тогда, когда инвариант равен нулю. Лоран Зибенман в своей диссертации нашел инвариант, аналогичный инварианту Уолла, который дает препятствие к открытому многообразию, являющемуся внутренностью компактного многообразия с границей. ^[24] Если два многообразия с границей M и N имеют изоморфные внутренности (в TOP, PL или DIFF в зависимости от ситуации), то изоморфизм между ними определяет h -кобордизм между M и N .

Кручение Уайтхеда в конечном итоге было переосмыслено более непосредственно в K -теоретическом ключе. Это переосмысление произошло через изучение h -кобордизмов . Два n -мерных многообразия M и N являются h -кобордантными, если существует ( n + 1) -мерное многообразие с границей W, граница которого является несвязным объединением M и N и для которого включения M и N в W являются гомотопическими эквивалентностями (в категориях TOP, PL или DIFF). Теорема Стивена Смейла о h -кобордизме ^[25] утверждала, что если n ≥ 5 , W компактно, а M , N и W односвязны, то W изоморфно цилиндру M × [0, 1] (в TOP, PL или DIFF соответственно). Эта теорема доказала гипотезу Пуанкаре для n ≥ 5 .

Если M и N не предполагаются односвязными, то h -кобордизм не обязательно должен быть цилиндром. Теорема о s -кобордизме, независимо выведенная Мазуром ^[26] , Столлингсом и Барденом ^[27], объясняет общую ситуацию: h -кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения M ⊂ W обращается в нуль. Это обобщает теорему о h -кобордизме, поскольку гипотезы о простой связности подразумевают, что соответствующая группа Уайтхеда тривиальна. Фактически теорема о s -кобордизме подразумевает, что существует биективное соответствие между классами изоморфизма h -кобордизмов и элементами группы Уайтхеда.

Очевидный вопрос, связанный с существованием h -кобордизмов, заключается в их единственности. Естественное понятие эквивалентности — изотопия . Жан Серф доказал, что для односвязных гладких многообразий M размерности не менее 5 изотопия h -кобордизмов совпадает с более слабым понятием, называемым псевдоизотопией. ^[28] Хэтчер и Вагонер изучили компоненты пространства псевдоизотопий и связали его с фактором K ₂ ( Z π ). ^[29]

Правильным контекстом для теоремы о s -кобордизме является классифицирующее пространство h -кобордизмов. Если M - CAT-многообразие, то H ^CAT ( M ) - это пространство, которое классифицирует пучки h -кобордизмов на M . Теорему о s -кобордизме можно переосмыслить как утверждение о том, что множество связных компонент этого пространства является группой Уайтхеда π ₁ ( M ). Это пространство содержит строго больше информации, чем группа Уайтхеда; например, связная компонента тривиального кобордизма описывает возможные цилиндры на M и, в частности, является препятствием к единственности гомотопии между многообразием и M × [0, 1] . Рассмотрение этих вопросов привело Вальдхаузена к представлению его алгебраической K -теории пространств. ^[30] Алгебраическая K -теория M - это пространство A ( M ), которое определено так, что оно играет по существу ту же роль для высших K -групп, что и K ₁ ( Z π ₁ ( M )) для M . В частности, Вальдхаузен показал, что существует отображение из A ( M ) в пространство Wh( M ), которое обобщает отображение K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh( π ₁ ( M )) и гомотопическое волокно которого является теорией гомологии.

Для того чтобы полностью разработать A -теорию, Вальдхаузен добился значительных технических успехов в основах K -теории. Вальдхаузен ввел категории Вальдхаузена , а для категории Вальдхаузена C он ввел симплициальную категорию S _⋅ C ( S — от Сигала) , определенную в терминах цепей кофибраций в C. ^[31] Это освободило основы K -теории от необходимости привлекать аналоги точных последовательностей.

Алгебраическая топология и алгебраическая геометрия в алгебраическойК-теория

Куиллен предположил своему ученику Кеннету Брауну , что, возможно, можно создать теорию пучков спектров , примером которой будет K -теория. Пучок спектров K -теории будет, каждому открытому подмножеству многообразия, ассоциировать K -теорию этого открытого подмножества. Браун разработал такую ​​теорию для своей диссертации. Одновременно с этим у Герстена возникла та же идея. На конференции в Сиэтле осенью 1972 года они вместе открыли спектральную последовательность , сходящуюся от пучка когомологий , пучка K _n -групп на X , к K -группе полного пространства. Теперь это называется спектральной последовательностью Брауна–Герстена. ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$

Спенсер Блох , под влиянием работы Герстена по пучкам K -групп, доказал, что на регулярной поверхности группа когомологий изоморфна группе Чжоу CH ² ( X ) циклов коразмерности 2 на X . ^[33] Вдохновленный этим, Герстен предположил, что для регулярного локального кольца R с полем дробей F , K _n ( R ) инъецируется в K _n ( F ) для всех n . Вскоре Квиллен доказал, что это верно, когда R содержит поле, ^[34] и, используя это, он доказал, что ${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)}$

для всех p . Это известно как формула Блоха . Хотя с тех пор был достигнут прогресс в гипотезе Герстена, общий случай остается открытым.

Лихтенбаум предположил, что специальные значения дзета-функции числового поля могут быть выражены в терминах K -групп кольца целых чисел поля. Эти специальные значения, как было известно, связаны с этальными когомологиями кольца целых чисел. Поэтому Квиллен обобщил гипотезу Лихтенбаума, предсказав существование спектральной последовательности, подобной спектральной последовательности Атьи–Хирцебруха в топологической K -теории. ^[35] Предложенная Квилленом спектральная последовательность начиналась бы с этальных когомологий кольца R и, в достаточно высоких степенях и после завершения на простом l, обратимом в R , примыкала бы к l -адическому завершению K -теории R . В случае, изученном Лихтенбаумом, спектральная последовательность вырождалась бы, приводя к гипотезе Лихтенбаума.

Необходимость локализации в простом числе l подсказала Браудеру, что должен быть вариант K -теории с конечными коэффициентами. ^[36] Он ввел группы K -теории K _n ( R ; Z / l Z ), которые были Z / l Z -векторными пространствами, и нашел аналог элемента Ботта в топологической K -теории. Соул использовал эту теорию для построения «этальных классов Черна », аналога топологических классов Черна, которые переводили элементы алгебраической K -теории в классы в этальных когомологиях . ^[37] В отличие от алгебраической K -теории, этальные когомологии являются высоковычислимыми, поэтому этальные классы Черна предоставили эффективный инструмент для обнаружения существования элементов в K -теории. Затем Уильям Г. Дуайер и Эрик Фридлендер изобрели аналог K -теории для этальной топологии, названный этальной K -теорией. ^[38] Для многообразий, определенных над комплексными числами, этальная K -теория изоморфна топологической K -теории. Более того, этальная K -теория допускала спектральную последовательность, похожую на ту, которую предположил Квиллен. Томасон доказал около 1980 года, что после инвертирования элемента Ботта алгебраическая K -теория с конечными коэффициентами стала изоморфной этальной K -теории. ^[39]

На протяжении 1970-х и начала 1980-х годов K -теория на особых многообразиях по-прежнему не имела адекватных оснований. Хотя считалось, что K -теория Квиллена дала правильные группы, не было известно, что эти группы обладали всеми предполагаемыми свойствами. Для этого алгебраическая K -теория должна была быть переформулирована. Это было сделано Томасоном в большой монографии, которую он приписал своему покойному другу Томасу Тробо, который, как он сказал, дал ему ключевую идею во сне. ^{[40] Томасон объединил конструкцию} K -теории Вальдхаузена с основами теории пересечений, описанными в шестом томе «Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie» Гротендика . Там K ₀ был описан в терминах комплексов пучков на алгебраических многообразиях. Томасон обнаружил, что если работать с производной категорией пучков, то существует простое описание того, когда комплекс пучков может быть расширен с открытого подмножества многообразия на все многообразие. Применив конструкцию Вальдхаузена K -теории к производным категориям, Томасон смог доказать, что алгебраическая K -теория обладает всеми ожидаемыми свойствами теории когомологий.

В 1976 году Р. Кит Деннис открыл совершенно новый метод вычисления K -теории, основанный на гомологиях Хохшильда . ^[41] Он был основан на существовании карты следа Денниса, гомоморфизма из K -теории в гомологию Хохшильда. Хотя карта следа Денниса, казалось, была успешной для вычислений K -теории с конечными коэффициентами, она была менее успешной для рациональных вычислений. Гудвилли, мотивированный своим «исчислением функторов», предположил существование теории, промежуточной между K -теорией и гомологиями Хохшильда. Он назвал эту теорию топологической гомологией Хохшильда, потому что ее основным кольцом должен быть сферический спектр (рассматриваемый как кольцо, операции которого определены только с точностью до гомотопии). В середине 1980-х годов Бокштедт дал определение топологической гомологии Хохшильда, которое удовлетворяло почти всем предполагаемым свойствам Гудвилли, и это сделало возможными дальнейшие вычисления K -групп. ^[42] Версия Бокштедта карты следа Денниса была преобразованием спектров K → THH . Это преобразование факторизовалось через неподвижные точки действия окружности на THH , что предполагало связь с циклической гомологией . В ходе доказательства алгебраического аналога K -теории гипотезы Новикова Бокштедт, Сян и Мадсен ввели топологическую циклическую гомологию, которая имела такое же отношение к топологической гомологии Хохшильда, как циклическая гомология к гомологиям Хохшильда. ^[43] Карта следа Денниса в топологическую гомологию Хохшильда факторизуется через топологическую циклическую гомологию, предоставляя еще более подробный инструмент для вычислений. В 1996 году Дандас, Гудвилли и Маккарти доказали, что топологическая циклическая гомология имеет в точном смысле ту же локальную структуру, что и алгебраическая K -теория, так что если вычисление в K -теории или топологической циклической гомологии возможно, то отсюда следуют и многие другие «близлежащие» вычисления. ^[44]

НижеК-группы

Низшие K -группы были открыты первыми, и им были даны различные описания ad hoc, которые остаются полезными. Везде, пусть A будет кольцом .

К0

Функтор K ₀ переводит кольцо A в группу Гротендика множества классов изоморфизма его конечно порождённых проективных модулей , рассматриваемую как моноид относительно прямой суммы. Любой гомоморфизм колец A → B даёт отображение K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ), отображая (класс) проективного A -модуля M в M ⊗ _A B , делая K ₀ ковариантным функтором.

Если кольцо A коммутативно, мы можем определить подгруппу K ₀ ( A ) как множество

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

где :

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

является отображением, переводящим каждый (класс a) конечно порождённый проективный A -модуль M в ранг свободного -модуля (этот модуль действительно свободен, поскольку любой конечно порождённый проективный модуль над локальным кольцом свободен). Эта подгруппа известна как редуцированная нулевая K-теория A . ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$

Если B — кольцо без единичного элемента , мы можем расширить определение K ₀ следующим образом. Пусть A = B ⊕ Z — расширение B до кольца с единицей, полученное присоединением единичного элемента (0,1). Существует короткая точная последовательность B → A → Z , и мы определяем K ₀ ( B ) как ядро ​​соответствующего отображения K ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z . ^[45]

Примеры

• (Проективные) модули над полем k являются векторными пространствами , а K ₀ ( k ) изоморфно Z по размерности .
• Конечно порождённые проективные модули над локальным кольцом A свободны, и поэтому в этом случае K ₀ ( A ) снова изоморфен Z по рангу . ^[46]
• Для A — области Дедекинда , K 0 ₍ A ) = Pic( A ) ⊕ Z , где Pic( A ) — группа Пикара для A , ^[47]

Алгебро-геометрический вариант этой конструкции применяется к категории алгебраических многообразий ; он сопоставляет данному алгебраическому многообразию X K -группу Гротендика категории локально свободных пучков (или когерентных пучков) на X. Если задано компактное топологическое пространство X , топологическая K -теория K ^top ( X ) (действительных) векторных расслоений над X совпадает с K ₀ кольца непрерывных вещественных функций на X. ^[48 ]

РодственникК₀

Пусть I — идеал A и определим «двойник» как подкольцо декартова произведения A × A : ^[49]

${\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .}$

Относительная K-группа определяется в терминах «двойника» ^[50]

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)\ .}$

где отображение индуцируется проекцией вдоль первого фактора.

Относительный K ₀ ( A , I ) изоморфен K ₀ ( I ), рассматривая I как кольцо без тождества. Независимость от A является аналогом теоремы об вырезании в гомологии. ^[45]

К₀как кольцо

Если A — коммутативное кольцо, то тензорное произведение проективных модулей снова проективно, и поэтому тензорное произведение индуцирует умножение, превращающее K ₀ в коммутативное кольцо с классом [ A ] в качестве тождества. ^[46] Внешнее произведение аналогично индуцирует структуру λ-кольца . Группа Пикара вкладывается как подгруппа группы единиц K ₀ ( A ) ^∗ . ^[51]

К1

Хайман Басс дал следующее определение, обобщающее группу единиц кольца: K ₁ ( A ) — это абелианизация бесконечной общей линейной группы :

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

Здесь

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)}$

является прямым пределом GL( n ), который вкладывается в GL( n  + 1) как верхняя левая блочная матрица , и является ее коммутантной подгруппой . Определим элементарную матрицу как матрицу, которая является суммой единичной матрицы и одного недиагонального элемента (это подмножество элементарных матриц, используемых в линейной алгебре ). Тогда лемма Уайтхеда утверждает, что группа E ( A ), порожденная элементарными матрицами, равна коммутантной подгруппе [GL( A ), GL( A )]. Действительно, группа GL( A )/E( A ) была впервые определена и изучена Уайтхедом ^[52] и называется группой Уайтхеда кольца A . ${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

РодственникК₁

Относительная K-группа определяется в терминах «двойника» ^[53]

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .}$

Существует естественная точная последовательность ^[54]

${\displaystyle K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .}$

Коммутативные кольца и поля

Для коммутативного кольца A можно определить определитель det: GL( A ) → A* для группы единиц A , которая исчезает на E( A ) и, таким образом, спускается к отображению det : K ₁ ( A ) → A* . Как E( A ) ◅ SL( A ), можно также определить специальную группу Уайтхеда S K ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ). Это отображение расщепляется с помощью отображения A* → GL(1, A ) → K ₁ ( A ) (единица в верхнем левом углу), и, следовательно, является на и имеет специальную группу Уайтхеда в качестве ядра, что дает расщепляемую короткую точную последовательность :

${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,}$

которая является частным обычной расщепленной короткой точной последовательности, определяющей специальную линейную группу , а именно

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.}$

Определитель расщепляется путем включения группы единиц A* = GL ₁ ( A ) в общую линейную группу GL (A) , поэтому K ₁ ( A ) расщепляется как прямая сумма группы единиц и специальной группы Уайтхеда: K ₁ ( A ) ≅ A* ⊕ SK ₁ ( A ).

Когда A — евклидова область (например, поле или целые числа), S K ₁ ( A ) исчезает, а детерминантное отображение является изоморфизмом из K ₁ ( A ) в A ^∗ . ^[55] Это неверно в общем случае для PID, тем самым обеспечивая одну из редких математических особенностей евклидовых областей, которые не обобщаются на все PID. Явная PID, такая что SK ₁ не равна нулю, была дана Ишебеком в 1980 году и Грейсоном в 1981 году. ^[56] Если A — дедекиндова область, поле частных которой является полем алгебраических чисел (конечным расширением рациональных чисел), то Милнор (1971, следствие 16.3) показывает, что S K ₁ ( A ) исчезает. ^[57]

Исчезновение SK ₁ можно интерпретировать как утверждение, что K ₁ порождается образом GL ₁ в GL. Когда это не удается, можно спросить, порождается ли K ₁ образом GL ₂ . Для дедекиндовой области это так: действительно, K ₁ порождается образами GL ₁ и SL ₂ в GL. ^[56] Подгруппа SK ₁ , порождаемая SL _{2 ,} может быть изучена с помощью символов Меннике . Для дедекиндовых областей со всеми факторами по максимальным идеалам конечна, SK ₁ является торсионной группой. ^[58]

Для некоммутативного кольца определитель в общем случае определить нельзя, но отображение GL( A ) → K ₁ ( A ) является обобщением определителя.

Центральные простые алгебры

В случае центральной простой алгебры A над полем F редуцированная норма обеспечивает обобщение определителя, задавая отображение K ₁ ( A ) → F ^∗ , и S K ₁ ( A ) может быть определено как ядро. Теорема Вана утверждает, что если A имеет простую степень, то S K ₁ ( A ) тривиальна, ^[59] и это может быть расширено до степени без квадратов. ^[60] Ван также показал, что S K ₁ ( A ) тривиальна для любой центральной простой алгебры над числовым полем, ^[61] но Платонов привел примеры алгебр степени простого квадрата, для которых S K ₁ ( A ) нетривиальна. ^[60]

К2

Джон Милнор нашел правильное определение K ₂ : это центр группы Стейнберга St( A ) элемента A .

Его также можно определить как ядро ​​карты.

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

или как множитель Шура группы элементарных матриц .

Для поля K2 _{определяется} символами Стейнберга : это приводит к теореме Мацумото.

Можно вычислить, что K ₂ равен нулю для любого конечного поля. ^{[62] [63]} Вычисление K ₂ ( Q ) является сложным: Тейт доказал ^{[63] [64]}

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

и заметил, что доказательство следовало первому доказательству Гаусса закона квадратичной взаимности . ^{[65] [66]}

Для неархимедовых локальных полей группа K ₂ ( F ) является прямой суммой конечной циклической группы порядка m , скажем, и делимой группы K ₂ ( F ) ^m . ^[67]

Имеем K ₂ ( Z ) = Z /2, ^[68] и в общем случае K ₂ конечно для кольца целых чисел числового поля. ^[69]

Далее имеем K ₂ ( Z / n ) = Z /2, если n делится на 4, и ноль в противном случае. ^[70]

Теорема Мацумото

Теорема Мацумото ^[71] утверждает, что для поля k вторая K -группа задается формулой ^{[72] [73]}

${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$

Оригинальная теорема Мацумото еще более общая: для любой корневой системы она дает представление для нестабильной K-теории. Это представление отличается от данного здесь только для симплектических корневых систем. Для несимплектических корневых систем нестабильная вторая K-группа относительно корневой системы — это в точности стабильная K-группа для GL( A ). Нестабильные вторые K-группы (в этом контексте) определяются путем взятия ядра универсального центрального расширения группы Шевалле универсального типа для данной корневой системы. Эта конструкция дает ядро ​​расширения Стейнберга для корневых систем A _n ( n  > 1) и, в пределе, стабильные вторые K -группы.

Длинные точные последовательности

Если A — дедекиндова область с полем дробей F , то существует длинная точная последовательность

${\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ }$

где p пробегает все простые идеалы A. ^[74 ]

Существует также расширение точной последовательности для относительных K ₁ и K ₀ : ^[75]

${\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}$

Сопряжение

Существует спаривание на K ₁ со значениями в K ₂ . Даны коммутирующие матрицы X и Y над A , возьмем элементы x и y в группе Стейнберга с X , Y в качестве образов. Коммутатор является элементом K ₂ . ^[76] Отображение не всегда сюръективно. ^[77] ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$

МилнорК-теория

Вышеприведенное выражение для K ₂ поля k привело Милнора к следующему определению «высших» K -групп:

${\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)),}$

таким образом, как градуированные части фактора тензорной алгебры мультипликативной группы k × ^по двустороннему идеалу , порожденному

${\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.}$

Для n = 0,1,2 они совпадают с приведенными ниже, но для n ≧ 3 они в общем случае различаются. ^[78] Например, у нас есть K^М
_н( F _q ) = 0 для n ≧ 2, но K _n F _q не равен нулю для нечетных n (см. ниже).

Тензорное произведение на тензорной алгебре индуцирует произведение, создающее градуированное кольцо , которое является градуированно-коммутативным . ^[79] ${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$ ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

Образы элементов в называются символами , обозначаемыми . Для целого числа m, обратимого в k, существует отображение ${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})}$

где обозначает группу корней m -й степени из единицы в некотором отделимом расширении k . Это продолжается до ${\displaystyle \mu _{m}}$

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ }$

удовлетворяющий определяющим соотношениям группы Милнора K. Следовательно, может рассматриваться как отображение на , называемое отображением символов Галуа . ^[80] ${\displaystyle \partial ^{n}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$

Связь между этальными (или Галуа ) когомологиями поля и K-теорией Милнора по модулю 2 — это гипотеза Милнора , доказанная Владимиром Воеводским . ^[81] Аналогичное утверждение для нечетных простых чисел — это гипотеза Блоха-Като , доказанная Воеводским, Ростом и другими.

ВышеК-теория

Принятые определения высших K -групп были даны Квилленом (1973) после нескольких лет, в течение которых было предложено несколько несовместимых определений. Целью программы было найти определения K ( R ) и K ( R , I ) в терминах классификации пространств так, чтобы R ⇒ K ( R ) и ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) были функторами в гомотопическую категорию пространств, а длинная точная последовательность для относительных K-групп возникает как длинная точная гомотопическая последовательность расслоения K ( R , I ) →  K ( R ) →  K ( R / I ). ^[82]

Квиллен дал две конструкции: «плюс-конструкцию» и « Q -конструкцию», последняя впоследствии была модифицирована различными способами. ^[83] Эти две конструкции дают одни и те же K-группы. ^[84]

+-конструкция

Одно из возможных определений высшей алгебраической K -теории колец было дано Квилленом

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Здесь π _n — гомотопическая группа , GL( R ) — прямой предел общих линейных групп над R для размера матрицы, стремящегося к бесконечности, B — конструкция классифицирующего пространства гомотопической теории , а ^{+ —} конструкция плюса Квиллена . Первоначально он нашел эту идею, изучая когомологии групп ^[85] , и отметил, что некоторые из его вычислений были связаны с . ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {F} _{q})}$

Это определение справедливо только для n  > 0, поэтому часто высшую алгебраическую K -теорию определяют через

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

Поскольку BGL ( R ) ⁺ является путевой связностью, а K ₀ ( R ) дискретен, это определение не отличается в более высоких степенях и также справедливо для n  = 0.

TheВ-строительство

Q - конструкция дает те же результаты, что и +-конструкция, но она применима в более общих ситуациях. Более того, определение более прямое в том смысле, что K -группы, определяемые с помощью Q -конструкции, являются функториальными по определению. Этот факт не является автоматическим в плюс-конструкции.

Предположим , что есть точная категория ; определена связанная с ней новая категория , объекты которой являются объектами , а морфизмы из M ′ в M ″ являются классами изоморфизма диаграмм ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

где первая стрелка является допустимым эпиморфизмом , а вторая стрелка является допустимым мономорфизмом . Обратите внимание, что морфизмы в аналогичны определениям морфизмов в категории мотивов , где морфизмы задаются как соответствия, такие что ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle Z\subset X\times Y}$

${\displaystyle X\leftarrow Z\rightarrow Y}$

представляет собой диаграмму, где стрелка слева является покрывающей картой (следовательно, сюръективной), а стрелка справа является инъективной. Затем эта категория может быть превращена в топологическое пространство с помощью конструкции классифицирующего пространства , которая определяется как геометрическая реализация нерва . Затем i-я K -группа точной категории определяется как ${\displaystyle BQP}$ ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

с фиксированным нулевым объектом . Обратите внимание, что классифицирующее пространство группоида перемещает гомотопические группы на одну ступень вверх, отсюда и сдвиг в степенях для принадлежности пространству. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i+1}}$

Это определение совпадает с приведенным выше определением K ₀ ( P ). Если P — категория конечно порождённых проективных R -модулей , это определение согласуется с приведенным выше определением BGL ⁺ для K _n ( R ) для всех n . В более общем смысле, для схемы X высшие K -группы из X определяются как K -группы (точной категории) локально свободных когерентных пучков на X .

Используется также следующий вариант этого: вместо конечно порождённых проективных (= локально свободных) модулей берутся конечно порождённые модули. Полученные K -группы обычно записываются как G _n ( R ). Когда R — нётерово регулярное кольцо , то G - и K -теории совпадают. Действительно, глобальная размерность регулярных колец конечна, т.е. любой конечно порождённый модуль имеет конечную проективную резольвенту P _* → M , и простое рассуждение показывает, что каноническое отображение K ₀ (R) → G ₀ (R) является изоморфизмом , причём [ M ]=Σ ± [ P _n ]. Этот изоморфизм распространяется и на высшие K -группы.

TheС-строительство

Третьей конструкцией групп теории K является S -конструкция, предложенная Вальдхаузеном . ^[86] Она применима к категориям с корасслоениями (также называемым категориями Вальдхаузена ). Это более общая концепция, чем точные категории.

Примеры

Хотя алгебраическая K -теория Квиллена обеспечила глубокое понимание различных аспектов алгебраической геометрии и топологии, K -группы оказались особенно сложными для вычисления, за исключением нескольких отдельных, но интересных случаев. (См. также: K-группы поля .)

АлгебраическийК-группы конечных полей

Первые и одни из важнейших вычислений высших алгебраических K -групп кольца были выполнены самим Квилленом для случая конечных полей :

Если F _q — конечное поле с q элементами, то:

• К ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 для i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ  − 1) Z для i  ≥ 1. 

Рик Джардин  (1993) пересмотрел вычисления Квиллена, используя другие методы.

АлгебраическийК-группы колец целых чисел

Квиллен доказал, что если A — кольцо целых алгебраических чисел в алгебраическом числовом поле F (конечное расширение рациональных чисел), то алгебраические K-группы A конечно порождены. Арман Борель использовал это для вычисления K _i ( A ) и K _i ( F ) по модулю кручения. Например, для целых чисел Z Борель доказал, что (по модулю кручения)

• K _i ( Z )/tors.=0 для положительных i, если только i=4k+1 с положительным k
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z для положительных k .

Недавно были определены подгруппы кручения K _{2 i +1} ( Z ) и порядки конечных групп K _{4 k +2} ( Z ), но являются ли последние группы циклическими, и исчезают ли группы K _{4 k} ( Z ) зависит от гипотезы Вандивера о группах классов циклотомических целых чисел. Более подробную информацию см. в гипотезе Квиллена–Лихтенбаума .

Заявки и открытые вопросы

Алгебраические K -группы используются в гипотезах о специальных значениях L-функций и формулировке некоммутативной основной гипотезы теории Ивасавы, а также в построении высших регуляторов . ^[69]

Гипотеза Паршина касается высших алгебраических K -групп для гладких многообразий над конечными полями и утверждает, что в этом случае группы исчезают с точностью до кручения.

Другая фундаментальная гипотеза Хаймана Басса ( гипотеза Басса ) гласит, что все группы G _n ( A ) конечно порождены, когда A является конечно порожденной Z -алгеброй. (Группы G _n ( A ) являются K -группами категории конечно порожденных A -модулей) ^[87]

Смотрите также

• Аддитивная К-теория
• Формула Блоха
• Основная теорема алгебраической K -теории
• Основные теоремы алгебраической K -теории
• К -теория
• К -теория категории
• K -группа поля
• Спектр теории К
• Гипотеза о красном смещении
• Топологическая К -теория
• Жесткость ( К -теория)

Примечания

1. Вайбель 1999
2. Гротендик 1957, Борель–Серр 1958
3. Атья-Хирцебрух 1961
4. Уайтхед 1939, Уайтхед 1941, Уайтхед 1950
5. Басс–Шануэль 1962
6. Басс 1968
7. Басс-Мерти 1967
8. Каруби 1968
9. Штейнберг 1962
10. Милнор 1971
11. Мацумото 1969
12. Свон 1968
13. Герстен 1969
14. Нобиле–Вильямайор 1968
15. Каруби–Вильямайор 1971
16. Милнор 1970
17. Милнор 1970, стр. 319
18. Нестеренко–Суслин 1990
19. Тотаро 1992
20. Томасон 1992
21. Квиллен 1971
22. Сигал 1974
23. Стена 1965
24. Зибенманн 1965
25. Смейл 1962
26. Мазур 1963
27. Барден 1963
28. Серф 1970
29. Хэтчер и Вагонер 1973
30. Вальдхаузен 1978
31. Вальдхаузен 1985
32. Браун–Герстен 1973
33. Блох 1974
34. Квиллен 1973
35. Квиллен 1975
36. Браудер 1976
37. Соуле 1979
38. Дуайер-Фридлендер 1982
39. Томасон 1985
40. Томасон и Тробо 1990
41. Деннис 1976
42. Бокстедт 1986
43. Бокстедт-Сян-Мадсен 1993 г.
44. Дандас–Гудвилли–Маккарти 2012
45. Розенберг (1994) стр.30
46. Milnor (1971) стр.5
47. Милнор (1971) стр.14
48. Каруби, Макс (2008), K-теория: введение , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-79889-7, см. теорему I.6.18
49. Розенберг (1994) 1.5.1, стр.27
50. Розенберг (1994) 1.5.3, стр.27
51. Милнор (1971) стр.15
52. JHC Whitehead, Простые гомотопические типы Amer. J. Math., 72 (1950) стр. 1–57
53. Розенберг (1994) 2.5.1, стр.92
54. Розенберг (1994) 2.5.4, стр.95
55. Розенберг (1994) Теорема 2.3.2, стр.74
56. Розенберг (1994) стр.75
57. Розенберг (1994) стр.81
58. Розенберг (1994) стр.78
59. Гилле и Самуэли (2006) стр.47
60. Gille & Szamuely (2006) стр.48
61. Ван, Шиангхо (1950), «О группе коммутаторов простой алгебры», Am. J. Math. , 72 (2): 323–334, doi :10.2307/2372036, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372036, Zbl  0040.30302
62. Лэм (2005) стр.139
63. Lemmermeyer (2000) стр.66
64. Милнор (1971) стр.101
65. Милнор (1971) стр.102
66. Грас (2003) стр.205
67. Милнор (1971) стр.175
68. Милнор (1971) стр.81
69. Lemmermeyer (2000) стр.385
70. Сильвестр (1981) стр.228
71. Хидэя Мацумото
72. Мацумото, Хидэя (1969), "Sur les sous-groupes arithmétiques des groupses semi-simples déployés", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4 (на французском языке), 2 (2): 1–62, doi : 10.24033 /asens.1174 , ISSN  0012-9593, МР  0240214, Збл  0261.20025
73. Розенберг (1994) Теорема 4.3.15, стр.214
74. Милнор (1971) стр.123
75. Розенберг (1994) стр.200
76. Милнор (1971) стр.63
77. Милнор (1971) стр.69
78. (Weibel 2005), ср. Лемма 1.8.
79. Гилле и Самуэли (2006) стр.184
80. Гилле и Самуэли (2006) стр.108
81. Воеводский, Владимир (2003), «Мотивические когомологии с Z / 2-коэффициентами», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 98 (1): 59–104, doi : 10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN  0073-8301, MR  2031199
82. Розенберг (1994) стр. 245–246
83. Розенберг (1994) стр.246
84. Розенберг (1994) стр.289
85. "ag.algebraic geometry - мотивация Квиллена высшей алгебраической K-теории", MathOverflow , получено 26.03.2021
86. Вальдхаузен, Фридхельм (1985), «Алгебраическая K-теория пространств», Алгебраическая K -теория пространств , Lecture Notes in Mathematics, т. 1126, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 318–419, doi :10.1007/BFb0074449, ISBN 978-3-540-15235-4, МР  0802796. См. также лекцию IV и ссылки в (Friedlander & Weibel 1999)
87. (Фридлендер и Вайбель 1999), Лекция VI

Ссылки

• Басс, Хайман (1968), Алгебраическая K -теория , Серия лекций по математике, Нью-Йорк-Амстердам: WA Benjamin, Inc., Zbl  0174.30302
• Фридлендер, Эрик ; Грейсон, Дэниел, ред. (2005), Справочник по теории К , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-27855-9, ISBN 978-3-540-30436-4, МР  2182598
• Фридлендер, Эрик М.; Вайбель , Чарльз В. (1999), Обзор алгебраической K -теории , World Sci. Publ., River Edge, NJ, стр. 1–119, MR  1715873
• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), Центральные простые алгебры и когомологии Галуа , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 101, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-86103-8, ЗБЛ  1137.12001
• Гра, Жорж (2003), Теория полей классов. От теории к практике , Springer Monographs in Mathematics, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44133-5, ЗБЛ  1019.11032
• Джардин, Джон Фредерик (1993), «К-теория конечных полей, пересмотр», K-Theory , 7 (6): 579–595, doi :10.1007/BF00961219, MR  1268594
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Graduate Studies in Mathematics, т. 67, Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1095-8, MR  2104929, Zbl  1068.11023
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 978-3-540-66957-9, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K -теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat...9..318M, doi : 10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую К-теорию , Annals of Mathematics Studies, т. 72, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , MR  0349811, Zbl  0237.18005(нижние К-группы)
• Quillen, Daniel (1973), "Высшая алгебраическая K-теория. I", Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Washington, 1972) , Lecture Notes in Math, т. 341, Berlin, New York: Springer-Verlag , стр. 85–147, doi :10.1007/BFb0067053, ISBN 978-3-540-06434-3, МР  0338129
• Куиллен, Дэниел (1975), «Высшая алгебраическая K-теория», Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), т. 1 , Монреаль, Квебек: Канадский математический конгресс, стр. 171–176, MR  0422392(Q-конструкция Квиллена)
• Quillen, Daniel (1974), "Высшая K-теория для категорий с точными последовательностями", Новые разработки в топологии (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., т. 11, Cambridge University Press , стр. 95–103, MR  0335604(отношение Q-конструкции к плюс-конструкции)
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Graduate Texts in Mathematics , т. 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290, Zbl  0801.19001. Опечатки
• Seiler, Wolfgang (1988), "λ-кольца и операции Адамса в алгебраической K-теории", в Rapoport, M.; Schneider, P.; Schappacher, N. (ред.), Beilinson's Conjectures on Special Values ​​of L-Functions , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-581120-0
• Сильвестр, Джон Р. (1981), Введение в алгебраическую K-теорию , Chapman and Hall Mathematics Series, Лондон, Нью-Йорк: Chapman and Hall , ISBN 978-0-412-22700-4, ЗБЛ  0468.18006
• Вайбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях» (PDF) , Справочник по K-теории , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 139–190, doi :10.1007/3-540-27855-9_5, ISBN 978-3-540-23019-9, г-н  2181823(статья-обзор)
• Weibel, Charles (1999), Развитие алгебраической K-теории до 1980 года , Contemporary Mathematics, т. 243, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 211–238, doi :10.1090/conm/243/03695, MR  1732049

Дальнейшее чтение

• Луис-Пуэбла, Эмилио; Лоде, Жан-Луи; Жилле, Анри; Суле, Кристоф; Снайт, Виктор (1992), Высшая алгебраическая K-теория: обзор , Конспект лекций по математике, том. 1491, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55007-5, ЗБЛ  0746.19001
• Мэгурн, Брюс А. (2009), Алгебраическое введение в K-теорию , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 87 (исправленное издание в мягкой обложке), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-10658-0
• Шринивас, В. (2008), Алгебраическая K -теория , Modern Birkhäuser Classics (переиздание в мягкой обложке 2-го издания 1996 года), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Збл  1125.19300
• Вайбель, К., K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию

Педагогические рекомендации

• Высшая алгебраическая К-теория: обзор
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Graduate Texts in Mathematics , т. 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290, Zbl  0801.19001. Опечатки
• Вайбель, Чарльз (2013), K-book: введение в алгебраическую K-теорию, Graduate Studies in Mathematics , т. 145, AMS

Исторические справки

• Атья, Майкл Ф.; Хирцебрух , Фридрих (1961), Векторные расслоения и однородные пространства , Proc. Sympos. Pure Math., т. 3, Американское математическое общество , стр. 7–38
• Барден, Деннис (1964), О структуре и классификации дифференциальных многообразий (диссертация), Кембриджский университет
• Басс, Хайман ; Мурти, М. П. (1967), «Группы Гротендика и группы Пикара абелевых групповых колец», Annals of Mathematics , 86 (1): 16–73, doi :10.2307/1970360, JSTOR  1970360
• Басс, Хайман ; Шануэль, С. (1962), «Гомотопическая теория проективных модулей», Бюллетень Американского математического общества , 68 (4): 425–428, doi : 10.1090/s0002-9904-1962-10826-x
• Басс, Хайман (1968), Алгебраическая K -теория , Бенджамин
• Блох, Спенсер (1974), « K ₂ алгебраических циклов», Annals of Mathematics , 99 (2): 349–379, doi :10.2307/1970902, JSTOR  1970902
• Бокштедт, М., Топологические гомологии Хохшильда . Препринт, Билефельд, 1986.
• Бокштедт, М., Сян, В. К., Мадсен, И., Циклотомический след и алгебраическая K -теория пространств . Изобрет. математика, 111 (3) (1993), 465–539.
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958), «Теорема Римана-Роха», Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 97–136, doi : 10.24033/bsmf.1500
• Браудер, Уильям (1978), Алгебраическая K -теория с коэффициентами Z / p, Конспект лекций по математике, т. 657, Springer–Verlag, стр. 40–84
• Браун, К., Герстен, С., Алгебраическая K -теория как обобщенная когомология пучков , Алгебраическая K-теория I, Lecture Notes in Math., т. 341, Springer-Verlag, 1973, стр. 266–292.
• Серф, Жан (1970), «Природная стратификация пространств дифференцируемых функций, катушек и теорем псевдоизотопии», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 39 : 5–173, doi : 10.1007/BF02684687
• Деннис, Р.К., Высшая алгебраическая K -теория и гомологии Хохшильда , неопубликованный препринт (1976).
• Герстен, С. (1971), «О функторе K2», J. Algebra , 17 (2): 212–237, doi : 10.1016/0021-8693(71)90030-5
• Гротендик, Александр, Классы фасеток и теоремы Римана–Роха , мимеографированные заметки, Принстон, 1957.
• Хэтчер, Аллен ; Вагонер, Джон (1973), «Псевдоизотопии компактных многообразий», Astérisque , 6 , MR  0353337
• Каруби, Макс (1968), «Foncteurs Deute et K -theorie. Фильтры категорий», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB , 267 : A328–A331
• Каруби, Макс ; Вилламайор, О. (1971), «Алгебраическая К-теория и топологическая К-теория», Math. Скан. , 28 : 265–307, doi : 10,7146/math.scand.a-11024
• Мацумото, Хидэя (1969), «Sur les sous-groupes aritmetiques des groupses semi-simple Deploes», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 2 : 1–62, doi : 10.24033/asens.1174
• Мазур, Барри (1963), «Дифференциальная топология с точки зрения простой гомотопической теории» (PDF) , Математические публикации IHÉS , 15 : 5–93
• Милнор, Дж. (1970), «Алгебраическая K -теория и квадратичные формы», Invent. Math. , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat...9..318M, doi : 10.1007/bf01425486
• Милнор, Дж., Введение в алгебраическую K -теорию , Princeton Univ. Press, 1971.
• Нобиле А., Вилламайор О., Sur la K -theorie algebrique , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4e serie, 1 , no. 3, 1968, 581–616.
• Квиллен, Даниэль, Когомологии групп , Proc. ICM Nice 1970, т. 2, Готье-Виллар, Париж, 1971, 47–52.
• Куиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K -теория I , Алгебраическая K -теория I, Lecture Notes in Math., т. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Куиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K -теория , Труды Международного конгресса по математике, Ванкувер, 1974, т. I, Канадское математическое общество, 1975, стр. 171–176.
• Сигал, Грэм (1974), «Категории и теории когомологий», Топология , 13 (3): 293–312, doi : 10.1016/0040-9383(74)90022-6
• Зибенман, Ларри, Препятствие к нахождению границы открытого многообразия размерности больше пяти , диссертация, Принстонский университет (1965).
• Смейл, С. (1962), «О структуре многообразий», Amer. J. Math. , 84 (3): 387–399, doi :10.2307/2372978, JSTOR  2372978
• Стейнберг Р. Генераторы, отношения и обрамления алгебраических групп , Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Готье-Виллар, Париж, 1962, стр. 113–127. (Французский)
• Свон, Ричард, Неабелева гомологическая алгебра и K-теория , Труды Симпозиума по чистой математике, т. XVII, 1970, стр. 88–123.
• Томасон, Р.В., Алгебраическая K -теория и этальные когомологии , Ann. Научный. Эк. Норм. Как дела. 18 , серия 4е (1985), 437–552; опечатка 22 (1989), 675–677.
• Томасон, Р.В., Принцип науки и несуществования К -теории глобального Милнора , Топология 31 , вып. 3, 1992, 571–588.
• Thomason, Robert W.; Trobaugh, Thomas (1990), "Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий", The Grothendieck Festschrift Volume III , Progr. Math., т. 88, Boston, MA: Birkhäuser Boston, стр. 247–435, doi :10.1007/978-0-8176-4576-2_10, ISBN 978-0-8176-3487-2, МР  1106918
• Вальдхаузен, Ф., Алгебраическая K-теория топологических пространств . I , в Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), часть 1, стр. 35–60, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1978.
• Вальдхаузен, Ф., Алгебраическая K -теория пространств , в Алгебраическая и геометрическая топология (Нью-Брансуик, Нью-Джерси, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, т. 1126 (1985), 318–419.
• Wall, CTC (1965), «Условия конечности для CW-комплексов», Annals of Mathematics , 81 (1): 56–69, doi :10.2307/1970382, JSTOR  1970382
• Уайтхед, Дж. Х. К. (1941), «О матрицах инцидентности, ядрах и гомотопических типах», Annals of Mathematics , 42 (5): 1197–1239, doi :10.2307/1970465, JSTOR  1970465
• Уайтхед, Дж. Х. К. (1950), «Простые гомотопические типы», Amer. J. Math. , 72 (1): 1–57, doi :10.2307/2372133, JSTOR  2372133
• Уайтхед, Дж. Х. К. (1939), «Симплициальные пространства, ядра и m-группы», Труды Лондонского мат. общества , 45 : 243–327, doi :10.1112/plms/s2-45.1.243

Внешние ссылки

• Архив препринтов теории К