Полунорм

Математическая функция

В математике , в частности в функциональном анализе , полунорма — это норма , которая не обязательно должна быть положительно определенной . Полунормы тесно связаны с выпуклыми множествами : каждая полунорма — это функционал Минковского некоторого поглощающего диска и, наоборот, функционал Минковского любого такого множества — это полунорма.

Топологическое векторное пространство локально выпукло тогда и только тогда, когда его топология индуцируется семейством полунорм.

Определение

Пусть — векторное пространство над действительными числами или над комплексными числами. Действительная функция называется полунормой, если она удовлетворяет следующим двум условиям: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. Субаддитивность ^[1] / Неравенство треугольника : для всех ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Абсолютная однородность : ^[1] для всех и всех скаляров ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

Из этих двух условий следует, что ^{[доказательство 1]} и что каждая полунорма также обладает следующим свойством: ^{[доказательство 2]} ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

3. Неотрицательность : ^[1] для всех ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Некоторые авторы включают неотрицательность в определение «полунормы» (а иногда и «нормы»), хотя это не обязательно, поскольку следует из двух других свойств.

По определению, норма на — это полунорма, которая также разделяет точки, то есть она обладает следующим дополнительным свойством: ${\displaystyle X}$

4. Положительно определенный /Положительный ^[1] /Разделение точек : всякий раз, когдаудовлетворяет, то ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$

АПолунормированное пространство — это пара,состоящая из векторного пространстваи полунормынаЕсли полунорматакже является нормой, то полунормированное пространствоназывается нормированным пространством . ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,p)}$

Поскольку абсолютная однородность подразумевает положительную однородность, каждая полунорма является типом функции, называемой сублинейной функцией . Отображение называется сублинейной функцией, если оно субаддитивно и положительно однородно . В отличие от полунормы, сублинейная функция не обязательно неотрицательна. Сублинейные функции часто встречаются в контексте теоремы Хана–Банаха . Действительная функция является полунормой тогда и только тогда, когда она является сублинейной и сбалансированной функцией . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Примеры

• Тривиальная полунорма на , которая ссылается на постоянное отображение на , индуцирует недискретную топологию на ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть будет мерой на пространстве . Для произвольной константы пусть будет множеством всех функций , для которых существует и конечно. Можно показать, что является векторным пространством, а функционал является полунормой на . Однако это не всегда норма (например, если и является мерой Лебега ), поскольку не всегда подразумевает . Чтобы сделать норму, профакторизуйте замкнутое подпространство функций с . Полученное пространство , , имеет норму, индуцированную . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle c\geq 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle L^{c}(\mu )}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$
• Если — любая линейная форма на векторном пространстве, то ее абсолютное значение, определяемое формулой, является полунормой. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|,}$ ${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$
• Сублинейная функция на действительном векторном пространстве является полунормой тогда и только тогда, когда она является симметричной функцией , что означает, что для всех ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$
• Каждая вещественнозначная сублинейная функция на вещественном векторном пространстве индуцирует полунорму, определяемую формулой ^[2] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$
• Любая конечная сумма полунорм является полунормой. Ограничение полунормы (соответственно нормы) на векторное подпространство снова является полунормой (соответственно нормой).
• Если и являются полунормами (соответственно нормами) на и тогда отображение, определяемое с помощью, является полунормой (соответственно нормой) на В частности, отображения на , определяемые с помощью и , оба являются полунормами на ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
• Если и являются полунормами на , то также являются ^[3] и где и ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$ $${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}}$$ ${\displaystyle p\wedge q\leq p}$ ${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$
• Пространство полунорм на в общем случае не является дистрибутивной решеткой относительно указанных выше операций. Например, над , таковы, что в то время как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$ $${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$ ${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• Если — линейное отображение и — полунорма на , то — полунорма на Полунорма будет нормой на тогда и только тогда, когда — инъективно, а ограничение — норма на ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$ ${\displaystyle L(X).}$

Функционалы и полунормы Минковского

Полунормы на векторном пространстве тесно связаны, через функционалы Минковского, с подмножествами , которые являются выпуклыми , сбалансированными и поглощающими . При наличии такого подмножества функционала Минковского является полунормой. Обратно, при наличии полунормы на множествах и являются выпуклыми, сбалансированными и поглощающими и, кроме того, функционал Минковского этих двух множеств (а также любого множества, лежащего «между ними») равен ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle p.}$

Алгебраические свойства

Каждая полунорма является сублинейной функцией и, таким образом, удовлетворяет всем свойствам сублинейной функции , включая выпуклость , и для всех векторов : обратное неравенство треугольника : ^{[2] [6]} а также и ^{[2] [6]} ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$ ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$

Для любого вектора и положительного вещественного числа ^[7] и, кроме того, является поглощающим диском в ^[3] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0:}$ $${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X.}$

Если — сублинейная функция на действительном векторном пространстве , то существует линейный функционал на такой, что ^[6] и, более того, для любого линейного функционала на на тогда и только тогда, когда ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Другие свойства полунорм

Каждая полунорма является сбалансированной функцией . Полунорма является нормой на тогда и только тогда, когда не содержит нетривиального векторного подпространства. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

Если является полунормой на , то является векторным подпространством и для каждого является постоянным на множестве и равным ^{[доказательство 3]} ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$ ${\displaystyle p(x).}$

Более того, для любого действительного ^[3] ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

Если множество удовлетворяет , то поглощает в и где обозначает функционал Минковского, связанный с (то есть калибровку ). ^[5] В частности, если имеет место выше и является любой полунормой на , то тогда и только тогда, когда ^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{D}}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$

Если — нормированное пространство и тогда для всех в интервале ^[8] ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [x,y].}$

Каждая норма является выпуклой функцией , и, следовательно, нахождение глобального максимума целевой функции , основанной на норме, иногда является легко выполнимой задачей.

Связь с другими нормоподобными концепциями

Пусть — неотрицательная функция. Следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$является полунормой.
2. ${\displaystyle p}$является выпуклой -полунормой . ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle p}$является выпуклой сбалансированной G -полунормой . ^[9]

Если выполняется любое из вышеперечисленных условий, то следующие условия эквивалентны:

1. ${\displaystyle p}$это норма;
2. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$не содержит нетривиального векторного подпространства. ^[10]
3. Существует норма относительно которой ограничено. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

Если — сублинейная функция на действительном векторном пространстве , то следующие условия эквивалентны: ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$является линейным функционалом ;
2. ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ for every }}x\in X}$;
3. ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{\text{ for every }}x\in X}$;

Неравенства, включающие полунормы

Если являются полунормами, то: ${\displaystyle p,q:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle p\leq q}$тогда и только тогда, когда подразумевается ^[11] ${\displaystyle q(x)\leq 1}$ ${\displaystyle p(x)\leq 1.}$
• Если и таковы, что влечет то для всех ^[12] ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle p(x)<a}$ ${\displaystyle q(x)\leq b,}$ ${\displaystyle aq(x)\leq bp(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$
• Предположим, что и являются положительными действительными числами и являются полунормами на такими, что для каждого , если то Тогда ^[10] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a}$ ${\displaystyle q(x)<b.}$ ${\displaystyle aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right).}$
• Если — векторное пространство над действительными числами и — ненулевой линейный функционал на , то тогда и только тогда, когда ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$

Если является полунормой на и является линейным функционалом на , то: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |f|\leq p}$в том и только в том случае, если в (см. сноску для доказательства). ^{[13] [14]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle f\leq p}$в том и только в том случае, если ^{[6] [11]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$
• Если и таковы, что влечет то для всех ^[12] ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle p(x)<a}$ ${\displaystyle f(x)\neq b,}$ ${\displaystyle a|f(x)|\leq bp(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Теорема Хана–Банаха для полунорм

Полунормы предлагают особенно ясную формулировку теоремы Хана–Банаха :

Если — векторное подпространство полунормированного пространства и если — непрерывный линейный функционал на , то его можно расширить до непрерывного линейного функционала на , имеющего ту же норму, что и ^[15] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

Аналогичное свойство расширения справедливо и для полунорм:

Теорема ^{[16] [12]}  (Расширение полунорм)  —  Если — векторное подпространство — полунорма на и — полунорма на такая, что то существует полунорма на такая, что и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M},}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p}$ ${\displaystyle P\leq q.}$

Доказательство : Пусть — выпуклая оболочка Тогда — поглощающий диск в и, таким образом, функционал Минковского — полунорма на Эта полунорма удовлетворяет на и на ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p=P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Топологии полунормированных пространств

Псевдометрия и индуцированная топология

Полунорма на индуцирует топологию, называемую топологией, индуцированной полунормой , через каноническую инвариантную относительно трансляции псевдометрику ; Эта топология является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда является метрикой, что имеет место тогда и только тогда, когда является нормой . ^[4] Эта топология превращает в локально выпуклое псевдометризуемое топологическое векторное пространство , которое имеет ограниченную окрестность начала координат и базис окрестностей в начале координат, состоящий из следующих открытых шаров (или замкнутых шаров) с центром в начале координат: как пробегает положительные действительные числа. Каждое полунормированное пространство следует считать наделенным этой топологией, если не указано иное. Топологическое векторное пространство, топология которого индуцирована некоторой полунормой, называется полунормируемым . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{p}:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{p}(x,y):=p(x-y)=p(y-x).}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}\quad {\text{ or }}\quad \{x\in X:p(x)\leq r\}}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,p)}$

Эквивалентно, каждое векторное пространство с полунормой индуцирует фактор векторного пространства , где — подпространство, состоящее из всех векторов с Тогда несет норму, определяемую выражением Результирующая топология, взятая обратно , является в точности топологией, индуцированной ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X/W,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0.}$ ${\displaystyle X/W}$ ${\displaystyle p(x+W)=p(x).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p.}$

Любая топология, индуцированная полунормой, делает локально выпуклым , как следует. Если является полунормой на и назовем множество открытым шаром радиуса вокруг начала координат ; аналогично замкнутый шар радиуса есть Множество всех открытых (соответственно замкнутых) -шаров в начале координат образует базис окрестностей выпуклых сбалансированных множеств, которые открыты (соответственно замкнуты) в -топологии на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Более сильные, более слабые и эквивалентные полунормы

Понятия более сильных и более слабых полунорм родственны понятиям более сильных и более слабых норм . Если и являются полунормами на , то мы говорим, что сильнее чем , а что слабее чем , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. Топология, индуцированная , тоньше топологии, индуцированной ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. Если есть последовательность в тогда из следует в ^[4] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
3. Если это сеть в, то в подразумевает в ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
4. ${\displaystyle p}$ограничено на ^[4] ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}.}$
5. Если тогда для всех ^[4] ${\displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. Существует действительное число такое, что на ^[4] ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$ ${\displaystyle X.}$

Полунормы и называются эквивалентными, если они обе слабее (или обе сильнее) друг друга. Это происходит, если они удовлетворяют любому из следующих условий: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. Топология, индуцированная с помощью, такая же, как топология, индуцированная с помощью ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. ${\displaystyle q}$сильнее, чем и сильнее, чем ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q.}$
3. Если это последовательность в то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0.}$
4. Существуют положительные действительные числа и такие, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle rq\leq p\leq Rq.}$

Нормируемость и полунормируемость

Топологическое векторное пространство (TVS) называетсяполунормируемое пространство (соответственно,нормируемое пространство ), если его топология индуцируется одной полунормой (соотв., одной нормой). TVS нормируемо тогда и только тогда, когда оно полунормируемо и хаусдорфово или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда оно полунормируемо иT 1 (потому что TVS является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно являетсяпространствомT 1 ).Локально ограниченное топологическое векторное пространство — это топологическое векторное пространство, обладающее ограниченной окрестностью начала координат.

Нормируемость топологических векторных пространств характеризуется критерием нормируемости Колмогорова . TVS полунормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. ^[17] Таким образом, локально выпуклое TVS полунормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет непустое ограниченное открытое множество. ^[18] TVS нормируемо тогда и только тогда, когда оно является пространством T 1 и допускает ограниченную выпуклую окрестность начала координат.

Если — локально выпуклый TVS Хаусдорфа , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является нормируемым.
2. ${\displaystyle X}$является полунормируемым.
3. ${\displaystyle X}$имеет ограниченную окрестность начала координат.
4. Сильный дуал нормируем . ^[19] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
5. Сильный двойственный элемент метризуем . [ 19 ^] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Более того, является конечномерным тогда и только тогда, когда является нормируемым (здесь обозначает наделенное слабой- * топологией ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Произведение бесконечного числа полунормируемых пространств снова полунормируемо тогда и только тогда, когда все, за исключением конечного числа, эти пространства тривиальны (то есть 0-мерны). ^[18]

Топологические свойства

• Если — TVS и — непрерывная полунорма на , то замыкание в равно ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$
• Замыкание в локально выпуклом пространстве , топология которого определяется семейством непрерывных полунорм, равно ^[11] ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• Подмножество в полунормированном пространстве ограничено тогда и только тогда, когда ограничено . ^[20] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p(S)}$
• Если — полунормированное пространство, то локально выпуклая топология, индуцирующая на , превращает его в псевдометризуемое TVS с канонической псевдометрикой, заданной для всех ^[21] ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• Произведение бесконечного числа полунормируемых пространств снова полунормируемо тогда и только тогда, когда все, за исключением конечного числа, эти пространства тривиальны (то есть имеют 0 измерений). ^[18]

Непрерывность полунорм

Если — полунорма в топологическом векторном пространстве , то следующие условия эквивалентны: ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle p}$является непрерывным.
2. ${\displaystyle p}$непрерывен в точке 0; ^[3]
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$открыт в ; ^[3] ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$является замкнутой окрестностью 0 в ; ^[3] ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle p}$равномерно непрерывен на ; ^[3] ${\displaystyle X}$
6. Существует непрерывная полунорма на такая, что ^[3] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q.}$

В частности, если — полунормированное пространство, то полунорма на непрерывна тогда и только тогда, когда доминируется положительным скалярным множителем ^[3] ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$

Если — действительный TVS, — линейный функционал на и — непрерывная полунорма (или, в более общем случае, сублинейная функция) на , то из того, что — непрерывный. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывность линейных отображений

Если — отображение между полунормированными пространствами, то пусть ^[15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ $${\displaystyle \|F\|_{p,q}:=\sup\{q(F(x)):p(x)\leq 1,x\in X\}.}$$

Если — линейное отображение между полунормированными пространствами, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

1. ${\displaystyle F}$является непрерывным;
2. ${\displaystyle \|F\|_{p,q}<\infty }$; ^[15]
3. Существует действительное число такое, что ; ^[15] ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$
   • В этом случае, ${\displaystyle \|F\|_{p,q}\leq K.}$

Если непрерывно, то для всех ^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Пространство всех непрерывных линейных отображений между полунормированными пространствами само является полунормированным пространством относительно полунормы Эта полунорма является нормой, если является нормой. ^[15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ ${\displaystyle \|F\|_{p,q}.}$ ${\displaystyle q}$

Обобщения

Понятие нормы в композиционных алгебрах не обладает обычными свойствами нормы.

Композиционная алгебра состоит из алгебры над полем, инволюции и квадратичной формы , которая называется «нормой». В нескольких случаях это изотропная квадратичная форма , так что имеет по крайней мере один нулевой вектор , в отличие от разделения точек, требуемого для обычной нормы, обсуждаемой в этой статье. ${\displaystyle (A,*,N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$

Ультраполунорма или неархимедова полунорма — это полунорма , которая также удовлетворяет ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

Ослабление субаддитивности: квазиполунормы

Отображение называется квазиполунормой, если оно (абсолютно) однородно и существует такое , что Наименьшее значение , для которого это выполняется, называется множителем ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b\leq 1}$ ${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p.}$

Квазиполунорма, разделяющая точки, называется квазинормой на ${\displaystyle X.}$

Ослабление однородности - -полунормы ${\displaystyle k}$

Отображение называется -полунормой, если оно субаддитивно и существует такое , что и для всех и скаляров -полунорма , разделяющая точки, называется -нормой на ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0<k\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s,}$ $${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X.}$

Между квазиполунормами и -полунормами имеется следующая связь: ${\displaystyle k}$

Предположим, что — квазиполунорма на векторном пространстве с множителем . Если тогда существует — квазиполунорма на , эквивалентная ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q.}$

Смотрите также

• Асимметричная норма  – Обобщение понятия нормы
• Банахово пространство  – Нормированное векторное пространство, которое является полным
• Контрационная карта  – функция, уменьшающая расстояние между всеми точками
• Наилучшая локально выпуклая топология  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема Хана-Банаха  – Теорема о расширении ограниченных линейных функционаловPages displaying short descriptions of redirect targets
• норма Гауэрса
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Расстояние Махаланобиса  – статистическая мера расстояния
• Матричная норма  – норма на векторном пространстве матриц
• Функционал Минковского  – Функция, созданная из множества
• Норма (математика)  – Длина в векторном пространстве
• Нормированное векторное пространство  – векторное пространство, на котором определено расстояние.
• Соотношение норм и метрик  – Математическое пространство с понятием расстоянияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Сублинейная функция  – Тип функции в линейной алгебре

Примечания

Доказательства

1. Если обозначает нулевой вектор, а обозначает нулевой скаляр, то абсолютная однородность подразумевает, что ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(z)=p(0z)=|0|p(z)=0p(z)=0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Предположим, что является полунормой и пусть Тогда абсолютная однородность подразумевает Неравенство треугольника теперь подразумевает Поскольку был произвольным вектором в следует, что что влечет то (вычитая из обеих сторон). Таким образом, что влечет (умножая на ). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(-x)=p((-1)x)=|-1|p(x)=p(x).}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(0)\leq 2p(0),}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x)}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Пусть и Осталось показать, что Из неравенства треугольника следует, что так как и требовалось. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Ссылки

1. Кубруслы 2011, стр. 200.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 120–121.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 116–128.
4. Wilansky 2013, стр. 15–21.
5. Шефер и Вольф 1999, стр. 40.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 177–220.
7. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 116−128.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–113.
9. Шехтер 1996, стр. 691.
10. Narici & Beckenstein 2011, стр. 149.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 149–153.
12. Wilansky 2013, стр. 18–21.
13. Очевидно, если — действительное векторное пространство. Для нетривиального направления предположим, что на и пусть Пусть и — действительные числа, такие что Тогда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(x)=re^{it}.}$ ${\displaystyle |f(x)|=r=f\left(e^{-it}x\right)=\operatorname {Re} \left(f\left(e^{-it}x\right)\right)\leq p\left(e^{-it}x\right)=p(x).}$
14. Вилански 2013, стр. 20.
15. Вилански 2013, стр. 21–26.
16. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 150.
17. Вилански 2013, стр. 50–51.
18. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
19. Trèves 2006, стр. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.
20. Вилански 2013, стр. 49–50.
21. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (Второе изд.). Бостон: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Пруговечки, Эдуард (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Academic Press. стр. 20. ISBN 0-12-566060-X.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.

Внешние ссылки

• Сублинейные функции
• Теорема о сэндвиче для сублинейных и суперлинейных функционалов