Поддержка (математика)

Часть области определения математической функции, в которой функция принимает ненулевые значения.

В математике поддержкой действительной функции является подмножество области определения функции, содержащее элементы, которые не отображаются в ноль . Если областью определения является топологическое пространство , то носитель вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее все точки, не отображенные в ноль. Это понятие широко используется в математическом анализе . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Формулировка

Предположим, что это действительная функция, областью определения которой является произвольное множество . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$теоретико-множественным обеспечением письменностиявляется множество точек, вкоторыхнеравно нулю: ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

Носителем является наименьшее подмножество со свойством, равным нулю в дополнении к подмножеству. Если для всех точек, кроме конечного, говорят , что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f}$конечная поддержка .

Если множество имеет дополнительную структуру (например, топологию ), то носитель определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество соответствующего типа такое, что обращается в нуль в подходящем смысле на своем дополнении. Понятие поддержки также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих наборах, чем на другие объекты, такие как меры или распределения . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Закрытая поддержка

Наиболее распространенная ситуация возникает, когда это топологическое пространство (такое как вещественная линия или трехмерное евклидово пространство ) и непрерывная вещественная (или комплексная ) функция. В этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$поддержка , ${\displaystyle f}$,или ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$замкнутый носитель , определяется топологически какзамыкание(взятое в) подмножествагдененулевой^[1][2][3], то есть, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$

Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f.}$

Например, если функция определена then , носитель , или закрытый носитель , является закрытым интервалом, поскольку ненулевой на открытом интервале , и замыкание этого набора есть ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-1,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1].}$

Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но это определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций в топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы (или ) были непрерывными. ^[4] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Компактная поддержка

Функции скомпактный носитель в топологическом пространстве— это те, чей замкнутый носитель являетсякомпактнымподмножеством.Если— действительная прямая или-мерное евклидово пространство, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ограниченный носитель , поскольку подмножествокомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Например, определенная выше функция является непрерывной функцией с компактным носителем. Если это гладкая функция, то, поскольку она тождественна на открытом подмножестве, все частные производные всех порядков также тождественны на открытом подмножестве. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,1].}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

Условие компактности сильнее условия исчезновения на бесконечности . Например, функция, определяемая нулем на бесконечности, так как ее носитель не компактен. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ ${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle |x|\to \infty ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Гладкие функции с действительным знаком и компактным носителем в евклидовом пространстве называются функциями рельефа . Смягчители являются важным частным случаем функций рельефа, поскольку их можно использовать в теории распределения для создания последовательностей гладких функций, аппроксимирующих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .

В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, исчезающих на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. В качестве интуиции для более сложных примеров и на языке пределов для любой функции на действительной прямой , которая обращается в нуль на бесконечности, можно аппроксимировать путем выбора подходящего компактного подмножества такого , что для всех где - индикаторная функция каждой непрерывной функции на компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель, поскольку каждое замкнутое подмножество компакта действительно компактно. ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C.}$

Основная поддержка

Если это топологическое пространство с мерой с борелевской мерой (например, измеримое по Лебегу подмножество пространства, снабженное мерой Лебега), то обычно идентифицируются функции, которые равны почти всюду. В этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mu }$существенный носитель записаннойизмеримой функцииопределяется как наименьшее замкнутое подмножествотакого, что-почти всюду внеЭквивалентно,является дополнением наибольшегооткрытого множества, на котором-почти всюду^[5] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

Существенный носитель функции зависит как от меры , так и от и может быть строго меньше замкнутого носителя. Например, если функция Дирихле относится к иррациональным и рациональным числам и снабжена мерой Лебега, то носителем является весь интервал , но существенный носитель пуст, так как почти всюду равен нулевой функции . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В анализе почти всегда хочется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два множества различны, поэтому часто пишут просто как поддержку и называют ее. ^{[5] [6]} ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

Обобщение

Если — произвольное множество, содержащее ноль, понятие носителя немедленно обобщается на функции. Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с единицей (например , группы , моноида или композиционной алгебры ), в которой единичный элемент принимает на себя роль нуль. Например, семейство функций от натуральных чисел до целых чисел представляет собой несчетное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство — это счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to M.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы . ^[7]

В теории вероятностей и меры

В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно рассматривать как замыкание множества возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.

Более формально, если - случайная величина, то носителем является наименьшее замкнутое множество такое, что ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

Однако на практике носитель дискретной случайной величины часто определяется как набор , а носитель непрерывной случайной величины определяется как набор , где – функция плотности вероятности (теоретико-множественный носитель). ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

Обратите внимание , что слово « поддержка» может относиться к логарифму вероятности функции плотности вероятности. ^[9]

Поддержка дистрибутива

Можно также говорить о поддержке распределения , такого как дельта-функция Дирака на реальной прямой. В этом примере мы можем рассматривать тестовые функции , которые являются гладкими функциями с поддержкой, не включая точку. Поскольку (распределение , применяемое как линейный функционал к ) предназначено для таких функций, мы можем сказать, что поддержка есть только. Поскольку меры (в том числе и вероятностные меры ) на действительной прямой являются частными случаями распределений, то точно так же можно говорить и о носителе меры. ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta (F)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \{0\}}$

Предположим, что это распределение, и это открытое множество в евклидовом пространстве такое, что для всех тестовых функций, таких, что носитель содержится в Тогда, говорят, что оно исчезает в Теперь, если оно исчезает в произвольном семействе открытых множеств, то для любая тестовая функция , поддерживаемая простым аргументом, основанным на компактности поддержки и разбиении единицы, также показывает это. Следовательно , мы можем определить носитель как дополнение наибольшего открытого множества, на котором обращается в нуль. Например, поддержка дельты Дирака ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\phi )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Единая поддержка

В частности, в анализе Фурье интересно изучитьЕдинственная поддержка дистрибутива. Это имеет интуитивную интерпретацию как набор точек, в которых распределениене может быть гладкой функцией.

Например, преобразование Фурье ступенчатой ​​функции Хевисайда можно с точностью до постоянных коэффициентов считать (функцией), за исключением того, что хотя это явно особая точка, точнее сказать, что преобразование распределения имеет сингулярную поддержку. : его невозможно точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включающей его. Его можно выразить как применение несобственного интеграла главного значения Коши . ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Для распределений нескольких переменных сингулярные носители позволяют определить множества волновых фронтов и понять принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Сингулярные носители также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «перемножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака терпит неудачу - главным образом потому, что сингулярные носители умножаемых распределений должны быть непересекающимися).

Семья поддержки

Абстрактное понятиесемейство носителей натопологическом пространстве пригодном длятеории пучков, было определеноАнри Картаном. При распространениидвойственности Пуанкаренанекомпактныемногообразиясм., например,когомологии Александера-Спанье. ${\displaystyle X,}$

Бредон, «Теория связки» (2-е издание, 1997 г.) дает такие определения. Семейство замкнутых подмножеств называется семейством носителей , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его протяженность - это объединение над паракомпактным семейством носителей, которое, кроме того, удовлетворяет тому, что любое in с топологией подпространства является паракомпактным пространством ; и есть некоторые , в которых есть окрестности . Если - локально компактное пространство , предполагается, что по Хаусдорфу семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дальнейшим условиям, что делает его паракомпактным. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Ограниченная функция  – математическая функция, набор значений которой ограничен.
• Функция Bump  – плавная и компактная функция
• Поддержка модуля
• Теорема Титчмарша о свертке

Цитаты

1. Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 132.
2. Хёрмандер, Ларс (1990). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных I, 2-е изд . Берлин: Springer-Verlag. п. 14.
3. Паскуччи, Андреа (2011). Методы PDE и мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Боккони и Спрингер. Берлин: Springer-Verlag. п. 678. дои : 10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.
4. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 38.
5. Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике. Том. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . п. 13. ISBN 978-0821827833.
6. Аналогичным образом вместо ее супремума используется существенная верхняя грань измеримой функции.
7. Томаш, Качиньский (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ИСБН 9780387215976. ОКЛК  55897585.
8. Табога, Марко. «Поддержка случайной величины». statlect.com . Проверено 29 ноября 2017 г.
9. Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенная ред.). Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.

Рекомендации

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.