« Необоснованная эффективность математики в естественных науках » — статья 1960 года, написанная физиком Юджином Вигнером и опубликованная в журнале Communication in Pure and Applied Mathematics . [1] [2] В ней Вигнер отмечает, что математическая структура теоретической физики часто указывает путь к дальнейшему развитию этой теории и к эмпирическим предсказаниям. Математические теории часто обладают предсказательной силой в описании природы.
Вигнер утверждает, что математические концепции применимы далеко за пределами контекста, в котором они были изначально разработаны. Он пишет: «Важно отметить, что математическая формулировка часто грубого опыта физика приводит в сверхъестественном количестве случаев к удивительно точному описанию большого класса явлений». [3] Он добавляет, что наблюдение «законы природы записаны на языке математики », правильно сделанное Галилеем триста лет назад, «теперь более верно, чем когда-либо прежде».
Первый пример Вигнера — это закон тяготения, сформулированный Исааком Ньютоном . Первоначально используемый для моделирования свободно падающих тел на поверхности Земли, этот закон был расширен на основе того, что Вигнер называет «очень скудными наблюдениями» [3], чтобы описать движение планет, где он «оказался точным сверх всех разумных ожиданий». [4] Вигнер говорит, что «Ньютон ... заметил, что парабола пути брошенного камня на Земле и окружность пути Луны на небе являются частными случаями одного и того же математического объекта эллипса, и постулировал всемирный закон тяготения на основе единственного и в то время очень приблизительного числового совпадения».
Второй пример Вигнера взят из квантовой механики : Макс Борн «заметил, что некоторые правила вычислений, данные Гейзенбергом , были формально идентичны правилам вычислений с матрицами, установленными задолго до этого математиками. Борн, Йордан и Гейзенберг затем предложили заменить матрицами переменные положения и импульса уравнений классической механики. Они применили правила матричной механики к нескольким сильно идеализированным задачам, и результаты были вполне удовлетворительными. Однако в то время не было никаких рациональных доказательств того, что их матричная механика окажется правильной в более реалистичных условиях». Но Вольфганг Паули обнаружил, что их работа точно описывает атом водорода : «Это приложение дало результаты, согласующиеся с опытом». Атом гелия с двумя электронами более сложен, но «тем не менее, расчет самого низкого энергетического уровня гелия, проведенный несколько месяцев назад Киношитой в Корнелле и Базли в Бюро стандартов, согласуется с экспериментальными данными в пределах точности наблюдений, которая составляет одну часть на десять миллионов. Конечно, в этом случае мы «получили что-то» из уравнений, чего не подставляли». То же самое относится и к атомным спектрам более тяжелых элементов.
Последний пример Вигнера взят из квантовой электродинамики : «В то время как теория гравитации Ньютона все еще имела очевидную связь с опытом, опыт вошел в формулировку матричной механики только в очищенной или сублимированной форме предписаний Гейзенберга. Квантовая теория сдвига Лэмба , задуманная Бете и обоснованная Швингером , является чисто математической теорией, и единственный прямой вклад эксперимента состоял в том, чтобы показать существование измеримого эффекта. Согласие с расчетом лучше, чем одна часть на тысячу».
Существуют примеры, выходящие за рамки упомянутых Вигнером. Другой часто цитируемый пример — уравнения Максвелла , выведенные для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных в середине 19 века. Уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвидом Эдвардом Хьюзом в 1879 году, примерно в то время, когда умер Джеймс Клерка Максвелл .
Среди полученных ответов на диссертацию можно выделить следующие:
Математик и лауреат премии Тьюринга Ричард Хэмминг размышлял и расширил «Необоснованную эффективность » Вигнера в 1980 году, обсуждая четыре «частичных объяснения» для нее, [5] и придя к выводу, что они неудовлетворительны. Это были:
1. Люди видят то, что ищут . Убеждение, что наука экспериментально обоснована, верно лишь отчасти. Хэмминг приводит четыре примера нетривиальных физических явлений, которые, по его мнению, возникли из-за используемых математических инструментов, а не из внутренних свойств физической реальности.
Предположим, что падающее тело разбилось на две части. Конечно, обе части немедленно замедлятся до соответствующих им скоростей. Но предположим далее, что одна часть случайно коснулась другой. Будут ли они теперь единым целым и оба ускорятся? Предположим, я свяжу две части вместе. Насколько крепко я должен это сделать, чтобы они стали единым целым? Легким шнуром? Веревкой? Клеем? Когда две части становятся единым целым? [12]
2. Люди создают и выбирают математику, которая подходит к ситуации . Математика под рукой не всегда работает. Например, когда простые скаляры оказались неудобными для понимания сил, сначала были изобретены векторы , а затем тензоры .
3. Математика затрагивает только часть человеческого опыта . Большая часть человеческого опыта не относится к науке или математике, а относится к философии ценностей , включая этику , эстетику и политическую философию . Утверждение, что мир можно объяснить с помощью математики, равносильно акту веры.
4. Эволюция подготовила людей к математическому мышлению . Самые ранние формы жизни, должно быть, содержали семена человеческой способности создавать и следовать длинным цепочкам близких рассуждений.
Физик Макс Тегмарк утверждал, что эффективность математики в описании внешней физической реальности заключается в том, что физический мир представляет собой абстрактную математическую структуру. [8] [15] Эта теория, называемая гипотезой математической вселенной , отражает идеи, ранее выдвинутые Питером Аткинсом . [16] Однако Тегмарк прямо заявляет, что «истинная математическая структура, изоморфная нашему миру, если она существует, еще не найдена». Скорее, математические теории в физике успешны, потому что они приближают более сложную и предсказательную математику. По словам Тегмарка, «наши успешные теории — это не математика, приближающая физику, а простая математика, приближающая более сложную математику».
Айвор Граттан-Гиннесс нашел эффективность в вопросе в высшей степени разумной и объяснимой в терминах таких концепций, как аналогия, обобщение и метафора. Он подчеркивает, что Вигнер в значительной степени игнорирует «эффективность естественных наук в математике, поскольку большая часть математики была мотивирована интерпретациями в науках». [9] [ требуется разъяснение ]
Ситуацию перевернул Майкл Атья с его эссе «Необоснованная эффективность физики в математике». Он утверждал, что инструментарий физики позволяет практикующему специалисту, такому как Эдвард Виттен, выйти за рамки стандартной математики, в частности, геометрии 4-многообразий . Инструментами физика называют квантовую теорию поля , специальную теорию относительности , неабелеву калибровочную теорию , спин , хиральность , суперсимметрию и электромагнитную дуальность . [17]