Коэффициент Джини

Мера неравенства распределения

Карта неравенства доходов Коэффициенты Джини по странам (%). На основе данных Всемирного банка за период с 1992 по 2020 год. ^[1]

•   Выше 50
•   Между 45 и 50
•   Между 40 и 45
•   Между 35 и 40
•   Между 30 и 35
•   Ниже 30
•   Нет данных

Другая карта, показывающая коэффициенты Джини богатства внутри стран на 2019 год ^[2]

Доля доходов 1% богатейших слоев населения в отдельных развитых странах, 1975–2015 гг.

В экономике коэффициент Джини ( / ˈ dʒ iː n i / JEE -nee ) , также известный как индекс Джини или коэффициент Джини , является мерой статистической дисперсии , предназначенной для представления неравенства доходов , неравенства богатства или неравенства потребления . ^[3] внутри нации или социальной группы . Его разработал итальянский статистик и социолог Коррадо Джини .

Коэффициент Джини измеряет неравенство между значениями частотного распределения , такими как уровни дохода . Коэффициент Джини, равный 0, отражает идеальное равенство, при котором все значения дохода или богатства одинаковы, тогда как коэффициент Джини, равный 1 (или 100%), отражает максимальное неравенство между ценностями, ситуацию, когда один человек имеет весь доход, в то время как все остальные имеют никто. ^{[4] [5]}

Коэффициент Джини был предложен Коррадо Джини как мера неравенства доходов или богатства . ^[6] Для стран ОЭСР в конце 20-го века, учитывая влияние налогов и трансфертных платежей , коэффициент Джини дохода колебался от 0,24 до 0,49, при этом в Словакии был самый низкий показатель, а в Мексике - самый высокий. ^[7] В африканских странах были самые высокие коэффициенты Джини до уплаты налогов в 2008–2009 годах, причем в Южной Африке был самый высокий в мире коэффициент Джини, который оценивался в пределах от 0,63 до 0,7. ^{[8] [9]} Однако эта цифра падает до 0,52 после учета социальной помощи и снова падает до 0,47 после налогообложения. ^[10] Страной с самым низким коэффициентом Джини является Словакия с коэффициентом Джини 0,232. ^[11] Коэффициент Джини мирового дохода в 2005 году, по оценкам различных источников, составлял от 0,61 до 0,68. ^{[12] [13]}

Существуют некоторые проблемы с интерпретацией коэффициента Джини, поскольку одно и то же значение может быть получено из множества разных кривых распределения. Чтобы смягчить это, следует принять во внимание демографическую структуру. В странах со стареющим населением или в странах с повышенной рождаемостью коэффициент Джини до уплаты налогов увеличивается, даже если реальное распределение доходов работающего взрослого населения остается постоянным. Многие ученые разработали более десятка вариантов коэффициента Джини. ^{[14] [15] [16]}

История

Коэффициент Джини был разработан итальянским статистиком Коррадо Джини и опубликован в его статье 1912 года Variabilità e mutabilità (англ.: изменчивость и изменчивость ). ^{[17] [18]} Опираясь на работы американского экономиста Макса Лоренца , Джини предложил использовать разницу между гипотетической прямой линией, изображающей совершенное равенство, и фактической линией, изображающей доходы людей, в качестве меры неравенства. ^[19]

Определение

Коэффициент Джини равен площади, отмеченной буквой A , деленной на общую площадь A и B , т.е. Оси идут от 0 до 1, поэтому A и B образуют треугольник площади и . ${\displaystyle {\text{Gini}}={\tfrac {A}{A+B}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\text{Gini}}=2A=1-2B}$

Коэффициент Джини — это индекс степени неравенства в распределении доходов/богатства, используемый для оценки того, насколько далеко богатство или распределение доходов в стране отклоняются от равного распределения. ^[20]

Коэффициент Джини обычно определяется математически на основе кривой Лоренца , которая отображает долю общего дохода населения (ось Y), совокупно заработанную нижней группой населения x (см. диаграмму). ^[21] Таким образом, линия под углом 45 градусов представляет собой совершенное равенство доходов. Тогда коэффициент Джини можно рассматривать как отношение площади, лежащей между линией равенства и кривой Лоренца (отмеченной на диаграмме буквой A ), к общей площади под линией равенства (отмеченной на диаграмме буквой A и B ). ; т. е. G = A /( A + B ) . Если отрицательных доходов нет, то он также равен 2 A и 1 − 2 B в связи с тем, что A + B = 0,5 . ^[22]

Предполагая неотрицательный доход или богатство для всех, теоретический диапазон коэффициента Джини составляет от 0 (полное равенство) до 1 (абсолютное неравенство). Этот показатель часто выражается в процентах от 0 до 100. Однако, если учитывать отрицательные значения, как в случае с долгом, индекс Джини может превышать 1. Обычно мы предполагаем положительное среднее или общее значение, исключая коэффициент Джини. ниже нуля. ^[23]

Альтернативный подход заключается в определении коэффициента Джини как половины относительной средней абсолютной разницы , что эквивалентно определению, основанному на кривой Лоренца . ^[24] Средняя абсолютная разница — это средняя абсолютная разница всех пар элементов генеральной совокупности, а относительная средняя абсолютная разница — это средняя абсолютная разница, деленная на среднее значение , , для нормализации масштаба. Если x _i — это богатство или доход человека i и имеется n человек, то коэффициент Джини G определяется по формуле: ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle G={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2n\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2n^{2}{\bar {x}}}}}}$

Когда распределение дохода (или богатства) задается как непрерывная функция плотности вероятности p ( x ), коэффициент Джини снова составляет половину относительной средней абсолютной разницы:

${\displaystyle G={\frac {1}{2\mu }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(x)p(y)\,|x-y|\,dx\,dy}$

где – среднее значение распределения, а нижние пределы интегрирования можно заменить нулем, когда все доходы положительны. ^[25] ${\displaystyle \textstyle \mu =\int _{-\infty }^{\infty }xp(x)\,dx}$

Расчет

Самая богатая часть населения (красный) имеет равную долю f от всех доходов или богатства; другие (зеленые) делят остаток поровну: G = f - u . Гладкое распределение (синее) с одинаковыми u и f всегда имеет G > f − u .

Неравенство благосостояния в крупных городах

Хотя распределение доходов в любой конкретной стране не будет полностью соответствовать теоретическим моделям , эти модели могут дать качественное объяснение распределения доходов в стране с учетом коэффициента Джини.

Пример: Два уровня дохода

Крайние случаи представлены максимально равным обществом, в котором каждый человек получает одинаковый доход ( G = 0 ), и наиболее неравным обществом (с N индивидами), где один человек получает 100% общего дохода, а остальные N − 1 человек не получает ни одного ( G = 1 − 1/ N ).

Простой случай предполагает всего два уровня дохода: низкий и высокий. Если группа с высоким доходом составляет долю u населения и зарабатывает долю f от всех доходов, то коэффициент Джини равен f − u . Более градуированное распределение с теми же значениями u и f всегда будет иметь более высокий коэффициент Джини, чем f − u .

Например, если самые богатые u = 20% населения имеют f = 80% всех доходов (см. принцип Парето ), коэффициент Джини дохода составляет не менее 60%. В другом примере ^[26] если u = 1% населения мира владеет f = 50% всего богатства, коэффициент Джини богатства составит не менее 49%.

Альтернативные выражения

В некоторых случаях это уравнение можно применить для расчета коэффициента Джини без прямой ссылки на кривую Лоренца . Например (где y обозначает доход или богатство человека или домохозяйства):

• Для популяции из n особей со значениями , ^[27] ${\displaystyle y_{1}\leq y_{2}\leq \cdots \leq y_{n}}$

${\displaystyle G={\frac {1}{n}}\left(n+1-2\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right).}$

Это можно упростить до:

${\displaystyle G={\frac {2\sum _{i=1}^{n}iy_{i}}{n\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}-{\frac {n+1}{n}}.}$

Коэффициент Джини также можно рассматривать как половину относительной средней абсолютной разницы . Для случайной выборки S со значениями коэффициент Джини выборки ${\displaystyle y_{1}\leq y_{2}\leq \cdots \leq y_{n}}$

${\displaystyle G(S)={\frac {1}{n-1}}\left(n+1-2\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right)}$

является последовательной оценкой коэффициента Джини населения, но в целом не является беспристрастной . В упрощенной форме:

${\displaystyle G(S)=1-{\frac {2}{n-1}}\left(n-{\frac {\sum _{i=1}^{n}iy_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right).}$

Не существует выборочной статистики, которая всегда давала бы несмещенную оценку коэффициента Джини населения.

Дискретное распределение вероятностей

Для дискретного распределения вероятностей с функцией вероятностной массы, где - доля населения с доходом или богатством , коэффициент Джини равен: я знак равно 1 , … , п {\displaystyle i=1,\ldots,n} ${\displaystyle f(y_{i}),}$ ${\displaystyle f(y_{i})}$ ${\displaystyle y_{i}>0}$

${\displaystyle G={\frac {1}{2\mu }}\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\,f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|}$

где

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}f(y_{i}).}$

Если точки с ненулевыми вероятностями пронумерованы в порядке возрастания , то: ${\displaystyle (y_{i}<y_{i+1})}$

${\displaystyle G=1-{\frac {\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(S_{i-1}+S_{i})}{S_{n}}}}$

где

${\displaystyle S_{i}=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\,}$и Эти формулы применимы также в пределе, т.к. ${\displaystyle S_{0}=0.}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$

Непрерывное распределение вероятностей

Когда население велико, распределение доходов может быть представлено непрерывной функцией плотности вероятности f ( x ), где f ( x ) dx — это доля населения с богатством или доходом в интервале dx вокруг x . Если F ( x ) — кумулятивная функция распределения для f ( x ):

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(x)\,dx}$

и L ( x ) — функция Лоренца:

${\displaystyle L(x)={\frac {\int _{0}^{x}x\,f(x)\,dx}{\int _{0}^{\infty }x\,f(x)\,dx}}}$

тогда кривая Лоренца L ( F ) может быть представлена ​​как функция, параметрическая относительно L ( x ) и F ( x ), а значение B можно найти путем интегрирования :

${\displaystyle B=\int _{0}^{1}L(F)\,dF.}$

Коэффициент Джини также можно рассчитать непосредственно из кумулятивной функции распределения распределения F ( y ). Определив μ как среднее значение распределения и указав, что F ( y ) равно нулю для всех отрицательных значений, коэффициент Джини определяется как:

${\displaystyle G=1-{\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}\,dy={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }F(y)(1-F(y))\,dy}$

Последний результат получается в результате интегрирования по частям . (Обратите внимание, что эту формулу можно применять, когда имеются отрицательные значения, если интегрирование производится от минус бесконечности до плюс бесконечности.)

Коэффициент Джини может быть выражен через функцию квантиля Q ( F ) (обратную кумулятивной функции распределения: Q (F (x)) = x)

${\displaystyle G={\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.}$

Поскольку коэффициент Джини не зависит от масштаба , если функцию распределения можно выразить в форме f(x,φ,a,b,c...) , где φ — масштабный коэффициент, а a , b, c... безразмерных параметров, то коэффициент Джини будет функцией только a, b, c... . ^[28] Например, для экспоненциального распределения , которое является функцией только x и параметра масштаба, коэффициент Джини является константой, равной 1/2.

Для некоторых функциональных форм индекс Джини можно рассчитать явно. Например, если y соответствует логарифмически нормальному распределению со стандартным отклонением журналов, равным , то где – функция ошибок (поскольку , где – кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения). ^[29] В таблице ниже показаны некоторые примеры функций плотности вероятности с поддержкой on. Дельта-распределение Дирака представляет собой случай, когда все имеют одинаковое богатство (или доход); это подразумевает отсутствие различий между доходами. ^[30] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

• ${\displaystyle \Gamma (\,)}$это гамма-функция
• ${\displaystyle B(\,)}$это бета-функция
• ${\displaystyle I_{k}(\,)}$- регуляризованная неполная бета-функция

Другие подходы

Иногда вся кривая Лоренца неизвестна, и приводятся только значения через определенные интервалы. В этом случае коэффициент Джини можно аппроксимировать, используя различные методы интерполяции недостающих значений кривой Лоренца. Если ( X _k , Y _k ) — известные точки на кривой Лоренца, причем X k _{пронумерованы} в порядке возрастания ( X _{k – 1} < X _k ), так что:

• X _k — накопленная доля переменной совокупности для k = 0,..., n , с X ₀ = 0, X _n = 1.
• Y _k — накопленная доля переменной дохода для k = 0,..., n , с Y ₀ = 0, Y _n = 1.
• Y _k должен быть пронумерован в порядке неубывания ( Y _k > Y _{k – 1} )

Если кривую Лоренца аппроксимировать на каждом интервале линией между последовательными точками, то область B можно аппроксимировать трапециями и :

${\displaystyle G_{1}=1-\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-X_{k-1})(Y_{k}+Y_{k-1})}$

является результирующей аппроксимацией для G. Более точные результаты можно получить, используя другие методы аппроксимации области B, такие как аппроксимация кривой Лоренца квадратичной функцией по парам интервалов или построение достаточно гладкой аппроксимации базовой функции распределения, которая соответствует известные данные. Если также известны среднее значение совокупности и граничные значения для каждого интервала, их также часто можно использовать для повышения точности аппроксимации.

Коэффициент Джини, рассчитанный на основе выборки, является статистическим показателем, и следует указать его стандартную ошибку или доверительные интервалы для коэффициента Джини совокупности. Их можно рассчитать с помощью методов начальной загрузки , математически сложных и требовательных к вычислениям даже в эпоху быстрых компьютеров. ^[40] Экономист Томсон Огванг сделал этот процесс более эффективным, создав «модель трюковой регрессии», в которой соответствующие переменные дохода в выборке ранжируются, при этом самому низкому доходу присваивается ранг 1. Затем модель выражает ранг (зависимую переменную) как сумма постоянной A и нормальной ошибки, дисперсия которой обратно пропорциональна y _k :

${\displaystyle k=A+\ N(0,s^{2}/y_{k})}$

Таким образом, G можно выразить как функцию взвешенной оценки константы A методом наименьших квадратов , и это можно использовать для ускорения расчета оценки стандартной ошибки складным ножом . Экономист Дэвид Джайлс утверждал, что стандартная ошибка оценки A может быть использована для получения оценки G напрямую, без использования складного ножа. Этот метод требует использования обычной регрессии наименьших квадратов только после упорядочивания выборочных данных. Результаты выгодно отличаются от оценок, полученных с помощью складного ножа , причем согласие улучшается с увеличением размера выборки. ^[41]

Однако утверждалось, что это зависит от допущений модели о распределении ошибок и независимости членов ошибок. Эти предположения часто не справедливы для реальных наборов данных. Вокруг этой темы до сих пор продолжаются дискуссии.

Гильермина Яссо ^[42] и Ангус Дитон ^[43] независимо предложили следующую формулу для коэффициента Джини:

${\displaystyle G={\frac {N+1}{N-1}}-{\frac {2}{N(N-1)\mu }}(\sum _{i=1}^{n}P_{i}X_{i})}$

где - средний доход населения, Pi _- это ранг дохода P человека i с доходом X, так что самый богатый человек получает ранг 1, а самый бедный - ранг N. Это фактически придает больший вес более бедным людям в распределении доходов, что позволяет коэффициенту Джини соответствовать принципу трансферта . Обратите внимание, что формула Джассо-Дитона изменяет масштаб коэффициента так, что его значение равно единице, если все значения равны нулю, кроме одного. Однако обратите внимание на ответ Эллисона о необходимости вместо этого разделить на N². ^[44] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X_{i}}$

ФАО объясняет другую версию формулы. ^[45]

Индексы обобщенного неравенства

Коэффициент Джини и другие стандартные индексы неравенства приводятся к единому виду. Совершенное равенство – отсутствие неравенства – существует тогда и только тогда, когда коэффициент неравенства , равен 1 для всех j единиц в некоторой популяции (например, существует совершенное равенство доходов, когда доход каждого равен среднему доходу , так что для всех). Таким образом, мерами неравенства являются меры средних отклонений от 1; чем больше среднее отклонение, тем больше неравенство. На основании этих наблюдений индексы неравенства имеют следующую общую форму: ^[46] ${\displaystyle r_{j}=x_{j}/{\overline {x}}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle r_{j}=1}$ ${\displaystyle r_{j}=1}$

${\displaystyle {\text{Inequality}}=\sum _{j}p_{j}\,f(r_{j}),}$

где p _j взвешивает единицы по их доле в численности населения, а f ( r _j ) является функцией отклонения r _j каждой единицы от 1, точки равенства. Суть этого обобщенного индекса неравенства заключается в том, что индексы неравенства различаются, поскольку они используют разные функции расстояния между коэффициентами неравенства (rj ₎ от 1.

О распределении доходов

Вывод кривой Лоренца и коэффициента Джини для мирового дохода в 2011 г.

Коэффициенты дохода Джини рассчитываются на основе рыночного дохода и располагаемого дохода. Коэффициент Джини для рыночного дохода, иногда называемый коэффициентом Джини до уплаты налогов, рассчитывается на основе дохода до уплаты налогов и трансфертов. Он измеряет неравенство в доходах без учета влияния налогов и социальных расходов, уже существующих в стране. Коэффициент Джини располагаемого дохода, иногда называемый коэффициентом Джини после уплаты налогов, рассчитывается на основе дохода после уплаты налогов и трансфертов. Он измеряет неравенство в доходах после рассмотрения влияния налогов и социальных расходов, уже существующих в стране. ^{[7] [47] [48]}

Для стран ОЭСР в период 2008–2009 годов коэффициент Джини (до уплаты налогов и трансфертов) для общей численности населения колебался от 0,34 до 0,53, при этом в Южной Корее самый низкий показатель, а в Италии — самый высокий. Коэффициент Джини (после уплаты налогов и трансфертов) для всего населения колебался от 0,25 до 0,48, при этом самый низкий коэффициент был в Дании, а самый высокий в Мексике. Для Соединенных Штатов, страны с самой большой численностью населения среди стран ОЭСР, индекс Джини до уплаты налогов составлял 0,49, а индекс Джини после уплаты налогов составлял 0,38 в 2008–2009 годах. Средний показатель по ОЭСР для всего населения в странах ОЭСР составил 0,46 для индекса Джини дохода до уплаты налогов и 0,31 для индекса Джини дохода после уплаты налогов. ^{[7] [49]} Налоги и социальные расходы, которые действовали в период 2008–2009 годов в странах ОЭСР, значительно снизили эффективное неравенство доходов, и в целом «европейские страны, особенно скандинавские и континентальные государства всеобщего благосостояния , достигают более низкого уровня неравенства доходов, чем другие страны." ^[50]

Использование индекса Джини может помочь количественно оценить различия в политике и философии социального обеспечения и компенсаций . Однако следует иметь в виду, что коэффициент Джини может вводить в заблуждение, когда он используется для политических сравнений между большими и малыми странами или странами с различной иммиграционной политикой (см. раздел «Ограничения»).

Коэффициент Джини для всего мира, по оценкам различных сторон, составляет от 0,61 до 0,68. ^{[12] [13] [51]} На графике показаны значения, выраженные в процентах от их исторического развития для ряда стран.

Индексы Джини региональных доходов

По данным ЮНИСЕФ, в Латинской Америке и Карибском регионе был самый высокий индекс Джини чистого дохода в мире - 48,3 на невзвешенной средней основе в 2008 году. Остальные средние региональные показатели были следующими: Африка к югу от Сахары (44,2), Азия (40,4), Ближний Восток и Северная Африка (39,2), Восточная Европа и Центральная Азия (35,4) и страны с высоким уровнем дохода (30,9). Используя тот же метод, утверждается, что в Соединенных Штатах индекс Джини равен 36, в то время как в Южной Африке самый высокий показатель индекса Джини доходов составляет 67,8. ^[52]

Индекс Джини мирового дохода с 1800-х годов

Если принять во внимание распределение доходов всех людей, то неравенство доходов во всем мире постоянно растет с начала 19 века (и будет продолжать увеличиваться с годами). С 1820 по 2002 год наблюдался устойчивый рост глобального неравенства доходов по шкале Джини, причем значительный рост наблюдался в период с 1980 по 2002 год. Эта тенденция, похоже, достигла своего пика и начала разворот с быстрым экономическим ростом в развивающихся странах, особенно среди большого населения Страны БРИК . ^[53]

В таблице ниже представлены расчетные коэффициенты Джини мирового дохода за последние 200 лет, рассчитанные Милановичем. ^[54]

Более подробные данные из аналогичных источников показывают непрерывное снижение с 1988 года. Это объясняется глобализацией , увеличивающей доходы миллиардов бедных людей, в основном в таких странах, как Китай и Индия. Развивающиеся страны, такие как Бразилия, также улучшили базовые услуги, такие как здравоохранение, образование и санитария; другие, такие как Чили и Мексика, ввели более прогрессивную налоговую политику. ^[56]

Социального развития

Коэффициент Джини широко используется в таких разнообразных областях, как социология, экономика, здравоохранение, экология, инженерия и сельское хозяйство. ^[58] Например, в социальных науках и экономике, помимо коэффициентов Джини доходов, ученые опубликовали коэффициенты Джини образования и коэффициенты Джини возможностей.

Образование

Индекс Джини в сфере образования оценивает неравенство в образовании для данного населения. ^[59] Он используется для выявления тенденций социального развития на основе уровня образования с течением времени. Исследование, проведенное тремя экономистами Всемирного банка , Винодом Томасом, Яном Ваном и Сибо Фаном, в 85 странах показало, что в 1990 году в Мали был самый высокий индекс Джини в области образования, равный 0,92 (что подразумевает очень высокое неравенство в уровне образования среди населения), в то время как в Соединенных Штатах имел самый низкий индекс неравенства в образовании Джини - 0,14. В период с 1960 по 1990 годы в Китае, Индии и Южной Корее наблюдалось самое быстрое снижение индекса Джини неравенства в образовании. Они также утверждают, что индекс Джини в сфере образования в Соединенных Штатах немного увеличился за период 1980–1990 годов.

Хотя индекс Джини в области образования в Индии падал с 1960 по 1990 год, большая часть населения до сих пор не получила никакого образования, в то время как 10 процентов населения получили более 40% общего количества образовательных часов в стране. Это означает, что значительная часть способных детей в стране не получает поддержки, необходимой для того, чтобы они могли внести позитивный вклад в жизнь общества. Это приведет к безвозвратным потерям для национального общества, поскольку многие люди недостаточно развиты и недостаточно задействованы. ^[60]

Возможность

По своей концепции аналогичный коэффициенту дохода Джини, коэффициент возможностей Джини измеряет неравенство в возможностях. ^{[61] [62] [63]} Эта концепция основана на предположении Амартии Сена ^[64] о том, что коэффициенты неравенства социального развития должны основываться на процессе расширения выбора людей и повышения их возможностей, а не на процессе сокращения доходов. неравенство. Ковачевич в обзоре коэффициента возможностей Джини объяснил, что этот коэффициент оценивает, насколько хорошо общество позволяет своим гражданам добиваться успеха в жизни, где успех основан на выборе, усилиях и талантах человека, а не на его опыте, определяемом набором заранее определенные обстоятельства при рождении, такие как пол, раса, место рождения, доход родителя и обстоятельства, не зависящие от этого человека.

В 2003 году Ремер ^{[61] [65]} сообщил, что Италия и Испания продемонстрировали самый высокий индекс Джини неравенства возможностей среди стран с развитой экономикой.

Мобильность дохода

В 1978 году Энтони Шоррокс представил показатель, основанный на коэффициентах Джини дохода, для оценки мобильности доходов. ^[66] Эту меру, обобщенную Маасуми и Зандвакили, ^[67] теперь обычно называют индексом Шоррокса , иногда — индексом подвижности Шоррокса или индексом жесткости Шоррокса. Он пытается оценить, является ли коэффициент Джини неравенства в доходах постоянным или временным и в какой степени страна или регион обеспечивает экономическую мобильность своему народу, чтобы они могли перейти из одного квантиля дохода (например, 20% нижних слоев населения) в другой (например, средний уровень дохода). 20%) с течением времени. Другими словами, индекс Шоррокса сравнивает неравенство краткосрочных доходов, таких как годовой доход домохозяйств, с неравенством долгосрочных доходов, таких как общий доход за 5 или 10 лет для тех же домохозяйств.

Индекс Шоррокса рассчитывается несколькими различными способами, общий подход заключается в соотношении коэффициентов Джини дохода между краткосрочными и долгосрочными доходами для одного и того же региона или страны. ^[68]

Исследование 2010 года с использованием данных о доходах на социальное обеспечение в Соединенных Штатах с 1937 года и индексов Шоррока на основе Джини пришло к выводу, что мобильность доходов в Соединенных Штатах имеет сложную историю, в первую очередь из-за массового притока женщин в американскую рабочую силу после мировой войны. II. Тенденции неравенства доходов и мобильности доходов были разными для мужчин и женщин в период с 1937 по 2000-е годы. Если рассматривать мужчин и женщин вместе, тенденции индекса Шоррокса, основанного на коэффициенте Джини, подразумевают, что долгосрочное неравенство доходов существенно сократилось среди всех работников в последние десятилетия в Соединенных Штатах. ^[68] Другие ученые, используя только данные 1990-х годов или других коротких периодов, пришли к другим выводам. ^[69] Например, Састре и Айала на основе своего исследования данных коэффициента Джини дохода в период с 1993 по 1998 год для шести развитых стран пришли к выводу, что Франция имела наименьшую мобильность доходов, Италия - самый высокий, а Соединенные Штаты и Германия - промежуточные уровни мобильности доходов по сравнению с 1993 годом. эти пять лет. ^[70]

Функции

Коэффициент Джини имеет особенности, которые делают его полезным в качестве меры дисперсии населения и, в частности, неравенства. ^[45] Коэффициент варьируется от 0 (абсолютное равенство) до 1 (абсолютное неравенство). Джини основан на сравнении совокупной доли населения с совокупной долей доходов, которые оно получает. ^[71]

Ограничения

Коэффициент Джини является относительной мерой. Коэффициент Джини развивающейся страны может повыситься (из-за растущего неравенства доходов) даже тогда, когда число людей, живущих в абсолютной бедности, уменьшается. ^[72] Это связано с тем, что коэффициент Джини измеряет относительное, а не абсолютное богатство. Изменение неравенства доходов, измеряемое коэффициентами Джини, может быть связано со структурными изменениями в обществе, такими как рост населения (повышение рождаемости, старение населения, увеличение количества разводов, разделение домохозяйств расширенных семей на нуклеарные семьи , эмиграция, иммиграция) и мобильность доходов. ^[73] Коэффициенты Джини просты, и эта простота может привести к упущениям и затруднить сравнение различных групп населения; например, хотя и в Бангладеш (доход на душу населения 1693 доллара США), и в Нидерландах (доход на душу населения 42 183 доллара США) коэффициент Джини дохода составлял 0,31 в 2010 году, ^[74] качество жизни, экономические возможности и абсолютный доход в этих странах очень разные, т.е. страны могут иметь одинаковые коэффициенты Джини, но сильно различаться по уровню благосостояния. В развитой экономике предметы первой необходимости могут быть доступны всем, в то время как в неразвитой экономике с тем же коэффициентом Джини предметы первой необходимости могут быть недоступны большинству или доступны не в равной степени из-за более низкого абсолютного богатства.

Различные распределения доходов при одном и том же коэффициенте Джини

Даже если общий доход населения одинаков, в определенных ситуациях две страны с различным распределением доходов могут иметь один и тот же индекс Джини (например, случаи, когда кривые Лоренца дохода пересекаются). ^[45] Таблица А иллюстрирует одну из таких ситуаций. В обеих странах коэффициент Джини равен 0,2, но среднее распределение доходов по группам домохозяйств различно. Другой пример: в популяции, где самые низкие 50% людей не имеют дохода, а остальные 50% имеют равный доход, коэффициент Джини равен 0,5; тогда как для другой группы населения, где 75% людей с самыми низкими доходами имеют 25% дохода, а 25% самых богатых людей имеют 75% дохода, индекс Джини также равен 0,5. Страны с одинаковыми доходами и коэффициентами Джини могут иметь очень разное распределение доходов. Беллу и Либерати утверждают, что ранжирование неравенства доходов между двумя группами населения не всегда возможно на основе их индексов Джини. ^[75] Точно так же ученый-вычислитель Фабиан Стефани показывает, что неравенство доходов внутри населения, например, в определенных социально-экономических группах одного возраста и образования, также остается необнаруженным обычными индексами Джини. ^[76]

Крайнее неравенство богатства, но коэффициент Джини с низкими доходами

Индекс Джини не содержит информации об абсолютных национальных или личных доходах. Население может одновременно иметь индексы Джини с очень низкими доходами и индексы Джини с очень высоким уровнем благосостояния. Измеряя неравенство в доходах, индекс Джини игнорирует дифференциальную эффективность использования доходов домохозяйств. Игнорируя богатство (за исключением случаев, когда оно способствует увеличению дохода), коэффициент Джини может создать видимость неравенства, когда сравниваемые люди находятся на разных этапах своей жизни. Богатые страны, такие как Швеция, могут демонстрировать низкий коэффициент Джини для располагаемого дохода, равный 0,31, тем самым казаясь равными, но при этом иметь очень высокий коэффициент Джини для богатства, составляющий от 0,79 до 0,86, что предполагает крайне неравномерное распределение богатства в их обществе. ^{[77] [78]} Эти факторы не оцениваются в индексе Джини, основанном на доходе.

Небольшая погрешность выборки – малонаселенные регионы с большей вероятностью будут иметь низкий коэффициент Джини.

Индекс Джини имеет тенденцию к снижению для небольших групп населения. ^[79] Округа, штаты или страны с небольшим населением и менее разнообразной экономикой, как правило, сообщают о небольших коэффициентах Джини. Для экономически разнообразных больших групп населения ожидается гораздо более высокий коэффициент, чем для каждого из входящих в него регионов. Например, учитывая мировую экономику в целом и распределение доходов среди всех людей, разные ученые оценивают глобальный индекс Джини в диапазоне от 0,61 до 0,68. ^{[12] [13]} Как и в случае с другими коэффициентами неравенства, на коэффициент Джини влияет степень детализации измерений. Например, пять 20%-ных квантилей (низкая степень детализации) обычно дают более низкий коэффициент Джини, чем двадцать 5%-ных квантилей (высокая степень детализации) для того же распределения. Филипп Монфор показал, что использование непоследовательной или неопределенной детализации ограничивает полезность измерений коэффициента Джини. ^[80]

Коэффициент Джини дает разные результаты при применении к отдельным лицам, а не к домохозяйствам, для одной и той же экономики и одинакового распределения доходов. Если используются данные о домохозяйствах, измеренное значение дохода Джини зависит от того, как определяется домохозяйство. Сравнение не имеет смысла, если различные группы населения не оцениваются с помощью последовательных определений.

Дейнингер и Сквайр (1996) показывают, что коэффициент Джини дохода, основанный на индивидуальном доходе, а не на доходе домохозяйства, различен. Например, в США они обнаружили, что индекс Джини, основанный на индивидуальном доходе, составляет 0,35, а во Франции — 0,43. Согласно их индивидуально-ориентированному методу, в 108 странах, которые они изучали, Южная Африка имела самый высокий в мире коэффициент Джини - 0,62, Малайзия имела самый высокий коэффициент Джини в Азии - 0,5, Бразилия - самый высокий коэффициент Джини 0,57 в Латинской Америке и Карибском регионе, а также Турция. самый высокий показатель – 0,5 – в странах ОЭСР. ^[81]

Коэффициент Джини не способен распознать последствия структурных изменений в популяциях ^[73]

Развивая важность показателей продолжительности жизни, коэффициент Джини как точечная оценка равенства в определенный момент времени игнорирует изменения дохода в течение жизни. Как правило, увеличение доли молодых или пожилых членов общества приводит к очевидным изменениям в равенстве просто потому, что люди, как правило, имеют более низкие доходы и богатство в молодости, чем в пожилом возрасте. Из-за этого такие факторы, как возрастное распределение населения и мобильность внутри классов дохода, могут создать видимость неравенства, когда его нет, принимая во внимание демографические эффекты. Таким образом, данная экономика может иметь более высокий коэффициент Джини в любой момент времени по сравнению с другой, в то время как коэффициент Джини, рассчитанный на основе дохода человека в течение жизни, ниже, чем в явно более равной (в данный момент времени) экономике. ^{[ необходимы разъяснения ] [16]} По сути, важно не только неравенство в каком-либо конкретном году, но и структура распределения во времени.

Миллиардер Томас Квок заявил, что коэффициент Джини доходов в Гонконге был высоким (0,434 в 2010 году ^[74] ), отчасти из-за структурных изменений в его населении. За последние десятилетия в Гонконге наблюдается рост числа небольших домохозяйств, пожилых семей и пожилых людей, живущих в одиночестве. Совокупный доход теперь делится на большее количество домохозяйств. Многие пожилые люди живут в Гонконге отдельно от своих детей. Эти социальные изменения привели к существенным изменениям в распределении доходов домохозяйств. Коэффициент Джини по доходам, утверждает Квок, не учитывает этих структурных изменений в обществе. ^[73] Распределение денежных доходов домохозяйств в США, представленное в Таблице C этого раздела, подтверждает, что эта проблема не ограничивается только Гонконгом. По данным Бюро переписи населения США, в период с 1979 по 2010 год население Соединенных Штатов претерпело структурные изменения в домохозяйствах в целом; доход для всех категорий доходов увеличился с поправкой на инфляцию, распределение доходов домохозяйств со временем сместилось в группы с более высокими доходами, а коэффициент Джини дохода увеличился. ^{[82] [83]}

Еще одним ограничением коэффициента Джини является то, что он не является надлежащим показателем эгалитаризма , поскольку он измеряет лишь разброс доходов. Например, предположим, что две одинаково эгалитарные страны проводят разную иммиграционную политику. В этом случае страна, принимающая более высокую долю малообеспеченных или бедных мигрантов, сообщит о более высоком коэффициенте Джини и, следовательно, может демонстрировать большее неравенство доходов.

Неспособность оценить выгоды и доходы от неформальной экономики влияет на точность коэффициента Джини

Некоторые страны распределяют выгоды, которые трудно оценить. Страны, которые предоставляют субсидируемое жилье, медицинское обслуживание, образование или другие подобные услуги, трудно оценить объективно, поскольку это зависит от качества и размера льгот. В отсутствие свободного рынка оценка этих трансфертов дохода как дохода домохозяйств является субъективной. Теоретическая модель коэффициента Джини ограничена принятием правильных или неправильных субъективных предположений.

В условиях натуральной и неформальной экономики люди могут иметь значительный доход не только в денежной форме, но и в других формах, например, за счет натурального хозяйства или бартера . Эти доходы, как правило, достаются сегменту населения, находящемуся за чертой бедности или очень бедному в странах с формирующейся и переходной экономикой, таких как страны Африки к югу от Сахары, Латинская Америка, Азия и Восточная Европа. На неформальную экономику приходится более половины глобальной занятости и до 90 процентов занятости в некоторых беднейших странах к югу от Сахары с высокими официальными коэффициентами неравенства Джини. Шнайдер и др. в своем исследовании 162 стран, проведенном в 2010 году ^[84], сообщают, что около 31,2%, или около 20 триллионов долларов мирового ВВП , является неформальным. В развивающихся странах неформальная экономика преобладает среди всех слоев населения, за исключением более богатых городских слоев населения с высокими доходами. Даже в развитых странах от 8% (США) до 27% (Италия) ВВП каждой страны является неформальным. Получаемый в результате неофициальный доход преобладает в качестве источника средств к существованию для людей с самыми низкими доходами. ^[85] Стоимость и распределение доходов от неформальной или теневой экономики трудно определить количественно, что затрудняет оценку истинных коэффициентов Джини доходов. ^{[86] [87]} Различные предположения и количественные оценки этих доходов дадут разные коэффициенты Джини. ^{[88] [89] [90]}

У Джини также есть некоторые математические ограничения. Он не является аддитивным, и различные группы людей не могут быть усреднены для получения коэффициента Джини для всех людей в группах.

Альтернативы

Учитывая ограничения коэффициента Джини, другие статистические методы используются в сочетании или в качестве альтернативной меры дисперсии населения. Например, часто используются меры энтропии (например, индекс Аткинсона или индекс Тейла и среднее логарифмическое отклонение как частные случаи обобщенного индекса энтропии ). Эти меры пытаются сравнить распределение ресурсов интеллектуальными агентами на рынке со случайным распределением максимальной энтропии , которое имело бы место, если бы эти агенты действовали как невзаимодействующие частицы в закрытой системе, следуя законам статистической физики.

Связь с другими статистическими показателями

Существует суммарная мера диагностической способности системы двоичного классификатора, которая также называется коэффициентом Джини , который определяется как удвоенная площадь между кривой рабочей характеристики приемника (ROC) и ее диагональю. Это связано с показателем производительности AUC ( площадь под кривой ROC), данным в ^[91] , и с U Манна-Уитни . Хотя оба коэффициента Джини определяются как площади между определенными кривыми и обладают определенными свойствами, между коэффициентом статистической дисперсии Джини и коэффициентом Джини классификатора не существует простой прямой связи. ${\displaystyle AUC=(G+1)/2}$

Индекс Джини также связан с индексом Пьетра, оба из которых измеряют статистическую неоднородность и выводятся из кривой Лоренца и диагональной линии. ^{[92] [93] [28]}

В некоторых областях, таких как экология, обратный индекс Симпсона используется для количественной оценки разнообразия, и его не следует путать с индексом Симпсона . Эти показатели связаны с Джини. Обратный индекс Симпсона увеличивается с увеличением разнообразия, в отличие от индекса Симпсона и коэффициента Джини, которые уменьшаются с увеличением разнообразия. Индекс Симпсона находится в диапазоне [0, 1], где 0 означает максимальное разнообразие, а 1 — минимальное разнообразие (или гетерогенность). Поскольку индексы разнообразия обычно увеличиваются с увеличением неоднородности, индекс Симпсона часто преобразуется в обратный Симпсон или с использованием дополнения , известного как индекс Джини-Симпсона. ^[94] ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 1-\lambda }$

Коэффициенты Джини для досовременных обществ

В последние десятилетия исследователи пытались оценить коэффициенты Джини для обществ до 20-го века. В отсутствие обследований доходов домохозяйств и подоходного налога ученые полагались на косвенные переменные. К ним относятся налоги на богатство в средневековых европейских городах-государствах, модели землевладения в римском Египте , вариации размеров домов в обществах от древней Греции до ацтекской Мексики, а также наследование и приданое в вавилонском обществе. Другие данные не отражают напрямую изменений в богатстве или доходах, но, как известно, отражают неравенство, например, соотношение ренты к заработной плате или труда к капиталу. ^[95]

Другое использование

Хотя коэффициент Джини наиболее популярен в экономике, теоретически его можно применять в любой области науки, изучающей распределение. Например, в экологии коэффициент Джини использовался как мера биоразнообразия , где совокупная доля видов отображается в зависимости от совокупной доли особей. ^[96] В здравоохранении он использовался как мера неравенства качества жизни населения, связанного со здоровьем. ^[97] В сфере образования он использовался как мера неравенства университетов. ^[98] В химии его использовали для выражения селективности ингибиторов протеинкиназ в отношении ряда киназ. ^[99] В технике он использовался для оценки справедливости, достигаемой интернет-маршрутизаторами при планировании передачи пакетов из различных потоков трафика. ^[100]

Коэффициент Джини иногда используется для измерения дискриминационной силы рейтинговых систем при управлении кредитным риском . ^[101]

В исследовании 2005 года были использованы данные переписи населения США для измерения владения домашними компьютерами и использован коэффициент Джини для измерения неравенства среди белых и афроамериканцев. Результаты показали, что, несмотря на общее снижение, неравенство в отношении владения домашними компьютерами было значительно меньше среди белых домохозяйств. ^[102]

Рецензируемое исследование 2016 года под названием «Использование коэффициента Джини для измерения неравенства участия в социальных сетях цифрового здравоохранения, ориентированных на лечение» ^[103] показало, что коэффициент Джини был полезен и точен при измерении изменений в неравенстве, однако в качестве отдельного показателя он не был включен общий размер сети.

Дискриминационная сила относится к способности модели кредитного риска различать клиентов, не выполняющих свои обязательства, и клиентов, не выполняющих свои обязательства. Формула в разделе расчетов выше может использоваться для окончательной модели и на уровне факторов отдельной модели для количественной оценки дискриминационной силы отдельных факторов. Это связано с коэффициентом точности в моделях оценки населения. ${\displaystyle G_{1}}$

Коэффициент Джини также применялся для анализа неравенства в приложениях для знакомств . ^{[104] [105]}

Каминский и Кривцов ^[106] распространили понятие коэффициента Джини из экономики на теорию надежности и предложили коэффициент типа Джини, который помогает оценить степень старения неремонтопригодных систем или старения и омоложения ремонтопригодных систем. Коэффициент определяется от -1 до 1 и может использоваться как в эмпирическом, так и в параметрическом распределении жизни. Он принимает отрицательные значения для класса распределений уменьшающейся интенсивности отказов и точечных процессов с уменьшающейся интенсивностью отказов и положителен для распределений возрастающей интенсивности отказов и точечных процессов с возрастающей интенсивностью отказов. Значение ноль соответствует экспоненциальному распределению жизни или однородному процессу Пуассона .

Смотрите также

• Индекс разнообразия
• Экономическое неравенство
• Кривая Великого Гэтсби
• Индекс Херфиндаля-Хиршмана
• Индекс Гувера (он же индекс Робин Гуда)
• Индекс человеческой бедности
• Показатели неравенства доходов
• Кривая Кузнеца
• Список стран по равенству доходов
• Список стран по индексу человеческого развития с поправкой на неравенство
• Список стран по неравенству богатства
• Список штатов США по коэффициенту Джини
• Кривая Лоренца
• Эффект Мэтью
• Распределение Парето
• ROC-анализ
• Индекс костюмов
• Слоновья кривая
• утопия
• Благосостояние
• Экономика благосостояния

Рекомендации

1. «Индекс Джини (оценка Всемирного банка)» . data.worldbank.org . Проверено 23 апреля 2022 г.
2. «Справочник мирового благосостояния за 2019 год» (PDF) . Кредит Свисс . Архивировано (PDF) из оригинала 23 октября 2019 г.
3. «Глоссарий | Банк данных» .
4. «Текущий опрос населения (CPS) - Определения и пояснения» . Бюро переписи населения США.
5. Примечание. Коэффициент Джини может быть близок к единице только в большой популяции, где весь доход есть у нескольких человек. В частном случае, когда всего два человека не имеют дохода, а у другого есть весь доход, коэффициент Джини равен 0,5. Для пяти человек, из которых четверо не имеют дохода, а пятый имеет весь доход, коэффициент Джини равен 0,8. См.: ФАО, Организация Объединенных Наций – Анализ неравенства, Модуль индекса Джини. Архивировано 13 июля 2017 года в Wayback Machine (формат PDF), fao.org.
6. Джини, Коррадо (1936). «О показателе концентрации с особым упором на доходы и статистику», Публикация Колорадского колледжа, Общая серия № 208, 73–79.
7. «Распределение доходов – Неравенство: Распределение доходов – Неравенство – Таблицы стран». ОЭСР. 2012. Архивировано из оригинала 9 ноября 2014 года.
8. «Снимок Южной Африки, четвертый квартал 2013 г.» (PDF) . КПМГ. 2013. Архивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2016 года.
9. «Коэффициент Джини». Программа развития ООН. 2012. Архивировано из оригинала 12 июля 2014 года.
10. Шюсслер, Майк (16 июля 2014 г.). «Джини все еще в бутылке». Денежная сеть . Проверено 24 ноября 2014 г.
11. «Открытые данные Всемирного банка». Открытые данные Всемирного банка . Проверено 9 мая 2023 г.
12. Хиллебранд, Эван (июнь 2009 г.). «Бедность, экономический рост и неравенство в течение следующих 50 лет» (PDF) . ФАО, Организация Объединенных Наций – Департамент экономического и социального развития. Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2017 года.
13. Наций, Организация Объединенных Наций (2011). Реальное богатство народов: пути к человеческому развитию, 2010 г. (PDF) . Программа развития ООН. стр. 72–74. ISBN 978-0-230-28445-6. Архивировано из оригинала (PDF) 29 апреля 2011 года.
14. Ицхаки, Шломо (1998). «Более дюжины альтернативных способов написания Джини» (PDF) . Экономическое неравенство . 8 :13–30. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2012 года.
15. Сон, Мён Джэ (август 2010 г.). «Старение населения, мобильность квартальных доходов и годовое неравенство доходов: теоретическое обсуждение и эмпирические результаты». CiteSeerX 10.1.1.365.4156 .  {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
16. Бломквист, Н. (1981). «Сравнение распределения годового и пожизненного дохода: Швеция около 1970 года». Обзор доходов и богатства . 27 (3): 243–264. doi :10.1111/j.1475-4991.1981.tb00227.x. S2CID  154519005.
17. Джини, К. (1909). «Коэффициенты концентрации и зависимости» (на итальянском языке). Английский перевод в Rivista di Politica Economica , 87 (1997), 769–789.
18. Джини, C (1912). Вариативность и взаимозависимость. Вклад в студию распространения и статистики продаж . Болонья: К. Куппини.
19. «Кто, что, почему: что такое коэффициент Джини?». Новости BBC . 12 марта 2015 года . Проверено 30 марта 2022 г.
20. «Глоссарий | Банк данных» . databank.worldbank.org . Проверено 13 апреля 2023 г.
21. Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент Джини». mathworld.wolfram.com . Проверено 13 апреля 2023 г.
22. «5. Измерение неравенства: кривые Лоренца и коэффициенты Джини - Работа в Excel» . www.core-econ.org . Проверено 26 апреля 2023 г.
23. «Кумулятивная функция распределения - Как рассчитать кривую Лоренца богатства с отрицательными значениями?». Крест проверен . Проверено 30 ноября 2022 г.
24. Сен, Амартия (1977), Об экономическом неравенстве (2-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press
25. Дорфман, Роберт. «Формула коэффициента Джини». Обзор экономики и статистики , вып. 61, нет. 1, 1979, стр. 146–49. JSTOR , номер документа : 10.2307/1924845. По состоянию на 2 января 2023 г.
26. Тринор, Джилл (13 октября 2015 г.). «Половина мирового богатства сейчас находится в руках 1% населения». Хранитель .
27. «Коэффициент Джини». Вольфрам Математический мир.
28. Макдональд, Джеймс Б; Дженсен, Бартелл К. (декабрь 1979 г.). «Анализ некоторых свойств альтернативных показателей неравенства доходов на основе функции гамма-распределения». Журнал Американской статистической ассоциации . 74 (368): 856–860. дои : 10.1080/01621459.1979.10481042.
29. Кроу, Э.Л., и Симидзу, К. (ред.). (1988). Логнормальные распределения: Теория и приложения (Том 88). Нью-Йорк: М. Деккер, стр. 11.
30. «Дельта-функция Дирака - обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 30 ноября 2022 г.
31. Вайсштейн, Эрик В. «Равномерное распределение». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 ноября 2022 г.
32. «Экспоненциальное распределение | Определение | Случайная величина без памяти» . www.probabilitycourse.com . Проверено 30 ноября 2022 г.
33. Для логнормального с = 0, = 0; = 0. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\textrm {erf}}(0)}$ ${\displaystyle 2\Phi (0)-1=2(0.5)-1}$
34. «Wolfram MathWorld: самый обширный математический ресурс в Интернете» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 ноября 2022 г.
35. «Wolfram MathWorld: самый обширный математический ресурс в Интернете» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 ноября 2022 г.
36. «Распределение хи-квадрат — из Wolfram MathWorld». mathworld.wolfram.com . Проверено 11 января 2023 г.
37. «Распределение Вейбулла: характеристики распределения Вейбулла». www.weibull.com . Проверено 30 ноября 2022 г.
38. Вайсштейн, Эрик В. «Бета-распределение». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 ноября 2022 г.
39. "Логистическое распределение". www.randomservices.org . Проверено 30 ноября 2022 г.
40. Абдон, Митч (23 мая 2011 г.). «Начальная настройка Джини». Statadaily: Нежелательные советы для заинтересованных . Проверено 12 ноября 2022 г.
41. Джайлз (2004).
42. Джассо, Гильермина (1979). «О средней разнице Джини и индексе концентрации Джини». Американский социологический обзор . 44 (5): 867–870. дои : 10.2307/2094535. JSTOR  2094535.
43. Дитон (1997), с. 139.
44. Эллисон, Пол Д. (1979). «Ответ Джассо». Американский социологический обзор . 44 (5): 870–872. дои : 10.2307/2094536. JSTOR  2094536.
45. Bellù, Лоренцо Джованни; Либерати, Паоло (2006). «Анализ неравенства – Индекс Джини» (PDF) . Продовольственная и сельскохозяйственная организация Объединенных Наций. Архивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2017 года . Проверено 31 июля 2012 г.
46. Файербо, Гленн (1999). «Эмпирика мирового неравенства доходов». Американский журнал социологии . 104 (6): 1597–1630. дои : 10.1086/210218. S2CID  154973184.. См. также ——— (2003). «Неравенство: что это такое и как оно измеряется». Новая география глобального неравенства доходов . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-01067-3.
47. Каквани, Северная Каролина (апрель 1977 г.). «Применение кривых Лоренца в экономическом анализе». Эконометрика . 45 (3): 719–728. дои : 10.2307/1911684. JSTOR  1911684.
48. Чу, Ке Ён; Давуди, Хамид; Гупта, Санджив (март 2000 г.). «Распределение доходов, налоговая политика и политика государственных социальных расходов в развивающихся странах» (PDF) . Международный Валютный Фонд. Архивировано (PDF) из оригинала 30 августа 2000 г.
49. «Мониторинг качества жизни в Европе - индекс Джини». Еврофонд . 26 августа 2009 г. Архивировано из оригинала 1 декабря 2008 г.
50. Ван, Чен; Каминада, Коэн; Гаудсвард, Кес (2012). «Перераспределительный эффект программ социальных трансфертов и налогов: разложение по странам». Международный обзор социального обеспечения . 65 (3): 27–48. дои : 10.1111/j.1468-246X.2012.01435.x. HDL : 1887/3207160 . S2CID  154029963.
51. Сатклифф, Боб (апрель 2007 г.). «Постскриптум к статье «Мировое неравенство и глобализация» (Оксфордский обзор экономической политики, весна 2004 г.)» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 21 июня 2007 года . Проверено 13 декабря 2007 г.
52. Ортис, Изабель; Камминс, Мэтью (апрель 2011 г.). «Глобальное неравенство: за пределами нижнего миллиарда» (PDF) . ЮНИСЕФ. п. 26. Архивировано из оригинала (PDF) 12 августа 2012 года . Проверено 30 июля 2012 г.
53. Миланович, Бранко (сентябрь 2011 г.). "Более или менее". Финансы и развитие . 48 (3).
54. Миланович, Бранко (2009). «Глобальное неравенство и коэффициент извлечения глобального неравенства» (PDF) . Всемирный банк. Архивировано (PDF) из оригинала 11 ноября 2013 г.
55. Берри, Альберт; Серье, Джон (сентябрь 2006 г.). «Верховая езда на слонах: эволюция мирового экономического роста и распределения доходов в конце двадцатого века (1980–2000 годы)» (PDF) . Организация Объединенных Наций (Рабочий документ ДЭСВ № 27). Архивировано (PDF) из оригинала 17 февраля 2009 г.
56. Гариб, Малака (25 января 2017 г.). «Чего статистика восьми самых богатых людей не говорит нам о неравенстве». ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР .
57. Всемирный банк . «Бедность и процветание, 2016 г. / Борьба с неравенством» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 15 ноября 2016 г.. Рисунок O.10 Глобальное неравенство, 1988–2013 гг.
58. Садрас, В.О.; Бонджованни, Р. (2004). «Использование кривых Лоренца и коэффициентов Джини для оценки неравенства урожайности в загонах». Исследование полевых культур . 90 (2–3): 303–310. дои : 10.1016/j.fcr.2004.04.003.
59. Томас, Винод; Ван, Ян; Фан, Сибо (январь 2001 г.). Измерение неравенства в образовании: коэффициенты Джини в образовании (PDF) . Рабочие документы политических исследований. Всемирный банк. CiteSeerX 10.1.1.608.6919 . дои : 10.1596/1813-9450-2525. hdl : 10986/19738. S2CID  6069811. Архивировано из оригинала (PDF) 5 июня 2013 года. 
60. Томас, Винод; Ван, Ян; Фан, Сибо (2001). Измерение неравенства в образовании: коэффициенты Джини в образовании. Публикации Всемирного банка.
61. Ремер, Джон Э. (сентябрь 2006 г.). Экономическое развитие как выравнивание возможностей (Доклад). Йельский университет. CiteSeerX 10.1.1.403.4725 . ССНН  931479. 
62. Веймарк, Джон (2003). «Обобщенные индексы Джини равенства возможностей». Журнал экономического неравенства . 1 (1): 5–24. дои : 10.1023/А: 1023923807503. S2CID  133596675.
63. Ковачевич, Милорад (ноябрь 2010 г.). «Измерение неравенства в человеческом развитии – обзор» (PDF) . Программа развития ООН. Архивировано из оригинала (PDF) 23 сентября 2011 года.
64. Аткинсон, Энтони Б. (1999). «Вклад Амартии Сена в экономику благосостояния» (PDF) . Скандинавский экономический журнал . 101 (2): 173–190. дои : 10.1111/1467-9442.00151. JSTOR  3440691. Архивировано из оригинала (PDF) 13 мая 2014 года.
65. Ремер, Джон Э.; и другие. (март 2003 г.). «В какой степени фискальные режимы уравнивают возможности получения доходов гражданами?». Журнал общественной экономики . 87 (3–4): 539–565. CiteSeerX 10.1.1.414.6220 . дои : 10.1016/S0047-2727(01)00145-1. 
66. Шоррокс, Энтони (декабрь 1978 г.). «Неравенство доходов и мобильность доходов». Журнал экономической теории . 19 (2): 376–393. дои : 10.1016/0022-0531(78)90101-1.
67. Маасуми, Эсфандиар; Зандвакили, Суруше (1986). «Класс обобщенных мер мобильности с приложениями». Письма по экономике . 22 (1): 97–102. дои : 10.1016/0165-1765(86)90150-3.
68. Копчук, Войцех; Саес, Эммануэль; Сон, Джэ (2010). «Неравенство доходов и мобильность в Соединенных Штатах: данные социального обеспечения с 1937 года» (PDF) . Ежеквартальный экономический журнал . 125 (1): 91–128. doi :10.1162/qjec.2010.125.1.91. JSTOR  40506278. Архивировано (PDF) из оригинала 13 мая 2013 г.
69. Чен, Вэнь-Хао (март 2009 г.). «Межнациональные различия в мобильности доходов: данные Канады, США, Великобритании и Германии». Обзор доходов и богатства . 55 (1): 75–100. дои : 10.1111/j.1475-4991.2008.00307.x. S2CID  62886186.
70. Састре, Мерседес; Аяла, Луис (2002). «Европа против США: есть ли компромисс между мобильностью и неравенством?» (PDF) . Институт социальных и экономических исследований, Университет Эссекса. Архивировано (PDF) из оригинала 12 июня 2006 г.
71. «Неравенство - Неравенство доходов - Данные ОЭСР» . ОЭСР . Проверено 2 июня 2023 г.
72. Меллор, Джон В. (2 июня 1989 г.). «Резкое сокращение бедности в странах третьего мира: перспективы и необходимые действия» (PDF) . Международный исследовательский институт продовольственной политики: 18–20. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2012 года. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
73. КВОК Квок Чуен (2010). «Распределение доходов в Гонконге и коэффициент Джини» (PDF) . Правительство Гонконга, Китай. Архивировано из оригинала (PDF) 27 декабря 2010 года.
74. «Реальное богатство народов: пути к человеческому развитию (Отчет о человеческом развитии за 2010 год - см. Статистические таблицы)». Программа развития ООН. 2011. стр. 152–156.
75. Де Майо, Фернандо Г. (2007). «Меры неравенства доходов». Журнал эпидемиологии и общественного здравоохранения . 61 (10): 849–852. дои : 10.1136/jech.2006.052969. ПМК 2652960 . ПМИД  17873219. 
76. Стефани, Фабиан (1 декабря 2017 г.). «Кто ваши Джонсы? Социально-специфическое неравенство доходов и доверие». Исследование социальных показателей . 134 (3): 877–898. дои : 10.1007/s11205-016-1460-9. ISSN  1573-0921. ПМК 5684274 . ПМИД  29187771. 
77. Домей, Дэвид; Флоден, Мартин (2010). «Тенденции неравенства в Швеции 1978–2004 гг.». Обзор экономической динамики . 13 (1): 179–208. CiteSeerX 10.1.1.629.9417 . дои : 10.1016/j.red.2009.10.005. 
78. Домей, Дэвид; Кляйн, Пол (январь 2000 г.). «Учет неравенства богатства в Швеции» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 мая 2003 года.
79. Дельтас, Джордж (февраль 2003 г.). «Смещение коэффициента Джини при малой выборке: результаты и последствия для эмпирических исследований». Обзор экономики и статистики . 85 (1): 226–234. дои : 10.1162/rest.2003.85.1.226. JSTOR  3211637. S2CID  57572560.
80. Монфор, Филипп (2008). «Конвергенция регионов ЕС: меры и эволюция» (PDF) . Европейский Союз – Европа. п. 6. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2012 г.
81. Дейнингер, Клаус; Сквайр, Лин (1996). «Новый набор данных для измерения неравенства доходов» (PDF) . Экономический обзор Всемирного банка . 10 (3): 565–591. CiteSeerX 10.1.1.314.5610 . дои : 10.1093/wber/10.3.565. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2007 г. 
82. «Доход, бедность и медицинское страхование в США: 2010 г. (см. Таблицу A-2)» (PDF) . Бюро переписи населения, Министерство торговли, США. Сентябрь 2011 г. Архивировано (PDF) из оригинала 23 сентября 2011 г.
83. Бюджетное управление Конгресса: Тенденции в распределении доходов домохозяйств в период с 1979 по 2007 год. Октябрь 2011 г. см. стр. i–x, с определениями ii–iii.
84. Шнайдер, Фридрих; Бюн, Андреас; Черногория, Клаудио Э. (2010). «Новые оценки теневой экономики во всем мире». Международный экономический журнал . 24 (4): 443–461. дои : 10.1080/10168737.2010.525974. hdl : 10986/4929. S2CID  56060172.
85. Неформальная экономика (PDF) . Международный институт окружающей среды и развития, Соединенное Королевство. 2011. ISBN 978-1-84369-822-7. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2012 года.
86. Фельдштейн, Мартин (август 1998 г.). «Действительно ли проблема неравенства доходов? (Обзор)» (PDF) . Федеральная резервная система США. Архивировано из оригинала (PDF) 3 августа 2012 года . Проверено 2 августа 2012 г.
87. Тейлор, Джон; Вирапана, Акила (2009). Принципы микроэкономики: издание глобального финансового кризиса . Cengage Обучение. стр. 416–418. ISBN 978-1-4390-7821-1.
88. Россер, Дж. Баркли-младший; Россер, Марина В.; Ахмед, Эхсан (март 2000 г.). «Неравенство доходов и неформальная экономика в странах с переходной экономикой». Журнал сравнительной экономики . 28 (1): 156–171. doi :10.1006/jcec.2000.1645. S2CID  49552052.
89. Крстич, Горана; Санфей, Питер (февраль 2010 г.). «Неравенство в доходах и неформальная экономика: данные из Сербии» (PDF) . Европейский банк реконструкции и развития. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2012 года.
90. Шнайдер, Фридрих (декабрь 2004 г.). Размер теневой экономики 145 стран мира: первые результаты за период с 1999 по 2003 год (Отчет). hdl : 10419/20729. ССНР  636661.
91. Хэнд, Дэвид Дж.; Тилль, Роберт Дж. (2001). «Простое обобщение площади под кривой ROC для задач классификации нескольких классов» (PDF) . Машинное обучение . 45 (2): 171–186. дои : 10.1023/А:1010920819831 . S2CID  43144161. Архивировано (PDF) из оригинала 10 августа 2013 г.
92. Элиазар, Иддо I.; Соколов, Игорь М. (2010). «Измерение статистической неоднородности: индекс Пьетры». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 389 (1): 117–125. Бибкод : 2010PhyA..389..117E. doi :10.1016/j.physa.2009.08.006.
93. Ли, Вен-Чунг (1999). «Вероятностный анализ глобальных характеристик диагностических тестов: интерпретация сводных показателей на основе кривой Лоренца» (PDF) . Статистика в медицине . 18 (4): 455–471. doi :10.1002/(SICI)1097-0258(19990228)18:4<455::AID-SIM44>3.0.CO;2-A. PMID  10070686. Архивировано из оригинала (PDF) 3 августа 2012 года . Проверено 1 августа 2012 г.
94. Пит, Роберт К. (1974). «Измерение видового разнообразия». Ежегодный обзор экологии и систематики . 5 : 285–307. doi : 10.1146/annurev.es.05.110174.001441. JSTOR  2096890. S2CID  83517584.
95. Вальтер Шайдель (2017). Великий уравнитель: насилие и история неравенства от каменного века до XXI века . Издательство Принстонского университета. стр. 15–16. ISBN 978-0-691-16502-8.
96. Виттеболле, Ливен; Марзорати, Массимо; и другие. (2009). «Первоначальная равномерность сообщества способствует функциональности в условиях избирательного стресса». Природа . 458 (7238): 623–626. Бибкод : 2009Natur.458..623W. дои : 10.1038/nature07840. PMID  19270679. S2CID  4419280.
97. Асада, Юкико (2005). «Оценка здоровья американцев: среднее качество жизни, связанное со здоровьем, и его неравенство между отдельными людьми и группами». Показатели здоровья населения . 3 :7. дои : 10.1186/1478-7954-3-7 . ПМК 1192818 . ПМИД  16014174. 
98. Хальфман, Виллем; Лейдесдорф, Лоэт (2010). «Растет ли неравенство среди университетов? Коэффициенты Джини и неуловимый рост элитных университетов». Минерва . 48 (1): 55–72. arXiv : 1001.2921 . дои : 10.1007/s11024-010-9141-3. ПМЦ 2850525 . ПМИД  20401157. 
99. Грачик, Петр (2007). «Коэффициент Джини: новый способ выразить селективность ингибиторов киназ в отношении семейства киназ». Журнал медицинской химии . 50 (23): 5773–5779. дои : 10.1021/jm070562u. ПМИД  17948979.
100. Ши, Хунъюань; Сету, Хариш (2003). «Жадная справедливая организация очередей: целенаправленная стратегия справедливого планирования пакетов в реальном времени». Материалы 24-го симпозиума IEEE по системам реального времени . Компьютерное общество IEEE . стр. 345–356. ISBN 978-0-7695-2044-5.
101. Христодулакис, Джордж А.; Сатчелл, Стивен, ред. (ноябрь 2007 г.). Аналитика проверки модели риска (количественное финансирование) . Академическая пресса. ISBN 978-0-7506-8158-2.
102. Чакраборти, Дж; Босман, ММ (2005). «Измерение цифрового неравенства в Соединенных Штатах: раса, доход и владение персональными компьютерами». Профессор геогр . 57 (3): 395–410. дои : 10.1111/j.0033-0124.2005.00486.x. S2CID  154401826.
103. ван Мирло, Т; Хаятт, Д; Чинг, А (2016). «Использование коэффициента Джини для измерения неравенства участия в социальных сетях цифрового здравоохранения, ориентированных на лечение». Netw Model Anal Health Inform Bioinforma . 5 (32): 32. дои :10.1007/s13721-016-0140-7. ПМК 5082574 . ПМИД  27840788. 
104. худшее онлайн-свидание (25 марта 2015 г.). «Эксперименты с Tinder II: Ребята, если вы не очень горячи, вам, вероятно, лучше не тратить зря…». Середина . Проверено 28 апреля 2021 г.
105. Копф, Дэн (15 августа 2017 г.). «Эта статистика показывает, почему так сложно быть обычным мужчиной в приложениях для знакомств». Кварц . Проверено 28 апреля 2021 г.
106. Каминский, депутат; Кривцов, В.В. (2011). «Индекс Джини-типа для стареющих/омолаживающих объектов». Математические и статистические модели и методы надежности. Биркхойзер Бостон: Springer. стр. 133–140. ISBN 978-0-8176-4970-8.

дальнейшее чтение

• Амиэль, Ю.; Коуэлл, Ф.А. (1999). Думая о неравенстве . Кембридж. ISBN 978-0-521-46696-7.
• Ананд, Судхир (1983). Неравенство и бедность в Малайзии . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-520153-6.
• Браун, Малькольм (1994). «Использование индексов в стиле Джини для оценки пространственных характеристик практикующих врачей: теоретические соображения и применение на основе данных Альберты». Социальные науки и медицина . 38 (9): 1243–1256. дои : 10.1016/0277-9536(94)90189-9. ПМИД  8016689.
• Чакраварти, SR (1990). Цифры этического социального индекса . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-52274-6.
• Дитон, Ангус (1997). Анализ обследований домохозяйств . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-585-23787-9.
• Диксон, Филип М.; Вайнер, Джейкоб; Митчелл-Олдс, Томас; Вудли, Роберт (1987). «Создание коэффициента неравенства Джини». Экология . 68 (5): 1548–1551. дои : 10.2307/1939238. JSTOR  1939238. S2CID  84940050.
• Дорфман, Роберт (1979). «Формула коэффициента Джини». Обзор экономики и статистики . 61 (1): 146–149. дои : 10.2307/1924845. JSTOR  1924845.
• Файербо, Гленн (2003). Новая география глобального неравенства доходов . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-01067-3.
• Гаствирт, Джозеф Л. (1972). «Оценка кривой Лоренца и индекса Джини». Обзор экономики и статистики . 54 (3): 306–316. дои : 10.2307/1937992. JSTOR  1937992.
• Джайлз, Дэвид (2004). «Расчет стандартной ошибки для коэффициента Джини: некоторые дополнительные результаты» (PDF) . Оксфордский бюллетень экономики и статистики . 66 (3): 425–433. CiteSeerX  10.1.1.202.6462 . дои : 10.1111/j.1468-0084.2004.00086.x. S2CID  16972099. Архивировано из оригинала (PDF) 5 мая 2004 года.
• Джини, Коррадо (1912). Вариативность и изменчивость . Бибкод : 1912vamu.book.....G.Перепечатано в Pizetti, E.; Сальвемини Т., ред. (1955). Память методологической статистики . Рим: Libreria Eredi Virgilio Veschi.
• Джини, Коррадо (1921). «Измерение неравенства доходов». Экономический журнал . 31 (121): 124–126. дои : 10.2307/2223319. JSTOR  2223319.
• Джорджи, Джованни Мария (1990). «Библиографический портрет коэффициента концентрации Джини» (PDF) . Метрон . 48 : 183–231. Архивировано из оригинала (PDF) 4 августа 2016 года.
• Карагианнис, Э.; Ковачевич, М. (2000). «Метод расчета оценщика отклонения складного ножа для коэффициента Джини». Оксфордский бюллетень экономики и статистики . 62 : 119–122. дои : 10.1111/1468-0084.00163.
• Миллс, Джеффри А.; Зандвакили, Суруше (1997). «Статистический вывод с помощью начальной загрузки для измерения показателей неравенства» (PDF) . Журнал прикладной эконометрики . 12 (2): 133–150. CiteSeerX  10.1.1.172.5003 . doi :10.1002/(SICI)1099-1255(199703)12:2<133::AID-JAE433>3.0.CO;2-H. hdl : 10419/186818. JSTOR  2284908. Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2012 года.
• Модаррес, Реза; Гаствирт, Джозеф Л. (2006). «Предостережение по оценке стандартной ошибки индекса неравенства Джини». Оксфордский бюллетень экономики и статистики . 68 (3): 385–390. дои : 10.1111/j.1468-0084.2006.00167.x. S2CID  122716409.
• Морган, Джеймс (1962). «Анатомия распределения доходов». Обзор экономики и статистики . 44 (3): 270–283. дои : 10.2307/1926398. JSTOR  1926398.
• Огванг, Томсон (2000). «Удобный метод расчета индекса Джини и его стандартной ошибки». Оксфордский бюллетень экономики и статистики . 62 : 123–129. дои : 10.1111/1468-0084.00164.
• Огванг, Томсон (2004). «Расчет стандартной ошибки для коэффициента Джини: некоторые дополнительные результаты: ответ». Оксфордский бюллетень экономики и статистики . 66 (3): 435–437. дои : 10.1111/j.1468-0084.2004.00087.x. S2CID  122160535.
• Сюй, Куан (январь 2004 г.). «Как развивалась литература об индексе Джини за последние 80 лет?» (PDF) . Электронный журнал ССРН . Рабочий документ по экономике. Университет Далхаузи . дои : 10.2139/ssrn.423200. Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2006 года . Проверено 1 июня 2006 г.Китайская версия этой статьи была опубликована как Xu, Kuan (2003). «Как изменилась литература об индексе Джини за последние 80 лет?». Ежеквартальный экономический журнал Китая . 2 : 757–778.
• Ицхаки, Шломо (1991). «Расчет оценок дисперсии складного ножа для параметров метода Джини». Журнал деловой и экономической статистики . 9 (2): 235–239. дои : 10.2307/1391792. JSTOR  1391792.

Внешние ссылки

• Deutsche Bundesbank: Диверсифицируют ли банки кредитные портфели?, 2005 г. (об использовании, например, коэффициента Джини для оценки риска кредитных портфелей)
• Forbes: Во славу неравенства
• Измерение рисков программного проекта с помощью коэффициента Джини — применения коэффициента Джини к программному обеспечению.
• Всемирный банк: измерение неравенства
• Трэвис Хейл, Проект неравенства Техасского университета: Теоретические основы популярных показателей неравенства, онлайн-вычисление примеров: 1A, 1B
• Статья из The Guardian, анализирующая неравенство в Великобритании в 1974–2006 гг.
• Мировая база данных неравенства доходов
• BBC News: Что такое коэффициент Джини?
• Распределение доходов и бедность в странах ОЭСР
• Распределение доходов в США: насколько неравномерно?