Эллиптическая кривая

Каталог эллиптических кривых. Показанная область — $x, y \in [-3,3]$ .
(Для $(a, b) = (0, 0)$ функция не является гладкой и, следовательно, не является эллиптической кривой.)

В математике эллиптическая кривая — это гладкая проективная алгебраическая кривая рода один , на которой указана точка $O.$ Эллиптическая кривая определяется над полем $K$ и описывает точки в $K2$ , декартовом произведении K с $самим собой. Если$ характеристика поля отлична от 2 и 3, то кривую можно описать как плоскую алгебраическую кривую , которая состоит из решений $($ $x$ $,$ $y$ $)$ $для$ :

y^{2}=x^{3}+ax+b

для некоторых коэффициентов $a$ и $b$ в $K$ . Кривая должна быть неособой , что означает, что кривая не имеет точек возврата или самопересечений . (Это эквивалентно условию $4 a 3 + 27 b 2 \neq 0$ , то есть быть свободной от квадратов по $x$ .) Всегда подразумевается, что кривая на самом деле находится в проективной плоскости , а точка $O$ является единственной точкой на бесконечности . Многие источники определяют эллиптическую кривую как просто кривую, заданную уравнением этой формы. (Когда поле коэффициентов имеет характеристику 2 или 3, приведенное выше уравнение не является достаточно общим, чтобы включить все неособые кубические кривые ; см. § Эллиптические кривые над общим полем ниже.)

Эллиптическая кривая является абелевым многообразием , то есть имеет групповой закон, определенный алгебраически, относительно которого она является абелевой группой , а $O$ служит единичным элементом.

Если $y 2 = P (x)$ , где $P$ — любой многочлен третьей степени по $x$ без повторяющихся корней, множество решений — неособая плоская кривая рода один, эллиптическая кривая. Если $P$ имеет четвертую степень и является свободным от квадратов , это уравнение снова описывает плоскую кривую рода один; однако у него нет естественного выбора элемента идентичности. В более общем смысле, любая алгебраическая кривая рода один, например, пересечение двух квадратичных поверхностей, вложенных в трехмерное проективное пространство, называется эллиптической кривой, при условии, что она снабжена отмеченной точкой, которая действует как идентичность.

Используя теорию эллиптических функций , можно показать, что эллиптические кривые, определенные над комплексными числами, соответствуют вложениям тора в комплексную проективную плоскость . Тор также является абелевой группой , и это соответствие также является изоморфизмом групп .

Эллиптические кривые особенно важны в теории чисел и составляют важную область современных исследований; например, они использовались в доказательстве Эндрю Уайлсом Последней теоремы Ферма . Они также находят применение в криптографии эллиптических кривых (ECC) и целочисленной факторизации .

Эллиптическая кривая не является эллипсом в смысле проективной коники, которая имеет нулевой род: см. эллиптический интеграл для получения информации о происхождении термина. Однако существует естественное представление действительных эллиптических кривых с инвариантом формы $j \geq 1$ в виде эллипсов в гиперболической плоскости . В частности, пересечения гиперболоида Минковского с квадратичными поверхностями, характеризующимися определенным свойством постоянного угла, производят эллипсы Штейнера в (генерируемые сохраняющими ориентацию коллинеациями). Кроме того, ортогональные траектории этих эллипсов включают эллиптические кривые с $j$ $\leq 1$ , и любой эллипс в , описанный как геометрическое место относительно двух фокусов, однозначно является суммой эллиптических кривых двух эллипсов Штейнера, полученной путем сложения пар пересечений на каждой ортогональной траектории. Здесь вершина гиперболоида служит тождеством на каждой траекторной кривой. ^[1] $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$

Топологически сложная эллиптическая кривая представляет собой тор , а сложный эллипс — сферу .

Эллиптические кривые над действительными числами

Графики кривых $y 2 = x 3 - x$ и $y 2 = x 3 - x + 1$

Хотя формальное определение эллиптической кривой требует некоторых знаний в алгебраической геометрии , можно описать некоторые особенности эллиптических кривых над действительными числами, используя только вводную алгебру и геометрию .

В этом контексте эллиптическая кривая — это плоская кривая, определяемая уравнением вида

y^{2}=x^{3}+ax+b

после линейной замены переменных ( $a$ и $b$ — действительные числа). Этот тип уравнения называется уравнением Вейерштрасса и считается находящимся в форме Вейерштрасса или нормальной форме Вейерштрасса.

Определение эллиптической кривой также требует, чтобы кривая была невырожденной . Геометрически это означает, что график не имеет точек возврата , самопересечений или изолированных точек . Алгебраически это выполняется тогда и только тогда, когда дискриминант , , не равен нулю. $\Delta$

\Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)\neq 0

Дискриминант равен нулю, когда . $a=-3k^{2},b=2k^{3}$

(Хотя множитель −16 не имеет значения, является ли кривая несингулярной, это определение дискриминанта полезно при более продвинутом изучении эллиптических кривых.) ^[2]

Действительный график невырожденной кривой имеет две компоненты, если ее дискриминант положителен, и одну компоненту, если он отрицателен. Например, в графиках, показанных на рисунке справа, дискриминант в первом случае равен 64, а во втором случае равен −368.

Групповой закон

При работе в проективной плоскости уравнение в однородных координатах принимает вид:

{\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b

Это уравнение не определено на бесконечной линии , но мы можем умножить его на , чтобы получить уравнение: $Z^{3}$

ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}

Это результирующее уравнение определено на всей проективной плоскости, а кривая, которую оно определяет, проецируется на интересующую нас эллиптическую кривую. Чтобы найти ее пересечение с прямой на бесконечности, мы можем просто положить . Это подразумевает , что в поле означает . с другой стороны, может принимать любое значение, поэтому все триплеты удовлетворяют уравнению. В проективной геометрии это множество просто точка , которая, таким образом, является единственным пересечением кривой с прямой на бесконечности. $Z=0$ $X^{3}=0$ $X=0$ $Y$ $(0,Y,0)$ $O=[0:1:0]$

Поскольку кривая гладкая, а значит, и непрерывная , можно показать, что эта точка на бесконечности является единичным элементом групповой структуры, работа которой геометрически описывается следующим образом:

Поскольку кривая симметрична относительно оси $x$ , то для любой точки $P$ мы можем взять $- P$ как противоположную ей точку. Тогда мы имеем , поскольку лежит на плоскости $XZ$ , так что она также симметрична относительно начала координат и, таким образом, представляет ту же проективную точку. $-O=O$ $O$ $-O$ $O$

Если $P$ и $Q$ — две точки на кривой, то мы можем однозначно описать третью точку $P + Q$ следующим образом. Сначала нарисуем линию, пересекающую $P$ и $Q.$ Она , как правило, пересечет кубическую кривую в третьей точке $R.$ Затем мы принимаем $P + Q$ за $- R$ , точку, противоположную $R.$

Это определение для сложения работает, за исключением нескольких особых случаев, связанных с точкой в бесконечности и кратностью пересечения. Первый случай — когда одна из точек — $O.$ Здесь мы определяем $P + O = P = O + P$ , делая $O$ тождеством группы. Если $P = Q$ , у нас есть только одна точка, поэтому мы не можем определить линию между ними. В этом случае мы используем касательную к кривой в этой точке в качестве нашей линии. В большинстве случаев касательная пересечет вторую точку $R$ , и мы можем взять ее противоположность. Если $P$ и $Q$ противоположны друг другу, мы определяем $P + Q = O.$ Наконец, если $P$ — точка перегиба (точка, в которой изменяется вогнутость кривой), мы принимаем $R$ за саму $P$ , а $P + P$ — просто за противоположную ей точку, т. е. за саму себя.

Пусть $K$ — поле, над которым определена кривая (то есть коэффициенты определяющего уравнения или уравнений кривой находятся в $K$ ), и обозначим кривую через $E$ . Тогда $K$ - рациональные точки E — это точки на $E$ $,$ все координаты которых лежат в $K$ , включая точку на бесконечности. Множество $K$ -рациональных точек обозначается через $E (K)$ . $E (K)$ — это группа, поскольку свойства полиномиальных уравнений показывают, что если $P$ принадлежит $E (K)$ , то $- P$ также принадлежит $E (K)$ , и если два из $P$ , $Q$ , $R$ принадлежат $E (K) , то и третье принадлежит$ $E$ ( K ) . Кроме того, если $K$ — подполе $L$ , то $E (K)$ — это подгруппа E $($ $L$ $)$ .

Алгебраическая интерпретация

Вышеуказанные группы могут быть описаны как алгебраически, так и геометрически. Дана кривая $y 2 = x 3 + bx + c$ над полем $K$ ( характеристика которого , как мы предполагаем, не равна ни 2, ни 3), и точки $P = (x P, y P)$ и $Q = (x Q, y Q)$ на кривой, предположим сначала, что $x P \neq x Q$ (случай 1 ). Пусть $y = sx + d$ будет уравнением прямой, пересекающей $P$ и $Q$ , которая имеет следующий наклон:

s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}

Уравнение прямой и уравнение кривой пересекаются в точках $x P$ , $x Q$ и $x R$ , поэтому уравнения имеют одинаковые значения $y$ в этих точках.

\left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+bx+c

что эквивалентно

x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+bx+c-d^{2}=0

Поскольку $x P$ , $x Q$ и $x R$ являются решениями, это уравнение имеет корни при тех же значениях $x , что и$

(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}

$и поскольку оба уравнения кубические ,$ они должны быть одинаковыми полиномами с точностью до скаляра. Затем приравниваем коэффициенты x $2$ в обоих уравнениях

-s^{2}=(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})

и решение относительно неизвестного $x R$ .

x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}

$y R$ следует из уравнения линии

y_{R}=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})

и это элемент $K$ , потому что $s$ им является.

Если $x P = x Q$ , то есть два варианта: если $y P = - y Q$ (случай 3 ), включая случай, когда $y P = y Q = 0$ (случай 4 ), то сумма определяется как 0; таким образом, обратная величина каждой точки на кривой находится путем ее отражения относительно оси $x$ .

Если $y P = y Q \neq 0$ , то $Q = P$ и $R = (x R, y R) = -(P + P) = -2 P = -2 Q$ (случай 2 с использованием $P$ в качестве $R$ ). Наклон задается касательной к кривой в точке ( x _P , y _P ).

{\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+b}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})\end{aligned}}

Более общее выражение , которое работает как в случае 1, так и в случае 2, имеет вид $s$

s={\frac {{x_{P}}^{2}+x_{P}x_{Q}+{x_{Q}}^{2}+b}{y_{P}+y_{Q}}}

где равенство $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠у П − у Q/х П − х Q⁠$ полагается на $P$ и $Q,$ подчиняющиеся $у 2 = х 3 + bx + с$ .

Не-Вейерштрассовские кривые

Для кривой $y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c$ (общий вид эллиптической кривой с характеристикой 3) формулы аналогичны, при этом $s = ⁠ х Р 2 + х Р х Q + х Q 2 + ах Р + ах Q + b / у П + у К ⁠$ и $x R = s 2 - a - x P - x Q$ .

Для общей кубической кривой, не находящейся в нормальной форме Вейерштрасса, мы все еще можем определить групповую структуру, обозначив одну из ее девяти точек перегиба как тождество $O.$ В проективной плоскости каждая линия будет пересекать кубику в трех точках с учетом кратности. Для точки $P$ , $- P$ определяется как уникальная третья точка на прямой, проходящей через $O$ и $P$ . Тогда для любых $P$ и $Q$ , $P + Q$ определяется как $- R ,$ где $R$ — уникальная третья точка на прямой, содержащей $P$ и $Q$ .

Пример группового закона над кривой, отличной от кривой Вейерштрасса, см. в разделе Кривые Гессе .

Эллиптические кривые над рациональными числами

Кривая E, определенная над полем рациональных чисел, определена также над полем действительных чисел. Поэтому закон сложения (точек с действительными координатами) методом касательной и секущей может быть применен к E . Явные формулы показывают, что сумма двух точек P и Q с рациональными координатами снова имеет рациональные координаты, поскольку прямая, соединяющая P и Q, имеет рациональные коэффициенты. Таким образом, показывается, что множество рациональных точек E образует подгруппу группы действительных точек E .

Интегральные баллы

В этом разделе рассматриваются точки P = ( x , y ) множества E , такие, что x является целым числом.

Например, уравнение y ² = x ³ + 17 имеет восемь интегральных решений при y > 0: ^[3]^[4]

( x , y ) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234 ,378 661 ).

В качестве другого примера, уравнение Льюнггрена , кривая, форма Вейерштрасса которой имеет вид y ² = x ³ − 2 x , имеет только четыре решения при y ≥ 0: ^[5]

( x , y ) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338,6214 ).

Структура рациональных точек

Рациональные точки можно построить методом касательных и секущих, подробно описанным выше, начиная с конечного числа рациональных точек. Точнее ^[6] теорема Морделла–Вейля утверждает, что группа E ( Q ) является конечно порожденной (абелевой) группой. По фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах она, следовательно, является конечной прямой суммой копий Z и конечных циклических групп.

Доказательство теоремы ^[7] состоит из двух частей. Первая часть показывает, что для любого целого числа m > 1 фактор-группа E ( Q )/ mE ( Q ) конечна (это слабая теорема Морделла–Вейля). Во-вторых, введение функции высоты h на рациональных точках E ( Q ), определяемых соотношениями h ( P ₀ ) = 0 и $h (P) = log max(| p |, | q |),$ если P (не равно точке на бесконечности P ₀ ) имеет в качестве абсцисс рациональное число x = p / q (с взаимно простыми p и q ). Эта функция высоты h обладает тем свойством, что h ( mP ) растет примерно как квадрат m . Более того, на E существует только конечное число рациональных точек с высотой, меньшей любой константы .

Доказательство теоремы, таким образом, является вариантом метода бесконечного спуска ^[8] и опирается на повторное применение евклидовых делений на E : пусть P ∈ E ( Q ) — рациональная точка на кривой, записывая P как сумму 2 P ₁ + Q ₁ , где Q ₁ — фиксированный представитель P в E ( Q )/2 E ( Q ), высота P ₁ составляет около ⁠1/4⁠ одного из P (в более общем случае, заменяя 2 любым m > 1, и ⁠1/4⁠ от ⁠1/м ²⁠ ). Повторяя то же самое с P ₁ , то есть P ₁ = 2 P ₂ + Q ₂ , затем P ₂ = 2 P ₃ + Q ₃ и т. д., в конечном итоге выражаем P как целочисленную линейную комбинацию точек Q _i и точек, высота которых ограничена фиксированной константой, выбранной заранее: по слабой теореме Морделла–Вейля и второму свойству функции высоты P , таким образом, выражается как целочисленная линейная комбинация конечного числа фиксированных точек.

Однако теорема не дает метода определения каких-либо представителей E ( Q )/ mE ( Q ).

Ранг E ( Q ), то есть число копий Z в E ( Q ) или, что эквивалентно, число независимых точек бесконечного порядка, называется рангом E . Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера касается определения ранга. Предполагается, что он может быть сколь угодно большим , даже если известны только примеры с относительно небольшим рангом. Эллиптическая кривая с наибольшим в настоящее время точно известным рангом — это

у2 + ху + у = ^х3 − х2 − 244 537 673 336 319 601 463 803 487 168 961 769 270 757 573⁸²¹859⁸⁵³707 х + 961 710 182 053 183 034 546 222 979 258 806 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931

Он имеет ранг 20, найденный Ноамом Элкисом и Зевом Клагсбруном в 2020 году. Кривые ранга выше 20 известны с 1994 года, с нижними границами их рангов в диапазоне от 21 до 29, но их точные ранги неизвестны, и в частности не доказано, какой из них имеет более высокий ранг, чем другие, или кто является истинным «действующим чемпионом». ^[9]

Что касается групп, составляющих подгруппу кручения E ( Q ), известно следующее: ^[10] подгруппа кручения E ( Q ) является одной из 15 следующих групп ( теорема Барри Мазура ): Z / N Z для N = 1, 2, ..., 10 или 12, или Z /2 Z × Z /2 N Z с N = 1, 2, 3, 4. Известны примеры для каждого случая. Более того, эллиптические кривые, группы Морделла–Вейля над Q которых имеют те же группы кручения, принадлежат параметризованному семейству. ^[11]

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера (BSD) является одной из проблем тысячелетия Математического института Клэя . Гипотеза опирается на аналитические и арифметические объекты, определяемые рассматриваемой эллиптической кривой.

С аналитической стороны важным компонентом является функция комплексной переменной L , дзета-функция Хассе–Вейля E над Q . Эта функция является вариантом дзета -функции Римана и L-функций Дирихле . Она определяется как произведение Эйлера с одним множителем для каждого простого числа p .

Для кривой E над Q, заданной минимальным уравнением

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

с целыми коэффициентами приведение коэффициентов по модулю p определяет эллиптическую кривую над конечным полем F _p (за исключением конечного числа простых чисел p , где приведенная кривая имеет особенность и, таким образом, не является эллиптической, в этом случае говорят, что E имеет плохую редукцию в p ). $a_{i}$

Дзета-функция эллиптической кривой над конечным полем F _p является, в некотором смысле, производящей функцией, собирающей информацию о числе точек E со значениями в конечных расширениях поля F _{p ⁿ} поля F _p . Она задается как ^[12]

Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)

Внутренняя сумма экспоненты напоминает разложение логарифма , и, по сути, так определенная дзета-функция является рациональной функцией в T :

Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},

где термин «след Фробениуса» ^[13] определяется как разница между «ожидаемым» числом и числом точек на эллиптической кривой на , а именно. $a_{p}$ $p+1$ $E$ $\mathbb {F} _{p}$

a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p})

или эквивалентно,

\#E(\mathbb {F} _{p})=p+1-a_{p}

Мы можем определить те же величины и функции над произвольным конечным полем характеристики , заменив всюду. $p$ $q=p^{n}$ $p$

L -функция E над Q затем определяется путем сбора этой информации вместе для всех простых чисел p . Она определяется как

L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1}\cdot \prod _{p\mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}\right)^{-1}

где N — проводник E , т.е. произведение простых чисел с плохой редукцией ), ^[14]_в этом случае p определяется иначе, чем методом выше: см. Silverman (1986) ниже . $(\Delta (E\mod p)=0$

Например, имеет плохое сокращение на 17 , потому что имеет . $E:y^{2}=x^{3}+14x+19$ $E\mod 17:y^{2}=x^{3}-3x+2$ $\Delta =0$

Это произведение сходится только при Re( s ) > 3/2. Гипотеза Хассе утверждает, что L -функция допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость и удовлетворяет функциональному уравнению , связывающему для любого s L ( E , s ) с L ( E , 2 − s ). В 1999 году было показано, что это является следствием доказательства гипотезы Шимуры–Таниямы–Вейля, которая утверждает, что каждая эллиптическая кривая над Q является модулярной кривой , что подразумевает, что ее L -функция является L -функцией модулярной формы , аналитическое продолжение которой известно. Поэтому можно говорить о значениях L ( E , s ) при любом комплексном числе s .

При s=1 (проводниковое произведение можно отбросить, так как оно конечно), L-функция становится

L(E(\mathbf {Q} ),1)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)^{-1}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{p-a_{p}+1}}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{\#E(\mathbb {F} _{p})}}

Гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера связывает арифметику кривой с поведением этой L -функции при s = 1. Она утверждает, что порядок исчезновения L -функции при s = 1 равен рангу E , и предсказывает главный член ряда Лорана L ( E , s ) в этой точке через несколько величин, связанных с эллиптической кривой.

Подобно гипотезе Римана , истинность гипотезы BSD имела бы множество последствий, включая следующие два:

Конгруэнтное число определяется как нечетное целое число n , свободное от квадратов , которое является площадью прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон. Известно, что n является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда эллиптическая кривая имеет рациональную точку бесконечного порядка; предполагая BSD, это эквивалентно тому, что ее L -функция имеет ноль при s = 1. Туннелл показал связанный результат: предполагая BSD, n является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда количество троек целых чисел ( x , y , z ), удовлетворяющих , в два раза больше количества троек, удовлетворяющих . Интерес к этому утверждению заключается в том, что условие легко проверить. ^[15] $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ $2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n$ $2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n$
В другом направлении, некоторые аналитические методы позволяют оценить порядок нуля в центре критической полосы для некоторых L -функций. Допуская BSD, эти оценки соответствуют информации о ранге семейств соответствующих эллиптических кривых. Например: предполагая обобщенную гипотезу Римана и BSD, средний ранг кривых, заданных меньше 2. ^[16] $y^{2}=x^{3}+ax+b$

Эллиптические кривые над конечными полями

Пусть K = F _q — конечное поле с q элементами, а E — эллиптическая кривая, определенная над K. Хотя точное число рациональных точек эллиптической кривой E над K в общем случае трудно вычислить, теорема Хассе об эллиптических кривых дает следующее неравенство:

|\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}

Другими словами, число точек на кривой растет пропорционально числу элементов в поле. Этот факт можно понять и доказать с помощью некоторой общей теории; см., например, локальную дзета-функцию и этальные когомологии .

Множество точек E ( F _q ) является конечной абелевой группой. Она всегда циклическая или является произведением двух циклических групп. Например, ^[17] кривая, определяемая формулой

y^{2}=x^{3}-x

над F ₇₁ имеет 72 точки (71 аффинную точку , включая (0,0) и одну точку на бесконечности ) над этим полем, групповая структура которого задается как Z /2 Z × Z /36 Z. Количество точек на конкретной кривой можно вычислить с помощью алгоритма Шуфа .

Изучение кривой над расширениями поля F q _{облегчается} введением локальной дзета-функции E над F _q , определяемой производящим рядом (см. также выше)

Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)

где поле K _n является (единственным с точностью до изоморфизма) расширением K = F _q степени n (то есть ). $K_{n}=F_{q^{n}}$

Дзета-функция является рациональной функцией в T. Чтобы увидеть это, рассмотрим целое число, такое что $a$

\#E(K)=1-a+q

Существует комплексное число такое, что $\alpha$

1-a+q=(1-\alpha )(1-{\bar {\alpha }})

где комплексно сопряженное число , и поэтому мы имеем ${\bar {\alpha }}$

\alpha +{\bar {\alpha }}=a

\alpha {\bar {\alpha }}=q

Мы выбираем так, чтобы его абсолютное значение было равно , то есть , и что . Обратите внимание, что . $\alpha$ ${\sqrt {q}}$ $\alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }$ $\cos \theta ={\frac {a}{2{\sqrt {q}}}}$ $|a|\leq 2{\sqrt {q}}$

$\alpha$ затем может быть использована в локальной дзета-функции, поскольку ее значения, возведенные в различные степени $n,$ можно считать достаточно приближенными к поведению , в том смысле, что $a_{n}$

\#E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}

Используя ряд Тейлора для натурального логарифма ,

{\begin{alignedat}{2}Z(E(K),T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}

Тогда , наконец, $(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}$

Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}

Например, ^[18] дзета-функция E : y ² + y = x ³ над полем F ₂ задается выражением

{\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}

что следует из:

\left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}

как , тогда , поэтому . $q=2$ $|E|=2^{1}+1=3=1-a+2$ $a=0$

Функциональное уравнение имеет вид

Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)

Поскольку нас интересует только поведение , мы можем использовать редуцированную дзета-функцию $a_{n}$

Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}{T^{n} \over n}\right)

Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)

и так

Z(a,T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)

что приводит непосредственно к локальным L-функциям

L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}

Гипотеза Сато –Тейта — это утверждение о том, как погрешность в теореме Хассе изменяется в зависимости от различных простых чисел q , если эллиптическая кривая E над Q приведена по модулю q. Она была доказана (почти для всех таких кривых) в 2006 году благодаря результатам Тейлора, Харриса и Шепарда-Баррона ^[19] и утверждает, что погрешность распределена равномерно. $2{\sqrt {q}}$

Эллиптические кривые над конечными полями применяются, в частности, в криптографии и для факторизации больших целых чисел. Эти алгоритмы часто используют групповую структуру в точках E . Алгоритмы, применимые к общим группам, например, группа обратимых элементов в конечных полях F * _q , могут быть применены к группе точек на эллиптической кривой. Например, дискретный логарифм является таким алгоритмом. Интерес в этом заключается в том, что выбор эллиптической кривой обеспечивает большую гибкость, чем выбор q (и, следовательно, группы единиц в F _q ). Кроме того, групповая структура эллиптических кривых, как правило, более сложна.

Эллиптические кривые над общим полем

Эллиптические кривые могут быть определены над любым полем K ; формальное определение эллиптической кривой — это неособая проективная алгебраическая кривая над K с родом 1, наделенная выделенной точкой, определенной над K.

Если характеристика K не равна ни 2, ни 3, то каждая эллиптическая кривая над K может быть записана в виде

y^{2}=x^{3}-px-q

после линейной замены переменных. Здесь p и q — элементы K , такие, что полином правой стороны x ³ − px − q не имеет двойных корней. Если характеристика равна 2 или 3, то необходимо сохранить больше членов: в характеристике 3 наиболее общее уравнение имеет вид

y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}

для произвольных констант b ₂ , b ₄ , b ₆ таких, что полином в правой части имеет различные корни (обозначение выбрано по историческим причинам). В характеристике 2 даже это невозможно, и наиболее общее уравнение имеет вид

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

при условии, что определяемое им многообразие не является единичным. Если бы характеристика не была препятствием, каждое уравнение сводилось бы к предыдущим с помощью подходящей линейной замены переменных.

Обычно кривая рассматривается как множество всех точек ( x , y ), которые удовлетворяют приведенному выше уравнению и такие, что как x, так и y являются элементами алгебраического замыкания K. Точки кривой, обе координаты которых принадлежат K, называются K - рациональными точками .

Многие из предыдущих результатов остаются в силе , когда поле определения E является числовым полем K , то есть конечным расширением поля Q . В частности, группа E(K) K -рациональных точек эллиптической кривой E , определенной над K , конечно порождена, что обобщает теорему Морделла–Вейля выше. Теорема, принадлежащая Луику Мерелю, показывает, что для заданного целого числа d существует ( с точностью до изоморфизма) только конечное число групп, которые могут встречаться как группы кручения E ( K ) для эллиптической кривой, определенной над числовым полем K степени d . Точнее, ^[20] существует число B ( d ) такое, что для любой эллиптической кривой E , определенной над числовым полем K степени d , любая точка кручения E ( K ) имеет порядок, меньший B ( d ). Теорема эффективна: для d > 1, если точка кручения имеет порядок p , где p простое, то

p<d^{3d^{2}}

Что касается целых точек, теорема Зигеля обобщается следующим образом: Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над числовым полем K , x и y — координаты Вейерштрасса. Тогда существует лишь конечное число точек E(K), чья x - координата принадлежит кольцу целых чисел O _K.

Свойства дзета-функции Хассе–Вейля и гипотезы Бирча и Суиннертона–Дайера также можно распространить на эту более общую ситуацию.

Эллиптические кривые над комплексными числами

Формулировка эллиптических кривых как вложения тора в комплексную проективную плоскость естественным образом следует из любопытного свойства эллиптических функций Вейерштрасса . Эти функции и их первая производная связаны формулой

\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}

Здесь $g 2$ и $g 3$ — константы; $℘(z)$ — эллиптическая функция Вейерштрасса , а $℘' (z)$ — ее производная. Должно быть ясно, что это соотношение имеет вид эллиптической кривой (над комплексными числами ). Функции Вейерштрасса являются дважды периодическими; то есть они периодические относительно решетки $Λ$ ; по сути, функции Вейерштрасса естественным образом определяются на торе $T = C /Λ$ . Этот тор может быть вложен в комплексную проективную плоскость с помощью отображения

z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]

Это отображение является групповым изоморфизмом тора (рассматриваемого с его естественной групповой структурой) с групповым законом хорды и касательной на кубической кривой, которая является образом этого отображения. Это также изоморфизм римановых поверхностей из тора в кубическую кривую, поэтому топологически эллиптическая кривая является тором. Если решетка $Λ$ связана умножением на ненулевое комплексное число $c$ с решеткой $c Λ$ , то соответствующие кривые изоморфны. Классы изоморфизма эллиптических кривых задаются $j$ -инвариантом .

Классы изоморфизма можно понять и более простым способом. Константы $g 2$ и $g 3$ , называемые модулярными инвариантами , однозначно определяются решеткой, то есть структурой тора. Однако все действительные многочлены полностью факторизуются в линейные множители над комплексными числами, поскольку поле комплексных чисел является алгебраическим замыканием действительных чисел. Таким образом, эллиптическую кривую можно записать как

y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )

Можно обнаружить, что

{\begin{aligned}g_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}

j(\tau )=1728{\frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}

с $j$ -инвариантом $j (τ)$ и $λ (τ)$ иногда называют модулярной лямбда-функцией . Например, пусть $τ = 2 i$ , тогда $λ (2 i) = (-1 + \sqrt 2) 4 ,$ что подразумевает $g' 2$ , $g' 3$ , и, следовательно, $g' 23 - 27 г' 32$ формулы выше все являются алгебраическими числами, если $τ$ включает мнимое квадратичное поле . Фактически, это дает целое число $j (2 i) = 66 3 = 287496$ .

Напротив, модульный дискриминант

\Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )

в общем случае является трансцендентным числом . В частности, значение функции Дедекинда $η (2 i)$ равно

\eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}

Обратите внимание, что теорема об униформизации подразумевает, что каждая компактная риманова поверхность рода один может быть представлена в виде тора. Это также позволяет легко понять точки кручения на эллиптической кривой: если решетка $Λ$ натянута на фундаментальные периоды $ω 1$ и $ω 2$ , то точки $n$ -кручения являются (классами эквивалентности) точек вида

{\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}

для целых чисел $a$ и $b$ в диапазоне $0 \leq (a, b) < n$ .

Если

E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})

представляет собой эллиптическую кривую над комплексными числами и

a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}},\qquad b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}},\qquad c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}},

тогда пару основных периодов $E$ можно вычислить очень быстро с помощью

\omega _{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},\qquad \omega _{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}

$M(w, z)$ — это среднее арифметическое–геометрическое w и $z$ . На каждом шаге итерации среднего арифметического–геометрического знаки $z$ $n , возникающие из-за неоднозначности итераций среднего геометрического$ $,$ выбираются таким образом, что $|$ $w$ $n$ $-$ $z$ $n$ $| \leq |$ $w$ $n$ $+$ $z$ $n$ $|,$ где $w$ $n$ и $z$ $n$ обозначают отдельные итерации среднего арифметического и среднего геометрического $w$ и $z$ , соответственно. Когда $|$ $w$ $n$ $-$ $z$ $n$ $| = |$ $w$ $n$ $+$ $z$ $n$ $|$ , существует дополнительное условие, что $Im$ $($ $⁠$ $з н / в н ⁠) > 0$ .^[21]

Над комплексными числами каждая эллиптическая кривая имеет девять точек перегиба . Каждая линия, проходящая через две из этих точек, также проходит через третью точку перегиба; девять точек и 12 линий, образованных таким образом, образуют реализацию конфигурации Гессе .

Двойная изогения

Учитывая изогению

f:E\rightarrow E'

эллиптических кривых степени , двойственная изогения является изогенией $n$

{\hat {f}}:E'\rightarrow E

той же степени, что

f\circ {\hat {f}}=[n].

Здесь обозначает умножение на изогению , имеющую степень $[n]$ $n$ $e\mapsto ne$ $n^{2}.$

Построение двойной изогении

Часто требуется только существование двойной изогении, но ее можно явно задать как композицию

E'\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E')\to {\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,

где — группа делителей степени 0. Для этого нам понадобятся карты, заданные как , где — нейтральная точка и заданные как ${\mathrm {Div} }^{0}$ $E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)$ $P\to P-O$ $O$ $E$ ${\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,$ $\sum n_{P}P\to \sum n_{P}P.$

Чтобы увидеть это , обратите внимание, что исходная изогения может быть записана как составная $f\circ {\hat {f}}=[n]$ $f$

E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)\to {\mbox{Div}}^{0}(E')\to E'\,

и что поскольку имеет конечную степень , то это умножение на $f$ $n$ $f_{*}f^{*}$ $n$ ${\mbox{Div}}^{0}(E').$

В качестве альтернативы мы можем использовать меньшую группу Пикара , фактор-группу Отображение сводится к изоморфизму , Двойственная изогения — это ${\mathrm {Pic} }^{0}$ ${\mbox{Div}}^{0}.$ $E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)$ $E\to {\mbox{Pic}}^{0}(E).$

E'\to {\mbox{Pic}}^{0}(E')\to {\mbox{Pic}}^{0}(E)\to E\,

Обратите внимание, что отношение также подразумевает сопряженное отношение Действительно, пусть Тогда Но является сюръективным , поэтому мы должны иметь $f\circ {\hat {f}}=[n]$ ${\hat {f}}\circ f=[n].$ $\phi ={\hat {f}}\circ f.$ $\phi \circ {\hat {f}}={\hat {f}}\circ [n]=[n]\circ {\hat {f}}.$ ${\hat {f}}$ $\phi =[n].$

Алгоритмы, использующие эллиптические кривые

Эллиптические кривые над конечными полями используются в некоторых криптографических приложениях, а также для факторизации целых чисел . Обычно общая идея в этих приложениях заключается в том, что известный алгоритм , который использует определенные конечные группы, переписывается для использования групп рациональных точек эллиптических кривых. Для получения дополнительной информации см. также:

Криптография на основе эллиптических кривых
- Обмен ключами Диффи-Хеллмана на эллиптических кривых (ECDH)
- Суперсингулярный изогенический обмен ключами
- Алгоритм цифровой подписи на основе эллиптических кривых (ECDSA)
- Алгоритм цифровой подписи EdDSA
- Генератор случайных чисел Dual EC DRBG
Факторизация эллиптической кривой Ленстры
Доказательство простоты эллиптической кривой

Альтернативные представления эллиптических кривых

Смотрите также

Примечания

^ Сарли, Дж. (2012). «Конические сечения в гиперболической плоскости, присущие группе коллинеаций». J. Geom . 103 : 131–148. doi :10.1007/s00022-012-0115-5. S2CID 119588289.
^ Сильверман 1986, III.1 Уравнения Вейерштрасса (стр.45)
^ Т. Нагель, L'analyse indéterminée de degré superieur , Mémorial des Sciences mathématiques 39, Париж, Готье-Виллар, 1929, стр. 56–59.
^ OEIS: https://oeis.org/A029728
^ Сиксек, Самир (1995), Спуски по кривым рода 1 (диссертация на соискание ученой степени доктора философии), Эксетерский университет, стр. 16–17, hdl :10871/8323.
^ Сильверман 1986, Теорема 4.1
↑ Сильверман 1986, стр. 199–205.
↑ См. также JWS Cassels, Mordell 's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 и комментарий А. Вейля о происхождении его работы: A. Weil, Collected Papers , vol. 1, 520–521.
^ Дуйелла, Андрей . «История рекордов ранга эллиптических кривых». Университет Загреба.
^ Сильверман 1986, Теорема 7.5
↑ Сильверман 1986, Примечание 7.8 в гл. VIII.
^ Определение формальное, экспонента этого степенного ряда без постоянного члена обозначает обычную разработку.
^ см. например, Silverman, Joseph H. (2006). "Введение в теорию эллиптических кривых" (PDF) . Летняя школа по вычислительной теории чисел и приложениям к криптографии . Университет Вайоминга.
^ https://www.lmfdb.org/knowledge/show/ec.bad_reduction
^ Коблиц 1993
^ Хит-Браун, DR (2004). «Средний аналитический ранг эллиптических кривых». Duke Mathematical Journal . 122 (3): 591–623. arXiv : math/0305114 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12235-3. S2CID 15216987.
↑ См. Коблиц 1994, стр. 158.
^ Коблиц 1994, стр. 160
^ Харрис, М.; Шеперд-Баррон, Н.; Тейлор, Р. (2010). «Семейство многообразий Калаби–Яу и потенциальная автоморфность». Annals of Mathematics . 171 (2): 779–813. doi : 10.4007/annals.2010.171.779 .
^ Мерел, Л. (1996). «Рожденный для кручения эллиптических курбов на телах тел». Inventiones Mathematicae (на французском языке). 124 (1–3): 437–449. Бибкод : 1996InMat.124..437M. дои : 10.1007/s002220050059. S2CID 3590991. Збл 0936.11037.
^ Винг Тат Чоу, Рудольф (2018). "Среднее арифметико-геометрическое и периоды кривых рода 1 и 2" (PDF) . White Rose eTheses Online . стр. 12.

Ссылки

Серж Ланг во введении к цитируемой ниже книге заявил, что «Можно писать бесконечно об эллиптических кривых. (Это не угроза.)» Таким образом, следующий краткий список в лучшем случае является путеводителем по обширной описательной литературе, доступной по теоретическим, алгоритмическим и криптографическим аспектам эллиптических кривых.

Ян Блейк; Гадиэль Серусси; Найджел Смарт (2000). Эллиптические кривые в криптографии . LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65374-6.
Браун, Эзра (2000). «Три пути Ферма к эллиптическим кривым». The College Mathematics Journal . 31 (3): 162–172. doi :10.1080/07468342.2000.11974137. S2CID 5591395., лауреат премии MAA за литературное творчество имени Джорджа Полиа
Ричард Крэндалл ; Карл Померанс (2001). "Глава 7: Арифметика эллиптических кривых". Простые числа: вычислительная перспектива (1-е изд.). Springer-Verlag. С. 285–352. ISBN 0-387-94777-9.
Кремона, Джон (1997). Алгоритмы для модулярных эллиптических кривых (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6.
Даррел Ханкерсон, Альфред Менезес и Скотт Ванстоун (2004). Руководство по эллиптической криптографии. Springer . ISBN 0-387-95273-X.
Харди, ГХ ; Райт, ЭМ (2008) [1938]. Введение в теорию чисел . Переработано Д. Р. Хит-Брауном и Дж. Х. Сильверманом . Предисловие Эндрю Уайлса . (6-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001. Глава XXV
Хеллегуарх, Ив (2001). Приглашение математиков Ферма-Вайлса . Париж: Дюнод. ISBN 978-2-10-005508-1.
Husemöller, Dale (2004). Эллиптические кривые . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 111 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
Кеннет Айрленд; Майкл И. Розен (1998). "Главы 18 и 19". Классическое введение в современную теорию чисел . Graduate Texts in Mathematics. Том 84 (2-е пересмотренное издание). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
Кнапп, Энтони В. (2018) [1992]. Эллиптические кривые. Математические заметки. Том 40. Princeton University Press. ISBN 9780691186900.
Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модулярные формы . Graduate Texts in Mathematics. Том 97 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2.
Коблиц, Нил (1994). "Глава 6". Курс теории чисел и криптографии . Выпускные тексты по математике. Том 114 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94293-9.
Серж Ланг (1978). Эллиптические кривые: Диофантов анализ . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 231. Шпрингер-Верлаг. ISBN 3-540-08489-4.
Генри МакКин ; Виктор Молл (1999). Эллиптические кривые: теория функций, геометрия и арифметика . Cambridge University Press. ISBN 0-521-65817-9.
Иван Нивен ; Герберт С. Цукерман; Хью Монтгомери (1991). "Раздел 5.7" . Введение в теорию чисел (5-е изд.). Джон Уайли. ISBN 0-471-54600-3.
Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics. Том 106. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.
Джозеф Х. Сильверман (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
Джозеф Х. Сильверман ; Джон Тейт (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
Джон Тейт (1974). «Арифметика эллиптических кривых». Inventiones Mathematicae . 23 (3–4): 179–206. Bibcode : 1974InMat..23..179T. doi : 10.1007/BF01389745. S2CID 120008651.
Лоуренс Вашингтон (2003). Эллиптические кривые: теория чисел и криптография . Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-365-0.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Эллиптическая кривая».

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с эллиптической кривой .

LMFDB: База данных эллиптических кривых над Q
«Эллиптическая кривая», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптические кривые». MathWorld .
Арифметика эллиптических кривых от PlanetMath
Интерактивная эллиптическая кривая над R и над Zp – веб-приложение, требующее браузера с поддержкой HTML5.

В данной статье использованы материалы Isogeny on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .