Коэффициент восстановления

В физике коэффициент восстановления ( COR , также обозначаемый как e ) можно рассматривать как меру упругости столкновения двух тел. Это безразмерный параметр, определяемый как отношение относительной скорости разделения после столкновения двух тел к относительной скорости сближения до столкновения. В большинстве реальных столкновений значение e лежит где-то между 0 и 1, где 1 представляет собой идеально упругое столкновение (при котором объекты отскакивают без потери скорости, но в противоположных направлениях), а 0 — идеально неупругое столкновение (при котором объекты вообще не отскакивают и в конечном итоге соприкасаются). Основное уравнение, иногда называемое уравнением восстановления Ньютона, было разработано сэром Исааком Ньютоном в 1687 году. ^[1] ${\text{Коэффициент восстановления}}(e)={\frac {\left|{\text{Относительная скорость разделения после столкновения}}\right|}{\left|{\text{Относительная скорость сближения до столкновения}}\right|}}$

Введение

Как свойство парных объектов

COR — это свойство пары объектов при столкновении, а не одного объекта. Если данный объект сталкивается с двумя разными объектами, каждое столкновение имеет свой собственный COR. Когда один объект описывается как имеющий заданный коэффициент восстановления, как если бы это было внутреннее свойство без ссылки на второй объект, были сделаны некоторые предположения — например, что столкновение происходит с другим идентичным объектом или с абсолютно жесткой стеной.

Рассматривается как константа

В базовом анализе столкновений e обычно рассматривается как безразмерная константа, независимая от массы и относительных скоростей двух объектов, при этом столкновение рассматривается как фактически мгновенное. Примером, часто используемым для обучения, является столкновение двух идеализированных бильярдных шаров . Реальные взаимодействия могут быть более сложными, например, когда необходимо учитывать внутреннюю структуру объектов или когда в течение времени между начальным контактом и окончательным разделением происходят более сложные эффекты.

Диапазон значений дляе

e — обычно положительное действительное число от 0 до 1:

e = 0 : Это абсолютно неупругое столкновение , при котором тела вообще не отскакивают и в конечном итоге соприкасаются.
0 < e < 1 : Это реальное неупругое столкновение, в котором рассеивается некоторая кинетическая энергия. Объекты отскакивают с меньшей скоростью разделения, чем скорость сближения.
e = 1 : Это абсолютно упругое столкновение , при котором кинетическая энергия не рассеивается. Объекты отскакивают с той же относительной скоростью, с которой они приближались.

Значения за пределами этого диапазона в принципе возможны, хотя на практике они обычно не анализируются с помощью базового анализа, в котором e принимается за константу:

e < 0 : COR меньше нуля подразумевает столкновение, при котором объекты проходят друг сквозь друга, например, пуля проходит сквозь цель.
e > 1 : Это подразумевает сверхупругое столкновение, при котором объекты отскакивают с большей относительной скоростью, чем скорость сближения, из-за некоторой дополнительной накопленной энергии, высвобождающейся во время столкновения.

Уравнения

В случае одномерного столкновения двух идеализированных объектов, А и В, коэффициент восстановления определяется по формуле: где: $e={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},$

$v_{\text{a}}$ конечная скорость объекта А после удара
$v_{\text{b}}$ конечная скорость объекта B после удара
$u_{\text{a}}$ начальная скорость объекта А до удара
$u_{\text{b}}$ начальная скорость объекта B до удара

Это иногда называют уравнением восстановления . Для абсолютно упругого столкновения e = 1 , и объекты отскакивают с той же относительной скоростью, с которой они приближались. Для абсолютно неупругого столкновения e = 0 , и объекты вообще не отскакивают.

Для объекта, отскакивающего от неподвижной цели, e определяется как отношение скорости отскока объекта после удара к скорости до удара: где $e={\frac {v}{u}},$

$u$ это скорость объекта до удара
$v$ это скорость отскакивающего объекта (в противоположном направлении) после удара

В случае, когда можно пренебречь силами трения и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, это эквивалентно: где $e={\sqrt {\frac {h}{H}}},$

$H$ это высота падения
$ч$ это высота отскока

Коэффициент восстановления можно рассматривать как меру того, в какой степени сохраняется энергия при отскоке объекта от поверхности. В случае отскока объекта от неподвижной цели изменение гравитационной потенциальной энергии , E _p , в ходе удара по существу равно нулю; таким образом, e представляет собой сравнение кинетической энергии, E _k , объекта непосредственно перед ударом с кинетической энергией сразу после удара: В случаях, когда можно пренебречь силами трения (почти каждая студенческая лабораторная работа по этому предмету ^[2] ), и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, вышеизложенное эквивалентно сравнению между E _p объекта на высоте падения и на высоте отскока. В этом случае изменение E _k равно нулю (объект по существу находится в состоянии покоя в ходе удара, а также находится в состоянии покоя в вершине отскока); таким образом: $e={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (после удара)}}}{E_{\text{k, (до удара)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}$ $e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (на высоте отскока)}}}{E_{\text{p, (на высоте падения)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}$

Скорость после удара

Хотя e не зависит от массы сталкивающихся объектов, их конечные скорости зависят от массы из-за закона сохранения импульса : и где $v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}e(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$ $v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$

$v_{\text{a}}$ скорость А после удара
$v_{\text{b}}$ скорость B после удара
$u_{\text{a}}$ это скорость А до удара
$u_{\text{b}}$ это скорость B до удара
$m_{\text{a}}$ масса А
$m_{\text{b}}$ масса B

Практические вопросы

Измерение

В практических ситуациях коэффициент восстановления между двумя телами может быть определен экспериментально, например, с помощью теста на твердость по отскоку по Либу . При этом используется наконечник из карбида вольфрама, одного из самых твердых веществ, доступных на рынке, который падает на испытуемые образцы с определенной высоты.

Комплексное исследование коэффициентов восстановления в зависимости от свойств материала (модулей упругости, реологии), направления удара, коэффициента трения и адгезионных свойств ударяющихся тел можно найти в работе Виллерта (2020). ^[3]

Применение в спорте

Тонкие водители гольф-клюшек используют «эффект батута», который создает толчки на большее расстояние в результате изгиба и последующего высвобождения накопленной энергии, которая придает мячу больший импульс. USGA (руководящий орган гольфа Америки) тестирует ^[4] водителей на COR и установил верхний предел в 0,83. COR является функцией скоростей головки клюшки и уменьшается с увеличением скорости головки клюшки. ^[5] В отчете COR колеблется от 0,845 для 90 миль в час до 0,797 при 130 милях в час. Вышеупомянутый «эффект батута» показывает это, поскольку он снижает скорость напряжения при столкновении за счет увеличения времени столкновения. Согласно одной статье (касающейся COR в теннисных ракетках ), «в соответствии с базовыми условиями коэффициент восстановления составляет 0,85 для всех ракеток, что исключает переменные натяжения струн и жесткости рамы, которые могут добавлять или вычитать из коэффициента восстановления». ^[6]

Международная федерация настольного тенниса указывает, что мяч должен подпрыгивать на 24–26 см при падении с высоты 30,5 см на стандартный стальной блок ^[7] , что подразумевает коэффициент отскока от 0,887 до 0,923.

Правила Международной федерации баскетбола (ФИБА) требуют, чтобы мяч отскакивал на высоту от 1035 до 1085 мм при падении с высоты 1800 мм ^[8] , что подразумевает COR от 0,758 до 0,776.

Смотрите также

Ссылки

^ Weir, G.; McGavin, P. (8 мая 2008 г.). «Коэффициент восстановления для идеализированного удара сферической наночастицы по жесткой плоскости». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 464 (2093): 1295–1307. Bibcode : 2008RSPSA.464.1295W. doi : 10.1098/rspa.2007.0289. S2CID 122562612.
^ Mohazzabi, Pirooz (2011). «Когда сопротивление воздуха становится значительным при свободном падении?». The Physics Teacher . 49 (2): 89–90. Bibcode : 2011PhTea..49...89M. doi : 10.1119/1.3543580.
^ Виллерт, Эмануэль (2020). Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin: Grundlagen und Anwendungen (на немецком языке). Спрингер Вьюег. дои : 10.1007/978-3-662-60296-6. ISBN 978-3-662-60295-9. S2CID 212954456.
^ Conforming Golf Club usga.org Архивировано 16 июня 2021 г. на Wayback Machine
^ «Получил ли игрок с дальним ударом несправедливое преимущество?». USGA . 14 февраля 2015 г. Получено 1 июня 2023 г.
^ "Коэффициент восстановления". Архивировано из оригинала 23 ноября 2016 года.
^ "Tennis Tech resources | ITF". Архивировано из оригинала 3 декабря 2019 г.
^ "FIBA basketball". FIBA.basketball . Получено 17 октября 2024 г. .(См. страницу 12 Официальных правил баскетбола 2024 г. — Баскетбольное оборудование , документ в формате PDF, который можно загрузить с вкладки «Оборудование и место проведения» на сайте FIBA.basketball, а также по адресу https://assets.fiba.basketball/image/upload/documents-corporate-fiba-official-rules-2024-official-basketball-rules-and-basketball-equipment.pdf)

Цитируемые работы

Cross, Rod (2006). "Отскок мяча" (PDF) . Физический факультет, Сиднейский университет, Австралия . Получено 16 января 2008 г. . {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
Уокер, Джерл (2011). Основы физики (9-е изд.). Дэвид Холлидей, Роберт Резник, Джерл Уокер. ISBN 978-0-470-56473-8.

Внешние ссылки

Статья Вольфрама о COR
Беннетт и Мипагала (2006). «Коэффициенты восстановления». The Physics Factbook .
Введение в физику Криса Хеккера
«Получение дополнительного отскока» Челси Уолд
Концепции качества ФИФА для футбольных мячей – Равномерный отскок
Боули, Роджер (2009). «Коэффициент восстановления». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
Брольято, Бернард (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление . Communications and Control Eng. Springer Int. Pub. Швейцария. ISBN 978-3-319-28662-4.