Вывод уравнений Навье–Стокса

Уравнения динамики жидкости

Вывод уравнений Навье -Стокса , а также их применение и формулировка для различных семейств жидкостей , является важным упражнением в гидродинамике с приложениями в машиностроении , физике , химии , теплопередаче и электротехнике . Доказательство, объясняющее свойства и границы уравнений, такие как существование и гладкость Навье-Стокса , является одной из важных нерешенных проблем в математике . ^[1]

Основные предположения

Уравнения Навье–Стокса основаны на предположении, что жидкость в интересующем масштабе является континуумом – непрерывной субстанцией, а не дискретными частицами. Другое необходимое предположение заключается в том, что все интересующие поля , включая давление , скорость потока , плотность и температуру, по крайней мере слабо дифференцируемы .

Уравнения выводятся из основных принципов непрерывности массы , сохранения импульса и сохранения энергии . Иногда необходимо рассмотреть конечный произвольный объем, называемый контрольным объемом , к которому могут быть применены эти принципы. Этот конечный объем обозначается Ω , а его ограничивающая поверхность ∂Ω . Контрольный объем может оставаться неподвижным в пространстве или может двигаться вместе с жидкостью.

Материальная производная

Изменения свойств движущейся жидкости можно измерить двумя способами. Можно измерить заданное свойство, либо выполняя измерение в фиксированной точке пространства, когда частицы жидкости проходят мимо, либо следуя за пакетом жидкости вдоль его линии тока . Производная поля относительно фиксированного положения в пространстве называется производной Эйлера , тогда как производная, следующая за движущимся пакетом, называется адвективной или материальной (или Лагранжевой ^[2] ) производной.

Материальная производная определяется как нелинейный оператор :

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$

где u — скорость потока. Первый член в правой части уравнения — это обычная производная Эйлера (производная в фиксированной системе отсчета, представляющая изменения в точке по времени), тогда как второй член представляет изменения величины по положению (см. адвекция ). Эта «специальная» производная на самом деле является обычной производной функции многих переменных по пути, следующему за движением жидкости; ее можно вывести с помощью применения цепного правила , в котором все независимые переменные проверяются на изменение по пути (то есть полной производной ).

Например, измерение изменений скорости ветра в атмосфере можно получить с помощью анемометра на метеостанции или путем наблюдения за движением метеозонда. В первом случае анемометр измеряет скорость всех движущихся частиц, проходящих через фиксированную точку в пространстве, тогда как во втором случае прибор измеряет изменения скорости по мере своего движения вместе с потоком.

Уравнения непрерывности

Уравнение Навье–Стокса — это специальное уравнение непрерывности . Уравнение непрерывности может быть выведено из принципов сохранения :

• масса ,
• импульс ,
• энергия .

Уравнение непрерывности (или закон сохранения ) — это интегральное соотношение, утверждающее, что скорость изменения некоторого интегрированного свойства φ, определенного по контрольному объему Ω, должна быть равна скорости, с которой оно теряется или приобретается через границы Γ объема, плюс скорость, с которой оно создается или потребляется источниками и стоками внутри объема. Это выражается следующим интегральным уравнением непрерывности:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Gamma }\varphi \mathbf {u\cdot n} \ d\Gamma -\int _{\Omega }s\ d\Omega }$

где u — скорость потока жидкости, n — единичный нормальный вектор, направленный наружу, а s представляет собой источники и стоки в потоке, при этом стоки считаются положительными.

Теорему о расходимости можно применить к поверхностному интегралу , превратив его в объемный интеграл :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega .}$

Применяем теорему Рейнольдса о переносе к интегралу слева, а затем объединяем все интегралы:

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega \quad \Rightarrow \quad \int _{\Omega }\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s\right)d\Omega =0.}$

Интеграл должен быть равен нулю для любого контрольного объема; это может быть верно только в том случае, если сама подынтегральная функция равна нулю, так что:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s=0.}$

Из этого ценного соотношения (очень общее уравнение непрерывности ) можно кратко записать три важных понятия: сохранение массы, сохранение импульса и сохранение энергии. Справедливость сохраняется, если φ является вектором, в этом случае вектор-векторное произведение во втором члене будет диадой .

Сохранение массы

Массу также можно рассматривать. Когда интенсивное свойство φ рассматривается как масса, путем подстановки в общее уравнение непрерывности и принятия s = 0 (нет источников или стоков массы):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

где ρ — плотность массы (масса на единицу объема), а u — скорость потока. Это уравнение называется уравнением неразрывности массы или просто уравнением неразрывности. Это уравнение обычно сопровождает уравнение Навье–Стокса.

В случае несжимаемой жидкости , ⁠Дρ/Дт⁠ = 0 (плотность по пути элемента жидкости постоянна) и уравнение сводится к:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

что фактически является утверждением о сохранении объема.

Сохранение импульса

Общее уравнение импульса получается, когда соотношение сохранения применяется к импульсу. Когда интенсивное свойство φ рассматривается как поток массы (также плотность импульса ), то есть произведение плотности массы и скорости потока ρ u , путем подстановки в общее уравнение непрерывности:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=\mathbf {s} }$

где u ⊗ u — диада , частный случай тензорного произведения , результатом которого является тензор второго ранга; дивергенция тензора второго ранга снова является вектором (тензором первого ранга). ^[3]

Используя формулу для расхождения диады,

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \nabla \mathbf {b} }$

тогда мы имеем

${\displaystyle \mathbf {u} {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {s} }$

Обратите внимание, что градиент вектора является частным случаем ковариантной производной , операция приводит к тензорам второго ранга; ^[3] за исключением декартовых координат, важно понимать, что это не просто поэлементный градиент. Перестановка:

${\displaystyle \mathbf {u} \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\right)+\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

Самое левое выражение, заключенное в скобки, по непрерывности масс (показано ранее) равно нулю. Заметим, что то, что остается в левой части уравнения, является материальной производной скорости потока:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

Похоже, это просто выражение второго закона Ньютона ( F = m a ) в терминах объемных сил вместо точечных сил. Каждый член в любом случае уравнений Навье–Стокса является объемной силой. Более короткий, хотя и менее строгий способ получить этот результат — применить цепное правило к ускорению:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {d}{dt}}{\bigl (}\mathbf {u} (x,y,z,t){\bigr )}=\mathbf {s} \quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+u{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}+v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}+w{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)&=\mathbf {s} \end{aligned}}}$

где u = ( u , v , w ) . Причина, по которой это «менее строго», заключается в том, что мы не показали, что выбор

${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

верно; однако это имеет смысл, поскольку при таком выборе пути производная «следует» за жидкой «частицей», и для того, чтобы второй закон Ньютона работал, силы должны суммироваться вслед за частицей. По этой причине конвективная производная также известна как производная частицы.

Уравнение импульса Коши

Общая плотность источника импульса s, рассмотренная ранее, сначала становится конкретной, разбивая ее на два новых термина: один для описания внутренних напряжений, а другой для внешних сил, таких как гравитация. Рассматривая силы, действующие на небольшой куб в жидкости, можно показать, что

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$

где σ — тензор напряжений Коши , а f учитывает присутствующие объемные силы. Это уравнение называется уравнением импульса Коши и описывает нерелятивистское сохранение импульса любого континуума, сохраняющего массу. σ — симметричный тензор второго ранга, заданный его ковариантными компонентами. В ортогональных координатах в трех измерениях он представлен как матрица 3 × 3 :

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}}$

где σ — нормальные напряжения , а τ — касательные напряжения . Эта матрица делится на два члена:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}}$

где I — единичная матрица 3 × 3 , а τ — девиаторный тензор напряжений . Обратите внимание, что механическое давление p равно отрицательному значению среднего нормального напряжения: ^[4]

${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right).}$

Мотивация для этого заключается в том, что давление обычно является интересующей переменной, а также это упрощает применение к конкретным семействам жидкостей в дальнейшем, поскольку самый правый тензор τ в уравнении выше должен быть равен нулю для жидкости в состоянии покоя. Обратите внимание, что τ не оставляет следов . Уравнение Коши теперь можно записать в другой, более явной форме:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {f} }$

Это уравнение все еще неполное. Для завершения необходимо сделать гипотезы о формах τ и p , то есть необходим конститутивный закон для тензора напряжений, который может быть получен для определенных семейств жидкостей, и о давлении. Некоторые из этих гипотез приводят к уравнениям Эйлера (гидродинамика) , другие — к уравнениям Навье–Стокса. Кроме того, если поток предполагается сжимаемым, потребуется уравнение состояния, которое, вероятно, также потребует формулировки сохранения энергии.

Применение к различным жидкостям

Общая форма уравнений движения не "готова к использованию", тензор напряжений пока неизвестен, поэтому требуется больше информации; эта информация обычно представляет собой некоторые знания о вязком поведении жидкости. Для различных типов течения жидкости это приводит к определенным формам уравнений Навье–Стокса.

Ньютоновская жидкость

Сжимаемая ньютоновская жидкость

Формулировка для ньютоновских жидкостей вытекает из наблюдения, сделанного Ньютоном , что для большинства жидкостей

${\displaystyle \tau \propto {\frac {\partial u}{\partial y}}}$

Чтобы применить это к уравнениям Навье–Стокса, Стокс сделал три предположения:

• Тензор напряжений является линейной функцией тензора скорости деформации или, что эквивалентно, градиента скорости.
• Жидкость изотропна.
• Для покоящейся жидкости ∇ ⋅ τ должно быть равно нулю (чтобы возникло гидростатическое давление ).

В приведенном выше списке излагается классический аргумент ^[5] о том, что тензор скорости деформации сдвига ((симметричная) сдвиговая часть градиента скорости) является чистым тензором сдвига и не включает в себя какую-либо часть притока/оттока (любую часть сжатия/расширения). Это означает, что его след равен нулю, и это достигается путем вычитания ∇ ⋅ u симметричным образом из диагональных элементов тензора. Компрессионный вклад в вязкое напряжение добавляется как отдельный диагональный тензор.

Применение этих предположений приведет к:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)+\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} }$

или в тензорной форме

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}}$

То есть, девиаторика тензора скорости деформации отождествляется с девиаторикой тензора напряжений с точностью до множителя μ . ^[6]

δ _ij — символ Кронекера . μ и λ — константы пропорциональности, связанные с предположением, что напряжение зависит от деформации линейно; μ называется первым коэффициентом вязкости или сдвиговой вязкостью (обычно его просто называют «вязкостью»), а λ — вторым коэффициентом вязкости или объемной вязкостью (и он связан с объемной вязкостью ). Значение λ , которое создает вязкий эффект, связанный с изменением объема, очень трудно определить, даже его знак неизвестен с абсолютной уверенностью. Даже в сжимаемых потоках член, включающий λ , часто пренебрежимо мал; однако иногда он может быть важен даже в почти несжимаемых потоках и является предметом споров. При принятии ненулевым, наиболее распространенным приближением является λ ≈ − ⁠2/3⁠ μ . ^[7]

Простая подстановка τ _ij в уравнение сохранения импульса даст уравнения Навье–Стокса , описывающие сжимаемую ньютоновскую жидкость:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right]+\rho \mathbf {g} }$

Сила тела была разложена на плотность и внешнее ускорение, то есть f = ρ g . Соответствующее уравнение непрерывности массы имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

В дополнение к этому уравнению необходимо уравнение состояния и уравнение сохранения энергии. Уравнение состояния, которое следует использовать, зависит от контекста (часто это закон идеального газа ), сохранение энергии будет выглядеть так:

${\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot (k\nabla T)+\Phi }$

Здесь h — удельная энтальпия , T — температура , а Φ — функция, представляющая рассеяние энергии из-за вязкостных эффектов:

${\displaystyle \Phi =\mu \left(2\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial w}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\right)+\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )^{2}.}$

При наличии хорошего уравнения состояния и хороших функций зависимости параметров (таких как вязкость) от переменных эта система уравнений, по-видимому, правильно моделирует динамику всех известных газов и большинства жидкостей.

Несжимаемая ньютоновская жидкость

Для особого (но очень распространенного) случая несжимаемого потока уравнения импульса значительно упрощаются. Используя следующие предположения:

• Вязкость μ теперь будет постоянной.
• Второй эффект вязкости λ = 0
• Упрощенное уравнение неразрывности массы ∇ ⋅ u = 0

Это дает несжимаемые уравнения Навье-Стокса , описывающие несжимаемую ньютоновскую жидкость:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\rho \mathbf {g} }$

тогда, например, рассматривая вязкие члены уравнения импульса x , мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\right)\\[8px]&\qquad =2\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}{\cancelto {0}{\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u\end{aligned}}\,}$

Аналогично для направлений импульса y и z имеем μ ∇ ² v и μ ∇ ² w .

Приведенное выше решение является ключом к выводу уравнений Навье–Стокса из уравнения движения в динамике жидкости, когда плотность и вязкость постоянны.

Неньютоновские жидкости

Неньютоновская жидкость — это жидкость , свойства потока которой каким-либо образом отличаются от свойств потока ньютоновских жидкостей . Чаще всего вязкость неньютоновских жидкостей является функцией скорости сдвига или истории скорости сдвига. Однако существуют некоторые неньютоновские жидкости с вязкостью, независимой от сдвига, которые, тем не менее, демонстрируют нормальную разницу напряжений или другое неньютоновское поведение. Многие солевые растворы и расплавленные полимеры являются неньютоновскими жидкостями, как и многие распространенные вещества, такие как кетчуп , заварной крем , зубная паста , крахмальные суспензии, краска , кровь и шампунь . В ньютоновской жидкости связь между напряжением сдвига и скоростью сдвига является линейной, проходящей через начало координат, причем константа пропорциональности является коэффициентом вязкости. В неньютоновской жидкости связь между напряжением сдвига и скоростью сдвига иная и может даже зависеть от времени. Изучение неньютоновских жидкостей обычно называется реологией . Ниже приведено несколько примеров.

жидкость Бингама

В жидкостях Бингама ситуация несколько иная:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\[5px]{\dfrac {\tau -\tau _{0}}{\mu }},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

Это жидкости, способные выдерживать некоторое напряжение, прежде чем они начнут течь. Некоторые распространенные примеры — зубная паста и глина .

Жидкость степенного закона

Жидкость степенного закона — это идеализированная жидкость , для которой касательное напряжение τ определяется выражением

${\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}$

Эта форма полезна для аппроксимации всех видов общих жидкостей, включая разжижающие сдвиг жидкости (например, латексная краска) и загустевающие сдвиг жидкости (например, смесь кукурузного крахмала с водой).

Формулировка функции потока

При анализе потока часто желательно сократить количество уравнений и/или количество переменных. Уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости с непрерывностью масс (четыре уравнения с четырьмя неизвестными) можно свести к одному уравнению с одной зависимой переменной в 2D или одному векторному уравнению в 3D. Это возможно благодаря двум тождествам векторного исчисления :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \phi )&=0\\\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )&=0\end{aligned}}}$

для любого дифференцируемого скаляра φ и вектора A . Первое тождество подразумевает, что любой член в уравнении Навье–Стокса, который может быть представлен как градиент скаляра, исчезнет, ​​когда будет взят ротор уравнения. Обычно давление p и внешнее ускорение g будут устранены, что приведет к (это справедливо как в 2D, так и в 3D):

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)}$

где предполагается, что все силы тела можно описать как градиенты (например, это верно для гравитации), а плотность была разделена таким образом, что вязкость становится кинематической вязкостью .

Второе тождество векторного исчисления выше утверждает, что дивергенция ротора векторного поля равна нулю. Поскольку уравнение непрерывности (несжимаемой) массы определяет дивергенцию скорости потока, равную нулю, мы можем заменить скорость потока ротором некоторого вектора ψ, так что непрерывность массы всегда будет удовлетворена:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=0\quad \Rightarrow \quad 0=0}$

Итак, пока скорость потока представлена ​​через u = ∇ × ψ , непрерывность массы безусловно удовлетворяется. С этой новой зависимой векторной переменной уравнение Навье–Стокса (с ротором, взятым как выше) становится одним векторным уравнением четвертого порядка, больше не содержащим неизвестную переменную давления и больше не зависящим от отдельного уравнения непрерывности массы:

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)}$

Помимо содержания производных четвертого порядка, это уравнение довольно сложное и, таким образом, встречается нечасто. Обратите внимание, что если перекрестное дифференцирование опущено, результатом будет векторное уравнение третьего порядка, содержащее неизвестное векторное поле (градиент давления), которое может быть определено из тех же граничных условий, которые можно было бы применить к уравнению четвертого порядка выше.

2D поток в ортогональных координатах

Истинная полезность этой формулировки видна, когда поток двумерен по своей природе, а уравнение записано в общей ортогональной системе координат , другими словами, в системе, где базисные векторы ортогональны. Обратите внимание, что это никоим образом не ограничивает применение декартовыми координатами , на самом деле большинство общих систем координат являются ортогональными, включая такие знакомые, как цилиндрические , и такие неясные, как тороидальные .

Скорость трехмерного потока выражается как (обратите внимание, что в обсуждении до сих пор не использовались координаты):

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

где e _i — базисные векторы, не обязательно постоянные и не обязательно нормированные, а u _i — компоненты скорости потока; пусть также координаты пространства будут ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Теперь предположим, что поток двумерный. Это не означает, что поток находится в плоскости, а означает, что компонент скорости потока в одном направлении равен нулю, а остальные компоненты не зависят от того же направления. В этом случае (примем компонент 3 равным нулю):

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2};\qquad {\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0}$

Векторная функция ψ по-прежнему определяется через:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

но это должно упроститься в некотором роде также, поскольку поток предполагается двумерным. Если предполагаются ортогональные координаты, то ротор принимает довольно простую форму, и уравнение выше, расширенное, становится:

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)\right]+}$

${\displaystyle {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)\right]}$

Рассмотрение этого уравнения показывает, что мы можем положить ψ ₁ = ψ ₂ = 0 и сохранить равенство без потери общности, так что:

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)}$

значение здесь в том, что остается только один компонент ψ , так что 2D-поток становится проблемой только с одной зависимой переменной. Перекрестно дифференцированное уравнение Навье–Стокса становится двумя уравнениями 0 = 0 и одним значимым уравнением.

Оставшийся компонент ψ ₃ = ψ называется функцией потока . Уравнение для ψ можно упростить, поскольку множество величин теперь будет равно нулю, например:

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(\psi h_{1}h_{2}\right)=0}$

если масштабные коэффициенты h ₁ и h ₂ также независимы от x ₃ . Также из определения векторного лапласиана

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}=-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}$

Манипулируя перекрестно-дифференцированным уравнением Навье-Стокса с использованием двух приведенных выше уравнений и различных тождеств ^[8], в конечном итоге получим одномерное скалярное уравнение для функции потока:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$

где ∇ ⁴ — бигармонический оператор . Это очень полезно, поскольку это единое замкнутое скалярное уравнение, которое описывает как сохранение импульса, так и массы в 2D. Единственные другие уравнения, которые требуются этому частному дифференциальному уравнению, — это начальные и граничные условия.

Предположения для уравнения функции потока следующие:

• Поток несжимаемый и ньютоновский.
• Координаты ортогональны .
• Поток двумерный: u ₃ = ⁠∂u1​_​/∂ х ₃⁠ = ⁠∂u2​_​/∂ х ₃⁠ = 0
• Первые два масштабных коэффициента системы координат не зависят от последней координаты: ⁠∂ ч ₁/∂ х ₃⁠ = ⁠∂ ч ₂/∂ х ₃⁠ = 0 , в противном случае появляются дополнительные члены.

Функция потока имеет некоторые полезные свойства:

• Поскольку −∇ ² ψ = ∇ × (∇ × ψ ) = ∇ × u , завихренность потока представляет собой просто отрицательный Лапласиан функции тока.
• Кривые уровня функции тока представляют собой линии тока .

Тензор напряжений

Вывод уравнения Навье–Стокса включает рассмотрение сил, действующих на элементы жидкости, так что величина, называемая тензором напряжений, естественным образом появляется в уравнении импульса Коши . Поскольку берется дивергенция этого тензора, принято записывать уравнение полностью упрощенным, так что первоначальный вид тензора напряжений теряется.

Однако тензор напряжений все еще имеет некоторые важные применения, особенно при формулировании граничных условий на границах раздела жидкостей . Вспоминая, что σ = − p I + τ , для ньютоновской жидкости тензор напряжений равен:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda \nabla \cdot \mathbf {u} .}$

Если предположить, что жидкость несжимаема, тензор существенно упрощается. Например, в трехмерных декартовых координатах:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}}&2\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}&\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}}&\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}}&2\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\[6px]&=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\[6px]&=-p\mathbf {I} +2\mu \mathbf {e} \end{aligned}}}$

e — тензор скорости деформации , по определению:

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right).}$

Смотрите также

• Вывод уравнения Навье–Стокса из дискретного LBE
• Первый закон термодинамики (механика жидкости и газа)

Ссылки

1. "Уравнение Навье-Стокса". Clay Mathematics Institute . Получено 24.12.2023 .
2. Мансон, Брюс Р. (2013). Основы механики жидкости (7-е изд.). Джефферсон-Сити: John Wiley and Sons.^{[ нужна страница ]}
3. Лебедев, Леонид П. (2003). Тензорный анализ . World Scientific. ISBN 981-238-360-3.
4. Бэтчелор 2000, стр. 141.
5. Морзе, П. М.; Ингард, К. У. (1968). Теоретическая акустика . Princeton University Press.
6. Ландау; Лифшиц. Механика жидкости . Курс теоретической физики. Т. 6 (2-е изд.). С. 45.
7. Бэтчелор 2000, стр. 144.
8. Эрик В. Вайсштейн . "Векторная производная". MathWorld . Получено 7 июня 2008 г.

• Бэтчелор, Г. К. (2000). Введение в гидродинамику . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
• Уайт, Фрэнк М. (2006). Течение вязкой жидкости (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw Hill. ISBN 0-07-240231-8.
• Модуль поверхностного натяжения. Архивировано 27 октября 2007 г. в Wayback Machine , автор Джон В. М. Буш, в MIT OCW.
• Галди, Введение в математическую теорию уравнений Навье–Стокса: стационарные задачи. Springer 2011