Гексадекагон

В математике гексадекагон (иногда называемый гексадекагоном или 16-угольником ) — это шестнадцатиугольник . ^[1]

Правильный шестнадцатиугольник

Правильный гексадекагон — это гексадекагон, в котором все углы равны, а все стороны конгруэнтны. Его символ Шлефли — {16} , и он может быть построен как усеченный восьмиугольник , t{8}, и дважды усеченный квадрат tt{4}. Усеченный гексадекагон, t{16}, является триаконтадигоном, {32}.

Строительство

Так как 16 = 2 ⁴ ( степень двойки ), то правильный шестнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки : это было известно еще древнегреческим математикам. ^[2]

Измерения

Каждый угол правильного шестнадцатиугольника равен 157,5 градуса , а общая величина углов любого шестнадцатиугольника составляет 2520 градусов.

Площадь правильного шестиугольника с длиной стороны t равна

{\begin{aligned}A=4t^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=&4t^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\\=&4t^{2}({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1).\end{aligned}}

Поскольку число сторон шестнадцатиугольника равно степени двойки , его площадь можно вычислить через радиус описанной окружности R , усекая формулу Виета :

A=R^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.

Поскольку площадь описанной окружности равна площади правильного шестнадцатиугольника, он заполняет приблизительно 97,45% своей описанной окружности. $\пи R^{2},$

Симметрия

Правильный шестнадцатиугольник имеет симметрию Dih ₁₆ , порядок 32. Существует 4 диэдральные подгруппы: Dih ₈ , Dih ₄ , Dih ₂ и Dih ₁ , и 5 циклических подгрупп : Z ₁₆ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ , последняя из которых не подразумевает симметрии.

На правильном гексадекагоне существует 14 различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r32 , а отсутствие симметрии обозначается как a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в средней колонке обозначены как g для их центральных порядков инерции. ^[3]

Наиболее распространенными высокосимметричными гексадекагонами являются d16 , изогональный гексадекагон, построенный восемью зеркалами, может чередовать длинные и короткие ребра, и p16 , изотоксальный гексадекагон, построенный с равными длинами ребер, но вершинами, чередующими два разных внутренних угла. Эти две формы являются дуальными друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного гексадекагона.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g16 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Вскрытие

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограммов. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного гексадекагона m = 8 , и его можно разделить на 28: 4 квадрата и 3 набора по 8 ромбов. Это разложение основано на проекции многоугольника Петри 8-куба с 28 из 1792 граней. Список OEIS : A006245 перечисляет количество решений как 1232944, включая до 16-кратных вращений и хиральных форм в отражении.

Косой гексадекагон

Косой гексадекагон — это косой многоугольник с 24 вершинами и ребрами, но не лежащий на одной плоскости. Внутренность такого гексадекагона обычно не определена. Косой зигзагообразный гексадекагон имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой гексадекагон является вершинно-транзитивным с равными длинами сторон. В 3-мерном пространстве это будет зигзагообразный косой гексадекагон, который можно увидеть в вершинах и боковых ребрах восьмиугольной антипризмы с той же симметрией D _8d , [2 ⁺ ,16], порядок 32. Октаграммическая антипризма s{2,16/3} и октаграммическая скрещенная антипризма s{2,16/5} также имеют правильные косые восьмиугольники.

Петри полигоны

Правильный шестнадцатиугольник является многоугольником Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанных в этих косоортогональных проекциях , включая:

Связанные цифры

Гексадекаграмма — это 16-сторонний звездчатый многоугольник, представленный символом {16/n}. Существует три правильных звездчатых многоугольника , {16/3}, {16/5}, {16/7}, использующих те же вершины, но соединяющих каждую третью, пятую или седьмую точку. Существует также три соединения: {16/2} сокращается до 2{8} как два восьмиугольника , {16/4} сокращается до 4{4} как четыре квадрата и {16/6} сокращается до 2{8/3} как два восьмиугольника , и, наконец, {16/8} сокращается до 8{2} как восемь двуугольников .

Более глубокие усечения правильного восьмиугольника и октаграммы могут производить изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы гексадекаграммы с равноотстоящими вершинами и двумя длинами ребер. ^[5]

Усеченный восьмиугольник — это гексадекагон, t{8}={16}. Квазиосеченный восьмиугольник, перевернутый как {8/7}, является гексадекаграммой: t{8/7}={16/7}. Усеченная октаграмма {8/3} является гексадекаграммой: t{8/3}={16/3} и квазиусеченная октаграмма, перевернутая как {8/5}, является гексадекаграммой: t{8/5}={16/5}.

В искусстве

В начале XVI века Рафаэль первым построил перспективное изображение правильного шестнадцатиугольника: башня на его картине «Обручение Девы Марии» имеет 16 сторон, что является развитием восьмигранной башни на предыдущей картине Пьетро Перуджино . ^[6]

Гексадекаграммы (16-сторонние звездчатые многоугольники ) включены в узоры Гирих в Альгамбре . ^[7]

Неправильные шестиугольники

Восьмиугольную звезду можно рассматривать как вогнутый шестнадцатиугольник:

Последний можно увидеть во многих архитектурных сооружениях — от христианских до исламских, а также в логотипе IRIB TV4 .

Смотрите также

Ссылки

^ Weisstein, Eric W. (2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, второе издание . CRC Press. стр. 1365. ISBN 9781420035223.
^ Коши, Томас (2007), Элементарная теория чисел с приложениями (2-е изд.), Academic Press, стр. 142, ISBN 9780080547091.
^ Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
^ Коксетер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр. 141
^ Более светлая сторона математики: Труды конференции памяти Эжена Стренса по занимательной математике и ее истории, (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум
^ Спайзер, Дэвид (2011), «Архитектура, математика и теология в картинах Рафаэля», в Уильямс, Ким (ред.), Перекресток: История науки, История искусства. Эссе Дэвида Спайзера, т. II , Springer, стр. 29–39, doi :10.1007/978-3-0348-0139-3_3. Первоначально опубликовано в журнале Nexus III: Architecture and Mathematics , Ким Уильямс , изд. (Оспедалетто, Пиза: Pacini Editore, 2000), стр. 147–156.
↑ Ханкин, Э. Ханбери (май 1925 г.), «Примеры методов рисования геометрических арабесковых узоров», The Mathematical Gazette , 12 (176): 370–373, doi :10.2307/3604213.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Шестиугольник". MathWorld .