Фильтр твердых частиц

Тип алгоритмов Монте-Карло для обработки сигналов и статистического вывода

Фильтры частиц, или последовательные методы Монте-Карло, представляют собой набор алгоритмов Монте-Карло , используемых для поиска приближенных решений задач фильтрации для нелинейных систем в пространстве состояний, таких как обработка сигналов и байесовский статистический вывод . ^[1] Задача фильтрации состоит в оценке внутренних состояний динамических систем , когда проводятся частичные наблюдения и случайные возмущения присутствуют как в датчиках, так и в динамической системе. Цель состоит в том, чтобы вычислить апостериорные распределения состояний марковского процесса с учетом зашумленных и частичных наблюдений. Термин «фильтры частиц» был впервые введен в 1996 году Пьером Дель Моралем для обозначения методов взаимодействия частиц среднего поля , используемых в механике жидкостей с начала 1960-х годов. ^[2] Термин «Последовательный Монте-Карло» был придуман Цзюнь С. Лю и Ронг Ченом в 1998 году. ^[3]

Фильтрация частиц использует набор частиц (также называемых выборками) для представления апостериорного распределения случайного процесса с учетом зашумленных и/или частичных наблюдений. Модель в пространстве состояний может быть нелинейной, а начальные распределения состояний и шума могут принимать любую необходимую форму. Методы фильтрации частиц обеспечивают хорошо зарекомендовавшую себя методологию ^{[2] [4] [5]} для генерации выборок из требуемого распределения, не требуя предположений о модели в пространстве состояний или распределениях состояний. Однако эти методы неэффективны при применении к системам очень большой размерности.

Фильтры частиц обновляют свои прогнозы приблизительным (статистическим) способом. Выборки из распределения представлены набором частиц; каждой частице присвоен вес правдоподобия, который представляет вероятность того, что эта частица будет выбрана из функции плотности вероятности . Несоответствие веса, приводящее к коллапсу веса, является распространенной проблемой, возникающей в этих алгоритмах фильтрации. Однако эту проблему можно смягчить, включив этап повторной выборки до того, как веса станут неравномерными. Можно использовать несколько адаптивных критериев повторной выборки, включая дисперсию весов и относительную энтропию относительно равномерного распределения. ^[6] На этапе повторной выборки частицы с незначительным весом заменяются новыми частицами вблизи частиц с более высоким весом.

Со статистической и вероятностной точки зрения фильтры частиц можно интерпретировать как интерпретацию частиц среднего поля вероятностных мер Фейнмана-Каца . ^{[7] [8] [9] [10] [11]} Эти методы интеграции частиц были разработаны в области молекулярной химии и вычислительной физики Теодором Э. Харрисом и Германом Каном в 1951 году, Маршаллом Н. Розенблутом и Арианной В. Розенблут в 1955 году. ^[12] и совсем недавно Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 году. ^[13] В вычислительной физике эти методы интеграции частиц по путям типа Фейнмана-Каца также используются в квантовом Монте-Карло и, более конкретно, в диффузионных методах Монте-Карло . ^{[14] [15] [16]} Методы взаимодействующих частиц Фейнмана-Каца также тесно связаны с генетическими алгоритмами мутационного отбора, которые в настоящее время используются в эволюционных вычислениях для решения сложных задач оптимизации.

Методология фильтрации частиц используется для решения скрытой марковской модели (HMM) и задач нелинейной фильтрации . За заметным исключением линейно-гауссовских моделей наблюдения сигналов ( фильтр Калмана ) или более широких классов моделей (фильтр Бенеша ^[17] ), Мирей Шалея-Морель и Доминик Мишель доказали в 1984 году, что последовательность апостериорных распределений случайных состояний сигнал, учитывая наблюдения (он же оптимальный фильтр), не имеет конечной рекурсии. ^[18] Различные другие численные методы, основанные на аппроксимациях с фиксированной сеткой, методах Монте-Карло с использованием цепей Маркова , традиционной линеаризации, расширенных фильтрах Калмана или определении лучшей линейной системы (в смысле ожидаемой стоимости-ошибки), неспособны справиться с крупномасштабными системами. , неустойчивые процессы или недостаточно гладкие нелинейности.

Фильтры частиц и методологии частиц Фейнмана-Каца находят применение в обработке сигналов и изображений , байесовском выводе , машинном обучении , анализе рисков и выборке редких событий , инженерии и робототехнике , искусственном интеллекте , биоинформатике , ^[19] филогенетике , вычислительной науке , экономике и математических финансах. , молекулярная химия , вычислительная физика , фармакокинетика и другие области.

История

Эвристические алгоритмы

Со статистической и вероятностной точки зрения фильтры частиц относятся к классу алгоритмов ветвящегося / генетического типа и методологий взаимодействия частиц типа среднего поля. Интерпретация этих методов частиц зависит от научной дисциплины. В эволюционных вычислениях методологии частиц генетического типа среднего поля часто используются в качестве эвристических и алгоритмов естественного поиска (также известных как метаэвристика ). В вычислительной физике и молекулярной химии они используются для решения задач интеграции путей Фейнмана-Каца или для вычисления мер Больцмана-Гиббса, верхних собственных значений и основных состояний операторов Шредингера . В биологии и генетике они представляют собой эволюцию популяции особей или генов в некоторой среде.

Истоки эволюционных вычислительных методов типа среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 годов, благодаря работе Алана Тьюринга над обучающимися машинами с мутационным отбором генетического типа ^[20] и статьями Нильса Аалла Барричелли из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Йорк. Джерси . ^{[21] [22]} Первые следы фильтров твердых частиц в статистической методологии относятся к середине 1950-х годов; «Монте-Карло для бедняков», ^[23] , предложенный Хаммерсли и др. в 1954 году, содержал намеки на методы фильтрации частиц генетического типа, используемые сегодня. В 1963 году Нильс Алл Барричелли смоделировал алгоритм генетического типа, чтобы имитировать способность людей играть в простую игру. ^[24] В литературе по эволюционным вычислениям алгоритмы отбора мутаций генетического типа стали популярными благодаря плодотворной работе Джона Холланда в начале 1970-х годов, особенно его книге ^[25] , опубликованной в 1975 году.

В журнале «Биология и генетика» австралийский генетик Алекс Фрейзер также опубликовал в 1957 году серию статей по моделированию генетического типа искусственного отбора организмов. ^[26] Компьютерное моделирование эволюции биологами стало более распространенным в начале 1960-х годов, а методы были описаны в книгах Фрейзера и Бернелла (1970) ^[27] и Кросби (1973). ^[28] Моделирование Фрейзера включало в себя все основные элементы современных алгоритмов мутационного отбора генетических частиц.

С математической точки зрения условное распределение случайных состояний сигнала при некоторых частичных и зашумленных наблюдениях описывается вероятностью Фейнмана-Каца на случайных траекториях сигнала, взвешенной последовательностью потенциальных функций правдоподобия. ^{[7] [8]} Квантовые методы Монте-Карло и, более конкретно, диффузионные методы Монте-Карло также можно интерпретировать как аппроксимацию частиц генетического типа среднего поля интегралов по путям Фейнмана-Каца. ^{[7] [8] [9] [13] [14] [29] [30]} Истоки квантовых методов Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые в 1948 году разработали интерпретацию нейтронно-частичной теории среднего поля. цепные реакции, ^[31] , но первый алгоритм частиц эвристического и генетического типа (также известный как методы Монте-Карло с повторной выборкой или реконфигурацией) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в моделях с уменьшенной матрицей) принадлежит Джеку Х. Хетерингтону в 1984 году. ^[13] Можно также процитировать более ранние плодотворные работы Теодора Э. Харриса и Германа Кана по физике элементарных частиц, опубликованные в 1951 году, в которых использовались генетические методы среднего поля, но эвристически подобные для оценки энергии передачи частиц. ^[32] В молекулярной химии использование генетических эвристических методологий частиц (также известных как стратегии обрезки и обогащения) можно проследить до 1955 года, когда появилась плодотворная работа Маршалла Н. Розенблута и Арианны В. Розенблут. ^[12]

Использование алгоритмов генетических частиц в современной обработке сигналов и байесовском выводе появилось совсем недавно. В январе 1993 года Генширо Китагава разработал «фильтр Монте-Карло», ^[33] слегка измененная версия этой статьи появилась в 1996 году. ^[34] В апреле 1993 года Гордон и др. опубликовали в своей основополагающей работе ^[35] приложение алгоритма генетического типа в байесовском статистическом выводе. Авторы назвали свой алгоритм «бутстрап-фильтром» и продемонстрировали, что по сравнению с другими методами фильтрации их бутстрап-алгоритм не требует каких-либо предположений об этом пространстве состояний или шуме системы. Независимо от них, работы Пьера Дель Мораля ^[2] и Химилькона Карвальо, Пьера Дель Мораля, Андре Монена и Жерара Салюта ^[36] о фильтрах частиц, опубликованные в середине 1990-х годов. Фильтры частиц также были разработаны для обработки сигналов в начале 1989–1992 годов П. Дель Моралем, Дж. К. Нойером, Г. Ригалом и Г. Салютом в LAAS-CNRS в серии ограниченных и секретных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), ИТ-компания DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов RADAR/SONAR и GPS. ^{[37] [38] [39] [40] [41] [42]}

Математические основы

С 1950 по 1996 год все публикации по фильтрам частиц и генетическим алгоритмам, включая методы обрезки и повторной выборки Монте-Карло, введенные в вычислительную физику и молекулярную химию, представляют естественные и эвристические алгоритмы, применяемые в различных ситуациях, без единого доказательства их непротиворечивости. , а также обсуждение предвзятости оценок и алгоритмов на основе генеалогических и родовых деревьев.

Математические основы и первый строгий анализ этих алгоритмов частиц принадлежат Пьеру Дель Моралю ^{[2] [4]} в 1996 году. Статья ^[2] также содержит доказательство несмещенных свойств частиц аппроксимации функций правдоподобия и ненормированной условной вероятности . меры. Представленная в этой статье несмещенная оценка функций правдоподобия частиц сегодня используется в байесовском статистическом выводе.

Дэн Крисан, Джессика Гейнс и Терри Лайонс ^{[43] [44] [45]} , а также Дэн Крисан, Пьер Дель Мораль и Терри Лайонс ^[46] создали методы частиц ветвящегося типа с различными размерами популяции примерно в конце 1990-е годы. П. Дель Мораль, А. Гионне и Л. Микло ^{[8] [47] [48]} добились большего прогресса в этом вопросе в 2000 году. Пьер Дель Мораль и Алиса Гионне ^[49] доказали первые центральные предельные теоремы в 1999 году, а Пьер Дель Мораль и Лоран Микло ^[8] доказали их в 2000 году. Первые результаты равномерной сходимости, касающиеся временного параметра для фильтров частиц, были получены в конце 1990-х годов Пьером Дель Моралем и Алисой Гионне. ^{[47] [48]} Первый тщательный анализ генеалогических древовидных сглаживателей фильтров частиц был проведен П. Дель Моралем и Л. Микло в 2001 году ^[50]

Теория методологий частиц Фейнмана-Каца и связанных с ними алгоритмов фильтрации частиц была разработана в книгах в 2000 и 2004 годах. ^{[8] [5]} Эти абстрактные вероятностные модели инкапсулируют алгоритмы генетического типа, фильтры частиц и бутстреп-фильтры, взаимодействующие фильтры Калмана (также известные как фильтр частиц Рао-Блэквеллизованного ^[51] ), методы фильтрации частиц в стиле выборки по важности и повторной выборки, включая генеалогическое дерево. и методологии обратного движения частиц для решения задач фильтрации и сглаживания. Другие классы методологий фильтрации частиц включают модели на основе генеалогического дерева, ^{[10] [5] [52]} модели обратных марковских частиц, ^{[10] [53]} модели адаптивных частиц среднего поля, ^[6] модели частиц островного типа, ^{[ 54] [55]} и методология Монте-Карло для цепей Маркова. ^{[56] [57]}

Проблема с фильтрацией

Цель

Целью фильтра частиц является оценка апостериорной плотности переменных состояния с учетом переменных наблюдения. Фильтр частиц предназначен для использования со скрытой марковской моделью , в которой система включает как скрытые, так и наблюдаемые переменные. Наблюдаемые переменные (процесс наблюдения) связаны со скрытыми переменными (процесс-состояние) через известную функциональную форму. Аналогично известно вероятностное описание динамической системы, определяющей эволюцию переменных состояния.

Общий фильтр частиц оценивает апостериорное распределение скрытых состояний, используя процесс измерения наблюдения. Что касается пространства состояний, такого как приведенное ниже:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}X_{0}&\to &X_{1}&\to &X_{2}&\to &X_{3}&\to &\cdots &{\text{signal}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &\\Y_{0}&&Y_{1}&&Y_{2}&&Y_{3}&&\cdots &{\text{observation}}\end{array}}}$

Задача фильтрации состоит в последовательной оценке значений скрытых состояний по заданным значениям процесса наблюдения на любом временном шаге k . ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{0},\cdots ,Y_{k},}$

Все байесовские оценки следуют из апостериорной плотности . Методология фильтрации частиц обеспечивает аппроксимацию этих условных вероятностей с использованием эмпирической меры, связанной с алгоритмом частиц генетического типа. Напротив, метод Монте-Карло Марковской цепи или метод выборки по важности моделирует всю апостериорную часть . ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$ ${\displaystyle p(x_{0},x_{1},...,x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$

Модель наблюдения за сигналом

Методы частиц часто предполагают , и наблюдения можно смоделировать в такой форме: ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$

• ${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$является марковским процессом ( для некоторых ), который развивается в соответствии с плотностью вероятности перехода . Эту модель также часто записывают синтетическим способом, как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}}}$ ${\displaystyle d_{x}\geqslant 1}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$

  ${\displaystyle X_{k}|X_{k-1}=x_{k}\sim p(x_{k}|x_{k-1})}$

с начальной плотностью вероятности . ${\displaystyle p(x_{0})}$

• Наблюдения принимают значения в некотором пространстве состояний (для некоторых ) и являются условно независимыми, если они известны. Другими словами, каждый зависит только от . Кроме того, мы предполагаем, что условные распределения для данных абсолютно непрерывны, и синтетическим путем имеем ${\displaystyle Y_{0},Y_{1},\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{y}}}$ ${\displaystyle d_{y}\geqslant 1}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}=x_{k}}$

  ${\displaystyle Y_{k}|X_{k}=y_{k}\sim p(y_{k}|x_{k})}$

Пример системы с этими свойствами:

${\displaystyle X_{k}=g(X_{k-1})+W_{k-1}}$

${\displaystyle Y_{k}=h(X_{k})+V_{k}}$

где оба и являются взаимно независимыми последовательностями с известными функциями плотности вероятности , а g и h - известными функциями. Эти два уравнения можно рассматривать как уравнения пространства состояний , и они похожи на уравнения пространства состояний для фильтра Калмана. Если функции g и h в приведенном выше примере линейны, и если обе и являются гауссовыми , фильтр Калмана находит точное распределение байесовской фильтрации. В противном случае методы на основе фильтра Калмана представляют собой приближение первого порядка ( EKF ) или приближение второго порядка ( UKF в целом, но если распределение вероятностей является гауссовым, возможно приближение третьего порядка). ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$

Предположение о непрерывности начального распределения и переходов цепи Маркова для меры Лебега можно ослабить. Чтобы спроектировать фильтр частиц, нам просто нужно предположить, что мы можем выполнить выборку переходов цепи Маркова и вычислить функцию правдоподобия (см., например, описание мутации генетического отбора фильтра частиц, приведенное ниже). Непрерывное предположение о марковских переходах используется только для неформального (и довольно оскорбительного) вывода различных формул между апостериорными распределениями с использованием правила Байеса для условных плотностей. ${\displaystyle X_{k-1}\to X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k},}$ ${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle X_{k}}$

Приближенные байесовские вычислительные модели

В некоторых задачах условное распределение наблюдений с учетом случайных состояний сигнала может не иметь плотности; последнее может оказаться невозможным или слишком сложным для вычисления. ^[19] В этой ситуации необходим дополнительный уровень приближения. Одна из стратегий — заменить сигнал цепью Маркова и ввести виртуальное наблюдение вида ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$

${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{k}=Y_{k}+\epsilon {\mathcal {V}}_{k}\quad {\mbox{for some parameter}}\quad \epsilon \in [0,1]}$

для некоторой последовательности независимых случайных величин с известными функциями плотности вероятности . Основная идея состоит в том, чтобы заметить, что ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{Law}}\left(X_{k}|{\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k}\right)\approx _{\epsilon \downarrow 0}{\text{Law}}\left(X_{k}|Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{k}=y_{k}\right)}$

Фильтр частиц, связанный с марковским процессом с учетом частичных наблюдений , определяется в терминах частиц, развивающихся с функцией правдоподобия, заданной с некоторыми очевидными оскорбительными обозначениями . Эти вероятностные методы тесно связаны с приближенными байесовскими вычислениями (ABC). В контексте фильтров частиц эти методы фильтрации частиц ABC были представлены в 1998 году П. Дель Моралем, Дж. Жакодом и П. Проттером. ^[58] В дальнейшем они были развиты П. Дель Моралем, А. Дусе и А. Ясрой. ^{[59] [60]} ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}+d_{y}}}$ ${\displaystyle p({\mathcal {Y}}_{k}|{\mathcal {X}}_{k})}$

Уравнение нелинейной фильтрации

Правило Байеса для условной вероятности дает:

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})}{p(y_{0},\cdots ,y_{k})}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}p(y_{0},\cdots ,y_{k})&=\int p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})dx_{0}\cdots dx_{k}\\p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})&=\prod _{l=0}^{k}p(y_{l}|x_{l})\\p(x_{0},\cdots ,x_{k})&=p_{0}(x_{0})\prod _{l=1}^{k}p(x_{l}|x_{l-1})\end{aligned}}}$

Фильтры частиц также являются приблизительными, но при достаточном количестве частиц они могут быть гораздо более точными. ^{[2] [4] [5] [47] [48]} Уравнение нелинейной фильтрации определяется рекурсией

с соглашением при k = 0. Задача нелинейной фильтрации состоит в последовательном вычислении этих условных распределений. ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=p(x_{0})}$

Формулировка Фейнмана-Каца

Фиксируем временной горизонт n и последовательность наблюдений и для каждого k = 0,..., n устанавливаем: ${\displaystyle Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{n}=y_{n}}$

${\displaystyle G_{k}(x_{k})=p(y_{k}|x_{k}).}$

В этих обозначениях для любой ограниченной функции F на множестве траекторий от начала координат k = 0 до момента времени k = n имеем формулу Фейнмана-Каца ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}&={\frac {\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})\left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}{\int \left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}}\\&={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}\end{aligned}}}$

Модели интеграции путей Фейнмана-Каца возникают в различных научных дисциплинах, в том числе в вычислительной физике, биологии, теории информации и компьютерных науках. ^{[8] [10] [5]} Их интерпретация зависит от области применения. Например, если мы выберем индикаторную функцию некоторого подмножества пространства состояний, они будут представлять собой условное распределение цепи Маркова при условии, что она остается в данной трубке; то есть имеем: ${\displaystyle G_{n}(x_{n})=1_{A}(x_{n})}$

${\displaystyle E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})|X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}}$

и

${\displaystyle P\left(X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)=E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}$

как только нормировочная константа станет строго положительной.

Фильтры частиц

Алгоритм частиц генетического типа

Первоначально такой алгоритм начинается с N независимых случайных величин с общей плотностью вероятности . Генетический алгоритм селекционно-мутационных переходов ^{[2] [4]} ${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle p(x_{0})}$

${\displaystyle \xi _{k}:=\left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{selection}}{\longrightarrow }}{\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{mutation}}{\longrightarrow }}\xi _{k+1}:=\left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

имитировать/аппроксимировать переходы обновления-прогнозирования оптимальной эволюции фильтра ( уравнение 1 ):

• Во время перехода выборки-обновления мы отбираем N (условно) независимых случайных величин с общим (условным) распределением. ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

где – мера Дирака в данном состоянии a. ${\displaystyle \delta _{a}}$

• Во время перехода «предсказание мутации» из каждой выбранной частицы мы независимо отбираем переход. ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\longrightarrow \xi _{k+1}^{i}\sim p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i}),\qquad i=1,\cdots ,N.}$

В приведенных выше формулах обозначает функцию правдоподобия, оцененную при , и обозначает условную плотность, оцененную при . ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

В каждый момент времени k мы имеем приближения частиц

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

и

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

В сообществе генетических алгоритмов и эволюционных вычислений описанную выше цепь Маркова с мутационным выбором часто называют генетическим алгоритмом с пропорциональным отбором. В статьях также предложено несколько вариантов ветвления, в том числе со случайными размерами популяции. ^{[5] [43] [46]}

Принципы Монте-Карло

Методы частиц, как и все подходы, основанные на выборке (например, цепочка Маркова Монте-Карло ), генерируют набор выборок, которые аппроксимируют плотность фильтрации.

${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}).}$

Например, у нас может быть N выборок из приблизительного апостериорного распределения , где выборки помечены верхними индексами как: ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{1},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k}^{N}.}$

Тогда ожидания относительно распределения фильтрации аппроксимируются выражением

с

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

где – мера Дирака в данном состоянии a. Функция f обычным для Монте-Карло способом может давать все моменты и т. д. распределения с точностью до некоторой ошибки аппроксимации. Когда уравнение аппроксимации ( уравнение 2 ) удовлетворяется для любой ограниченной функции f, мы пишем ${\displaystyle \delta _{a}}$

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k}\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

Фильтры частиц можно интерпретировать как алгоритм частиц генетического типа, развивающийся с переходами мутаций и отбора. Мы можем отслеживать родовые линии

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$

частиц . Случайные состояния с нижними индексами l=0,...,k обозначают предка индивидуума на уровне l=0,...,k. В этой ситуации мы имеем аппроксимационную формулу ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{l,k}^{i}}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle {\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))}$

Здесь F обозначает любую найденную функцию в пространстве путей сигнала. В более синтетической форме ( уравнение 3 ) эквивалентно

${\displaystyle {\begin{aligned}p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\,dx_{0}\cdots dx_{k}\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\end{aligned}}}$

Фильтры частиц можно интерпретировать по-разному. С вероятностной точки зрения они совпадают с интерпретацией уравнения нелинейной фильтрации для частиц среднего поля . Переходы обновления-предсказания эволюции оптимального фильтра также можно интерпретировать как классические переходы отбора-мутации генетического типа особей. Метод последовательной повторной выборки по важности обеспечивает другую интерпретацию переходов фильтрации, связывающих выборку по важности с этапом бутстреп-повторной выборки. И последнее, но не менее важное: фильтры твердых частиц можно рассматривать как методологию принятия-отклонения, оснащенную механизмом переработки. ^{[10] [5]}

Моделирование частиц среднего поля

Общий вероятностный принцип

Эволюцию нелинейной фильтрации можно интерпретировать как динамическую систему в множестве вероятностных мер вида где обозначает некоторое отображение множества вероятностных распределений в себя. Например, эволюция одношагового оптимального предиктора ${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)}$ ${\displaystyle \Phi _{n+1}}$ ${\displaystyle \eta _{n}(dx_{n})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})dx_{n}}$

удовлетворяет нелинейной эволюции, начиная с распределения вероятностей . Один из самых простых способов аппроксимировать эти вероятностные меры — начать с N независимых случайных величин с общим распределением вероятностей . Предположим, мы определили последовательность N случайных величин таких, что ${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$ ${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$ ${\displaystyle \left(\xi _{n}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})\approx _{N\uparrow \infty }\eta _{n}(dx_{n})}$

На следующем шаге мы отбираем N (условно) независимых случайных величин с общим законом. ${\displaystyle \xi _{n+1}:=\left(\xi _{n+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}\right)\approx _{N\uparrow \infty }\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$

Частичная интерпретация уравнения фильтрации

Мы иллюстрируем этот принцип частиц среднего поля в контексте эволюции одношаговых оптимальных предикторов.

Для k = 0 мы используем соглашение . ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1}):=p(x_{0})}$

По закону больших чисел имеем

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{0}^{i}}(dx_{0})\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{0})dx_{0}}$

в смысле

${\displaystyle \int f(x_{0}){\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{0}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{0})p(dx_{0})dx_{0}}$

для любой ограниченной функции . Далее мы предполагаем, что мы построили последовательность частиц некоторого ранга k такую, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }~p(x_{k}~|~y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

в том смысле, что для любой ограниченной функции имеем ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{k}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

В этой ситуации, заменяя эмпирической мерой в уравнении эволюции одношагового оптимального фильтра, сформулированном в ( уравнении 4 ), мы находим, что ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

${\displaystyle p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}}$

Обратите внимание, что правая часть приведенной выше формулы представляет собой взвешенную смесь вероятностей.

${\displaystyle \int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})=:{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

где обозначает плотность, оцененную при , и обозначает плотность, оцененную при для ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N.}$

Затем мы выбираем N независимых случайных величин с общей плотностью вероятности так, чтобы ${\displaystyle \left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle {\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k+1}^{i}}(dx_{k+1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}}$

Повторяя эту процедуру, мы создаем цепь Маркова такую, что

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

Обратите внимание, что оптимальный фильтр аппроксимируется на каждом временном шаге k с использованием формул Байеса

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x'_{k}){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}~\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

Терминология «приближение среднего поля» возникла из-за того, что на каждом временном шаге мы заменяем вероятностную меру эмпирической аппроксимацией . Приближение частиц среднего поля для задачи фильтрации далеко не уникально. В книгах разработано несколько стратегий. ^{[10] [5]} ${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

Некоторые результаты сходимости

Анализ сходимости фильтров частиц был начат в 1996 г. ^{[2] [4]} и в 2000 г. в книге ^[8] и серии статей. ^{[46] [47] [48] [49] [50] [61] [62]} Более поздние разработки можно найти в книгах, ^{[10] [5]} Когда уравнение фильтрации стабильно (в том смысле, что оно корректирует любое ошибочное начальное условие), смещение и дисперсия оценок частиц

${\displaystyle I_{k}(f):=\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}(f):=\int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

контролируются неасимптотическими равномерными оценками

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}\left\vert E\left({\widehat {I}}_{k}(f)\right)-I_{k}(f)\right\vert \leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{N}}}$

для любой функции f, ограниченной единицей, и для некоторых конечных констант. Кроме того, для любого : ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$ ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {x\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

для некоторых конечных констант , связанных с асимптотическим смещением и дисперсией оценки частицы, и некоторой конечной константы c . Те же результаты будут достигнуты, если мы заменим одношаговый оптимальный предиктор аппроксимацией оптимального фильтра. ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Генеалогические деревья и свойства несмещенности

Сглаживание частиц на основе генеалогического дерева

Прослеживая во времени родовые линии

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right),\quad \left(\xi _{0,k}^{i},\xi _{1,k}^{i},\cdots ,\xi _{k-1,k}^{i},\xi _{k,k}^{i}\right)}$

индивидуумов и на каждом временном шаге k у нас также есть аппроксимации частиц ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\left(={\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{k}^{i}\left(={\xi }_{k,k}^{i}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\ \\{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{0},\cdots ,dx_{k}\end{aligned}}}$

Эти эмпирические приближения эквивалентны приближениям интеграла частиц.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\ \\\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\end{aligned}}}$

для любой ограниченной функции F на случайных траекториях сигнала. Как показано в ^[52], эволюция генеалогического дерева совпадает с интерпретацией уравнений эволюции, связанной с апостериорными плотностями сигнальных траекторий, частицами среднего поля. Более подробную информацию об этих моделях пространства путей можно найти в книгах. ^{[10] [5]}

Несмещенные оценки функций правдоподобия частиц

Используем формулу продукта

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

с

${\displaystyle p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

и соглашения и при k = 0. Замена эмпирическим приближением ${\displaystyle p(y_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(y_{0})}$ ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(x_{0}),}$ ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

в приведенной выше формуле мы разрабатываем следующую аппроксимацию функции правдоподобия несмещенными частицами

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}{\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

с

${\displaystyle {\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$

где обозначает плотность , оцененную при . Конструкция этой оценки частиц и свойство несмещенности были доказаны в статье 1996 года. ^[2] Уточненные оценки дисперсии можно найти в ^[5] и. ^[10] ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$

Сглаживатели обратных частиц

Используя правило Байеса, имеем формулу

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})p(x_{n-1}|x_{n},y_{0},\cdots ,y_{n-1})\cdots p(x_{1}|x_{2},y_{0},y_{1})p(x_{0}|x_{1},y_{0})}$

Заметить, что

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\propto p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1})&\propto p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})\end{aligned}}}$

Это означает, что

${\displaystyle p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})p(x_{k}|x'_{k-1})p(x'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})dx'_{k-1}}}}$

Замена одношаговых оптимальных предикторов эмпирическими мерами частиц ${\displaystyle p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\left(\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})):={p}(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}\right)}$

мы находим это

${\displaystyle {\begin{aligned}p(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\&:={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1}){\widehat {p}}(dx_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})~p(x_{k}|x'_{k-1}){\widehat {p}}(dx'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{i})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{j})}}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\end{aligned}}}$

Мы заключаем, что

${\displaystyle p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

с приближением обратных частиц

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{1}|x_{2},(y_{0},y_{1})){\widehat {p}}(dx_{0}|x_{1},y_{0})\end{aligned}}}$

Вероятностная мера

${\displaystyle {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

- это вероятность того, что случайные пути цепи Маркова движутся назад во времени от времени k = n до времени k = 0 и развиваются на каждом временном шаге k в пространстве состояний, связанном с популяцией частиц ${\displaystyle \left(\mathbb {X} _{k,n}^{\flat }\right)_{0\leqslant k\leqslant n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}^{i},i=1,\cdots ,N.}$

• Первоначально (в момент времени k=n) цепь случайным образом выбирает состояние с распределением ${\displaystyle \mathbb {X} _{n,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})}$

• От времени k до момента (k-1) цепочка, начинающаяся в некотором состоянии в течение некоторого времени k, переходит в момент времени (k-1) в случайное состояние, выбранное с дискретной взвешенной вероятностью ${\displaystyle \mathbb {X} _{k,n}^{\flat }=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{k-1,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))=\sum _{j=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum _{l=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})}}~\delta _{\xi _{k-1}^{j}}(dx_{k-1})}$

В приведенной выше формуле обозначает условное распределение , оцененное в . В этом же духе обозначаются и условные плотности , оцениваемые при и Эти модели позволяют уменьшить интегрирование по плотностям в терминах матричных операций относительно марковских переходов описанной выше цепи. ^[53] Например, для любой функции мы имеем оценки частиц ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}$ ${\displaystyle p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}$ ${\displaystyle p(y_{k-1}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle x_{k-1}=\xi _{k-1}^{j}.}$ ${\displaystyle p((x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$ ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})&|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&=\int {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k+1},(y_{0},\cdots ,y_{k}))f_{k}(x_{k})\\&=\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbb {M} _{k}=(\mathbb {M} _{k}(i,j))_{1\leqslant i,j\leqslant N}:\qquad \mathbb {M} _{k}(i,j)={\frac {p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})~p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum \limits _{l=1}^{N}p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})}}}$

Это также показывает, что если

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x_{k})}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\\&={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\mathbb {M} _{n-2}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Некоторые результаты сходимости

Будем предполагать, что уравнение фильтрации устойчиво в том смысле, что оно исправляет любое ошибочное начальное условие.

В этой ситуации аппроксимации функций правдоподобия частицами являются несмещенными, а относительная дисперсия контролируется формулой

${\displaystyle E\left({\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})\right)=p(y_{0},\cdots ,y_{n}),\qquad E\left(\left[{\frac {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}{p(y_{0},\cdots ,y_{n})}}-1\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {cn}{N}},}$

для некоторой конечной константы c . Кроме того, для любого : ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\vert {\frac {1}{n}}\log {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}-{\frac {1}{n}}\log {p(y_{0},\cdots ,y_{n})}\right\vert \leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

для некоторых конечных констант , связанных с асимптотическим смещением и дисперсией оценки частицы, и для некоторой конечной константы c . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Смещение и дисперсия оценок частиц, основанных на наследственных линиях генеалогических деревьев.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{k}^{path}(F)&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\\&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\end{aligned}}}$

контролируются неасимптотическими равномерными оценками

${\displaystyle \left|E\left({\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\right)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant {\frac {c_{1}k}{N}},\qquad E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}k}{N}},}$

для любой функции F, ограниченной единицей, и для некоторых конечных констант. Кроме того, для любого : ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$ ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c_{1}{\frac {kx}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {kx}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {xn\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

для некоторых конечных констант , связанных с асимптотическим смещением и дисперсией оценки частицы, и для некоторой конечной константы c . Тот же тип оценок смещения и дисперсии справедлив для сглаживателей обратных частиц. Для аддитивных функционалов вида ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{0\leqslant k\leqslant n}f_{k}(x_{k})}$

с

${\displaystyle I_{n}^{path}({\overline {F}})\approx _{N\uparrow \infty }I_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}}):=\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

с функциями, ограниченными единицей, имеем ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \sup _{n\geqslant 0}{\left\vert E\left({\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}})\right)-I_{n}^{path}({\overline {F}})\right\vert }\leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

и

${\displaystyle E\left(\left[{\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}(F)-I_{n}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{nN}}+{\frac {c_{3}}{N^{2}}}}$

для некоторых конечных констант. Более уточненные оценки, включающие экспоненциально малую вероятность ошибок, развиты в ^{[10] .} ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}.}$

Последовательная повторная выборка по важности (SIR)

Фильтр Монте-Карло и бутстрап-фильтр

Повторная выборка по последовательной важности (SIR) , фильтрация Монте-Карло (Китагава, 1993 ^[33] ), алгоритм начальной фильтрации (Гордон и др., 1993 ^[35] ) и повторная выборка с одним распределением (Bejuri WMYB и др., 2017 ^[63] ) также часто используются прикладные алгоритмы фильтрации, которые аппроксимируют плотность вероятности фильтрации взвешенным набором из N выборок ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle \left\{\left(w_{k}^{(i)},x_{k}^{(i)}\right)\ :\ i\in \{1,\cdots ,N\}\right\}.}$

Веса важности представляют собой аппроксимации относительных апостериорных вероятностей (или плотностей) выборок, такие, что ${\displaystyle w_{k}^{(i)}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}=1.}$

Последовательная выборка по важности (SIS) — это последовательная (т. е. рекурсивная) версия выборки по важности . Как и при выборке по важности, математическое ожидание функции f можно аппроксимировать как средневзвешенное значение.

${\displaystyle \int f(x_{k})p(x_{k}|y_{0},\dots ,y_{k})dx_{k}\approx \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}f(x_{k}^{(i)}).}$

Для конечного набора выборок производительность алгоритма зависит от выбора распределения предложений.

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})\,}$.

« Оптимальное» распределение предложений задается как целевое распределение.

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})={\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}~p(x_{k}|x_{k-1}).}$

Этот конкретный выбор предлагаемого перехода был предложен П. Дель Моралем в 1996 и 1998 годах. ^[4] Когда трудно выбрать переходы в соответствии с распределением, естественной стратегией является использование следующего приближения частиц. ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}&\simeq _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})}}{\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|X_{k}^{i}(x_{k-1}))}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|X_{k}^{j}(x_{k-1}))}}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})\end{aligned}}}$

с эмпирическим приближением

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})~\simeq _{N\uparrow \infty }p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}$

связанный с N (или любым другим большим количеством выборок) независимыми случайными выборками с заданным условным распределением случайного состояния . Согласованность результирующего фильтра частиц этого приближения и других расширений развита в . ^[4] На приведенном выше изображении обозначена мера Дирака в данном состоянии a. ${\displaystyle X_{k}^{i}(x_{k-1}),i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}=x_{k-1}}$ ${\displaystyle \delta _{a}}$

Однако априорное распределение вероятностей перехода часто используется в качестве функции важности, поскольку легче нарисовать частицы (или выборки) и выполнить последующие вычисления весов важности:

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1}).}$

Фильтры последовательной повторной выборки по важности (SIR) с распределением априорной вероятности перехода в качестве функции важности широко известны как бутстрап-фильтр и алгоритм конденсации .

Повторная выборка используется, чтобы избежать проблемы вырождения алгоритма, то есть избежать ситуации, когда все веса важности, кроме одного, близки к нулю. На производительность алгоритма также может повлиять правильный выбор метода повторной выборки. Стратифицированная выборка , предложенная Китагавой (1993 ^[33] ), является оптимальной с точки зрения дисперсии.

Один шаг последовательной повторной выборки по важности выглядит следующим образом:

1) Для отбора образцов из распределения предложений ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle x_{k}^{(i)}\sim \pi (x_{k}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}$

2) Для обновления весов важности до нормализующей константы: ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}{\frac {p(y_{k}|x_{k}^{(i)})p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)})}{\pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}}.}$

Обратите внимание: когда мы используем априорное распределение вероятностей перехода в качестве функции важности,

${\displaystyle \pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})=p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)}),}$

это упрощается до следующего:

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}p(y_{k}|x_{k}^{(i)}),}$

3) Для вычисления нормализованных весов важности: ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle w_{k}^{(i)}={\frac {{\hat {w}}_{k}^{(i)}}{\sum _{j=1}^{N}{\hat {w}}_{k}^{(j)}}}}$

4) Рассчитайте оценку эффективного числа частиц как

${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{N}\left(w_{k}^{(i)}\right)^{2}}}}$

Этот критерий отражает дисперсию весов. Другие критерии можно найти в статье ^[6] , включая их строгий анализ и центральные предельные теоремы.

5) Если эффективное количество частиц меньше заданного порога , то выполняем повторную выборку: ${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}<N_{thr}}$

а) Нарисуйте N частиц из текущего набора частиц с вероятностями, пропорциональными их весам. Замените текущий набор частиц новым.

б) Для набора ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle w_{k}^{(i)}=1/N.}$

Термин «повторная выборка по важности» также иногда используется при упоминании фильтров SIR, но термин « повторная выборка по важности » является более точным, поскольку слово «повторная выборка» подразумевает, что первоначальная выборка уже была выполнена. ^[64]

Последовательная выборка по важности (SIS)

• То же, что и последовательная повторная выборка по важности, но без этапа повторной выборки.

Алгоритм «Прямая версия»

Алгоритм «прямой версии» ^{[ нужна ссылка ]} довольно прост (по сравнению с другими алгоритмами фильтрации частиц) и использует композицию и отклонение. Чтобы сгенерировать одну выборку x в k из : ${\displaystyle p_{x_{k}|y_{1:k}}(x|y_{1:k})}$

1) Установите n = 0 (это будет подсчитывать количество сгенерированных частиц)

2) Равномерно выберите индекс i из диапазона ${\displaystyle \{1,...,N\}}$

3) Сгенерируйте тест из дистрибутива с помощью ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k-1}=x_{k-1|k-1}^{(i)}}$

4) Генерировать вероятность использования , откуда находится измеренное значение ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k}),~{\mbox{with}}~x_{k}={\hat {x}}}$ ${\displaystyle y_{k}}$

5) Создайте еще одну униформу u, откуда ${\displaystyle [0,m_{k}]}$ ${\displaystyle m_{k}=\sup _{x_{k}}p(y_{k}|x_{k})}$

6) Сравните себя и ${\displaystyle p\left({\hat {y}}\right)}$

6a) Если u больше, повторите с шага 2.

6b) Если u меньше, сохраните как и увеличьте n ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x_{k|k}^{(i)}}$

7) Если n == N , то выходим

Цель состоит в том, чтобы сгенерировать P «частиц» в точке k , используя только частицы из . Для этого необходимо, чтобы уравнение Маркова могло быть записано (и вычислено) для генерации только на основе . Этот алгоритм использует состав частиц P для генерации частицы в точке k и повторяет (шаги 2–6) до тех пор, пока частицы P не будут созданы в точке k . ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}}$ ${\displaystyle k-1}$

Это легче представить, если рассматривать x как двумерный массив. Одно измерение — это k , а другое — количество частиц. Например, будет i- ^я частица at и тоже может быть записано (как это сделано выше в алгоритме). Шаг 3 генерирует потенциал на основе случайно выбранной частицы ( ) в определенный момент времени и отклоняет или принимает его на шаге 6. Другими словами, значения генерируются с использованием ранее сгенерированного . ${\displaystyle x(k,i)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}^{(i)}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}^{(i)}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}}$

Приложения

Фильтры частиц и методологии частиц Фейнмана-Каца находят применение в нескольких контекстах в качестве эффективного средства борьбы с шумными наблюдениями или сильными нелинейностями, такими как:

• Байесовский вывод , машинное обучение , анализ рисков и выборка редких событий
• Биоинформатика ^[19]
• Вычислительная наука
• Экономика , финансовая математика и математические финансы : фильтры частиц могут выполнять моделирование, необходимое для вычисления многомерных и/или сложных интегралов, связанных с такими проблемами, как динамические стохастические модели общего равновесия в макроэкономике и ценообразование опционов ^[65].
• Инженерное дело
• Эпидемиология инфекционных заболеваний , где они применялись для решения ряда задач прогнозирования эпидемий, например, прогнозирования сезонных эпидемий гриппа ^[66]
• Обнаружение и изоляция неисправностей : в схемах на основе наблюдения фильтр частиц может прогнозировать ожидаемые выходные сигналы датчиков, обеспечивая локализацию неисправностей ^{[67] [68] [69]}
• Молекулярная химия и вычислительная физика
• Фармакокинетика ^[70]
• Филогенетика
• Робототехника , искусственный интеллект : локализация Монте-Карло является стандартом де-факто в локализации мобильных роботов ^{[71] [72] [73]}
• Обработка сигналов и изображений : визуальная локализация, отслеживание, распознавание признаков ^[74]

Другие фильтры твердых частиц

• Дополнительный сажевый фильтр ^[75]
• Справочная стоимость фильтра твердых частиц
• Экспоненциальный фильтр естественных частиц ^[76]
• Методологии Фейнмана-Каца и частиц среднего поля ^{[2] [10] [5]}
• Гауссов фильтр частиц
• Фильтр частиц Гаусса – Эрмита
• Иерархический/масштабируемый фильтр частиц ^[77]
• Фильтр твердых частиц ^[78]
• Частица Маркова-Цепи Монте-Карло, см., например, псевдомаргинальный алгоритм Метрополиса – Гастингса .
• Фильтр частиц Рао – Блэквеллизованный ^[51]
• Регламентированный вспомогательный фильтр частиц ^[79]
• Оптимальный фильтр частиц на основе отбора проб ^{[80] [81]}
• Фильтр твердых частиц без запаха

Смотрите также

• Ансамбль фильтра Калмана
• Обобщенная фильтрация
• Генетический алгоритм
• Методы частиц среднего поля
• Локализация Монте-Карло
• Оценка движущегося горизонта
• Рекурсивная байесовская оценка

Рекомендации

1. Уиллс, Адриан Г.; Шён, Томас Б. (3 мая 2023 г.). «Последовательный Монте-Карло: единый обзор». Ежегодный обзор управления, робототехники и автономных систем . 6 (1): 159–182. doi : 10.1146/annurev-control-042920-015119 . ISSN  2573-5144. S2CID  255638127.
2. Дель Мораль, Пьер (1996). «Нелинейная фильтрация: решение взаимодействующих частиц» (PDF) . Марковские процессы и связанные с ними области . 2 (4): 555–580.
3. Лю, Цзюнь С.; Чен, Ронг (1 сентября 1998 г.). «Последовательные методы Монте-Карло для динамических систем». Журнал Американской статистической ассоциации . 93 (443): 1032–1044. дои : 10.1080/01621459.1998.10473765. ISSN  0162-1459.
4. Дель Мораль, Пьер (1998). «Измерительные процессы и взаимодействующие системы частиц. Применение к задачам нелинейной фильтрации». Анналы прикладной вероятности (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) изд.). 8 (2): 438–495. дои : 10.1214/aoap/1028903535 .
5. Дель Мораль, Пьер (2004). Формулы Фейнмана-Каца. Генеалогические аппроксимации и взаимодействующие частицы. Спрингер. Серия: Вероятность и приложения. п. 556. ИСБН 978-0-387-20268-6.
6. Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Ясра, Аджай (2012). «О процедурах адаптивной повторной выборки для последовательных методов Монте-Карло» (PDF) . Бернулли . 18 (1): 252–278. дои : 10.3150/10-bej335 . S2CID  4506682.
7. Del Moral, Пьер (2004). Формулы Фейнмана-Каца. Генеалогические аппроксимации и взаимодействующие частицы. Вероятность и ее приложения. Спрингер. п. 575. ИСБН 9780387202686. Серия: Вероятность и приложения
8. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). «Аппроксимация формул Фейнмана-Каца ветвящимися и взаимодействующими системами частиц с применением к нелинейной фильтрации». В Жаке Аземе; Мишель Леду; Мишель Эмери; Марк Йор (ред.). Семинар вероятностей XXXIV (PDF) . Конспект лекций по математике. Том. 1729. стр. 1–145. дои : 10.1007/bfb0103798. ISBN 978-3-540-67314-9.
9. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). «Аппроксимация системы частиц Морана формул Фейнмана-Каца». Случайные процессы и их приложения . 86 (2): 193–216. дои : 10.1016/S0304-4149(99)00094-0. S2CID  122757112.
10. Дель Мораль, Пьер (2013). Моделирование среднего поля для интегрирования Монте-Карло. Чепмен и Холл/CRC Press. п. 626. Монографии по статистике и прикладной теории вероятности.
11. Мораль, Пьер Дель; Дусе, Арно (2014). «Методы частиц: введение в приложения». ЕСАИМ: Учеб . 44 : 1–46. дои : 10.1051/proc/201444001 .
12. Розенблут, Маршалл, Н.; Розенблут, Арианна, В. (1955). «Расчеты Монте-Карло среднего удлинения макромолекулярных цепей». Дж. Хим. Физ . 23 (2): 356–359. Бибкод : 1955JChPh..23..356R. дои : 10.1063/1.1741967 . S2CID  89611599.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Хетерингтон, Джек, Х. (1984). «Наблюдения за статистической итерацией матриц». Физ. Преподобный А. 30 (2713): 2713–2719. Бибкод : 1984PhRvA..30.2713H. doi : 10.1103/PhysRevA.30.2713.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
14. Дель Мораль, Пьер (2003). «Частичные аппроксимации показателей Ляпунова, связанные с операторами Шредингера и полугруппами Фейнмана-Каца». ESAIM Вероятность и статистика . 7 : 171–208. дои : 10.1051/ps:2003001 .
15. Ассараф, Роланд; Каффарель, Мишель; Хелиф, Анатоль (2000). «Диффузионные методы Монте-Карло с фиксированным количеством пешеходов» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 61 (4): 4566–4575. Бибкод : 2000PhRvE..61.4566A. doi : 10.1103/physreve.61.4566. PMID  11088257. Архивировано из оригинала (PDF) 7 ноября 2014 г.
16. Каффарель, Мишель; Сеперли, Дэвид; Калос, Мальвин (1993). «Комментарий к расчету интегральных путей Фейнмана-Каца энергий основного состояния атомов». Физ. Преподобный Летт . 71 (13): 2159. Бибкод : 1993PhRvL..71.2159C. doi : 10.1103/physrevlett.71.2159. ПМИД  10054598.
17. Оконе, DL (1 января 1999 г.). «Асимптотическая устойчивость фильтров Бенеша». Стохастический анализ и его приложения . 17 (6): 1053–1074. дои : 10.1080/07362999908809648. ISSN  0736-2994.
18. Морель, Мирей Шалея; Мишель, Доминик (1 января 1984 г.). «Результаты отсутствия фильтра конечного измерения». Стохастика . 13 (1–2): 83–102. дои : 10.1080/17442508408833312. ISSN  0090-9491.
19. Хаджирамезанали, Эхсан; Имани, Махди; Брага-Нето, Улисс; Цянь, Сяонин; Догерти, Эдвард Р. (2019). «Масштабируемая оптимальная байесовская классификация одноклеточных траекторий в условиях неопределенности модели регулирования». БМК Геномика . 20 (Приложение 6): 435. arXiv : 1902.03188 . Бибкод : 2019arXiv190203188H. дои : 10.1186/s12864-019-5720-3 . ПМК 6561847 . ПМИД  31189480. 
20. Тьюринг, Алан М. (октябрь 1950 г.). «Вычислительная техника и интеллект». Разум . ЛИКС (238): 433–460. дои : 10.1093/mind/LIX.236.433.
21. Барричелли, Нильс Аалл (1954). «Числовые примеры процесса эволюции». Методы : 45–68.
22. Барричелли, Нильс Аалл (1957). «Процессы симбиогенной эволюции, реализуемые искусственными методами». Методы : 143–182.
23. Хаммерсли, Дж. М.; Мортон, К.В. (1954). «Монте-Карло для бедняков». Журнал Королевского статистического общества. Серия Б (Методическая) . 16 (1): 23–38. doi :10.1111/j.2517-6161.1954.tb00145.x. JSTOR  2984008.
24. Барричелли, Нильс Аалл (1963). «Численная проверка теорий эволюции. Часть II. Предварительные испытания работоспособности, симбиогенеза и земной жизни». Acta Biotheoretica . 16 (3–4): 99–126. дои : 10.1007/BF01556602. S2CID  86717105.
25. «Адаптация в природных и искусственных системах | MIT Press». mitpress.mit.edu . Проверено 6 июня 2015 г.
26. Фрейзер, Алекс (1957). «Моделирование генетических систем на автоматических цифровых вычислительных машинах. I. Введение». Ауст. Ж. Биол. Наука . 10 (4): 484–491. дои : 10.1071/BI9570484 .
27. Фрейзер, Алекс ; Бернелл, Дональд (1970). Компьютерные модели в генетике . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-021904-5.
28. Кросби, Джек Л. (1973). Компьютерное моделирование в генетике . Лондон: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-18880-3.
29. Ассараф, Роланд; Каффарель, Мишель; Хелиф, Анатоль (2000). «Диффузионные методы Монте-Карло с фиксированным количеством пешеходов» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 61 (4): 4566–4575. Бибкод : 2000PhRvE..61.4566A. doi : 10.1103/physreve.61.4566. PMID  11088257. Архивировано из оригинала (PDF) 7 ноября 2014 г.
30. Каффарель, Мишель; Сеперли, Дэвид; Калос, Мальвин (1993). «Комментарий к расчету интегральных путей Фейнмана-Каца энергий основного состояния атомов». Физ. Преподобный Летт . 71 (13): 2159. Бибкод : 1993PhRvL..71.2159C. doi : 10.1103/physrevlett.71.2159. ПМИД  10054598.
31. Ферми, Энрике; Рихтмайер, Роберт, Д. (1948). «Примечание о проведении переписи населения в расчетах Монте-Карло» (PDF) . ЛАМ . 805 (А). Рассекреченный отчет Лос-Аламосского архива{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
32. Герман, Кан; Харрис, Теодор, Э. (1951). «Оценка пропускания частиц методом случайной выборки» (PDF) . Натл. Бур. Стоять. Прил. Математика. Сер . 12 :27–30.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
33. Китагава, Г. (январь 1993 г.). «Метод фильтрации и сглаживания Монте-Карло для негауссовских нелинейных моделей пространства состояний» (PDF) . Материалы 2-го совместного американо-японского семинара по статистическому анализу временных рядов : 110–131.
34. Китагава, Г. (1996). «Фильтр Монте-Карло и сглаживатель для негауссовских нелинейных моделей в пространстве состояний». Журнал вычислительной и графической статистики . 5 (1): 1–25. дои : 10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
35. Гордон, Нью-Джерси; Салмонд, диджей; Смит, AFM (апрель 1993 г.). «Новый подход к оценке нелинейного/негауссовского байесовского состояния». Труды IEE F-радар и обработка сигналов . 140 (2): 107–113. дои : 10.1049/ip-f-2.1993.0015. ISSN  0956-375X.
36. Карвалью, Химилькон; Дель Мораль, Пьер; Монин, Андре; Салю, Жерар (июль 1997 г.). «Оптимальная нелинейная фильтрация при интеграции GPS/INS» (PDF) . Транзакции IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 33 (3): 835. Бибкод : 1997ITAES..33..835C. дои : 10.1109/7.599254. S2CID  27966240. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2022 г. Проверено 1 июня 2015 г.
37. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: унифицированная основа для растворов частиц
    LAAS-CNRS, Тулуза, отчет об исследованиях №. 91137, контракт DRET-DIGILOG-LAAS/CNRS, апрель (1991 г.).
38. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Нелинейные и негауссовы фильтры частиц, применяемые для инерционного перемещения платформы.
    LAAS-CNRS, Тулуза, отчет об исследовании №. 92207, STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS Конвенция STCAN №. А.91.77.013, (94с.) сентябрь (1991).
39. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: Разрешение частиц при фильтрации и оценке. Результаты эксперимента.
    Конвенция DRET №. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 2 (54 стр.), январь (1992 г.).
40. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: Разрешение частиц при фильтрации и оценке. Теоретические результаты
    . Конвенция DRET №. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 3 (123 стр.), октябрь (1992 г.).
41. П. Дель Мораль, Ж.-Ч. Нойер, Г. Ригаль и Г. Салют. Фильтры частиц в обработке радиолокационных сигналов: обнаружение, оценка и распознавание воздушных целей.
    LAAS-CNRS, Тулуза, отчет об исследовании №. 92495, декабрь (1992 г.).
42. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: Разрешение частиц при фильтрации и оценке.
    Исследования по теме: Фильтрация, оптимальное управление и оценка максимального правдоподобия. Конвенция DRET №. 89.34.553.00.470.75.01. Отчет об исследовании № 4 (210 стр.), январь (1993 г.).
43. Крисан, Дэн; Гейнс, Джессика; Лайонс, Терри (1998). «Сходимость метода ветвящихся частиц к решению Закая». SIAM Journal по прикладной математике . 58 (5): 1568–1590. дои : 10.1137/s0036139996307371. S2CID  39982562.
44. Крисан, Дэн; Лайонс, Терри (1997). «Нелинейная фильтрация и измерительные процессы». Теория вероятностей и смежные области . 109 (2): 217–244. дои : 10.1007/s004400050131 . S2CID  119809371.
45. Крисан, Дэн; Лайонс, Терри (1999). «Частичная аппроксимация решения уравнения Кушнера – Стратоновича». Теория вероятностей и смежные области . 115 (4): 549–578. дои : 10.1007/s004400050249 . S2CID  117725141.
46. Крисан, Дэн; Дель Мораль, Пьер; Лайонс, Терри (1999). «Дискретная фильтрация с использованием ветвящихся и взаимодействующих систем частиц» (PDF) . Марковские процессы и связанные с ними области . 5 (3): 293–318.
47. Дель Мораль, Пьер; Гионне, Алиса (1999). «Об устойчивости мерозначных процессов с приложениями к фильтрации». ЧР акад. наук. Париж . 39 (1): 429–434.
48. Дель Мораль, Пьер; Гионне, Алиса (2001). «Об устойчивости взаимодействующих процессов с приложениями к фильтрующим и генетическим алгоритмам». Анналы Института Анри Пуанкаре . 37 (2): 155–194. Бибкод : 2001AIHPB..37..155D. дои : 10.1016/s0246-0203(00)01064-5. Архивировано из оригинала 07.11.2014.
49. Дель Мораль, П.; Гионне, А. (1999). «Центральная предельная теорема для нелинейной фильтрации и взаимодействующих систем частиц». Анналы прикладной теории вероятности . 9 (2): 275–297. дои : 10.1214/aoap/1029962742 . ISSN  1050-5164.
50. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2001). «Генеалогии и растущее распространение хаоса для Фейнмана-Каца и генетических моделей». Анналы прикладной теории вероятности . 11 (4): 1166–1198. дои : 10.1214/aoap/1015345399 . ISSN  1050-5164.
51. Дусе, А.; Де Фрейтас, Н.; Мерфи, К.; Рассел, С. (2000). Фильтрация частиц Рао–Блэквелла для динамических байесовских сетей . Материалы Шестнадцатой конференции по неопределенности в искусственном интеллекте. стр. 176–183. CiteSeerX 10.1.1.137.5199 . 
52. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2001). «Генеалогии и растущее распространение хаоса для Фейнмана-Каца и генетических моделей». Анналы прикладной теории вероятности . 11 (4): 1166–1198.
53. Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Сингх, Сумитпал, С. (2010). «Интерпретация формул Фейнмана-Каца обратными частицами» (PDF) . М2АН . 44 (5): 947–976. дои : 10.1051/m2an/2010048 . S2CID  14758161.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
54. Верже, Кристель; Дюбарри, Сирил; Дель Мораль, Пьер; Мулен, Эрик (2013). «О параллельной реализации последовательных методов Монте-Карло: модель островных частиц». Статистика и вычисления . 25 (2): 243–260. arXiv : 1306.3911 . Бибкод : 2013arXiv1306.3911V. doi : 10.1007/s11222-013-9429-x. S2CID  39379264.
55. Шопен, Николя; Джейкоб, Пьер, Э.; Папаспилиопулос, Омирос (2011). «SMC^2: эффективный алгоритм последовательного анализа моделей в пространстве состояний». arXiv : 1101.1528v3 [stat.CO].{{cite arXiv}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
56. Андрие, Кристоф; Дусе, Арно; Холенштейн, Роман (2010). «Методы Монте-Карло для цепей Маркова». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 72 (3): 269–342. дои : 10.1111/j.1467-9868.2009.00736.x .
57. Дель Мораль, Пьер; Патры, Фредерик; Кон, Роберт (2014). «О моделях Монте-Карло Фейнмана-Каца и частиц Марковской цепи». arXiv : 1404,5733 [мат.PR].
58. Дель Мораль, Пьер; Жакод, Жан; Проттер, Филип (1 июля 2001 г.). «Метод Монте-Карло для фильтрации с дискретными наблюдениями». Теория вероятностей и смежные области . 120 (3): 346–368. дои : 10.1007/PL00008786. hdl : 1813/9179 . ISSN  0178-8051. S2CID  116274.
59. Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Ясра, Аджай (2011). «Адаптивный последовательный метод Монте-Карло для приближенных байесовских вычислений». Статистика и вычисления . 22 (5): 1009–1020. CiteSeerX 10.1.1.218.9800 . doi : 10.1007/s11222-011-9271-y. ISSN  0960-3174. S2CID  4514922. 
60. Мартин, Джеймс С.; Ясра, Аджай; Сингх, Сумитпал С.; Уайтли, Ник; Дель Мораль, Пьер; Маккой, Эмма (4 мая 2014 г.). «Приблизительный байесовский расчет сглаживания». Стохастический анализ и его приложения . 32 (3): 397–420. arXiv : 1206.5208 . дои : 10.1080/07362994.2013.879262. ISSN  0736-2994. S2CID  17117364.
61. Дель Мораль, Пьер; Рио, Эммануэль (2011). «Неравенства концентрации для моделей частиц среднего поля». Анналы прикладной теории вероятности . 21 (3): 1017–1052. arXiv : 1211.1837 . дои : 10.1214/10-AAP716. ISSN  1050-5164. S2CID  17693884.
62. Дель Мораль, Пьер; Ху, Пэн; Ву, Известкование (2012). О концентрационных свойствах процессов взаимодействия частиц. Ганновер, Массачусетс, США: ISBN Now Publishers Inc. 978-1601985125.
63. Беджури, Ван Мохд Яакоб Ван; Мохамад, Мохд Муртадха; Раджа Мохд Радзи, Раджа Захила; Саллех, Мазлина; Юсоф, Ахмад Фадхил (18 октября 2017 г.). «Адаптивная повторная выборка единого распределения на основе памяти для фильтра частиц». Журнал больших данных . 4 (1): 33. дои : 10.1186/s40537-017-0094-3 . ISSN  2196-1115. S2CID  256407088.
64. Гельман, Эндрю ; Карлин, Джон Б .; Стерн, Хэл С.; Дансон, Дэвид Б.; Вехтари, Аки; Рубин, Дональд Б. (2013). Байесовский анализ данных, третье издание . Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1-4398-4095-5.
65. Крил, Дрю (2012). «Обзор последовательных методов Монте-Карло в экономике и финансах». Эконометрические обзоры . 31 (2): 245–296. дои : 10.1080/07474938.2011.607333. hdl : 1871/15287 . S2CID  2730761.
66. Мосс, Роберт; Заребский, Александр; Доусон, Питер; Маккоу, Джеймс М. (2016). «Прогнозирование динамики вспышек гриппа в Мельбурне на основе данных наблюдения за поисковыми запросами в Интернете». Грипп и другие респираторные вирусы . 10 (4): 314–323. дои : 10.1111/irv.12376 . ПМК 4910172 . 
67. Шен, Инь; Сянпин, Чжу (2015). «Интеллектуальный фильтр частиц и его применение для обнаружения неисправностей нелинейных систем». Транзакции IEEE по промышленной электронике . 62 (6): 1. дои :10.1109/TIE.2015.2399396. S2CID  23951880.
68. Д'Амато, Эдиджио; Нотаро, Иммаколата; Нарди, Вито Антонио; Скордамалья, Валерио (2021). «Подход к фильтрации частиц для обнаружения неисправностей и изоляции датчиков IMU БПЛА: проектирование, реализация и анализ чувствительности». Датчики . 21 (9): 3066. Бибкод : 2021Senso..21.3066D. дои : 10.3390/s21093066 . ПМЦ 8124649 . ПМИД  33924891. 
69. Кадиркаманатан, В.; Ли, П.; Джавард, Миннесота; Фабри, СГ (2002). «Обнаружение неисправностей на основе фильтрации частиц в нелинейных стохастических системах». Международный журнал системных наук . 33 (4): 259–265. дои : 10.1080/00207720110102566. S2CID  28634585.
70. Бонат P: Фармакокинетико-фармакодинамическое моделирование и моделирование. Берлин: Шпрингер; 2011.
71. Дитер Фокс, Вольфрам Бургард, Фрэнк Деллаерт и Себастьян Трун, «Локализация Монте-Карло: эффективная оценка положения мобильных роботов». Учеб. Шестнадцатой национальной конференции по искусственному интеллекту John Wiley & Sons Ltd, 1999 г.
72. Себастьян Трун, Вольфрам Бургард, Дитер Фокс. Вероятностная робототехника MIT Press, 2005. Гл. 8.3 ISBN 9780262201629 . 
73. Себастьян Трун, Дитер Фокс, Вольфрам Бургард, Фрэнк Делларт. «Надежная локализация мобильных роботов по методу Монте-Карло». Искусственный интеллект 128.1 (2001): 99–141.
74. Аббаси, Махди; Хосрави, Мохаммад Р. (2020). «Надежный и точный метод обнаружения зрачков на основе фильтра частиц для больших наборов данных глазного видео». Журнал грид-вычислений . 18 (2): 305–325. дои : 10.1007/s10723-019-09502-1. S2CID  209481431.
75. Питт, МК; Шепард, Н. (1999). «Фильтрация с помощью моделирования: вспомогательные фильтры частиц». Журнал Американской статистической ассоциации . 94 (446): 590–591. дои : 10.2307/2670179. JSTOR  2670179. Архивировано из оригинала 16 октября 2007 г. Проверено 6 мая 2008 г.
76. Занд, Г.; Тахерхани, М.; Сафабахш, Р. (2015). «Экспоненциальный фильтр естественных частиц». arXiv : 1511.06603 [cs.LG].
77. Кантон-Феррер, К.; Касас, младший; Пардас, М. (2011). «Захват движения человека с использованием масштабируемых моделей тела». Компьютерное зрение и понимание изображений . 115 (10): 1363–1374. doi :10.1016/j.cviu.2011.06.001. hdl : 2117/13393.
78. Акылдиз, Омер Дениз; Мигес, Хоакин (01 марта 2020 г.). «Подталкивание сажевого фильтра». Статистика и вычисления . 30 (2): 305–330. дои : 10.1007/s11222-019-09884-y . hdl : 10044/1/100011 . ISSN  1573-1375. S2CID  88515918.
79. Лю, Дж.; Ван, В.; Ма, Ф. (2011). «Регуляризованный подход к фильтрации вспомогательных частиц для оценки состояния системы и прогнозирования срока службы батареи». Умные материалы и конструкции . 20 (7): 1–9. Бибкод : 2011SMaS...20g5021L. дои : 10.1088/0964-1726/20/7/075021. S2CID  110670991.
80. Бланко, JL; Гонсалес Дж.; Фернандес-Мадригал, JA (2008). Оптимальный алгоритм фильтрации непараметрических моделей наблюдения при локализации роботов . Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации (ICRA'08). стр. 461–466. CiteSeerX 10.1.1.190.7092 . 
81. Бланко, JL; Гонсалес Дж.; Фернандес-Мадригал, JA (2010). «Оптимальная фильтрация непараметрических моделей наблюдения: приложения к локализации и SLAM». Международный журнал исследований робототехники . 29 (14): 1726–1742. CiteSeerX 10.1.1.1031.4931 . дои : 10.1177/0278364910364165. S2CID  453697. 

Библиография

• Дель Мораль, Пьер (1996). «Нелинейная фильтрация: решение взаимодействующих частиц» (PDF) . Марковские процессы и связанные с ними области . 2 (4): 555–580. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 31 мая 2015 г.
• Дель Мораль, Пьер (2004). Формулы Фейнмана-Каца. Генеалогические приближения и взаимодействующие частицы . Спрингер. п. 575. «Серия: Вероятность и приложения».
• Дель Мораль, Пьер (2013). Моделирование среднего поля для интегрирования Монте-Карло . Чепмен и Холл/CRC Press. п. 626. «Монографии по статистике и прикладной теории вероятности».
• Каппе, О.; Мулен, Э.; Райден, Т. (2005). Вывод в скрытых марковских моделях . Спрингер.
• Лю, Дж.С.; Чен, Р. (1998). «Последовательные методы Монте-Карло для динамических систем» (PDF) . Журнал Американской статистической ассоциации . 93 (443): 1032–1044. дои : 10.1080/01621459.1998.10473765.
• Лю, Дж. С. (2001). Стратегии Монте-Карло в научных вычислениях . Спрингер.
• Конг, А.; Лю, Дж. С.; Вонг, WH (1994). «Последовательные вменения и байесовские проблемы с недостающими данными» (PDF) . Журнал Американской статистической ассоциации . 89 (425): 278–288. дои : 10.1080/01621459.1994.10476469.
• Лю, Дж. С.; Чен, Р. (1995). «Слепая деконволюция посредством последовательных вменений» (PDF) . Журнал Американской статистической ассоциации . 90 (430): 567–576. дои : 10.2307/2291068. JSTOR  2291068.
• Ристич, Б.; Арулампалам, С.; Гордон, Н. (2004). За пределами фильтра Калмана: фильтры частиц для приложений слежения . Артех Хаус.
• Дусе, А.; Йохансен, AM (декабрь 2008 г.). «Урок по фильтрации и сглаживанию частиц: пятнадцать лет спустя» (PDF) . Технический отчет .
• Дусе, А.; Годсилл, С.; Андрие, К. (2000). «О последовательных методах выборки Монте-Карло для байесовской фильтрации». Статистика и вычисления . 10 (3): 197–208. дои : 10.1023/А: 1008935410038. S2CID  16288401.
• Арулампалам, MS; Маскелл, С.; Гордон, Н.; Клапп, Т. (2002). «Учебное пособие по фильтрам частиц для онлайн-нелинейного/негауссовского байесовского отслеживания». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 50 (2): 174–188. Бибкод : 2002ITSP...50..174A. CiteSeerX  10.1.1.471.8617 . дои : 10.1109/78.978374. S2CID  55577025.
• Каппе, О.; Годсилл, С.; Мулен, Э. (2007). «Обзор существующих методов и последних достижений в последовательном Монте-Карло». Труды IEEE . 95 (5): 899–924. doi :10.1109/JPROC.2007.893250. S2CID  3081664.
• Китагава, Г. (1996). «Фильтр Монте-Карло и сглаживатель для негауссовских нелинейных моделей в пространстве состояний». Журнал вычислительной и графической статистики . 5 (1): 1–25. дои : 10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
• Котеча, Дж. Х.; Джурик, П. (2003). «Фильтрация гауссовских частиц». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 51 (10).
• Хауг, Эй Джей (2005). «Учебное пособие по методам байесовской оценки и отслеживания, применимым к нелинейным и негауссовским процессам» (PDF) . Корпорация MITRE, США, Tech. Республика, февраль . Архивировано (PDF) из оригинала 22 декабря 2021 г. Проверено 22 декабря 2021 г.
• Питт, МК; Шепард, Н. (1999). «Фильтрация с помощью моделирования: вспомогательные фильтры частиц». Журнал Американской статистической ассоциации . 94 (446): 590–591. дои : 10.2307/2670179. JSTOR  2670179. Архивировано из оригинала 16 октября 2007 г. Проверено 6 мая 2008 г.
• Гордон, Нью-Джерси; Салмонд, диджей; Смит, AFM (1993). «Новый подход к оценке нелинейного/негауссовского байесовского состояния». Труды IEE F-радар и обработка сигналов . 140 (2): 107–113. дои : 10.1049/ip-f-2.1993.0015.
• Чен, З. (2003). «Байесовская фильтрация: от фильтров Калмана к фильтрам частиц и не только». CiteSeerX  10.1.1.107.7415 . {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Васвани, Н. ; Рати, Ю.; Йеззи, А.; Танненбаум, А. (2007). «Отслеживание деформирующихся объектов с использованием фильтрации частиц по геометрическим активным контурам». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 29 (8): 1470–1475. дои : 10.1109/tpami.2007.1081. ПМК  3663080 . ПМИД  17568149.

Внешние ссылки

• Модели Фейнмана-Каца и алгоритмы взаимодействующих частиц (также известные как фильтрация частиц) Теоретические аспекты и список областей применения фильтров частиц
• Домашняя страница последовательных методов Монте-Карло (фильтрация частиц) в Кембриджском университете
• Анимация MCL Дитера Фокса
• Бесплатное программное обеспечение Роба Хесса
• SMCTC: класс шаблона для реализации алгоритмов SMC на C++.
• Java-апплет по фильтрации частиц
• vSMC: векторизованный последовательный Монте-Карло
• Фильтр твердых частиц объясняется в контексте беспилотного автомобиля