Коконечность

Будучи подмножеством, дополнением которого является конечное множество

В математике коконечное подмножество множества — это подмножество , дополнением которого является конечное множество . Другими словами, содержит все элементы, кроме конечного числа. Если дополнение не конечно, но счетно, то говорят, что множество сосчетно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Они возникают естественным образом при обобщении структур конечных множеств на бесконечные множества, особенно на бесконечные произведения, как в топологии произведения или прямой сумме.

Такое использование префикса « со » для описания свойства, которым обладает дополнение к множеству , согласуется с его использованием в других терминах, таких как « со- скудное множество ».

Булевы алгебры

Множество всех подмножеств, которые либо конечны, либо коконечны, образует булеву алгебру , что означает, что она замкнута относительно операций объединения , пересечения и дополнения. Эта булева алгебра ${\displaystyle X}$конечно-коконитная алгебра наБулевой алгебреимеет единственный неглавныйультрафильтр(т. е.максимальный фильтр, не порожденный ни одним элементом алгебры) тогда и только тогда, когда существует бесконечное множество,такое, чтоизоморфно конечно-коконечному алгебре алгебра.В этом случае неглавный ультрафильтр представляет собой множество всех коконитных множеств. ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Коконечная топология

Коконечная топология (иногда называемая топологией конечного дополнения ) — это топология , которая может быть определена на каждом множестве. Она имеет в точности пустое множество и все коконитные подмножества как открытые множества. Как следствие, в коконитной топологии единственными замкнутыми подмножествами являются конечные множества или все . Символически топологию можно записать как ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.}$$

Эта топология естественным образом возникает в контексте топологии Зарисского . Поскольку многочлены от одной переменной над полем равны нулю на конечных множествах, или вся топология Зариского на (рассматриваемая как аффинная прямая ) является коконечной топологией. То же самое верно для любой неприводимой алгебраической кривой ; это неверно, например, для самолета. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle XY=0}$

Характеристики

• Подпространства: каждая топология подпространства коконечной топологии также является коконечной топологией.
• Компактность: поскольку каждое открытое множество содержит все точки, кроме конечного числа, пространство компактно и секвенциально компактно . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
• Разделение: Коконечная топология — это самая грубая топология , удовлетворяющая аксиоме T 1 ; то есть это наименьшая топология, в которой каждое одноэлементное множество замкнуто. Фактически, произвольная топология на удовлетворяет аксиоме T ₁ тогда и только тогда, когда она содержит коконечную топологию. Если конечно, то коконечная топология — это просто дискретная топология . Если не конечно, то эта топология не является Хаусдорфовой (T 2 ) , регулярной или нормальной , поскольку никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися (т. е. гиперсвязными ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Двунаправленная коконечная топология

Двунаправленная коконечная топология — это коконечная топология, в которой каждая точка удвоена; то есть это топологическое произведение коконитной топологии с недискретной топологией на двухэлементном множестве. Это не T0 или T1 , поскольку точки каждого дублета _{топологически} неразличимы . Однако это R 0 , поскольку топологически различимые точки разделены . Пространство компактно как произведение двух компактов; альтернативно, оно компактно, поскольку каждое непустое открытое множество содержит все точки, кроме конечного числа.

В качестве примера счетной двуточечной коконечной топологии множеству целых чисел может быть задана топология такая, что каждое четное число топологически неотличимо от следующего нечетного числа . Замкнутые множества — это объединения конечного числа пар или всего множества. Открытые множества являются дополнениями к закрытым множествам; а именно, каждое открытое множество состоит из всех пар, кроме конечного числа , или является пустым множеством. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$

Другие примеры

Топология продукта

Топология произведения на произведении топологических пространств имеет базис , где открыто и коконечно много ${\displaystyle \prod X_{i}}$ ${\displaystyle \prod U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=X_{i}.}$

Аналогом, не требующим, чтобы коконечное множество факторов представляло собой все пространство, является топология ящика .

Прямая сумма

Элементами прямой суммы модулей являются последовательности , состоящие из коконечного числа. ${\displaystyle \bigoplus M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0.}$

Аналогом, не требующим, чтобы коконечное число слагаемых было равно нулю, является прямое произведение .

Смотрите также

• Фильтр Фреше  - фильтр ФрешеСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Рекомендации

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дверское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446 (См. пример 18)