Конформная гравитация

Теории гравитации, инвариантные относительно преобразований Вейля

Конформная гравитация относится к теориям гравитации, которые инвариантны относительно конформных преобразований в смысле римановой геометрии ; точнее, они инвариантны относительно преобразований Вейля где – метрический тензор и – функция пространства-времени . ${\displaystyle g_{ab}\rightarrow \Omega ^{2}(x)g_{ab}}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \Omega (x)}$

Теории квадрата Вейля

Самая простая теория в этой категории имеет квадрат тензора Вейля как лагранжиан.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g\;}}\,C_{abcd}\,C^{abcd}~,}$

где – тензор Вейля. Это следует противопоставить обычному действию Эйнштейна-Гильберта , где лагранжиан представляет собой просто скаляр Риччи . Уравнение движения при изменении метрики называется тензором Баха , ${\displaystyle \;C_{abcd}\;}$

${\displaystyle 2\,\partial _{a}\,\partial _{d}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~~+~~R_{ad}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~=~0~,}$

где – тензор Риччи . Решениями этого уравнения являются конформно плоские метрики. ${\displaystyle \;R_{ab}\;}$

Поскольку эти теории приводят к уравнениям четвертого порядка для флуктуаций вокруг фиксированного фона, они не являются явно унитарными. Поэтому обычно считалось, что их невозможно последовательно квантовать. Сейчас это оспаривается. ^[1]

Теории с четырьмя производными

Конформная гравитация является примером теории с 4- производными . Это означает, что каждый член волнового уравнения может содержать до четырех производных. Есть плюсы и минусы теорий с 4 производными. Плюсы в том, что квантованная версия теории более сходится и перенормируема . Минусы в том, что могут возникнуть проблемы с причинно-следственной связью . Более простым примером волнового уравнения с 4 производными является скалярное волновое уравнение с 4 производными:

${\displaystyle \operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

Решением этой проблемы в центральном силовом поле является:

${\displaystyle \Phi (r)=1-{\frac {2m}{r}}+ar+br^{2}}$

Первые два члена аналогичны нормальному волновому уравнению. Поскольку это уравнение представляет собой более простое приближение к конформной гравитации, m соответствует массе центрального источника. Последние два члена уникальны для волновых уравнений с 4 производными. Было предложено присвоить им небольшие значения, чтобы учесть константу галактического ускорения (также известную как темная материя ) и константу темной энергии . ^[2] Решение, эквивалентное решению Шварцшильда в общей теории относительности для сферического источника конформной гравитации, имеет метрику с:

${\displaystyle \varphi (r)=g^{00}=(1-6bc)^{\frac {1}{2}}-{\frac {2b}{r}}+cr+{\frac {d}{3}}r^{2}}$

показать разницу между общей теорией относительности. 6bc очень мал, поэтому его можно игнорировать. Проблема в том, что теперь c — это общая масса-энергия источника, а b — интеграл плотности, умноженный на расстояние до источника, возведенный в квадрат. Так что это совершенно другой потенциал, чем общая теория относительности , а не просто небольшая модификация.

Основная проблема конформных теорий гравитации, как и любой теории с высшими производными, — это типичное присутствие призраков , которые указывают на нестабильность квантовой версии теории, хотя решение проблемы призраков может существовать. ^[3]

Альтернативный подход состоит в том, чтобы рассматривать гравитационную постоянную как скалярное поле с нарушенной симметрией , и в этом случае вы могли бы рассмотреть небольшую поправку к ньютоновской гравитации , подобную этой (которую мы считаем небольшой поправкой): ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \operatorname {\Box } \Phi +\varepsilon ^{2}\operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

в этом случае общее решение такое же, как и в случае Ньютона, за исключением того, что может быть дополнительный член:

${\displaystyle \Phi =1-{\frac {2m}{r}}\left(1+\alpha \sin \left({\frac {r}{\varepsilon }}+\beta \right)\right)}$

где есть дополнительная составляющая, изменяющаяся синусоидально в пространстве. Длина волны этого изменения может быть довольно большой, например, атомной ширины. Таким образом, в этой модели, по-видимому, существует несколько стабильных потенциалов вокруг гравитационной силы.

Конформная унификация Стандартной модели

Добавляя подходящий гравитационный член к действию Стандартной модели в искривленном пространстве-времени , теория развивает локальную конформную (Вейлевскую) инвариантность. Конформная калибровка фиксируется путем выбора эталонной шкалы масс на основе гравитационной постоянной. Этот подход генерирует массы векторных бозонов и полей материи, аналогичные механизму Хиггса , без традиционного спонтанного нарушения симметрии. ^[4]

Смотрите также

• Конформная супергравитация
• Теория гравитации Хойла – Нарликара

Рекомендации

1. Мангейм, Филип Д. (16 июля 2007 г.). «Конформная гравитация бросает вызов теории струн». В Раджанти, Артту; Даунси, Пол; Контальди, Карло; Стойка, Гораций (ред.). Частицы, струны и космология . 13-й Международный симпозиум по частицам, струнам и космологии, ·PA·S·COS· 2007. Vol. 0707. Имперский колледж Лондона. п. 2283. arXiv : 0707.2283 . Бибкод : 2007arXiv0707.2283M.
2. Мангейм, Филип Д. (2006). «Альтернативы темной материи и темной энергии». Прог. Часть. Нукл. Физ . 56 (2): 340–445. arXiv : astro-ph/0505266 . Бибкод :2006ПрНП..56..340М. дои :10.1016/j.ppnp.2005.08.001. S2CID  14024934.
3. Мангейм, Филип Д. (2007). «Решение проблемы призраков в теориях производных четвертого порядка». Найденный. Физ . 37 (4–5): 532–571. arXiv : hep-th/0608154 . Бибкод : 2007FoPh...37..532M. doi : 10.1007/s10701-007-9119-7. S2CID  44031727.
4. Павловский, М.; Рачка, Р. (1994), «Единая конформная модель фундаментальных взаимодействий без динамического поля Хиггса», Foundations of Physics , 24 (9): 1305–1327, arXiv : hep-th/9407137 , Bibcode : 1994FoPh...24.1305 P, doi : 10.1007/BF02148570, S2CID  17358627

дальнейшее чтение

• Е. С. Фрадкин и А. А. Цейтлин (1985). «Конформная супергравитация». Физ. Представитель . 119 (4–5): 233–362. Бибкод : 1985PhR...119..233F. дои : 10.1016/0370-1573(85)90138-3.
• Фальсификация конформной гравитации Мангейма в ЦЕРН
• Опровержение Мангеймом вышеизложенного на arXiv.