Эквивалентность массы и энергии

В физике эквивалентность массы и энергии — это соотношение между массой и энергией в системе покоя системы , где две величины отличаются только мультипликативной константой и единицами измерения. ^[1]^[2] Принцип описывается формулой физика Альберта Эйнштейна : $E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}$ . ^[3] В системе отсчета , где система движется, ее релятивистская энергия и релятивистская масса (вместо массы покоя ) подчиняются одной и той же формуле.

Формула определяет энергию $E$ частицы в ее системе покоя как произведение массы ( $m$ ) на квадрат скорости света ( $c2$ ). Поскольку скорость света — это большое число в повседневных единицах (приблизительно 300 000 км/с или 186 000 миль/с), формула подразумевает $,$ что небольшое количество «массы покоя», измеренное, когда система находится в состоянии покоя, соответствует огромному количеству энергии, которая не зависит от состава материи .

Масса покоя, также называемая инвариантной массой , является фундаментальным физическим свойством , которое не зависит от импульса , даже на экстремальных скоростях, приближающихся к скорости света. Его значение одинаково во всех инерциальных системах отсчета . Безмассовые частицы, такие как фотоны , имеют нулевую инвариантную массу, но безмассовые свободные частицы имеют как импульс, так и энергию.

Принцип эквивалентности подразумевает, что при потере массы в химических реакциях или ядерных реакциях высвобождается соответствующее количество энергии. Энергия может выделяться в окружающую среду (вне рассматриваемой системы) в виде лучистой энергии , например, света , или в виде тепловой энергии . Этот принцип является основополагающим для многих областей физики, включая ядерную физику и физику элементарных частиц .

Эквивалентность массы и энергии возникла из специальной теории относительности как парадокс , описанный французским эрудитом Анри Пуанкаре (1854–1912). ^[4] Эйнштейн был первым, кто предложил эквивалентность массы и энергии как общий принцип и следствие симметрии пространства и времени . Принцип впервые появился в «Зависит ли инерция тела от его энергетического содержания?», одной из его статей annus mirabilis , опубликованной 21 ноября 1905 года. ^[5]^[6] Формула и ее связь с импульсом, описанная соотношением энергии и импульса , были позднее развиты другими физиками.

Описание

Эквивалентность массы и энергии гласит, что все объекты, имеющие массу , или массивные объекты , имеют соответствующую внутреннюю энергию, даже когда они неподвижны. В системе покоя объекта, где по определению он неподвижен и, следовательно, не имеет импульса , масса и энергия равны или отличаются только постоянным множителем, квадратом скорости света ( $c2$ ). ^[1]^[2] $В$ ньютоновской механике неподвижное тело не имеет кинетической энергии , и оно может иметь или не иметь другие количества внутренней запасенной энергии, такие как химическая энергия или тепловая энергия , в дополнение к любой потенциальной энергии, которую оно может иметь из своего положения в силовом поле . Эти энергии, как правило, намного меньше массы объекта, умноженной на $c2$ $,$ что составляет порядка 1017 ^{джоулей} для массы в один килограмм. Из-за этого принципа масса атомов, которые выходят из ядерной реакции, меньше массы атомов, которые входят, и разница в массе проявляется в виде тепла и света с той же эквивалентной энергией, что и разница. При анализе этих экстремальных событий можно использовать формулу Эйнштейна, где $E$ — высвобождаемая (удаляемая) энергия, а $m$ — изменение массы.

В теории относительности вся энергия, которая движется вместе с объектом (т. е. энергия, измеренная в системе покоя объекта), вносит вклад в общую массу тела, которая измеряет, насколько оно сопротивляется ускорению . Если бы изолированный ящик с идеальными зеркалами мог содержать свет, то индивидуально безмассовые фотоны внесли бы вклад в общую массу ящика на величину, равную их энергии, деленной на $c 2$ . ^[7] Для наблюдателя в системе покоя удаление энергии равно удалению массы, и формула $m = E / c 2$ указывает, сколько массы теряется при удалении энергии. ^[8] Таким же образом, когда любая энергия добавляется к изолированной системе, увеличение массы равно добавленной энергии, деленной на $c 2$ . ^[9]

Масса в специальной теории относительности

$E = mc2 —$ в единицах СИ энергия $E$ измеряется в джоулях , масса $m$ измеряется в килограммах , а скорость света измеряется в метрах в секунду .

Объект движется с разной скоростью в разных системах отсчета в зависимости от движения наблюдателя. Это означает, что кинетическая энергия , как в ньютоновской механике, так и в теории относительности, «зависит от системы отсчета», так что количество релятивистской энергии, которое измеряется у объекта, зависит от наблюдателя. Релятивистская масса объекта определяется релятивистской энергией, деленной на $c2$ . ^[10] Поскольку релятивистская масса точно пропорциональна релятивистской энергии, релятивистская масса и релятивистская энергия являются почти $синонимами$ ; единственное различие между ними — единицы . Масса покоя или инвариантная масса объекта определяется как масса, которую объект имеет в своей системе покоя, когда он не движется относительно наблюдателя. Физики обычно используют термин масса , хотя эксперименты показали, что гравитационная масса объекта зависит от его полной энергии, а не только от его массы покоя. ^{[ необходима цитата ]} Масса покоя одинакова для всех инерциальных систем отсчета , поскольку она не зависит от движения наблюдателя, это наименьшее возможное значение релятивистской массы объекта. Из-за притяжения между компонентами системы, которое приводит к потенциальной энергии, масса покоя почти никогда не является аддитивной ; в общем случае масса объекта не является суммой масс его частей. ^[9] Масса покоя объекта представляет собой полную энергию всех частей, включая кинетическую энергию, наблюдаемую из системы центра импульса, и потенциальную энергию. Массы складываются только в том случае, если компоненты находятся в состоянии покоя (как наблюдается из системы центра импульса) и не притягиваются и не отталкиваются, так что у них нет никакой дополнительной кинетической или потенциальной энергии. ^{[примечание 1]} Безмассовые частицы — это частицы без массы покоя, и, следовательно, не имеют собственной энергии; их энергия обусловлена только их импульсом.

Релятивистская масса

Релятивистская масса зависит от движения объекта, так что разные наблюдатели в относительном движении видят разные ее значения. Релятивистская масса движущегося объекта больше релятивистской массы объекта в состоянии покоя, потому что движущийся объект имеет кинетическую энергию. Если объект движется медленно, релятивистская масса почти равна массе покоя , и обе они почти равны классической инертной массе (как это видно из законов движения Ньютона ). Если объект движется быстро, релятивистская масса больше массы покоя на величину, равную массе, связанной с кинетической энергией объекта. Безмассовые частицы также имеют релятивистскую массу, полученную из их кинетической энергии, равной их релятивистской энергии, деленной на $c 2$ , или $m rel = E / c 2$ . ^[11]^[12] Скорость света равна единице в системе, где длина и время измеряются в естественных единицах , а релятивистская масса и энергия будут равны по значению и размерности. Поскольку это просто другое название энергии, использование термина «релятивистская масса» является излишним, и физики обычно резервируют массу для обозначения массы покоя или инвариантной массы, в отличие от релятивистской массы. ^[13]^[14] Следствием этой терминологии является то, что масса не сохраняется в специальной теории относительности, тогда как сохранение импульса и сохранение энергии являются фундаментальными законами. ^[13]

Сохранение массы и энергии

Сохранение энергии является универсальным принципом в физике и выполняется для любого взаимодействия, наряду с сохранением импульса. ^[13] Классическое сохранение массы, напротив, нарушается в определенных релятивистских условиях. ^[14]^[13] Эта концепция была экспериментально доказана несколькими способами, включая преобразование массы в кинетическую энергию в ядерных реакциях и других взаимодействиях между элементарными частицами . ^[14] Хотя современная физика отказалась от выражения «сохранение массы», в старой терминологии релятивистская масса также может быть определена как эквивалентная энергии движущейся системы, что позволяет сохранить релятивистскую массу . ^[13] Сохранение массы нарушается, когда энергия, связанная с массой частицы, преобразуется в другие формы энергии, такие как кинетическая энергия, тепловая энергия или лучистая энергия . ^[13]

Безмассовые частицы

Безмассовые частицы имеют нулевую массу покоя. Соотношение Планка–Эйнштейна для энергии для фотонов задается уравнением $E = hf$ , где $h$ — постоянная Планка , а $f —$ частота фотона . Эта частота и, следовательно, релятивистская энергия зависят от системы отсчета. Если наблюдатель убегает от фотона в направлении, в котором фотон движется от источника, и он догоняет наблюдателя, наблюдатель видит, что у него меньше энергии, чем у него было в источнике. Чем быстрее наблюдатель движется относительно источника, когда фотон догоняет, тем меньше энергии будет видно у фотона. По мере того, как наблюдатель приближается к скорости света относительно источника, красное смещение фотона увеличивается в соответствии с релятивистским эффектом Доплера . Энергия фотона уменьшается, и по мере того, как длина волны становится произвольно большой, энергия фотона приближается к нулю из-за безмассовой природы фотонов, которая не допускает никакой внутренней энергии.

Композитные системы

Для закрытых систем, состоящих из многих частей, таких как атомное ядро , планета или звезда, релятивистская энергия определяется суммой релятивистских энергий каждой из частей, поскольку в этих системах энергии являются аддитивными. Если система связана силами притяжения, и энергия, полученная сверх проделанной работы, удаляется из системы, то масса теряется вместе с этой удаленной энергией. Масса атомного ядра меньше общей массы протонов и нейтронов , которые его составляют. ^[15] Это уменьшение массы также эквивалентно энергии, необходимой для разделения ядра на отдельные протоны и нейтроны. Этот эффект можно понять, рассмотрев потенциальную энергию отдельных компонентов. Отдельные частицы имеют силу, притягивающую их вместе, и разъединение их увеличивает потенциальную энергию частиц так же, как это происходит при подъеме объекта на Земле. Эта энергия равна работе, необходимой для разделения частиц. Масса Солнечной системы немного меньше суммы ее отдельных масс.

Для изолированной системы частиц, движущихся в разных направлениях, инвариантная масса системы является аналогом массы покоя и одинакова для всех наблюдателей, даже находящихся в относительном движении. Она определяется как полная энергия (деленная на $c2$ $)$ в системе отсчета центра импульса . Система отсчета центра импульса определяется так, что система имеет нулевой полный импульс; иногда также используется термин система отсчета центра масс , где система отсчета центра масс является частным случаем системы отсчета центра импульса, где центр масс помещен в начало координат. Простым примером объекта с движущимися частями, но нулевым полным импульсом является контейнер с газом. В этом случае масса контейнера задается его полной энергией (включая кинетическую энергию молекул газа), поскольку полная энергия и инвариантная масса системы одинаковы в любой системе отсчета, где импульс равен нулю, и такая система отсчета также является единственной системой, в которой объект можно взвесить. Аналогичным образом, специальная теория относительности утверждает, что тепловая энергия во всех объектах, включая твердые тела, вносит вклад в их общую массу, даже если эта энергия присутствует в виде кинетической и потенциальной энергии атомов в объекте, и она (аналогично газу) не видна в массах покоя атомов, составляющих объект. ^[9] Аналогично, даже фотоны, если они заперты в изолированном контейнере, будут вносить свою энергию в массу контейнера. Такая дополнительная масса, в теории, может быть взвешена так же, как и любой другой тип массы покоя, даже если отдельные фотоны не имеют массы покоя. Свойство, что захваченная энергия в любой форме добавляет весомую массу к системам, которые не имеют чистого импульса, является одним из следствий теории относительности. Оно не имеет аналога в классической ньютоновской физике, где энергия никогда не демонстрирует весимую массу. ^[9]

Отношение к гравитации

В физике есть два понятия массы: гравитационная масса и инертная масса. Гравитационная масса — это величина, которая определяет силу гравитационного поля, создаваемого объектом, а также гравитационную силу, действующую на объект, когда он погружен в гравитационное поле, создаваемое другими телами. Инертная масса, с другой стороны, количественно определяет, насколько объект ускоряется, если к нему приложена заданная сила. Эквивалентность массы и энергии в специальной теории относительности относится к инертной массе. Однако уже в контексте ньютоновской гравитации постулируется слабый принцип эквивалентности : гравитационная и инертная массы каждого объекта одинаковы. Таким образом, эквивалентность массы и энергии в сочетании со слабым принципом эквивалентности приводит к предсказанию, что все формы энергии вносят вклад в гравитационное поле, создаваемое объектом. Это наблюдение является одним из столпов общей теории относительности .

Предсказание о том, что все формы энергии взаимодействуют гравитационно, было подвергнуто экспериментальным проверкам. Одно из первых наблюдений, проверяющих это предсказание, называемое экспериментом Эддингтона , было сделано во время солнечного затмения 29 мая 1919 года . ^[16]^[17] Во время солнечного затмения английский астроном и физик Артур Эддингтон заметил, что свет от звезд, проходящих близко к Солнцу, искривляется. Эффект обусловлен гравитационным притяжением света Солнцем. Наблюдение подтвердило, что энергия, переносимая светом, действительно эквивалентна гравитационной массе. Другой основополагающий эксперимент, эксперимент Паунда-Ребки , был проведен в 1960 году. ^[18] В этом тесте луч света испускался с вершины башни и обнаруживался внизу. Частота обнаруженного света была выше, чем излучаемого света. Этот результат подтверждает, что энергия фотонов увеличивается, когда они попадают в гравитационное поле Земли. Энергия, а следовательно, и гравитационная масса фотонов пропорциональны их частоте, как установлено соотношением Планка.

Эффективность

В некоторых реакциях частицы материи могут быть разрушены, а их связанная энергия высвобождается в окружающую среду в виде других форм энергии, таких как свет и тепло. ^[1] Один из примеров такого преобразования имеет место во взаимодействиях элементарных частиц, где энергия покоя преобразуется в кинетическую энергию. ^[1] Такие преобразования между типами энергии происходят в ядерном оружии, в котором протоны и нейтроны в атомных ядрах теряют небольшую часть своей первоначальной массы, хотя потеря массы не связана с разрушением каких-либо более мелких составляющих. Ядерное деление позволяет преобразовать крошечную часть энергии, связанной с массой, в полезную энергию, такую как излучение; при распаде урана , например, теряется около 0,1% массы исходного атома. ^[19] Теоретически должно быть возможно уничтожить материю и преобразовать всю энергию покоя, связанную с материей, в тепло и свет, но ни один из теоретически известных методов не является практичным. Один из способов использовать всю энергию, связанную с массой, — это уничтожить материю с антиматерией . Однако антиматерия встречается во Вселенной редко , и известные механизмы ее производства требуют больше полезной энергии, чем было бы выделено при аннигиляции. В 2011 году ЦЕРН подсчитал, что для создания и хранения антиматерии требуется в миллиард раз больше энергии, чем может быть выделено при ее аннигиляции. ^[20]

Поскольку большая часть массы, из которой состоят обычные объекты, находится в протонах и нейтронах, преобразование всей энергии обычной материи в более полезные формы требует, чтобы протоны и нейтроны были преобразованы в более легкие частицы или частицы без массы вообще. В Стандартной модели физики элементарных частиц число протонов и нейтронов почти точно сохраняется. Несмотря на это, Джерард 'т Хоофт показал, что существует процесс, который преобразует протоны и нейтроны в антиэлектроны и нейтрино . ^[21] Это слабый SU(2) инстантон, предложенный физиками Александром Белавиным , Александром Марковичем Поляковым , Альбертом Шварцем и Ю. С. Тюпкиным. ^[22] Этот процесс, в принципе, может разрушить материю и преобразовать всю энергию материи в нейтрино и полезную энергию, но обычно он необычайно медленный. Позже было показано, что процесс происходит быстро при чрезвычайно высоких температурах, которые могли быть достигнуты только вскоре после Большого взрыва . ^[23]

Многие расширения стандартной модели содержат магнитные монополи , и в некоторых моделях великого объединения эти монополи катализируют распад протона , процесс, известный как эффект Каллана-Рубакова. ^[24] Этот процесс был бы эффективным преобразованием массы в энергию при обычных температурах, но он требует создания монополей и антимонополей, производство которых, как ожидается, будет неэффективным. Другой метод полного уничтожения материи использует гравитационное поле черных дыр. Британский физик-теоретик Стивен Хокинг предположил ^[25], что можно бросить материю в черную дыру и использовать выделяемое тепло для генерации энергии. Однако, согласно теории излучения Хокинга , более крупные черные дыры излучают меньше, чем более мелкие, так что пригодную для использования энергию могут производить только небольшие черные дыры.

Расширение для систем в движении

В отличие от энергии системы в инерциальной системе отсчета, релятивистская энергия ( ) системы зависит как от массы покоя ( ), так и от полного импульса системы. Расширение уравнения Эйнштейна на эти системы имеет вид: ^[26]^[27]^{[примечание 2]} $E_{\rm {rel}}$ $m_{0}$

{\begin{aligned}E_{\rm {rel}}^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}&=m_{0}^{2}c^{4}\\E_{\rm {rel}}^{2}-(pc)^{2}&=(m_{0}c^{2})^{2}\end{aligned}}

или

${\begin{aligned}E_{\rm {rel}}={\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}}\,\!\end{aligned}}$

где член представляет собой квадрат евклидовой нормы (полной длины вектора) различных векторов импульса в системе, которая сводится к квадрату простой величины импульса, если рассматривается только одна частица. Это уравнение называется соотношением энергии и импульса и сводится к , когда член импульса равен нулю. Для фотонов, где , уравнение сводится к . $(pc)^{2}$ $E_{\rm {rel}}=mc^{2}$ $m_{0}=0$ $E_{\rm {rel}}=pc$

Низкоскоростное приближение

Используя фактор Лоренца , $γ$ , энергию-импульс можно переписать как $E = γmc 2$ и разложить в степенной ряд :

E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{6}+\ldots \right].

Для скоростей, намного меньших скорости света, члены более высокого порядка в этом выражении становятся все меньше и меньше, потому что $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠в/с⁠$ мало. Для низких скоростей все члены, кроме первых двух, можно игнорировать:

E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}.

В классической механике игнорируются как член $m 0 c 2$ , так и поправки на высокой скорости. Начальное значение энергии произвольно, поскольку можно измерить только изменение энергии, поэтому член $m 0 c 2$ игнорируется в классической физике. В то время как члены более высокого порядка становятся важными на более высоких скоростях, уравнение Ньютона является высокоточным приближением на низкой скорости; добавление третьего члена дает:

E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\left(1+{\frac {3v^{2}}{4c^{2}}}\right)

Разница между двумя приближениями определяется как , число, очень малое для обычных объектов. В 2018 году NASA объявило, что Parker Solar Probe был самым быстрым из когда-либо существовавших, со скоростью 153 454 миль в час (68 600 м/с). ^[28] Разница между приближениями для Parker Solar Probe в 2018 году составляет , что учитывает энергетическую поправку в размере четырех частей на сто миллионов. Гравитационная постоянная , напротив, имеет стандартную относительную неопределенность около . ^[29] ${\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}$ ${\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}\approx 3.9\times 10^{-8}$ $2.2\times 10^{-5}$

Приложения

Применение в ядерной физике

Энергия связи ядра — это минимальная энергия, необходимая для разложения ядра атома на составные части. ^[30] Масса атома меньше суммы масс его составляющих из-за притяжения сильного ядерного взаимодействия . ^[31] Разница между двумя массами называется дефектом массы и связана с энергией связи через формулу Эйнштейна. ^[31]^[32]^[33] Этот принцип используется при моделировании реакций ядерного деления и подразумевает, что большое количество энергии может быть высвобождено в цепных реакциях ядерного деления, используемых как в ядерном оружии , так и в ядерной энергетике .

Молекула воды весит немного меньше, чем два свободных атома водорода и атом кислорода. Незначительная разница масс — это энергия, необходимая для расщепления молекулы на три отдельных атома (деленная на $c2 ), которая выделяется в виде тепла при образовании молекулы (это тепло имеет массу). Аналогично, динамитная шашка в теории весит немного больше, чем осколки после взрыва; в$ этом случае разница масс — это энергия и тепло, которые выделяются при взрыве динамита. Такое изменение массы может произойти только тогда, когда система открыта, и энергия и масса могут выходить наружу. Таким образом, если динамитную шашку взорвать в герметично закрытой камере, масса камеры и осколков, тепло, звук и свет по-прежнему будут равны первоначальной массе камеры и динамита. Если положить на весы, вес и масса не изменятся. Это в теории произошло бы даже с ядерной бомбой, если бы ее можно было поместить в идеальную коробку бесконечной прочности, которая не разрывалась бы и не пропускала излучение . ^{[примечание 3]} Таким образом, 21,5 килотонны (9 × 10 ¹³ джоулей ) ядерная бомба производит около одного грамма тепла и электромагнитного излучения, но масса этой энергии не будет обнаружена во взорванной бомбе в идеальной коробке, стоящей на весах; вместо этого содержимое коробки нагрелось бы до миллионов градусов без изменения общей массы и веса. Если бы прозрачное окно, пропускающее только электромагнитное излучение, было открыто в такой идеальной коробке после взрыва, и пучок рентгеновских лучей и другого света с более низкой энергией позволил бы выйти из коробки, в конечном итоге было бы обнаружено, что он весит на один грамм меньше, чем до взрыва. Эта потеря веса и потеря массы происходила бы, когда коробка охлаждалась этим процессом до комнатной температуры. Однако любая окружающая масса, которая поглощала рентгеновские лучи (и другое «тепло»), получила бы этот грамм массы от полученного нагрева, таким образом, в этом случае «потеря» массы представляла бы собой просто ее перемещение.

Практические примеры

Эйнштейн использовал систему единиц сантиметр-грамм-секунда (cgs), но формула не зависит от системы единиц. В естественных единицах численное значение скорости света положено равным 1, а формула выражает равенство числовых значений: $E = m$ . В системе SI (выражающей отношение $⁠$ $Э / м ⁠$ в джоулях на килограмм, используя значение $c$ в метрах в секунду ):^[35]

⁠ Э / м ⁠ =

с 2 = (299792458 м/с) 2 =

89875517873681764 Дж/кг

(≈ 9,0 × 10¹⁶ джоулей на килограмм).

Таким образом, энергетический эквивалент одного килограмма массы равен

89,9 петаджоулей
25,0 млрд киловатт-часов (≈ 25 000 ГВт·ч )
21,5 триллиона килокалорий (≈ 21 Пкал) ^{[примечание 4]}
85,2 триллиона БТЕ ^{[примечание 4]}
0.0852 квадроциклов

или энергия, выделяемая при сгорании следующих веществ:

21 500 килотонн энергии в тротиловом эквиваленте (≈ 21 Мт) ^{[примечание 4]}
2 630 000 000 литров или695 000 000 галлонов США автомобильного бензина

В любой момент высвобождения энергии процесс можно оценить с точки зрения $E = mc2$ . Например, бомба в стиле « Gadget », использованная в испытании Trinity и бомбардировке Нагасаки, $имела$ взрывную мощность, эквивалентную 21 кт тротила. ^[36] Около 1 кг из приблизительно 6,15 кг плутония в каждой из этих бомб расщепились на более легкие элементы, в общей сложности почти на один грамм меньше после охлаждения. Электромагнитное излучение и кинетическая энергия (тепловая и взрывная энергия), высвободившиеся при этом взрыве, несли недостающий грамм массы.

Всякий раз, когда к системе добавляется энергия, система приобретает массу, как показано при перестановке уравнения:

Масса пружины увеличивается всякий раз , когда она подвергается сжатию или растяжению. Увеличение ее массы происходит из-за увеличения потенциальной энергии, запасенной в ней, которая связана в растянутых химических (электронных) связях, соединяющих атомы внутри пружины.
Повышение температуры объекта (увеличение его тепловой энергии ) увеличивает его массу. Например, рассмотрим основной мировой стандарт массы килограмма, изготовленный из платины и иридия . Если его температура изменяется на 1 °C, его масса изменяется на 1,5 пикограмма (1 пг =1 × 10−12 г ). ^[^{примечание 5]}
Вращающийся шар имеет большую массу, чем когда он не вращается. Его увеличение массы в точности эквивалентно массе энергии вращения , которая сама по себе является суммой кинетических энергий всех движущихся частей шара. Например, сама Земля более массивна из-за своего вращения, чем была бы без вращения. Энергия вращения Земли больше 10 ²⁴ Джоулей, что составляет более 10 ⁷ кг. ^[37]

История

Хотя Эйнштейн был первым, кто правильно вывел формулу эквивалентности массы и энергии, он не был первым, кто связал энергию с массой, хотя почти все предыдущие авторы считали, что энергия, которая вносит вклад в массу, исходит только от электромагнитных полей. ^[38]^[39]^[40] После открытия формула Эйнштейна была первоначально записана во многих различных обозначениях, а ее интерпретация и обоснование были далее разработаны в несколько этапов. ^[41]^[42]

Разработки до Эйнштейна

Теории XVIII века о соотношении массы и энергии включали теорию, разработанную английским ученым Исааком Ньютоном в 1717 году, который предположил, что частицы света и частицы материи взаимопревращаемы в «Запросе 30» Оптики , где он спрашивает: «Разве грубые тела и свет не преобразуются друг в друга, и не могут ли тела получать большую часть своей активности от частиц света, которые входят в их состав?» ^[43] Шведский ученый и теолог Эммануэль Сведенборг в своих Принципах 1734 года выдвинул теорию, что вся материя в конечном итоге состоит из безразмерных точек «чистого и полного движения». Он описал это движение как не имеющее силы, направления или скорости, но имеющее потенциал для силы, направления и скорости повсюду внутри него. ^[44]^[45]

В девятнадцатом веке было предпринято несколько спекулятивных попыток показать, что масса и энергия пропорциональны в различных теориях эфира . ^[46] В 1873 году русский физик и математик Николай Умов указал на связь между массой и энергией для эфира в виде $Е = kmc 2$ , где $0,5 \leq k \leq 1$ . ^[47] Труды английского инженера Сэмюэля Толвера Престона [ ^48] и статья 1903 года итальянского промышленника и геолога Олинто Де Претто [ ^49]^[50] представили связь массы и энергии. Итальянский математик и историк математики Умберто Барточчи заметил, что существует только три степени разделения, связывающие Де Претто с Эйнштейном, заключив, что Эйнштейн, вероятно, был знаком с работой Де Претто. ^[51]^[52] Престон и Де Претто, следуя физику Жоржу-Луи Ле Сажу , представили, что Вселенная заполнена эфиром из крошечных частиц, которые всегда движутся со скоростью $c$ . Каждая из этих частиц имеет кинетическую энергию $mc 2$ с точностью до небольшого числового множителя. Нерелятивистская формула кинетической энергии не всегда включала традиционный множитель ⁠1/2⁠ , поскольку немецкий полимат Готфрид Лейбниц ввел кинетическую энергию без него, и ⁠1/2⁠ в значительной степени общепринято в дорелятивистской физике. ^[53] Предположив, что каждая частица имеет массу, которая является суммой масс частиц эфира, авторы пришли к выводу, что вся материя содержит некоторое количество кинетической энергии, определяемое либо как $E$ $= mc2, либо$ как $2 E = mc2$ в зависимости от соглашения. Частичный эфир обычно считался неприемлемо спекулятивной наукой в то время, ^[54] и поскольку эти авторы не сформулировали теорию относительности, их рассуждения полностью отличаются от рассуждений Эйнштейна, который использовал относительность для смены систем отсчета.

В 1905 году, независимо от Эйнштейна, французский эрудит Гюстав Лебон предположил, что атомы могут высвобождать большие объемы скрытой энергии, исходя из всеобъемлющей качественной философии физики . ^[55]^[56]

Электромагнитная масса

В 19-м и начале 20-го века было предпринято много попыток — например, британскими физиками Дж. Дж. Томсоном в 1881 году и Оливером Хевисайдом в 1889 году, Джорджем Фредериком Чарльзом Сирлом в 1897 году, немецкими физиками Вильгельмом Вином в 1900 году и Максом Абрахамом в 1902 году, а также голландским физиком Хендриком Антоном Лоренцом в 1904 году — понять, как масса заряженного объекта зависит от электростатического поля . ^[57] Это понятие называлось электромагнитной массой и считалось зависящим также от скорости и направления. Лоренц в 1904 году дал следующие выражения для продольной и поперечной электромагнитной массы:

m_{L}={\frac {m_{0}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

где

m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}

Другой способ получения типа электромагнитной массы основывался на концепции давления излучения . В 1900 году французский полимат Анри Пуанкаре связал энергию электромагнитного излучения с «фиктивной жидкостью», имеющей импульс и массу ^[4]

m_{em}={\frac {E_{em}}{c^{2}}}\,.

Тем самым Пуанкаре пытался спасти теорему о центре масс в теории Лоренца, хотя его трактовка привела к парадоксам излучения. ^[40]

Австрийский физик Фридрих Хазенёрль в 1904 году показал, что электромагнитное полостное излучение вносит вклад в «кажущуюся массу».

m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}

к массе полости. Он утверждал, что это подразумевает зависимость массы также от температуры. ^[58]

Эйнштейн: эквивалентность массы и энергии

Эйнштейн не записал точную формулу $E = mc2$ в своей статье Annus Mirabilis 1905 года «Зависит ли инерция объекта от его энергетического содержания?»; ^{[5] вместо этого} $в$ статье утверждается, что если тело выделяет энергию $L$ , испуская свет, его масса уменьшается на $⁠$ $Л / с 2 ⁠$ . Эта формулировка связывает только изменениемассы $Δ m$ $с изменением энергии L$ , не требуя абсолютного отношения. Это отношение убедило его в том, что массу и энергию можно рассматривать как два названия одной и той же базовой сохраняющейся физической величины.^[59] Он заявил, что законы сохранения энергии и сохранения массы — это «одно и то же».^[60] Эйнштейн подробно изложил в эссе 1946 года, что «принцип сохранения массы… оказался неадекватным перед лицом специальной теории относительности. Поэтому он был объединен с принципом сохранения энергии — точно так же, как примерно 60 лет назад принцип сохранения механической энергии был объединен с принципом сохранения тепла [тепловой энергии]. Мы могли бы сказать, что принцип сохранения энергии, ранее поглотивший принцип сохранения тепла, теперь продолжил поглощать принцип сохранения массы — и удерживает поле в одиночестве».^[61]

Соотношение массы и скорости

Разрабатывая специальную теорию относительности , Эйнштейн обнаружил, что кинетическая энергия движущегося тела равна

E_{k}=m_{0}c^{2}(\gamma -1)=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right),

где $v$ — скорость , m $0 —$ масса покоя, а $γ$ — фактор Лоренца.

Он включил второй член справа, чтобы убедиться, что при малых скоростях энергия будет такой же, как в классической механике, тем самым удовлетворяя принципу соответствия :

E_{k}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+\cdots

Без этого второго члена имелся бы дополнительный вклад в энергию, когда частица не движется.

Взгляд Эйнштейна на массу

Эйнштейн, вслед за Лоренцом и Абрахамом, использовал концепции массы, зависящие от скорости и направления, в своей работе по электродинамике 1905 года и в другой работе 1906 года. ^[62]^[63] В первой работе Эйнштейна 1905 года о $E = mc2$ он рассматривал $m$ как то, что сейчас называется массой покоя , ^{[5] и было отмечено} $,$ что в последние годы ему не нравилась идея «релятивистской массы». ^[64]

В старой терминологии физики релятивистская энергия используется вместо релятивистской массы, а термин «масса» зарезервирован для массы покоя. ^[13] Исторически существовали значительные дебаты по поводу использования концепции «релятивистской массы» и связи «массы» в теории относительности с «массой» в ньютоновской динамике. Одна точка зрения заключается в том, что только масса покоя является жизнеспособной концепцией и является свойством частицы; в то время как релятивистская масса является конгломератом свойств частицы и свойств пространства-времени. Другая точка зрения, приписываемая норвежскому физику Кьеллу Вёйенли, заключается в том, что ньютоновская концепция массы как свойства частицы и релятивистская концепция массы должны рассматриваться как встроенные в их собственные теории и как не имеющие точной связи. ^[65]^[66]

Вывод Эйнштейна 1905 года

Уже в своей работе по теории относительности «К электродинамике движущихся тел» Эйнштейн вывел правильное выражение для кинетической энергии частиц:

E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)

Теперь оставался открытым вопрос о том, какая формулировка применима к покоящимся телам. Этот вопрос был рассмотрен Эйнштейном в его статье «Зависит ли инерция тела от его энергетического содержания?», одной из его статей Annus Mirabilis . Здесь Эйнштейн использовал $V$ для обозначения скорости света в вакууме и $L$ для обозначения энергии, теряемой телом в форме излучения. ^[5] Следовательно, уравнение $E = mc 2$ изначально было записано не как формула, а как предложение на немецком языке, говорящее, что «если тело отдает энергию $L$ в форме излучения, его масса уменьшается на $⁠$ $Л / В 2 ⁠$ ." Замечание, размещенное над ним, информировало, что уравнение было аппроксимировано путем пренебрежения "величинами четвертого и более высоких порядков" разложения в ряд .^{[примечание 6]} Эйнштейн использовал тело, испускающее два световых импульса в противоположных направлениях, имеющих энергию $E 0$ до и $E 1$ после испускания, как видно из его неподвижной системы отсчета. Если смотреть из движущейся системы отсчета, $E 0$ становится $H 0$ , а $E 1$ становится $H 1$ . Эйнштейн получил, в современных обозначениях:

\left(H_{0}-E_{0}\right)-\left(H_{1}-E_{1}\right)=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)

Затем он утверждал, что $H - E$ может отличаться от кинетической энергии $K$ только на аддитивную константу, что дает

K_{0}-K_{1}=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)

Пренебрежение эффектами выше третьего порядка в $⁠$ $в / с ⁠$ послеразложения правой части в ряд Тейлора получаем:

K_{0}-K_{1}={\frac {E}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{2}}.

Einstein concluded that the emission reduces the body's mass by $⁠ E / c 2 ⁠$ , and that the mass of a body is a measure of its energy content.

The correctness of Einstein's 1905 derivation of $E = mc 2$ was criticized by German theoretical physicist Max Planck in 1907, who argued that it is only valid to first approximation. Another criticism was formulated by American physicist Herbert Ives in 1952 and the Israeli physicist Max Jammer in 1961, asserting that Einstein's derivation is based on begging the question.^[41]^[67] Other scholars, such as American and Chilean philosophers John Stachel and Roberto Torretti, have argued that Ives' criticism was wrong, and that Einstein's derivation was correct.^[68] American physics writer Hans Ohanian, in 2008, agreed with Stachel/Torretti's criticism of Ives, though he argued that Einstein's derivation was wrong for other reasons.^[69]

Relativistic center-of-mass theorem of 1906

Like Poincaré, Einstein concluded in 1906 that the inertia of electromagnetic energy is a necessary condition for the center-of-mass theorem to hold. On this occasion, Einstein referred to Poincaré's 1900 paper and wrote: "Although the merely formal considerations, which we will need for the proof, are already mostly contained in a work by H. Poincaré², for the sake of clarity I will not rely on that work."^[70] In Einstein's more physical, as opposed to formal or mathematical, point of view, there was no need for fictitious masses. He could avoid the perpetual motion problem because, on the basis of the mass–energy equivalence, he could show that the transport of inertia that accompanies the emission and absorption of radiation solves the problem. Poincaré's rejection of the principle of action–reaction can be avoided through Einstein's $E = mc 2$ , because mass conservation appears as a special case of the energy conservation law.

Further developments

There were several further developments in the first decade of the twentieth century. In May 1907, Einstein explained that the expression for energy $ε$ of a moving mass point assumes the simplest form when its expression for the state of rest is chosen to be $ε 0 = μV 2$ (where $μ$ is the mass), which is in agreement with the "principle of the equivalence of mass and energy". In addition, Einstein used the formula $μ = ⁠ E 0 / V 2 ⁠$ , with $E 0$ being the energy of a system of mass points, to describe the energy and mass increase of that system when the velocity of the differently moving mass points is increased.^[71] Max Planck rewrote Einstein's mass–energy relationship as $M = ⁠ E 0 + pV 0 / c 2 ⁠$ in June 1907, where $p$ is the pressure and $V 0$ the volume to express the relation between mass, its latent energy, and thermodynamic energy within the body.^[72] Subsequently, in October 1907, this was rewritten as $M 0 = ⁠ E 0 / c 2 ⁠$ and given a quantum interpretation by German physicist Johannes Stark, who assumed its validity and correctness.^[73] In December 1907, Einstein expressed the equivalence in the form $M = μ + ⁠ E 0 / c 2 ⁠$ and concluded: "A mass $μ$ is equivalent, as regards inertia, to a quantity of energy $μc 2$ . […] It appears far more natural to consider every inertial mass as a store of energy."^[74]^[75] American physical chemists Gilbert N. Lewis and Richard C. Tolman used two variations of the formula in 1909: $m = ⁠ E / c 2 ⁠$ and $m 0 = ⁠ E 0 / c 2 ⁠$ , with $E$ being the relativistic energy (the energy of an object when the object is moving), $E 0$ is the rest energy (the energy when not moving), $m$ is the relativistic mass (the rest mass and the extra mass gained when moving), and $m 0$ is the rest mass.^[76] The same relations in different notation were used by Lorentz in 1913 and 1914, though he placed the energy on the left-hand side: $ε = Mc 2$ and $ε 0 = mc 2$ , with $ε$ being the total energy (rest energy plus kinetic energy) of a moving material point, $ε 0$ its rest energy, $M$ the relativistic mass, and $m$ the invariant mass.^[77]

In 1911, German physicist Max von Laue gave a more comprehensive proof of $M 0 = ⁠ E 0 / c 2 ⁠$ from the stress–energy tensor,^[78] which was later generalized by German mathematician Felix Klein in 1918.^[79]

Einstein returned to the topic once again after World War II and this time he wrote $E = mc 2$ in the title of his article^[80] intended as an explanation for a general reader by analogy.^[81]

Alternative version

An alternative version of Einstein's thought experiment was proposed by American theoretical physicist Fritz Rohrlich in 1990, who based his reasoning on the Doppler effect.^[82] Like Einstein, he considered a body at rest with mass $M$ . If the body is examined in a frame moving with nonrelativistic velocity $v$ , it is no longer at rest and in the moving frame it has momentum $P = Mv$ . Then he supposed the body emits two pulses of light to the left and to the right, each carrying an equal amount of energy $⁠ E / 2 ⁠$ . In its rest frame, the object remains at rest after the emission since the two beams are equal in strength and carry opposite momentum. However, if the same process is considered in a frame that moves with velocity $v$ to the left, the pulse moving to the left is redshifted, while the pulse moving to the right is blue shifted. The blue light carries more momentum than the red light, so that the momentum of the light in the moving frame is not balanced: the light is carrying some net momentum to the right. The object has not changed its velocity before or after the emission. Yet in this frame it has lost some right-momentum to the light. The only way it could have lost momentum is by losing mass. This also solves Poincaré's radiation paradox. The velocity is small, so the right-moving light is blueshifted by an amount equal to the nonrelativistic Doppler shift factor $1 - ⁠ v / c ⁠$ . The momentum of the light is its energy divided by $c$ , and it is increased by a factor of $⁠ v / c ⁠$ . So the right-moving light is carrying an extra momentum $Δ P$ given by:

\Delta P={v \over c}{E \over 2c}.

The left-moving light carries a little less momentum, by the same amount $Δ P$ . So the total right-momentum in both light pulses is twice $Δ P$ . This is the right-momentum that the object lost.

2\Delta P=v{E \over c^{2}}.

The momentum of the object in the moving frame after the emission is reduced to this amount:

P'=Mv-2\Delta P=\left(M-{E \over c^{2}}\right)v.

So the change in the object's mass is equal to the total energy lost divided by $c 2$ . Since any emission of energy can be carried out by a two-step process, where first the energy is emitted as light and then the light is converted to some other form of energy, any emission of energy is accompanied by a loss of mass. Similarly, by considering absorption, a gain in energy is accompanied by a gain in mass.

Radioactivity and nuclear energy

It was quickly noted after the discovery of radioactivity in 1897 that the total energy due to radioactive processes is about one million times greater than that involved in any known molecular change, raising the question of where the energy comes from. After eliminating the idea of absorption and emission of some sort of Lesagian ether particles, the existence of a huge amount of latent energy, stored within matter, was proposed by New Zealand physicist Ernest Rutherford and British radiochemist Frederick Soddy in 1903. Rutherford also suggested that this internal energy is stored within normal matter as well. He went on to speculate in 1904: "If it were ever found possible to control at will the rate of disintegration of the radio-elements, an enormous amount of energy could be obtained from a small quantity of matter."^[83]^[84]^[85]

Einstein's equation does not explain the large energies released in radioactive decay, but can be used to quantify them. The theoretical explanation for radioactive decay is given by the nuclear forces responsible for holding atoms together, though these forces were still unknown in 1905. The enormous energy released from radioactive decay had previously been measured by Rutherford and was much more easily measured than the small change in the gross mass of materials as a result. Einstein's equation, by theory, can give these energies by measuring mass differences before and after reactions, but in practice, these mass differences in 1905 were still too small to be measured in bulk. Prior to this, the ease of measuring radioactive decay energies with a calorimeter was thought possibly likely to allow measurement of changes in mass difference, as a check on Einstein's equation itself. Einstein mentions in his 1905 paper that mass–energy equivalence might perhaps be tested with radioactive decay, which was known by then to release enough energy to possibly be "weighed," when missing from the system. However, radioactivity seemed to proceed at its own unalterable pace, and even when simple nuclear reactions became possible using proton bombardment, the idea that these great amounts of usable energy could be liberated at will with any practicality, proved difficult to substantiate. Rutherford was reported in 1933 to have declared that this energy could not be exploited efficiently: "Anyone who expects a source of power from the transformation of the atom is talking moonshine."^[86]

This outlook changed dramatically in 1932 with the discovery of the neutron and its mass, allowing mass differences for single nuclides and their reactions to be calculated directly, and compared with the sum of masses for the particles that made up their composition. In 1933, the energy released from the reaction of lithium-7 plus protons giving rise to two alpha particles, allowed Einstein's equation to be tested to an error of ±0.5%.^[87] However, scientists still did not see such reactions as a practical source of power, due to the energy cost of accelerating reaction particles. After the very public demonstration of huge energies released from nuclear fission after the atomic bombings of Hiroshima and Nagasaki in 1945, the equation $E = mc 2$ became directly linked in the public eye with the power and peril of nuclear weapons. The equation was featured on page 2 of the Smyth Report, the official 1945 release by the US government on the development of the atomic bomb, and by 1946 the equation was linked closely enough with Einstein's work that the cover of Time magazine prominently featured a picture of Einstein next to an image of a mushroom cloud emblazoned with the equation.^[88] Einstein himself had only a minor role in the Manhattan Project: he had cosigned a letter to the U.S. president in 1939 urging funding for research into atomic energy, warning that an atomic bomb was theoretically possible. The letter persuaded Roosevelt to devote a significant portion of the wartime budget to atomic research. Without a security clearance, Einstein's only scientific contribution was an analysis of an isotope separation method in theoretical terms. It was inconsequential, on account of Einstein not being given sufficient information to fully work on the problem.^[89]

While $E = mc 2$ is useful for understanding the amount of energy potentially released in a fission reaction, it was not strictly necessary to develop the weapon, once the fission process was known, and its energy measured at 200 MeV (which was directly possible, using a quantitative Geiger counter, at that time). The physicist and Manhattan Project participant Robert Serber noted that somehow "the popular notion took hold long ago that Einstein's theory of relativity, in particular his equation $E = mc 2$ , plays some essential role in the theory of fission. Einstein had a part in alerting the United States government to the possibility of building an atomic bomb, but his theory of relativity is not required in discussing fission. The theory of fission is what physicists call a non-relativistic theory, meaning that relativistic effects are too small to affect the dynamics of the fission process significantly."^{[note 7]} There are other views on the equation's importance to nuclear reactions. In late 1938, the Austrian-Swedish and British physicists Lise Meitner and Otto Robert Frisch—while on a winter walk during which they solved the meaning of Hahn's experimental results and introduced the idea that would be called atomic fission—directly used Einstein's equation to help them understand the quantitative energetics of the reaction that overcame the "surface tension-like" forces that hold the nucleus together, and allowed the fission fragments to separate to a configuration from which their charges could force them into an energetic fission. To do this, they used packing fraction, or nuclear binding energy values for elements. These, together with use of $E = mc 2$ allowed them to realize on the spot that the basic fission process was energetically possible.^[90]

Einstein's equation written

According to the Einstein Papers Project at the California Institute of Technology and Hebrew University of Jerusalem, there remain only four known copies of this equation as written by Einstein. One of these is a letter written in German to Ludwik Silberstein, which was in Silberstein's archives, and sold at auction for $1.2 million, RR Auction of Boston, Massachusetts said on May 21, 2021.^[91]

Notes

^ They can also have a positive kinetic energy and a negative potential energy that exactly cancels.
^ Some authors state the expression equivalently as $E=\gamma m_{0}c^{2}$ where $\gamma$ is the Lorentz factor.
^ See Taylor and Wheeler^[34] for a discussion of mass remaining constant after detonation of nuclear bombs, until heat is allowed to escape.
^ a b c Conversions used: 1956 International (Steam) Table (IT) values where one calorie ≡ 4.1868 J and one BTU ≡ 1055.05585262 J. Weapons designers' conversion value of one gram TNT ≡ 1000 calories used.
^ Assuming a 90/10 alloy of Pt/Ir by weight, a $C p$ of 25.9 for Pt and 25.1 for Ir, a Pt-dominated average $C p$ of 25.8, 5.134 moles of metal, and 132 J⋅K⁻¹ for the prototype. A variation of ±1.5 picograms is much smaller than the uncertainty in the mass of the international prototype, which is ±2 micrograms.
^ See the sentence on the last page 641 of the original German edition, above the equation $K 0 - K 1 = ⁠ L / V 2 ⁠ ⁠ v 2 / 2 ⁠$ . See also the sentence above the last equation in the English translation, $K 0 - K 1 = ⁠ 1 / 2 ⁠ (⁠ L / c 2 ⁠) v 2$ , and the comment on the symbols used in About this edition that follows the translation.
^ Serber, Robert (2020-04-07). The Los Alamos Primer. University of California Press. p. 7. doi:10.2307/j.ctvw1d5pf. ISBN 978-0-520-37433-1. S2CID 91948043.. The quotation is taken from Serber's 1992 version, and is not in the original 1943 Los Alamos Primer of the same name.

References

^ a b c d Serway, Raymond A.; Jewett, John W.; Peroomian, Vahé (5 March 2013). Physics for scientists and engineers with modern physics (9th ed.). Boston, MA. pp. 1217–1218. ISBN 978-1-133-95405-7. OCLC 802321453.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ a b Günther, Helmut; Müller, Volker (2019), "Einstein 's Energy–Mass Equivalence", in Günther, Helmut; Müller, Volker (eds.), Special Theory of Relativity: Einstein’s World in New Axiomatics The Special Theory of Relativity, Singapore: Springer, pp. 97–105, doi:10.1007/978-981-13-7783-9_7, ISBN 978-981-13-7783-9, S2CID 209978258, archived from the original on 2021-02-21, retrieved 2020-10-14 {{citation}}: Check |url= value (help)
^ Bodanis, David (2009). E=mc12!: A Biography of the World's Most Famous Equation (illustrated ed.). Bloomsbury Publishing. preface. ISBN 978-0-8027-1821-1.
^ a b Poincaré, H. (1900). "La théorie de Lorentz et le principe de réaction" [The Theory of Lorentz and The Principle of Reaction]. Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles (in French). 5: 252–278. {{cite journal}}: External link in |trans-title= (help)
^ a b c d Einstein, A. (1905). "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" [Does the Inertia of a Body Depend Upon its Energy-Content?]. Annalen der Physik (in German). 323 (13): 639–641. Bibcode:1905AnP...323..639E. doi:10.1002/andp.19053231314. ISSN 1521-3889. {{cite journal}}: External link in |trans-title= (help)
^ Schatel, john. "The 1905 Papers". The 1905 Papers. 2: 172.
^ Puri, H. S.; Hans, S. P. (2003-07-01). Mechanics, 2E. Tata McGraw-Hill Education. p. 433. ISBN 978-0-07-047360-7.
^ Serway, Raymond A. (5 March 2013). Physics for scientists and engineers with modern physics. Jewett, John W., Peroomian, Vahé. (Ninth ed.). Boston, MA. p. 1386. ISBN 978-1-133-95405-7. OCLC 802321453.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ a b c d Griffiths, David J. (1999). Introduction to electrodynamics (3rd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. p. 512. ISBN 978-0-13-805326-0. OCLC 40251748. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-15.
^ Tipler, Paul Allen; Llewellyn, Ralph A. (2003). Modern physics (4th ed.). New York: W.H. Freeman. pp. 87–88. ISBN 978-0-7167-4345-3. OCLC 49894577.
^ Mould, Richard A. (2001-11-01). Basic Relativity. Springer Science & Business Media. p. 126. ISBN 978-0-387-95210-9.
^ Chow, Tai L. (2006). Introduction to Electromagnetic Theory: A Modern Perspective. Jones & Bartlett Learning. p. 392. ISBN 978-0-7637-3827-3. Archived from the original on 2016-12-02. Retrieved 2016-02-22.
^ a b c d e f g Griffiths, David J. (2008). Introduction to elementary particles (2nd, rev. ed.). Weinheim [Germany]: Wiley-VCH. p. 101. ISBN 978-3-527-40601-2. OCLC 248969635.
^ a b c Serway, Raymond A. (5 March 2013). Physics for scientists and engineers with modern physics. Jewett, John W., Peroomian, Vahé. (Ninth ed.). Boston, MA. p. 1219. ISBN 978-1-133-95405-7. OCLC 802321453.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Serway, Raymond A. (5 March 2013). Physics for scientists and engineers with modern physics. Jewett, John W., Peroomian, Vahé. (Ninth ed.). Boston, MA. p. 1386. ISBN 978-1-133-95405-7. OCLC 802321453. Archived from the original on 21 February 2021. Retrieved 15 October 2020.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Dyson, F.W.; Eddington, A.S. & Davidson, C.R. (January 1920). "IX. A determination of the deflection of light by the sun's gravitational field, from observations made at the total eclipse of May 29, 1919". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. 220 (571–581): 291–333. Bibcode:1920RSPTA.220..291D. doi:10.1098/rsta.1920.0009. ISSN 0264-3952.
^ Stanley, Matthew (2003-03-01). "'An Expedition to Heal the Wounds of War' The 1919 Eclipse and Eddington as Quaker Adventurer". Isis. 94 (1): 57–89. Bibcode:2003Isis...94...57S. doi:10.1086/376099. ISSN 0021-1753. PMID 12725104. S2CID 25615643. Archived from the original on 2020-08-05. Retrieved 2020-10-22.
^ Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1960-04-01). "Apparent Weight of Photons". Physical Review Letters. 4 (7): 337–341. Bibcode:1960PhRvL...4..337P. doi:10.1103/PhysRevLett.4.337. ISSN 0031-9007.
^ Bethe, Hans A. (1950-04-01). "The Hydrogen Bomb". Bulletin of the Atomic Scientists. 6 (4): 99–104. Bibcode:1950BuAtS...6d..99B. doi:10.1080/00963402.1950.11461231. ISSN 0096-3402.
^ "Making antimatter | Angels & Demons – The science behind the story". angelsanddemons.web.cern.ch. Archived from the original on 2020-11-01. Retrieved 2020-10-15.
^ 't Hooft, G. (1976-12-15). "Computation of the quantum effects due to a four-dimensional pseudoparticle". Physical Review D. 14 (12): 3432–3450. Bibcode:1976PhRvD..14.3432T. doi:10.1103/physrevd.14.3432. ISSN 0556-2821. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14.
^ Belavin, A.A.; Polyakov, A.M.; Schwartz, A.S.; Tyupkin, Yu.S. (October 1975). "Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations". Physics Letters B. 59 (1): 85–87. Bibcode:1975PhLB...59...85B. doi:10.1016/0370-2693(75)90163-x. ISSN 0370-2693. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14.
^ Klinkhammer, F.; Manton, N. (1984). "A Saddle Point Solution in the Weinberg Salam Theory". Physical Review D. 30 (10): 2212. Bibcode:1984PhRvD..30.2212K. doi:10.1103/PhysRevD.30.2212.
^ Rubakov, V. A. (1988). "Monopole Catalysis of Proton Decay". Reports on Progress in Physics. 51 (2): 189–241. doi:10.1088/0034-4885/51/2/002. S2CID 250904729.
^ Hawking, S.W. (1974). "Black Holes Explosions?". Nature. 248 (5443): 30. Bibcode:1974Natur.248...30H. doi:10.1038/248030a0. S2CID 4290107.
^ Forshaw, Jeffrey Robert (2009). Dynamics and relativity. Smith, A. Gavin. Chichester, UK: John Wiley & Sons. p. 259. ISBN 978-0-470-01459-2. OCLC 291193458. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14.
^ McMahon, David (2006). "1: Special relativity". Relativity demystified. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-145545-9. OCLC 61684277.
^ "Parker Solar Probe Becomes Fastest-Ever Spacecraft – Parker Solar Probe". blogs.nasa.gov. 29 October 2018. Archived from the original on 2020-08-17. Retrieved 2020-08-25.
^ "CODATA Value: Newtonian constant of gravitation". physics.nist.gov. Archived from the original on 2011-08-27. Retrieved 2020-08-25.
^ Rohlf, James William. (1994). Modern physics from [alpha] to Z⁰ (1st ed.). New York: John Wiley. p. 20. ISBN 978-0-471-57270-1. OCLC 29563946.
^ a b Rösch, Frank (2019), Lewis, Jason S.; Windhorst, Albert D.; Zeglis, Brian M. (eds.), "The Basics of Nuclear Chemistry and Radiochemistry: An Introduction to Nuclear Transformations and Radioactive Emissions", Radiopharmaceutical Chemistry, Cham: Springer International Publishing, pp. 27–61, doi:10.1007/978-3-319-98947-1_3, ISBN 978-3-319-98947-1, S2CID 134052082, retrieved 2020-10-14
^ Serway, Raymond A. (5 March 2013). Physics for scientists and engineers with modern physics. Jewett, John W., Peroomian, Vahé. (9th ed.). Boston, MA. p. 1419. ISBN 978-1-133-95405-7. OCLC 802321453.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Frisch, David H; Thorndike, Alan M (1964). Elementary particles. Princeton, N.J.: D. Van Nostrand. pp. 11–12. OCLC 222569.
^ Taylor, Edwin F. (1992). Spacetime physics: introduction to special relativity. Wheeler, John Archibald, 1911–2008. (2nd ed.). New York: W.H. Freeman. pp. 248–249. ISBN 978-0-7167-2327-1. OCLC 25165077.
^ Garwin, Richard L.; Charpak, Georges (2002). Megawatts and Megatons: The Future of Nuclear Power and Nuclear Weapons (illustrated ed.). University of Chicago Press. p. 17. ISBN 978-0-226-28427-9.
^ John, Malik (September 1985). "The Yields of the Hiroshima and Nagasaki Nuclear Explosions". Los Alamos National Laboratories. Archived from the original on 13 October 2020. Retrieved 1 October 2020.
^ Allain, Rhett (2009-06-22). "Rotational Energy of the Earth as an energy source". Wired. ISSN 1059-1028. Archived from the original on 2020-10-16. Retrieved 2020-10-14.
^ Whittaker, E. T. (1989). "The relativity theory of Poincaré and Lorentz". A History of the Theories of Aether and Electricity. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-26126-3. OCLC 20357018.
^ Miller, Arthur I. (1981). "Some Others Who Discussed an Association Between Energy and Mass". Albert Einstein's special theory of relativity: emergence (1905) and early interpretation, 1905–1911. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program. pp. 339–340. ISBN 978-0-201-04680-9. OCLC 5894058.
^ a b Darrigol, O. (2006), "The Genesis of the theory of relativity", Einstein, 1905–2005: Poincaré Seminar 2005, Damour, Thibault., Basel: Birkhäuser Verlag, pp. 1–22, ISBN 978-3-7643-7436-5, OCLC 317084635, archived from the original on 2021-02-21, retrieved 2020-10-14
^ a b Jammer, Max (1997) [1961]. Concepts of mass: in classical and modern physics. Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 51. ISBN 978-0-486-29998-3. OCLC 37546758.
^ Hecht, Eugene (June 2011). "How Einstein confirmed E0=mc2". American Journal of Physics. 79 (6): 591–600. Bibcode:2011AmJPh..79..591H. doi:10.1119/1.3549223. ISSN 0002-9505. Archived from the original on 2019-04-05. Retrieved 2020-10-14.
^ "Selected Queries from Isaac Newton's Opticks | Inters.org". inters.org. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14.
^ Swedenborg, Emanuel (1734). "De Simplici Mundi vel Puncto naturali". Principia rerum naturalium sive Novorum tentaminum phaenomena mundi elementaris philosophice explicandi... (in Latin). sumptibus Friderici Hekelii. p. 32.
^ Swedenborg, Emanuel (1845). The principia: or, The first principles of natural things, being new attempts toward a philosophical explanation of the elementary world. Translated by Clissold, Augustus. London; Boston: W. Newbery; O. Clapp. pp. 55–57. OCLC 863755. Retrieved 2020-10-14.
^ Kragh, Helge (1999). "Fin-de-Siècle Physics: A World Picture in Flux". Quantum generations: a history of physics in the twentieth century. Princeton University Press. pp. 3–12. doi:10.2307/j.ctv10crfmk. ISBN 978-0-691-21419-1. JSTOR j.ctv10crfmk. OCLC 1159003206. S2CID 243126061.
^ Умов Н. А. Избранные сочинения [N.A. Umov. Selected Works].(1950) М. — Л.. (in Russian)
^ Preston, S. Tolver (1875). Physics of the ether. London; New York: E. & F.N. Spon. OCLC 5834362. Retrieved 23 October 2020.
^ Bartocci, U; Bonicelli, Bianca Maria (1999). Albert Einstein e Olinto De Pretto: la vera storia della formula più famosa del mondo (in Italian). Bologna: Andromeda. OCLC 44897464. Retrieved 2020-10-14.
^ Carroll, Rory (1999-11-11). "Einstein's E=mc2 'was Italian's idea'". The Guardian. ISSN 0261-3077. Archived from the original on 2020-10-23. Retrieved 2020-10-23.
^ Bartocci, U; Bonicelli, Bianca Maria (1999). "Pretto, O. Reale Instituto Veneto Di Scienze, Lettere Ed Arti, LXIII, II, 439–500". Albert Einstein e Olinto De Pretto: la vera storia della formula più famosa del mondo (in Italian). Bologna: Andromeda. OCLC 44897464. Retrieved 2020-10-14.
^ "Information about the "De Pretto-Einstein case"". www.cartesio-episteme.net.
^ Prentis, Jeffrey J. (August 2005). "Why is the energy of motion proportional to the square of the velocity?". American Journal of Physics. 73 (8): 701–707. Bibcode:2005AmJPh..73..701P. doi:10.1119/1.1927550. ISSN 0002-9505.
^ Worrall, John (1985-03-01). "Reviews". The British Journal for the Philosophy of Science. 36 (1): 81–85. doi:10.1093/bjps/36.1.81. ISSN 0007-0882. Retrieved 2020-10-14.
^ Le Bon, Gustave (2014). The evolution of forces. CreateSpace Independent Publishing Platform. The Energetical Explanation of Phenomena. ISBN 978-1-4942-9965-1. OCLC 875679536. Retrieved 2020-10-14.
^ Bizouard, Christian (2004). "E = mc2 l'équation de Poincaré, Einstein et Planck: Henri Poincare et la physique". E = mc2 l'équation de Poincaré, Einstein et Planck: Henri Poincare et la physique (4): 35–37. ISSN 0151-0304.
^ Whittaker, E. T. (1989). "The followeres of Maxwell". A History of the Theories of Aether and Electricity. Vol. 1. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-26126-3. OCLC 20357018.
^ "Did Einstein discover E = mc2?". Physics World. 2011-08-23. Archived from the original on 2020-10-16. Retrieved 2020-10-14.
^ Hecht, Eugene (September 2009). "Einstein on mass and energy". American Journal of Physics. 77 (9): 799–806. Bibcode:2009AmJPh..77..799H. doi:10.1119/1.3160671. ISSN 0002-9505. Archived from the original on 2019-05-28. Retrieved 2020-10-14. Einstein was unequivocally against the traditional idea of conservation of mass. He had concluded that mass and energy were essentially one and the same; 'inert mass is simply latent energy.' He made his position known publicly time and again…
^ Einstein, Albert (1940-05-24). "Considerations Concerning the Fundaments of Theoretical Physics". Science. 91 (2369): 487–492. Bibcode:1940Sci....91..487E. doi:10.1126/science.91.2369.487. ISSN 0036-8075. PMID 17847438. Archived from the original on 2020-07-11. Retrieved 2020-10-14. There followed also the principle of the equivalence of mass and energy, with the laws of conservation of mass and energy becoming one and the same.
^ Einstein, Albert (1950). The Theory of Relativity (And Other Essays). Citadel Press. p. 14. ISBN 978-0-8065-1765-0.
^ Einstein, A. (1905). "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" [On the Electrodynamics of Moving Bodies]. Annalen der Physik (in German). 322 (10): 891–921. Bibcode:1905AnP...322..891E. doi:10.1002/andp.19053221004. {{cite journal}}: External link in |trans-title= (help)
^ Einstein, A. (1906). "Über eine Methode zur Bestimmung des Verhältnisses der transversalen und longitudinalen Masse des Elektrons" [On a method for the determination of the ratio of the transverse and the longitudinal mass of the electron]. Annalen der Physik (in German). 326 (13): 583–586. Bibcode:1906AnP...326..583E. doi:10.1002/andp.19063261310. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14. {{cite journal}}: External link in |trans-title= (help)
^ Okun, Lev B. (June 1989). "The Concept of Mass". Physics Today. 42 (6): 31–36. Bibcode:1989PhT....42f..31O. doi:10.1063/1.881171. ISSN 0031-9228.
^ Jammer, Max (2000). Concepts of mass in contemporary physics and philosophy. Princeton, N.J.: Princeton University Press. p. 51. ISBN 978-1-4008-1219-6. OCLC 614715841.
^ Eriksen, Erik; Vøyenli, Kjell (February 1976). "The classical and relativistic concepts of mass". Foundations of Physics. 6 (1): 115–124. Bibcode:1976FoPh....6..115E. doi:10.1007/BF00708670. ISSN 0015-9018. S2CID 120139174.
^ Ives, Herbert E. (1952-08-01). "Derivation of the Mass-Energy Relation". Journal of the Optical Society of America. 42 (8): 540. doi:10.1364/JOSA.42.000540. ISSN 0030-3941.
^ Stachel, John; Torretti, Roberto (August 1982). "Einstein's first derivation of mass–energy equivalence". American Journal of Physics. 50 (8): 760–763. Bibcode:1982AmJPh..50..760S. doi:10.1119/1.12764. ISSN 0002-9505. Archived from the original on 2019-05-28. Retrieved 2020-10-14.
^ Ohanian, Hans C. (May 2009). "Did Einstein prove E=mc2?". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 40 (2): 167–173. Bibcode:2009SHPMP..40..167O. doi:10.1016/j.shpsb.2009.03.002. Retrieved 2020-10-14.
^ Einstein, A. (1906). "Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie" [The Principle of Conservation of Motion of the Center of Gravity and the Inertia of Energy]. Annalen der Physik (in German). 325 (8): 627–633. Bibcode:1906AnP...325..627E. doi:10.1002/andp.19063250814. S2CID 120361282. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14. Trotzdem die einfachen formalen Betrachtungen, die zum Nachweis dieser Behauptung durchgeführt werden müssen, in der Hauptsache bereits in einer Arbeit von H. Poincaré enthalten sind², werde ich mich doch der Übersichtlichkeit halber nicht auf jene Arbeit stützen. {{cite journal}}: External link in |trans-title= (help)
^ Einstein, A. (1907). "Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie" [On the Inertial of Energy Required by the Relativity Principle]. Annalen der Physik (in German). 328 (7): 371–384. Bibcode:1907AnP...328..371E. doi:10.1002/andp.19073280713. {{cite journal}}: External link in |trans-title= (help)
^ Planck, M. (1908). "Zur Dynamik bewegter Systeme" [On the Dynamics of Moving Systems]. Annalen der Physik (in German). 331 (6): 1–34. Bibcode:1908AnP...331....1P. doi:10.1002/andp.19083310602.
^ Stark, J. (1907). "Elementarquantum der Energie, Modell der negativen und der positiven Elekrizitat". Physikalische Zeitschrift (in German). 24 (8): 881.
^ Einstein, Albert (1908). "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen" [On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn From it]. Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik (in German). 4: 411. Bibcode:1908JRE.....4..411E. {{cite journal}}: External link in |trans-title= (help)
^ Schwartz, H. M. (September 1977). "Einstein's comprehensive 1907 essay on relativity, part II". American Journal of Physics. 45 (9): 811–817. Bibcode:1977AmJPh..45..811S. doi:10.1119/1.11053. ISSN 0002-9505. Archived from the original on 2019-05-28. Retrieved 2020-10-14.
^ Lewis, Gilbert N.; Tolman, Richard C. (1909). "The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics". Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. 44 (25): 711. doi:10.2307/20022495. JSTOR 20022495.
^ Lorentz, Hendrik Antoon (1914). Das Relativitätsprinzip: drei Vorlesungen gehalten in Teylers Stiftung zu Haarlem [The principle of relativity: three lectures given in Teyler's foundation in Haarlem] (in German). B.G. Teubner. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14.
^ Laue, M. (1911). "Zur Dynamik der Relativitätstheorie" [On the Dynamics of the Theory of Relativity]. Annalen der Physik (in German). 340 (8): 524–542. Bibcode:1911AnP...340..524L. doi:10.1002/andp.19113400808.
^ Klein, Felix (1918), "Über die Integralform der Erhaltungssätze und die Theorie der räumlich-geschlossenen Welt" [On the integral form of the conservation laws and the theory of the spatially closed world], Göttinger Nachrichten: 394–423
^ Einstein, A. (April 1946). "E = mc2: the most urgent problem of our time". Science Illustrated. Vol. 1, no. 1. Bonnier Publications International. item 417 in the Bibliography. pp. 16–17. Archived from the original on 2021-02-21. Retrieved 2020-10-14.
^ Schilpp, Paul Arthur (1970). Albert Einstein: philosopher-scientist (3d ed.). La Salle, Ill.: Open Court. M.C. Shields Bibliography of the Writings of Albert Einstein to May 1951. ISBN 978-0-87548-286-6. OCLC 134995.
^ Rohrlich, Fritz (April 1990). "An elementary derivation of E = mc2". American Journal of Physics. 58 (4): 348–349. doi:10.1119/1.16168. ISSN 0002-9505.
^ Badash, Lawrence; Hodes, Elizabeth; Tiddens, Adolph (1986). "Nuclear Fission: Reaction to the Discovery in 1939". Proceedings of the American Philosophical Society. 130 (2): 196–231. ISSN 0003-049X. JSTOR 987181.
^ Rutherford, Ernest (2007). Radio-activity (2nd ed.). New York: Juniper Grove. pp. 336–338. ISBN 978-1-60355-058-1. OCLC 850842708.
^ Heisenberg, Werner (1958). Physics And Philosophy The Revolution In Modern Science. HarperCollins. pp. 118–119. ISBN 978-0-06-120919-2.
^ Reed, Bruce Cameron (2015-06-01). "The neutrino, artificial radioactivity and new elements". Atomic Bomb: The Story of the Manhattan Project: How nuclear physics became a global geopolitical game-changer. Morgan & Claypool Publishers. Second page of section 2.2. ISBN 978-1-62705-992-3. We might in these processes obtain very much more energy than the proton supplied, but on the average we could not expect to obtain energy in this way. It was a very poor and inefficient way of producing energy, and anyone who looked for a source of power in the transformation of the atoms was talking moonshine. But the subject was scientifically interesting because it gave insight into the atoms.
^ Oliphant, M. L. E.; Kinsey, B. B.; Lord Rutherford (1933). "The Transformation of Lithium by Protons and by Ions of the Heavy Isotope of Hydrogen". Proceedings of the Royal Society. 141 (845): 722–733. doi:10.1098/rspa.1933.0150. S2CID 93342501.
^ "TIME Magazine – U.S. Edition – July 1, 1946 Vol. XLVIII No. 1". content.time.com. Archived from the original on 2020-10-15. Retrieved 2020-10-14.
^ Isaacson, Walter (10 April 2007). "The bomb". Einstein: his life and universe. New York. ISBN 978-0-7432-6473-0. OCLC 76961150. Archived from the original on 22 August 2020. Retrieved 14 October 2020.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Sime, Ruth Lewin (1996). Lise Meitner: a life in physics. Berkeley: University of California Press. pp. 236–237. ISBN 978-0-520-91899-3. OCLC 42855101. In his memoirs Frisch recalled..."the Uranium nucleus might indeed be a very wobbly, unstable drop, ready to divide itself… But… when the two drops separated they would be driven apart by electrical repulsion, about 200 MeV in all. Fortunately Lise Meitner remembered how to compute the masses of nuclei… and worked out that the two nuclei formed… would be lighter by about one-fifth the mass of a proton. Now whenever mass disappears energy is created, according to Einstein's formula $E = mc 2$ , and… the mass was just equivalent to 200 MeV; it all fitted!"
^ "Handwritten example of Einstein equation fetches $1.2M". Associated Press. May 21, 2021. Retrieved April 11, 2023.

External links

Wikisource has original text related to this article:

Relativity: The Special and General Theory

Wikimedia Commons has media related to Einstein formula.

Einstein on the Inertia of Energy – MathPages
Einstein-on film explaining a mass energy equivalence
Mass and Energy – Conversations About Science with Theoretical Physicist Matt Strassler
The Equivalence of Mass and Energy – Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
Merrifield, Michael; Copeland, Ed; Bowley, Roger. "E=mc2 – Mass–Energy Equivalence". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.