Изогнутое пространство

Искривленное пространство часто относится к пространственной геометрии , которая не является «плоской», где плоское пространство имеет нулевую кривизну , как описано в евклидовой геометрии . ^[1] Искривленные пространства, как правило, могут быть описаны римановой геометрией , хотя некоторые простые случаи могут быть описаны другими способами. Искривленные пространства играют существенную роль в общей теории относительности , где гравитация часто визуализируется как искривленное пространство-время . ^[2] Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера является искривленной метрикой, которая формирует текущую основу для описания расширения пространства и формы Вселенной . ^{[ требуется ссылка ]} Тот факт, что фотоны не имеют массы, но искажаются гравитацией, означает, что объяснение должно быть чем-то помимо фотонной массы. Следовательно, вера в то, что большие тела искривляют пространство и поэтому свет, движущийся по искривленному пространству, будет казаться подверженным гравитации. Это не так, но он подвержен кривизне пространства.

Простой двумерный пример

Очень знакомый пример искривленного пространства — поверхность сферы. Хотя для нашего привычного взгляда сфера выглядит трехмерной, если объект ограничен лежать на поверхности, у него есть только два измерения , в которых он может двигаться. Поверхность сферы может быть полностью описана двумя измерениями, поскольку независимо от того, насколько грубой может казаться поверхность, она все еще является только поверхностью, которая является двумерной внешней границей объема. Даже поверхность Земли, которая является фрактальной по сложности, все еще является только двумерной границей вдоль внешней стороны объема. ^[3]

Встраивание

В плоском пространстве сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Это соотношение не выполняется для искривленных пространств.

Одной из определяющих характеристик искривленного пространства является его отклонение от теоремы Пифагора . ^{[ требуется ссылка ]} В искривленном пространстве

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$.

Пифагорейское отношение часто можно восстановить, описав пространство с дополнительным измерением. Предположим, что у нас есть трехмерное неевклидово пространство с координатами . Поскольку оно не плоское ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$.

Но если теперь мы опишем трехмерное пространство с четырьмя измерениями ( ), то мы можем выбрать координаты таким образом, что ${\displaystyle x,y,z,w}$

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

Обратите внимание, что координата не совпадает с координатой . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

Чтобы выбор 4D-координат был допустимым дескриптором исходного 3D-пространства, он должен иметь то же самое число степеней свободы . Поскольку четыре координаты имеют четыре степени свободы, на него должно быть наложено ограничение. Мы можем выбрать ограничение таким образом, чтобы теорема Пифагора выполнялась в новом 4D-пространстве. То есть

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,}$.

Константа может быть положительной или отрицательной. Для удобства мы можем выбрать константу, которая будет

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$где теперь положительно и . ${\displaystyle R^{2}\,}$ ${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$

Теперь мы можем использовать это ограничение для устранения искусственной четвертой координаты . Дифференциал уравнения ограничения равен ${\displaystyle w}$

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$что приводит к . ${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$

Подстановка в исходное уравнение дает ${\displaystyle dw}$

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

Эта форма обычно не очень привлекательна, поэтому часто применяется преобразование координат: , , . При таком преобразовании координат ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$ ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$ ${\displaystyle z=r\cos \theta }$

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

Без встраивания

Геометрию n-мерного пространства можно также описать с помощью римановой геометрии . Изотропное и однородное пространство можно описать с помощью метрики:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

Это сводится к евклидову пространству , когда . Но пространство можно назвать « плоским », когда тензор Вейля имеет все нулевые компоненты. В трех измерениях это условие выполняется, когда тензор Риччи ( ) равен метрике, умноженной на скаляр Риччи ( , не путать с R из предыдущего раздела). То есть . Вычисление этих компонентов из метрики дает, что ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$где . ${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$

Это дает метрику:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

где может быть нулевым, положительным или отрицательным и не ограничивается ±1. ${\displaystyle k}$

Открытый, плоский, закрытый

Изотропное и однородное пространство можно описать метрикой: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

В пределе, когда константа кривизны ( ) становится бесконечно большой, возвращается плоское евклидово пространство . По сути, это то же самое, что и установка в ноль. Если не равно нулю, пространство не является евклидовым. Когда пространство называется замкнутым или эллиптическим . Когда пространство называется открытым или гиперболическим . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =+1}$ ${\displaystyle \kappa =-1}$

Треугольники, лежащие на поверхности открытого пространства, будут иметь сумму углов, меньшую 180°. Треугольники, лежащие на поверхности замкнутого пространства, будут иметь сумму углов, большую 180°. Объем, однако, не равен . ${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$

Смотрите также

• CAT( k ) пространство
• Неположительная кривизна

Ссылки

1. "Лекции Фейнмана по физике, том II, гл. 42: Искривленное пространство". www.feynmanlectures.caltech.edu . Получено 18.01.2024 .
2. "Искривленное пространство". www.math.brown.edu . Получено 2024-01-18 .
3. «Искривленное пространство — Специальная и общая теория относительности — Физика Вселенной». www.physicsoftheuniverse.com . Получено 18.01.2024 .

Дальнейшее чтение

• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 42: Искривленное пространство
• Папаставридис, Джон Г. (1999). "Общие n-мерные (римановы) поверхности". Тензорное исчисление и аналитическая динамика . Boca Raton: CRC Press. стр. 211–218. ISBN 0-8493-8514-8.

Внешние ссылки

• Curved Spaces, симулятор многосвязных вселенных, разработанный Джеффри Уиксом