граничное условие Неймана

Математика

В математике граничное условие Неймана (или граничное условие второго типа ) — это тип граничного условия , названный в честь Карла Неймана . ^[1] При наложении на обыкновенное или частное дифференциальное уравнение условие определяет значения производной , применяемой на границе области .

Задачу можно описать с помощью других граничных условий: граничное условие Дирихле определяет значения самого решения (в отличие от его производной) на границе, тогда как граничное условие Коши , смешанное граничное условие и граничное условие Робина представляют собой различные типы комбинаций граничных условий Неймана и Дирихле.

Примеры

ОДА

Для обыкновенного дифференциального уравнения, например,

${\displaystyle y''+y=0,}$

граничные условия Неймана на интервале [ a , b ] принимают вид

${\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}$

где α и β — заданные числа.

ПДЭ

Для уравнения в частных производных, например,

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

где ∇ ² обозначает оператор Лапласа , граничные условия Неймана на области Ω ⊂ R ⁿ принимают вид

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}$

где n обозначает (обычно внешнюю) нормаль к границе ∂Ω , а f — заданная скалярная функция .

Нормальная производная , которая отображается слева, определяется как

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}$

где ∇ y ( x ) представляет собой вектор градиента y ( x ) , n̂ — единичная нормаль, а ⋅ представляет собой оператор скалярного произведения .

Становится ясно, что граница должна быть достаточно гладкой, чтобы могла существовать нормальная производная, поскольку, например, в угловых точках границы вектор нормали не определен должным образом.

Приложения

Следующие приложения предполагают использование граничных условий Неймана:

• В термодинамике заданный тепловой поток от поверхности будет служить граничным условием. Например, идеальный изолятор не будет иметь потока, в то время как электрический компонент может рассеиваться с известной мощностью.
• В магнитостатике напряженность магнитного поля может быть задана как граничное условие для того, чтобы найти распределение плотности магнитного потока в массиве магнитов в пространстве, например, в двигателе с постоянными магнитами. Поскольку задачи в магнитостатике включают решение уравнения Лапласа или уравнения Пуассона для магнитного скалярного потенциала , граничным условием является условие Неймана.
• В пространственной экологии граничное условие Неймана в системе реакция-диффузия , такое как уравнение Фишера , можно интерпретировать как отражающую границу, так что все особи, сталкивающиеся с ∂Ω, отражаются обратно на Ω . ^[2]

Смотрите также

• Граничные условия в динамике жидкости
• Граничное условие Дирихле
• граничное условие Робина

Ссылки

1. Ченг, AH-D.; Ченг, DT (2005). «Наследие и ранняя история метода граничных элементов». Инженерный анализ с граничными элементами . 29 (3): 268. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
2. Кантрелл, Роберт Стивен; Коснер, Крис (2003). Пространственная экология через уравнения реакции-диффузии . Wiley. стр. 30–31. ISBN 0-471-49301-5.