Критическая точка (математика)

В математике критическая точка — это аргумент функции , где производная функции равна нулю (или не определена, как указано ниже). Значение функции в критической точке — этокритическое значение .^[1]

Более конкретно, при работе с функциями действительной переменной критическая точка, также известная как стационарная точка , — это точка в области определения функции, где производная функции равна нулю (или где функция не дифференцируема ). ^[2] Аналогично, при работе с комплексными переменными критическая точка — это точка в области определения функции, где ее производная равна нулю (или функция не является голоморфной ). ^[3]^[4] Аналогично, для функции нескольких действительных переменных критическая точка — это значение в ее области определения, где норма градиента равна нулю (или не определена). ^[5]

Этот вид определения распространяется на дифференцируемые отображения между ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{м}$ и ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n},$ критической точкой , являющейся в этом случае точкой, где ранг матрицы Якоби не максимален. Он распространяется далее на дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями , как на точки, где ранг матрицы Якоби уменьшается. В этом случае критические точки также называются точками бифуркации . В частности, если $C$ — плоская кривая , определяемая неявным уравнением $f (x, y) = 0$ , критические точки проекции на ось $x$ , параллельную оси $y$ , — это точки, где касательная к $C$ параллельна оси $y$ , то есть точки, где . Другими словами, критические точки — это те, где теорема о неявной функции неприменима. ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

Критическая точка функции одной переменной

Критическая точка функции одной действительной переменной f $(x) —$ это значение $x 0$ в области определения f $,$ где $f$ не дифференцируема или ее производная равна 0 (т. е. $)$ . ^[2] Критическое значение — это изображение критической точки под $f$ . Эти концепции можно визуализировать с помощью графика f : в критической точке график имеет горизонтальную касательную , если ее вообще можно задать. $f'(x_{0})=0$

Обратите внимание, что для дифференцируемой функции критическая точка совпадает с стационарной точкой .

Хотя это легко визуализировать на графике (который является кривой), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки, в некотором направлении, кривой ( см. ниже для подробного определения). Если $g (x, y)$ является дифференцируемой функцией двух переменных, то $g (x, y) = 0$ является неявным уравнением кривой. Критическая точка такой кривой, для проекции, параллельной оси $y$ (отображение $(x, y) \to x$ ), является точкой кривой, где Это означает, что касательная к кривой параллельна оси $y$ , и что в этой точке g не определяет неявную функцию из $x$ в $y$ (см. теорему о неявной функции ). Если $($ $x$ $0$ $,$ $y$ $0$ $)$ является такой критической точкой, то $x$ $0$ является соответствующим критическим значением . Такая критическая точка также называется точкой бифуркации , поскольку, как правило, при изменении $x$ имеются две ветви кривой по одну сторону от $x$ $0$ и ноль по другую сторону. ${\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.$

Из этих определений следует, что дифференцируемая функция $f (x)$ имеет критическую точку $x 0$ с критическим значением $y 0$ , тогда и только тогда, когда $(x 0, y 0)$ является критической точкой ее графика для проекции, параллельной оси $x$ , с тем же критическим значением y ₀ . Если $f$ не дифференцируема в точке $x 0$ из-за того, что касательная становится параллельной оси $y$ , то $x 0$ снова является критической точкой $f$ , но теперь $(x 0, y 0)$ является критической точкой ее графика для проекции, параллельной оси $y$ .

Например, критические точки единичной окружности уравнения — это (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной оси $x$ , и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного оси $y$ . Если рассматривать верхнюю половину окружности как график функции , то $x$ $= 0$ — критическая точка с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а $x$ $= \pm1$ — критические точки с критическим значением 0 из-за того, что производная не определена. $x^{2}+y^{2}-1=0$ $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

Примеры

Функция дифференцируема всюду, с производной Эта функция имеет единственную критическую точку −1, поскольку это единственное число $x$ $0$ , для которого Эта точка является глобальным минимумом f . Соответствующее критическое значение равно График $f$ представляет собой вогнутую вверх параболу , критическая точка является абсциссой вершины, где касательная является горизонтальной, а критическое значение является ординатой вершины и $может$ быть представлено пересечением этой касательной и оси $y$ . $f(x)=x^{2}+2x+3$ $f'(x)=2x+2.$ $2x+2=0.$ $f(-1)=2.$
Функция определена для всех $x$ и дифференцируема при $x$ $\neq 0$ , с производной . Поскольку $f$ не дифференцируема при $x$ $= 0$ и в противном случае, это единственная критическая точка. График функции $f$ имеет точку возврата в этой точке с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение равно $f(x)=x^{2/3}$ $f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}$ $f'(x)\neq 0$ $f(0)=0.$
Функция абсолютного значения дифференцируема всюду, за исключением критической точки $x$ $= 0$ , где она имеет точку глобального минимума с критическим значением 0. $f(x)=|x|$
Функция не имеет критических точек. Точка $x$ $= 0$ не является критической, поскольку не входит в область определения функции. $f(x)={\tfrac {1}{x}}$

Расположение критических точек

По теореме Гаусса–Лукаса все критические точки полиномиальной функции в комплексной плоскости находятся внутри выпуклой оболочки корней функции. Таким образом, для полиномиальной функции с только действительными корнями все критические точки являются действительными и находятся между наибольшими и наименьшими корнями .

Гипотеза Сендова утверждает, что если все корни функции лежат в единичном круге комплексной плоскости, то в пределах единичного расстояния от любого заданного корня существует по крайней мере одна критическая точка.

Критические точки неявной кривой

Критические точки играют важную роль в изучении плоских кривых, определяемых неявными уравнениями , в частности, для их построения и определения их топологии . Понятие критической точки, используемое в этом разделе, может показаться отличным от понятия предыдущего раздела. Фактически, это специализация к простому случаю общего понятия критической точки, приведенного ниже.

Таким образом, мы рассматриваем кривую $C,$ заданную неявным уравнением , где $f$ — дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный полином . Точки кривой — это точки евклидовой плоскости , декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению. Существуют две стандартные проекции и , определяемые и , которые отображают кривую на оси координат . Они называются проекцией, параллельной оси y , и проекцией, параллельной оси x , соответственно. $f(x,y)=0$ $\pi _{y}$ $\pi _{x}$ $\pi _{y}((x,y))=x$ $\pi _{x}((x,y))=y,$

Точка $C$ является критической для , если касательная к $C$ существует и параллельна оси y . В этом случае образы критической точки и касательной являются одной и той же точкой оси x , называемой критическим значением . Таким образом, точка $C$ является критической для , если ее координаты являются решением системы уравнений : $\pi _{y}$ $\pi _{y}$ $\pi _{y}$

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

Это означает, что данное определение является частным случаем общего определения критической точки, которое приведено ниже.

Определение критической точки для аналогично. Если $C$ — график функции , то $($ $x$ $,$ $y$ $)$ является критической для тогда и только тогда, когда $x$ — критическая точка $g$ , и критические значения одинаковы. $\pi _{x}$ $y=g(x)$ $\pi _{x}$

Некоторые авторы определяют критические точки C как точки, которые являются критическими для или , $хотя$ они зависят не только от $C$ , но и от выбора осей координат. От авторов также зависит, считать ли особые точки критическими. Фактически особые точки — это точки, которые удовлетворяют $\pi _{x}$ $\pi _{y}$

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

и, таким образом, являются решениями любой из систем уравнений, характеризующих критические точки. При таком более общем определении критические точки для — это именно те точки, где теорема о неявной функции не применима. $\pi _{y}$

Использование дискриминанта

Если кривая $C$ является алгебраической, то есть она определяется двумерным полиномом $f$ , то дискриминант является полезным инструментом для вычисления критических точек.

Здесь мы рассматриваем только проекцию ; аналогичные результаты можно получить, поменяв местами $x$ и $y$ . $\pi _{y}$ $\pi _{x}$

Пусть будет дискриминантом f $,$ рассматриваемым как многочлен от $y$ с коэффициентами, которые являются многочленами от $x$ . Таким образом, этот дискриминант является многочленом от $x$ , имеющим критические значения среди своих корней. $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ $\pi _{y}$

Точнее, простой корень — это либо критическое значение, такое что соответствующая критическая точка — это точка, которая не является ни особой, ни точкой перегиба, либо координата $x$ асимптоты , которая параллельна оси $y$ и касается «в бесконечности» точки перегиба (асимптоты перегиба). $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ $\pi _{y}$

Кратный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам или асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.

Несколько переменных

Для функции нескольких действительных переменных точка $P$ (то есть набор значений входных переменных, который рассматривается как точка в ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ) является критической , если это точка, где градиент равен нулю или не определен. ^[5] Критические значения — это значения функции в критических точках.

Критическая точка (где функция дифференцируема) может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом , либо седловой точкой . Если функция по крайней мере дважды непрерывно дифференцируема, то различные случаи можно различить, рассматривая собственные значения матрицы Гессе вторых производных.

Критическая точка, в которой матрица Гессе невырождена , называется невырожденной , а знаки собственных значений Гессе определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной Гессе — это просто вторая производная , рассматриваемая как матрица 1×1, которая невырождена тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка — это локальный максимум или локальный минимум, в зависимости от знака второй производной, который положителен для локального минимума и отрицателен для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критическая точка, как правило, является точкой перегиба , но также может быть точкой волнообразности , которая может быть локальным минимумом или локальным максимумом.

Для функции $n$ переменных число отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индексом критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен $n$ , или, что эквивалентно, если матрица Гессе отрицательно определена ; она является локальным минимумом, если индекс равен нулю, или, что эквивалентно, если матрица Гессе положительно определена . Для других значений индекса невырожденная критическая точка является седловой точкой , то есть точкой, которая является максимумом в некоторых направлениях и минимумом в других.

Применение к оптимизации

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы непрерывной функции происходят в критических точках. Поэтому, чтобы найти локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции, теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. Это требует решения системы уравнений , что может быть сложной задачей. Обычные численные алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что все экстремумы были найдены. В частности, в глобальной оптимизации эти методы не могут подтвердить, что выход действительно является глобальным оптимумом.

Когда минимизируемая функция представляет собой многомерный полином , критические точки и критические значения являются решениями системы полиномиальных уравнений , а современные алгоритмы решения таких систем предоставляют конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.

Критическая точка дифференцируемого отображения

При заданном дифференцируемом отображении ⁠ ⁠ $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},$ критические точки f являются точками ⁠ ⁠, в которых ранг матрицы Якоби f не является максимальным. ^[6] Образ критической точки при $f$ называется критическим значением. Точка в дополнении к множеству критических значений называется регулярным значением . Теорема Сарда $утверждает$ $,$ что множество критических значений гладкого отображения имеет меру ноль . $\mathbb {R} ^{m},$

Некоторые авторы ^[7] дают несколько иное определение: критическая точка f $—$ это точка ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{m}$ , где ранг матрицы Якоби функции $f$ меньше $n$ . При таком соглашении все точки являются критическими, когда $m < n$ .

Эти определения распространяются на дифференциальные отображения между дифференцируемыми многообразиями следующим образом. Пусть — дифференциальное отображение между двумя многообразиями $V$ и $W$ соответствующих размерностей $m$ и $n$ . В окрестности точки $p$ многообразий $V$ и $f$ $($ $p$ $)$ карты являются диффеоморфизмами и Точка p является критической для $f,$ $если$ является критической для Это определение не зависит от выбора карт, поскольку отображения переходов являются диффеоморфизмами, их матрицы Якоби обратимы, и умножение на них не изменяет ранг матрицы Якоби Если $M$ — гильбертово многообразие (не обязательно конечномерное), а $f$ — вещественная функция, то мы говорим, что $p$ — критическая точка $f$ , если $f$ не является погружением в $p$ . ^[8] $f:V\to W$ $\varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}$ $\psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.$ $\varphi (p)$ $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$

Применение к топологии

Критические точки имеют основополагающее значение для изучения топологии многообразий и действительных алгебраических многообразий . ^{[1] В частности, они являются}основным инструментом теории Морса и теории катастроф .

Связь между критическими точками и топологией проявляется уже на более низком уровне абстракции. Например, пусть будет подмногообразием , а $P$ будет точкой вне Квадрат расстояния до $P$ точки является дифференциальным отображением таким, что каждая связная компонента содержит по крайней мере критическую точку, где расстояние минимально. Из этого следует, что число связных компонент ограничено сверху числом критических точек. $V$ $\mathbb {R} ^{n},$ $V.$ $V$ $V$ $V$

В случае действительных алгебраических многообразий это наблюдение, связанное с теоремой Безу, позволяет нам ограничить число связных компонент функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.

Смотрите также

Ссылки

^ ab Милнор, Джон (1963). Теория Морзе . Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
^ ab Проблемы математического анализа . Демидовец Борис П., Бараненков Г. Москва(ИС): Москва. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентали (6-е изд.). Белмонт, Калифорния: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840.
^ Ларсон, Рон (2010). Исчисление . Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-е изд.). Белмонт, Калифорния: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593.
^ ab Adams, Robert A.; Essex, Christopher (2009). Исчисление: Полный курс . Pearson Prentice Hall . стр. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.
^ Кармо, Манфредо Пердиган ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
^ Лафонтен, Жак (2015). Введение в дифференциальные многообразия . Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.
^ Серж Ланг , Основы дифференциальной геометрии, стр. 186, doi :10.1007/978-1-4612-0541-8