Теорема Сарда

Теорема в математическом анализе

В математике теорема Сарда , также известная как лемма Сарда или теорема Морса–Сарда , является результатом математического анализа , который утверждает , что множество критических значений (то есть образ множества критических точек ) гладкой функции f из одного евклидова пространства или многообразия в другое является нулевым множеством , т. е. имеет меру Лебега 0. Это делает множество критических значений «малым» в смысле общего свойства . Теорема названа в честь Энтони Морса и Артура Сарда .

Заявление

Более конкретно, ^[1] пусть

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

быть , (то есть, раз непрерывно дифференцируемо ), где . Обозначим критическое множество , которое является множеством точек , в которых матрица Якоби имеет ранг . Тогда изображение имеет меру Лебега 0 в . ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle <m}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Интуитивно это означает, что, хотя изображение может быть большим, оно должно быть малым в смысле меры Лебега: хотя в области определения может быть много критических точек , на изображении оно должно иметь мало критических значений . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

В более общем смысле, результат также справедлив для отображений между дифференцируемыми многообразиями и размерностей и , соответственно. Критическое множество функции ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

состоит из тех точек, в которых дифференциал

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

имеет ранг меньше, чем как линейное преобразование. Если , то теорема Сарда утверждает, что образ имеет меру ноль как подмножество . Эта формулировка результата следует из версии для евклидовых пространств, если взять счетное множество координатных фрагментов. Заключение теоремы является локальным утверждением, поскольку счетное объединение множеств меры ноль является множеством меры ноль, а свойство подмножества координатного фрагмента, имеющего меру ноль, инвариантно относительно диффеоморфизма . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

Варианты

Существует много вариантов этой леммы, которая играет основную роль в теории сингулярностей среди других областей. Случай был доказан Энтони П. Морзе в 1939 году, ^[2] а общий случай Артуром Сардом в 1942 году. ^[1] ${\displaystyle m=1}$

Версия для бесконечномерных банаховых многообразий была доказана Стивеном Смейлом . ^[3]

Утверждение довольно мощное, и доказательство включает анализ. В топологии его часто цитируют — как в теореме Брауэра о неподвижной точке и некоторых приложениях в теории Морса — чтобы доказать более слабое следствие, что «непостоянное гладкое отображение имеет по крайней мере одно регулярное значение».

В 1965 году Сард еще больше обобщил свою теорему, заявив, что если для и если — множество точек, такое , что имеет ранг строго меньше , то r -мерная мера Хаусдорфа равна нулю. ^[4] В частности, размерность Хаусдорфа не превышает r . Предостережение: размерность Хаусдорфа может быть сколь угодно близка к r . ^[5] ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ ${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$ ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle df_{x}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(A_{r})}$ ${\displaystyle f(A_{r})}$ ${\displaystyle f(A_{r})}$

Смотрите также

• Общая собственность

Ссылки

1. Sard, Arthur (1942), «Мера критических значений дифференцируемых отображений», Бюллетень Американского математического общества , 48 (12): 883–890, doi : 10.1090/S0002-9904-1942-07811-6 , MR  0007523, Zbl  0063.06720.
2. Морзе, Энтони П. (январь 1939 г.), «Поведение функции на ее критическом множестве», Annals of Mathematics , 40 (1): 62–70, Bibcode : 1939AnMat..40...62M, doi : 10.2307/1968544, JSTOR  1968544, MR  1503449.
3. Смейл, Стивен (1965), «Бесконечномерная версия теоремы Сарда», American Journal of Mathematics , 87 (4): 861–866, doi : 10.2307/2373250, JSTOR  2373250, MR  0185604, Zbl  0143.35301.
4. Сард, Артур (1965), «Мера Хаусдорфа критических образов на банаховых многообразиях», American Journal of Mathematics , 87 (1): 158–174, doi : 10.2307/2373229, JSTOR  2373229, MR  0173748, Zbl  0137.42501а также Сард, Артур (1965), «Исправления к мерам Хаусдорфа критических образов на банаховых многообразиях », American Journal of Mathematics , 87 (3): 158–174, doi :10.2307/2373229, JSTOR  2373074, MR  0180649, Zbl  0137.42501.
5. "Покажите, что f(C) имеет размерность Хаусдорфа не более нуля", Stack Exchange , 18 июля 2013 г.

Дальнейшее чтение

• Хирш, Моррис В. (1976), Дифференциальная топология , Нью-Йорк: Springer, стр. 67–84, ISBN 0-387-90148-5.
• Стернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall , MR  0193578, Zbl  0129.13102.