Мадхава из Сангамаграмы

Индийский математик и астроном (1340-1425)

Мадхава из Сангамаграма ( Мадхаван ) ^[5] ( ок.  1340  – ок.  1425 ) был индийским математиком и астрономом , который считается основателем керальской школы астрономии и математики в Позднем Средневековье . Мадхава внес пионерский вклад в изучение бесконечных рядов , исчисления , тригонометрии , геометрии и алгебры . Он был первым, кто использовал приближения бесконечных рядов для ряда тригонометрических функций, что было названо «решающим шагом вперед от конечных процедур древней математики для обработки их предельного перехода к бесконечности ». ^[1]

Биография

Мало что известно о жизни Мадхавы с уверенностью. Однако, из разрозненных ссылок на Мадхаву, найденных в различных рукописях, историки школы Кералы собрали воедино информацию о математике. В рукописи, хранящейся в Восточном институте, Барода, Мадхава упоминается как Mādhavan vēṇvārōhādīnām karttā ... Mādhavan Ilaññippaḷḷi Emprān . ^[5] Было отмечено, что эпитет «Emprān» относится к общине Emprāntiri , к которой Мадхава мог принадлежать. ^[6]

Термин «Ilaññippaḷḷi» был идентифицирован как ссылка на резиденцию Мадхавы. Это подтверждается самим Мадхавой. В своей короткой работе о положениях луны под названием «Venṇvāroha » Мадхава говорит, что он родился в доме под названием bakuḷādhiṣṭhita... vihāra. [ ^7] Это явно санскритское название Ilaññippaḷḷi . Ilaññi — это малаяламское название вечнозеленого дерева Mimusops elengi , а санскритское название того же дерева — Bakuḷa . Palli — это термин, обозначающий деревню. Санскритское название дома bakuḷādhiṣṭhita... vihāra также интерпретировалось как ссылка на малаяламское название дома Iraññi ninna ppaḷḷi , и некоторые историки пытались идентифицировать его с одним из двух ныне существующих домов с названиями Iriññanavaḷḷi и Iriññārapaḷḷi, оба из которых расположены недалеко от города Иринджалакуда в центральной Керале. ^[7] Эта идентификация надуманна, поскольку оба названия не имеют ни фонетического сходства, ни семантической эквивалентности слову «Ilaññippaḷḷi». ^[6]

Большинство авторов астрономических и математических работ, живших после периода Мадхавы, называли Мадхаву «Сангамаграма Мадхава», и поэтому важно, чтобы реальный смысл слова «Сангамаграма» был ясен. Общее мнение многих ученых заключается в том, что Сангамаграма — это город Иринджалакуда, расположенный примерно в 70 километрах к югу от реки Нила и примерно в 70 километрах к югу от Кочина . ^[6] Кажется, что для этого убеждения нет особых оснований, за исключением, возможно, того факта, что главенствующее божество раннего средневекового храма в городе, храма Кудалманикьям , почитается как Сангамешара, что означает Владыка Самгамы, и поэтому Самгамаграма может быть интерпретирована как деревня Самгамешара. Но в Карнатаке есть несколько мест со словом самгама или его эквивалентом кудала в своих названиях, а также с храмом, посвященным Самгамхсваре, владыке слияния. ( Кудаласангама в районе Багалкот — одно из таких мест со знаменитым храмом, посвященным Господу Самгамы.) ^[6]

На южном берегу реки Нила, примерно в 10 километрах вверх по течению от Тирунавая , есть небольшой городок под названием Куталлур. Точный дословный перевод на санскрит этого названия места - Самгамаграм: kūṭal на малаялам означает слияние (что на санскрите - samgama ), а ūr означает деревню (что на санскрите - grama ). Также это место находится в месте слияния реки Нила и ее самого важного притока, а именно реки Кунти. (Вблизи Иринджалакуады нет слияния рек.) Кстати, в нескольких километрах от деревни Кудаллур до сих пор существует семья Намбудири (малайских брахманов) по имени Куталлур Мана . Семья берет свое начало в самой деревне Кудаллур. На протяжении многих поколений эта семья принимала у себя большой гурукулам, специализирующийся на Веданге . ^[6] Тот факт, что единственная доступная рукопись Sphuṭacandrāpti , книги, написанной Мадхавой, была получена из коллекции рукописей Куталлура Маны , может укрепить предположение о том, что Мадхава мог иметь некоторую связь с Куталлур Маной . ^[8] Таким образом, наиболее правдоподобной возможностью является то, что предки Мадхавы мигрировали из земель Тулу или около того, чтобы поселиться в деревне Кудаллур, которая расположена на южном берегу реки Нила недалеко от Тируннавайи, за поколение или два до его рождения и жили в доме, известном как Иланниппали , чья нынешняя личность неизвестна. ^[6]

Дата

Также нет определенных доказательств, позволяющих точно определить период, в течение которого процветал Мадхава. В своей «Венварохе» Мадхава называет 1400 год н. э. как эпоху. Известно, что ученик Мадхавы Парамешвара Намбудири , единственный известный прямой ученик Мадхавы, завершил свой основополагающий труд «Дригганита» в 1430 году, а дата Парамешвары была определена как ок.  1360 -1455 гг. Из таких косвенных свидетельств историки присвоили Мадхаве дату ок.  1340  - ок.  1425 гг.

Историография

Хотя есть некоторые свидетельства математической работы в Керале до Мадхавы ( например , Садратнамала ^{[ какой? ]} около 1300 г., набор фрагментарных результатов ^[9] ), из цитат ясно, что Мадхава дал творческий импульс для развития богатой математической традиции в средневековой Керале. Однако, за исключением пары, большинство оригинальных работ Мадхавы были утеряны. Он упоминается в работах последующих математиков Кералы, в частности в Тантрасанграхе Нилакантхи Сомаяджи (около 1500 г.), как источник нескольких бесконечных рядов расширений, включая sin θ и arctan θ . Текст XVI века Махаджьянанаяна пракара (Метод вычисления больших синусов) ссылается на Мадхаву как на источник нескольких рядов выводов для π . В произведении Джьештхадевы « Юктибхаша » (ок. 1530 г.) ^[10] , написанном на языке малаялам , эти ряды представлены с доказательствами в терминах разложений в ряд Тейлора для многочленов типа 1/(1+ x ² ), где x = tan  θ и т. д.

Таким образом, то, что явно является работой Мадхавы, является источником некоторых споров. Юкти-дипика (также называемая Тантрасанграха-вьякхья ), возможно, составленная Шанкарой Вариаром , учеником Джьештхадевы, представляет несколько версий рядов расширений для sin θ , cos θ , и arctan θ , а также некоторые произведения с радиусом и длиной дуги, большинство версий которых появляются в Юктибхаше. Для тех, кто этого не делает, Раджагопал и Рангачари утверждали, широко цитируя оригинальный санскрит ^[1] , что, поскольку некоторые из них были приписаны Нилакантой Мадхаве, некоторые из других форм также могут быть работой Мадхавы.

Другие предполагают, что ранний текст «Каранападдхати» (ок. 1375–1475) или «Махаджьяна-пракара» был написан Мадхавой, но это маловероятно. ^[3]

Karanapaddhati , наряду с еще более ранним кералитским математическим текстом Sadratnamala , а также Tantrasangraha и Yuktibhāṣā , были рассмотрены в статье CM Whish 1834 года , которая была первой, кто обратил внимание на их приоритет над Ньютоном в открытии Fluxion (название Ньютона для дифференциалов). ^[9] В середине 20-го века русский ученый Юшкевич пересмотрел наследие Мадхавы, ^[11] и всесторонний взгляд на керальскую школу был представлен Сармой в 1972 году. ^[12]

Родословная

Доказательство теоремы Пифагора в Юктибхаше

Есть несколько известных астрономов, которые предшествовали Мадхаве, включая Коталура Кижара (II век), ^[13] Вараручи (IV век) и Шанкаранараяну (866 г. н. э.). Возможно, что ему предшествовали и другие неизвестные личности. Однако у нас есть более четкие записи о традиции после Мадхавы. Парамешвара был прямым учеником. Согласно рукописи на пальмовом листе малаяламского комментария к Сурья Сиддханте , сын Парамешвары Дамодара (ок. 1400–1500) имел Нилаканту Сомаяджи в качестве одного из своих учеников. Джьештадева был учеником Нилаканты. Ачьюта Пишаради из Трикантьюра упоминается как ученик Джьештхадевы, а грамматист Мелпатхур Нараяна Бхаттатири — как его ученик. ^[10]

Вклады

Если мы рассматриваем математику как прогресс от конечных процессов алгебры к рассмотрению бесконечности, то первые шаги к этому переходу обычно происходят с бесконечными рядами расширений. Именно этот переход к бесконечным рядам приписывается Мадхаве. В Европе первые такие ряды были разработаны Джеймсом Грегори в 1667 году. Работа Мадхавы примечательна своими рядами, но что действительно примечательно, так это его оценка члена ошибки (или поправочного члена). ^[14] Это подразумевает, что он очень хорошо понимал предельную природу бесконечных рядов. Таким образом, Мадхава, возможно, изобрел идеи, лежащие в основе бесконечных рядов расширений функций, степенных рядов , тригонометрических рядов и рациональных приближений бесконечных рядов. ^[15]

Однако, как указано выше, какие результаты принадлежат именно Мадхаве, а какие — его последователям, определить трудно. Ниже представлено резюме результатов, которые приписываются Мадхаве различными учеными.

Бесконечный ряд

Среди его многочисленных вкладов, он открыл бесконечные ряды для тригонометрических функций синуса , косинуса , арктангенса и много методов для вычисления длины окружности . Один из рядов Мадхавы известен из текста Yuktibhāṣā , который содержит вывод и доказательство степенного ряда для арктангенса , открытого Мадхавой. [ ^16] В тексте Джьештхадева описывает ряд следующим образом:

Первый член — это произведение заданного синуса и радиуса желаемой дуги, деленное на косинус дуги. Последующие члены получаются в процессе итерации, когда первый член многократно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Затем все члены делятся на нечетные числа 1, 3, 5, .... Дуга получается путем сложения и вычитания соответственно членов нечетного ранга и членов четного ранга. Установлено, что синус дуги или его дополнения, какой бы он ни был меньше, следует здесь брать в качестве заданного синуса. В противном случае члены, полученные в результате этой итерации выше, не будут стремиться к исчезающей величине. ^[17]

Это дает:

${\displaystyle r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots }$

или эквивалентно:

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

Эта серия — серия Грегори (названная в честь Джеймса Грегори , который заново открыл ее через три столетия после Мадхавы). Даже если мы считаем эту конкретную серию работой Джьештхадевы , она предшествовала бы Грегори на столетие, и, безусловно, другие бесконечные серии похожей природы были разработаны Мадхавой. Сегодня ее называют серией Мадхавы-Грегори-Лейбница . ^{[17] [18]}

Тригонометрия

Мадхава составил точную таблицу синусов. Значения Мадхавы точны до седьмого знака после запятой. Отметив четверть круга на двадцати четырех равных интервалах, он дал длины полухорды (синусов), соответствующих каждому из них. Считается, что он мог вычислить эти значения на основе расширений рядов: ^[4]

sin q = q − q ³ /3! + q ⁵ /5! − q ⁷ /7! + ...

cos q = 1 − q ² /2! + q ⁴ /4! − q ⁶ /6! + ...

Ценностьπ(пи)

Работа Мадхавы о значении математической константы Пи цитируется в Махаджьяна-пракаре («Методы для больших синусов»). ^{[ требуется ссылка ]} Хотя некоторые ученые, такие как Сарма ^[10], считают, что эта книга могла быть составлена ​​самим Мадхавой, более вероятно, что это работа его последователя, жившего в 16 веке. ^[4] Этот текст приписывает большую часть расширений Мадхаве и дает следующее бесконечное рядовое расширение числа π , теперь известное как ряд Мадхавы-Лейбница : ^{[19] [20]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},}$

которую он получил из разложения в степенной ряд функции арктангенса. Однако наиболее впечатляющим является то, что он также дал поправочный член R _n для ошибки после вычисления суммы до n членов, ^[4] а именно:

R _n = (−1) ⁿ / (4 n ), или

R _n = (−1) ⁿ ⋅ n / (4 n ² + 1), или

Rn = (−1) ⁿ ⋅( n2 + 1) _/ ⁽ 4n3 + ⁵ⁿ ) ,

где третья поправка приводит к высокоточным вычислениям π .

Долгое время ходили слухи о том, как Мадхава нашел эти поправочные члены. ^[21] Они являются первыми тремя конвергентами конечной цепной дроби, которая в сочетании с исходным рядом Мадхавы, оцененным до n членов, дает около 3 n /2 правильных цифр:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}.}$

Абсолютное значение поправочного члена в следующем более высоком порядке равно

| R _n | = (4 n ³ + 13 n ) / (16 n ⁴ + 56 n ² + 9).

Он также дал более быстро сходящийся ряд, преобразовав исходный бесконечный ряд π , получив бесконечный ряд

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).}$

Используя первые 21 член для вычисления приближения π , он получает значение, правильное до 11 знаков после запятой (3,14159265359). ^[22] Значение 3,1415926535898, правильное до 13 знаков после запятой, иногда приписывается Мадхаве, ^[23] но может быть получено одним из его последователей. Это были самые точные приближения π, данные с 5-го века (см. История численных приближений π ).

Текст Садратнамала , по-видимому, дает удивительно точное значение π  = 3,14159265358979324 (с точностью до 17 знаков после запятой). Основываясь на этом, Р. Гупта предположил, что этот текст также был составлен Мадхавой. ^{[3] [22]}

Мадхава также провел исследования других рядов для длин дуг и связанных с ними приближений к рациональным дробям числа π . ^[3]

Исчисление

Мадхава разработал разложение в степенной ряд для некоторых тригонометрических функций, которые были далее развиты его последователями в Керальской школе астрономии и математики . ^[24] (Некоторые идеи исчисления были известны более ранним математикам .) Мадхава также расширил некоторые результаты, найденные в более ранних работах, включая работы Бхаскары II . ^[24] Однако они не объединили многие различные идеи в двух объединяющих темах производной и интеграла, не показали связь между ними и не превратили исчисление в мощный инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня. ^[25]

Работы Мадхавы

К. В. Сарма определил Мадхаву как автора следующих произведений: ^{[26] [27]}

1. Голавада
2. Мадхьяманаянапракара
3. Махаджьянайанапракара (Метод вычисления больших синусов)
4. Лагнапракарана ( लग्नप्रकरण )
5. Венвароха ( वेण्वारोह ) ^[28]
6. Сфутачандрапти ( स्फुटचन्द्राप्ति )
7. Аганита-грахачара ( अगणित-ग्रहचार )
8. Чандравакьяни ( चन्द्रवाक्यानि ) (Таблица лунной мнемоники)

Керальская школа астрономии и математики

Керальская школа астрономии и математики была основана Мадхавой из Сангамаграмы в Керале, Южная Индия, и включала в себя среди своих членов: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мелпатхур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар. Она процветала между 14 и 16 веками. Они дали три важных результата, разложение в ряд трех тригонометрических функций синуса, косинуса и арктанта, и доказательство их результатов было позже приведено в тексте Юктибхасы . ^{[9] [24] [25]}

Группа также проделала много другой работы в области астрономии; действительно, гораздо больше страниц посвящено астрономическим вычислениям, чем обсуждению результатов, связанных с анализом. ^[10]

Керальская школа также внесла большой вклад в лингвистику (связь между языком и математикой является древней индийской традицией, см. Катьяяна ). Аюрведические и поэтические традиции Кералы также можно проследить до этой школы. Знаменитая поэма « Нараяниям » была написана Нараяной Бхаттатири .

Влияние

Мадхаву называли «величайшим математиком-астрономом средневековой Индии» ^[3] , некоторые из его открытий в этой области показывают, что он обладал исключительной интуицией». ^[29] О'Коннор и Робертсон утверждают, что справедливой оценкой Мадхавы является то, что он сделал решающий шаг к современному классическому анализу. ^[4]

Возможное распространение в Европу

Школа Кералы была хорошо известна в XV и XVI веках, в период первого контакта с европейскими мореплавателями на Малабарском побережье . В то время порт Музирис , недалеко от Сангамаграмы , был крупным центром морской торговли, и в этом регионе действовало множество иезуитских миссионеров и торговцев. Учитывая известность школы Кералы и интерес, проявленный некоторыми группами иезуитов в этот период к местной науке, некоторые ученые, включая Г. Джозефа из Университета Манчестера, предположили ^[30] , что труды школы Кералы могли также быть переданы в Европу примерно в это же время, что было еще примерно за столетие до Ньютона. ^[31] Однако нет прямых доказательств в виде соответствующих рукописей, что такая передача действительно имела место. ^[31] По словам Дэвида Брессо , «нет никаких доказательств того, что индийская работа по сериям была известна за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^[32]

Смотрите также

• Обсерватория Мадхава
• Таблица синусов Мадхавы
• Серия Мадхава
• Исправление термина Мадхавы
• Венвароха
• Юктибхаша
• Керальская школа астрономии и математики
• Список астрономов и математиков керальской школы
• Список индийских математиков
• индийская математика
• История исчисления

Ссылки

1. CT Rajagopal & MSRangachari (1978). "О неиспользованном источнике средневековой керальской математики". Архив истории точных наук . 18 (2): 101. doi :10.1007/BF00348142. S2CID  51861422.
2. Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для π Лейбницем, Грегори и Нилакантой» (PDF) . Mathematics Magazine . 63 (5): 291–306. doi :10.2307/2690896. JSTOR  2690896. Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2012 г.
3. Ian G. Pearce (2002). Мадхава из Сангамаграммы. Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс .
4. JJ O'Connor и EF Robertson (2000). "Madhava of Sangamagramma". Архив истории математики MacTutor . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , Шотландия. Архивировано из оригинала 14 мая 2006 года . Получено 8 сентября 2007 года .
5. KV Sarma (1972). История керальской школы индуистской астрономии (в перспективе) . Хошиарпур: Институт санскритских и индологических исследований имени Вишвешварананда, Университет Пенджаба . стр. 51. Bibcode : 1972hksh.book.....S.Доступно [1]
6. PP Divakaran (2018). Математика Индии: концепции, методы, связи . Cochin: Springer - Hindustan Book Agency. стр. 282–290. ISBN 978-981-13-1773-6.
7. KV Sarma (1973). Вычисление Истинной Луны Мадхавой из Сангамаграма . Хошиарпур: Институт Санскритских и Индологических Исследований Вишвешварананда, Университет Пенджаба. стр. 12.Доступно: [2] (Дата обращения: 1 января 2023 г.)
8. К. В. Сарма (1973). Спутачандрапти: вычисление истинной Луны Мадхавой из Сангамаграмы . Хошиарпур, Пенджаб: Институт санскритских и индологических исследований Вишвешварананда, Университет Пенджаба. стр. 8.
9. Чарльз Уиш (1834). «Об индусской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантре Сахграхам, Юкти Бхаше, Чарана Падхати и Садратнамале». Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии . 3 (3). Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии : 509–523. doi :10.1017/S0950473700001221. JSTOR  25581775.
10. KV Sarma ; S. Hariharan (ред.). "A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy—An analytic appraisal" (PDF) . Yuktibhāṣā of Jyeṣṭhadeva . Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2006 г. . Получено 9 июля 2006 г. .
11. А. П. Юшкевич (1961).Geschichte der Mathematik im Mittelalter (немецкий перевод, Лейпциг, 1964, русский оригинал, Москва, 1961) . Москва.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
12. К. В. Сарма (1972). История керальской школы индуистской астрономии . Хошиарпур.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
13. Пуранануру 229
14. Мадхава расширил работу Архимеда по геометрическому методу исчерпывания для измерения площадей и чисел, таких как π , с произвольной точностью и пределами погрешности , до алгебраического бесконечного ряда с полностью отдельным членом погрешности . CT Rajagopal и MS Rangachari (1986). "О средневековой керальской математике". Архив для History of Exact Sciences . 35 (2): 91–99. doi :10.1007/BF00357622. S2CID  121678430.
15. «Ни Ньютон, ни Лейбниц – Предыстория исчисления и небесной механики в средневековой Керале». MAT 314. Колледж Канизиус. Архивировано из оригинала 6 августа 2006 года . Получено 9 июля 2006 года .
16. "Школа Кералы, европейская математика и навигация". Indian Mathemematics . DP Agrawal—Infinity Foundation . Получено 9 июля 2006 г.
17. RC Gupta (1973). "Ряд Мадхавы-Грегори". Математика. Образование . 7 : B67–B70.
18. "Наука и технологии в свободной Индии" (PDF) . Правительство Кералы — Kerala Call, сентябрь 2004 г. Проф. CGRamachandran Nair. Архивировано из оригинала (PDF) 21 августа 2006 г. Получено 9 июля 2006 г.
19. Джордж Э. Эндрюс, Ричард Аски, Ранджан Рой (1999). Специальные функции . Cambridge University Press . стр. 58. ISBN 0-521-78988-5.
20. Гупта, RC (1992). «Об остаточном члене ряда Мадхавы-Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
21. Т. Хаяси, Т. Кусуба и М. Яно. «Исправление ряда Мадхавы для длины окружности», Centaurus 33 (страницы 149–174). 1990.
22. RC Gupta (1975). «Мадхава и другие средневековые индийские значения числа пи». Математика. Образование . 9 (3): B45–B48.
23. 13-значное точное значение числа π , 3,1415926535898, можно получить, используя разложение в бесконечный ряд числа π /4 (первая последовательность), дойдя до n = 76.
24. "Обзор индийской математики". Индийская математика . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 7 июля 2006 г.
25. Katz, Victor J. (1 июня 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Mathematics Magazine . 68 (3): 163–174. doi :10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN  0025-570X.
26. Сарма, К. В. (1977). Вклад в изучение индийской школы астрономии и математики Кералы . Хошиарпур: VVR I.
27. Дэвид Эдвин Пингри (1981). Перепись точных наук на санскрите . Т. 4. Филадельфия: Американское философское общество. С. 414–415.
28. К. Чандра Хари (2003). «Вычисление истинной луны Мадхвой из Сангамаграмы». Индийский журнал истории науки . 38 (3): 231–253 . Получено 27 января 2010 г.
29. Джозеф, Джордж Гевергезе (октябрь 2010 г.) [1991]. Гребень павлина: неевропейские корни математики (3-е изд.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13526-7.
30. "Индейцы опередили "открытие" Ньютона на 250 лет". пресс-релиз, Манчестерский университет. 13 августа 2007 г. Архивировано из оригинала 21 марта 2008 г. Получено 5 сентября 2007 г.
31. DF Almeida, JK John и A Zadorozhnyy (2001). «Керальская математика: ее возможная передача в Европу и последующие образовательные последствия». Журнал естественной геометрии . 20 (1): 77–104.
32. Голд, Д.; Пингри, Д. (1991), «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса», Historia Scientiarum , 42 : 49–65.

Внешние ссылки

• Биография на MacTutor