.svg/1280px-Pythagorean_proof_(1).svg.png)
Математическая красота — это эстетическое удовольствие, получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математики . Математики могут выражать это удовольствие, описывая математику (или, по крайней мере, какой-то аспект математики) как прекрасную или описывая математику как форму искусства (позиция, занятая Г.Х. Харди [1] ) или, как минимум, как творческую деятельность. .
Проводятся сравнения с музыкой и поэзией .
Математики [ кто? ] [ когда? ] описывают особенно приятный метод доказательства как элегантный . В зависимости от контекста это может означать:
В поисках элегантного доказательства математики [ кто? ] часто [ как часто? ] искать разные независимые способы доказать результат, поскольку первое найденное доказательство часто можно улучшить. Теорема, для которой было обнаружено наибольшее количество различных доказательств, возможно, является теоремой Пифагора , и на сегодняшний день опубликованы сотни доказательств. [2] Другая теорема, доказанная разными способами, — это теорема квадратичной взаимности . Фактически только у Карла Фридриха Гаусса было восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых он опубликовал. [3]
И наоборот, результаты, которые логически правильны, но включают трудоемкие вычисления, чрезмерно сложные методы, весьма традиционные подходы или большое количество мощных аксиом или предыдущих результатов, обычно не считаются элегантными и могут даже называться уродливыми или неуклюжими .
Некоторые математики видят красоту в математических результатах, которые устанавливают связи между двумя областями математики, которые на первый взгляд кажутся несвязанными. [4] Эти результаты часто называют глубокими . Хотя трудно прийти к единому мнению относительно того, является ли результат глубоким, некоторые примеры цитируются чаще, чем другие. Одним из таких примеров является тождество Эйлера : [5]
Это элегантное выражение связывает, возможно, пять наиболее важных математических констант ( e , i , π, 1 и 0) с двумя наиболее распространенными математическими символами (+, =). Тождество Эйлера — это частный случай формулы Эйлера , которую физик Ричард Фейнман назвал «нашей драгоценностью» и «самой замечательной формулой в математике». [6] Современные примеры включают в себя теорему о модулярности , устанавливающую важную связь между эллиптическими кривыми и модульными формами (работа над которой привела к присуждению премии Вольфа Эндрю Уайлсу и Роберту Ленглендсу ), и « чудовищный самогон », связывающий Группа монстров к модулярным функциям с помощью теории струн (за что Ричард Борчердс был награжден Филдсовской медалью ).
Другие примеры глубоких результатов включают неожиданное понимание математических структур. Например, Теорема Гаусса Egregium — это глубокая теорема, которая удивительным образом связывает локальное явление ( кривизну ) с глобальным явлением ( площадью ). В частности, площадь треугольника на искривленной поверхности пропорциональна эксцессу треугольника, а пропорциональность — кривизне. Другим примером является фундаментальная теорема исчисления [7] (и ее векторные версии, включая теорему Грина и теорему Стокса ).
Противоположность deep тривиальна . _ Тривиальная теорема может быть результатом, который можно вывести очевидным и простым способом из других известных результатов или который применим только к определенному набору конкретных объектов, например к пустому множеству . Однако в некоторых случаях формулировка теоремы может быть достаточно оригинальной, чтобы считаться глубокой, даже если ее доказательство довольно очевидно.
В своем эссе 1940 года «Апология математика» Г.Х. Харди предположил , что красивое доказательство или результат обладают «неизбежностью», «неожиданностью» и «экономностью». [8]
В 1997 году Джан-Карло Рота не согласился с неожиданностью как достаточным условием красоты и предложил контрпример:
Многие математические теоремы, впервые опубликованные, кажутся удивительными; так, например, лет двадцать назад [с 1977 г.] доказательство существования неэквивалентных дифференцируемых структур на сферах большой размерности считалось удивительным, но никому не пришло в голову назвать такой факт красивым ни тогда, ни сейчас. . [9]
Напротив, Монастырский писал в 2001 году:
Очень трудно найти в прошлом изобретение, аналогичное прекрасному построению Милнором различных дифференциальных структур на семимерной сфере... Первоначальное доказательство Милнора было не очень конструктивным, но позже Э. Брискорн показал, что эти дифференциальные структуры можно описать в чрезвычайно явной и красивой форме. [10]
Это разногласие иллюстрирует как субъективную природу математической красоты, так и ее связь с математическими результатами: в данном случае не только существование экзотических сфер, но и особая их реализация.
Интерес к чистой математике , отделенной от эмпирических исследований, был частью опыта различных цивилизаций , в том числе древних греков , которые «занимались математикой ради ее красоты». [11] Эстетическое удовольствие, которое физики-математики склонны испытывать от общей теории относительности Эйнштейна , было приписано ( помимо других Поля Дирака ) ее «великой математической красоте». [12] Красота математики ощущается, когда физическая реальность объектов представлена математическими моделями . Теория групп , разработанная в начале 1800-х годов с единственной целью решения полиномиальных уравнений, стала плодотворным способом классификации элементарных частиц — строительных блоков материи. Точно так же изучение узлов дает важное понимание теории струн и петлевой квантовой гравитации . [ нужна цитата ]
Некоторые [ кто? ] считают, что для того, чтобы ценить математику, нужно заниматься математикой. [13]
Например, математические кружки — это программы послешкольного развития, в которых учащиеся занимаются математикой посредством лекций и мероприятий; Есть также некоторые учителя, которые поощряют участие учащихся , обучая математике в рамках кинестетического обучения . На общем уроке математического кружка учащиеся используют поиск закономерностей, наблюдение и исследование, чтобы сделать свои собственные математические открытия. Например, математическая красота возникает в задании математического кружка по симметрии , предназначенном для второклассников и учеников 3-го класса, где учащиеся создают свои собственные снежинки, складывая квадратный лист бумаги и вырезая узоры по своему выбору по краям сложенной бумаги. Когда бумага развернута, обнаруживается симметричный рисунок. На повседневном уроке математики в начальной школе симметрия может быть представлена как таковая в художественной манере, когда учащиеся видят эстетически привлекательные результаты по математике. [ нужна цитата ]
Некоторые [ кто? ] учителя предпочитают использовать математические манипуляции , чтобы представить математику эстетически приятным способом. Примеры манипуляций включают алгебраические плитки , стержни Кюизенера и блоки узоров . Например, можно научить заполнять квадрат с помощью алгебраических плиток. Палочки Кюизенера можно использовать для обучения дробям, а блоки с узорами — для изучения геометрии. Использование математических манипуляций помогает учащимся получить концептуальное понимание, которое может быть не сразу видно в письменных математических формулах. [14]
Другой пример красоты на практике связан с использованием оригами . Оригами, искусство складывания бумаги, имеет эстетические качества и множество математических связей. Математику складывания бумаги можно изучить , наблюдая за рисунком складок на развернутых деталях оригами. [15]
Комбинаторика , наука о счете, имеет художественные представления, которые некоторые [ кто? ] находят математически красивым. Существует множество наглядных примеров, иллюстрирующих комбинаторные концепции. Некоторые из тем и объектов, рассматриваемых на курсах комбинаторики с визуальными представлениями, включают, среди прочего, теорему о четырех цветах , таблицу Юнга , пермутоэдр , теорию графов , разделение множества . [16]
Эксперименты по визуализации мозга, проведенные Семиром Зеки и его коллегами [17], показывают, что переживание математической красоты в качестве нейронного коррелята имеет активность в поле А1 медиальной орбитофронтальной коры (mOFC) мозга и что эта активность параметрически параметрически регулируется. что связано с заявленной интенсивностью красоты. Место действия аналогично месту действия, которое коррелирует с ощущением красоты из других источников, таких как музыка, радость или печаль. Более того, математики, похоже, сопротивляются пересмотру своих суждений о красоте математической формулы в свете противоречивых мнений своих коллег. [18]
Некоторые [ кто? ] математики придерживаются мнения, что занятие математикой ближе к открытию, чем к изобретению, например:
Нет научного первооткрывателя, ни поэта, ни художника, ни музыканта, который не скажет вам, что он нашел свое открытие, стихотворение или картину готовым, что оно пришло к нему извне и что он сознательно не создал его изнутри. .
— Уильям Кингдон Клиффорд , из лекции в Королевском институте «Некоторые условия психического развития»
Эти математики полагают, что подробные и точные результаты математики можно разумно считать истинными независимо от Вселенной, в которой мы живем. Например, они утверждают, что теория натуральных чисел фундаментально верна и не требует какого-либо конкретного контекста. Некоторые математики расширили точку зрения о том, что математическая красота является истиной, в некоторых случаях перейдя в мистицизм .
В философии Платона существовало два мира: физический, в котором мы живем, и другой абстрактный мир, содержащий неизменные истины, включая математику. Он считал, что физический мир является простым отражением более совершенного абстрактного мира. [19]
Венгерский математик Пауль Эрдеш [20] говорил о воображаемой книге, в которой Бог записал все самые красивые математические доказательства. Когда Эрдёш хотел выразить особую признательность за доказательство, он восклицал: «Это из Книги!»
Французский философ двадцатого века Ален Бадью утверждал, что онтология — это математика. [21] Бадью также верит в глубокую связь между математикой, поэзией и философией.
Однако во многих случаях натурфилософы и другие ученые, широко использовавшие математику, делали скачки между красотой и физической истиной способами, которые оказывались ошибочными. Например, на каком-то этапе своей жизни Иоганн Кеплер считал, что пропорции орбит известных тогда планет Солнечной системы были расположены Богом так, чтобы соответствовать концентрическому расположению пяти Платоновых тел , причем каждая орбита лежит на описанная сфера одного многогранника и внутренняя сфера другого. Поскольку существует ровно пять платоновых тел, гипотеза Кеплера могла вместить только шесть планетарных орбит и была опровергнута последующим открытием Урана .
В 1970-х годах Абрахам Моулс и Фридер Наке проанализировали связи между красотой, обработкой информации и теорией информации . [22] [23] В 1990-х годах Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию субъективной красоты, зависящей от наблюдателя, основанную на алгоритмической теории информации : самые красивые объекты среди субъективно сопоставимых объектов имеют короткие алгоритмические описания (т. е. колмогоровскую сложность ) относительно того, что наблюдатель уже знает. [24] [25] [26] Шмидхубер четко различает красивое и интересное. Последнее соответствует первой производной субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений , обнаруживая такие закономерности, как повторения, симметрии и фрактальное самоподобие . Всякий раз, когда процесс обучения наблюдателя (возможно, прогнозирующая искусственная нейронная сеть ) приводит к улучшенному сжатию данных, так что последовательность наблюдений может быть описана меньшим количеством битов , чем раньше, временная интересность данных соответствует прогрессу сжатия и пропорциональна награда внутреннего любопытства наблюдателя. [27] [28]
Примеры использования математики в музыке включают стохастическую музыку Янниса Ксенакиса , последовательность Фибоначчи в « Латерале » Тула , контрапункт Иоганна Себастьяна Баха , полиритмические структуры (как в « Весне священной » Игоря Стравинского ) , метрическую модуляцию Эллиот Картер , теория перестановок в сериализме , начиная с Арнольда Шенберга , и применение тонов Шепарда в « Гимнах » Карлхайнца Штокхаузена . Они также включают применение теории групп к трансформациям в музыке в теоретических трудах Дэвида Левина .
Примеры использования математики в изобразительном искусстве включают приложения теории хаоса и фрактальной геометрии к компьютерному искусству , исследования симметрии Леонардо да Винчи , проективную геометрию в развитии теории перспективы искусства эпохи Возрождения , сетки в оп-арте , оптическую геометрию. в камере-обскуре Джамбаттисты делла Порта и множественной перспективе в аналитическом кубизме и футуризме .
Сакральная геометрия представляет собой отдельную область, дающую начало бесчисленным формам искусства, включая некоторые из наиболее известных мистических символов и религиозных мотивов, и имеет особенно богатую историю в исламской архитектуре . Он также предоставляет средства медитации и созерцания, например, изучение Каббалы Сфирот ( Древа Жизни) и Куба Метатрона ; а также сам процесс рисования.
Голландский графический дизайнер М. К. Эшер создал математически вдохновленные гравюры на дереве , литографии и меццо-тинты . В них представлены невозможные конструкции, исследования бесконечности , архитектура, визуальные парадоксы и мозаика .
Некоторые художники и скульпторы создают работы, искаженные математическими принципами анаморфозы , в том числе южноафриканский скульптор Джонти Гурвиц .
Британский художник-конструктор Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновленные теорией групп. [29] Ряд других британских художников конструктивистской и системной школ также используют математические модели и структуры в качестве источника вдохновения, в том числе Энтони Хилл и Питер Лоу . [30] Компьютерное искусство основано на математических алгоритмах .
Бертран Рассел выразил свое чувство математической красоты в следующих словах:
Математика, если ее правильно рассматривать, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой натуры, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но, тем не менее, возвышенно чистой и способной. сурового совершенства, которое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, экзальтации, ощущения себя больше, чем человек, который является пробным камнем высшего совершенства, можно найти в математике так же несомненно, как и в поэзии. [31]
Пауль Эрдеш выразил свои взгляды на невыразимость математики, когда сказал: «Почему числа прекрасны? Это все равно, что спрашивать, почему Девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не понимаете, почему, кто-то не сможет вам сказать. Я знаю, что числа прекрасны. ... Если они не красивы, то ничего нет». [32]
«...в мире математики нет ничего, что соответствовало бы публике в концертном зале, где пассивные слушают активных. К счастью, все математики — деятели , а не зрители.
Правильно рассматриваемая математика обладает не только истиной, но и высшей красотой, красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой натуры без великолепных атрибутов Рассела.
