Двигатель переменный

Математические функции расщепленных комплексных чисел

В математике функция моторной переменной — это функция с аргументами и значениями в плоскости расщепленных комплексных чисел , подобно тому, как функции комплексной переменной включают обычные комплексные числа . Уильям Кингдон Клиффорд ввел термин мотор для кинематического оператора в своем «Предварительном наброске бикватернионов» (1873). Он использовал расщепленные комплексные числа для скаляров в своих расщепленных бикватернионах . Моторная переменная используется здесь вместо расщепленной комплексной переменной для благозвучия и традиции.

Например,

${\displaystyle f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.}$

Функции моторной переменной предоставляют контекст для расширения действительного анализа и обеспечивают компактное представление отображений плоскости. Однако эта теория значительно отстает от теории функций на обычной комплексной плоскости . Тем не менее, некоторые аспекты обычного комплексного анализа имеют интерпретацию, данную с моторными переменными, и в более общем плане в гиперкомплексном анализе .

Элементарные функции

Пусть D = , расщепленная комплексная плоскость. Следующие примеры функций f имеют область определения и область определения в D : ${\displaystyle \{z=x+jy:x,y\in R\}}$

Действие гиперболического версора сочетается с трансляцией для получения аффинного преобразования ${\displaystyle u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a}$

${\displaystyle f(z)=uz+c\ }$. При c = 0 функция эквивалентна отображению сжатия .

Функция возведения в квадрат не имеет аналога в обычной комплексной арифметике. Пусть

${\displaystyle f(z)=z^{2}\ }$и обратите внимание, что ${\displaystyle f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

В результате четыре квадранта преобразуются в один — компонент идентичности :

${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}}$.

Обратите внимание, что образует единичную гиперболу . Таким образом, возвратно-поступательное движение ${\displaystyle zz^{*}=1\ }$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

В качестве исходной кривой используется гипербола, а не окружность в C.

Дробно-линейные преобразования

Используя концепцию проективной прямой над кольцом , формируется проективная прямая P( D ). Конструкция использует однородные координаты с компонентами расщепленных комплексных чисел. Проективная прямая P( D ) преобразуется дробно-линейными преобразованиями :

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],}$иногда пишется

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$при условии, что cz + d является единицей измерения D.

Элементарные дробно-линейные преобразования включают в себя

• гиперболические вращения ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},}$
• переводы и ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},}$
• инверсия ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Каждый из них имеет обратный, и композиции заполняют группу дробно-линейных преобразований. Переменная двигателя характеризуется гиперболическим углом в ее полярных координатах, и этот угол сохраняется дробно-линейными преобразованиями переменной двигателя так же, как круговой угол сохраняется преобразованиями Мёбиуса обычной комплексной плоскости. Преобразования, сохраняющие углы, называются конформными , поэтому дробно-линейные преобразования являются конформными отображениями .

Преобразования, ограничивающие области, можно сравнить: Например, на обычной комплексной плоскости преобразование Кэли переносит верхнюю полуплоскость в единичный круг , тем самым ограничивая его. Отображение единичной компоненты U ₁ области D в прямоугольник обеспечивает сопоставимое ограничивающее действие:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T}$

где T = { z = x + j y  : | y | < x < 1 или | y | < 2 – x, когда 1 ≤ x <2}.

Для реализации дробно-линейных преобразований как биекций на проективной прямой используется компактификация D. См. раздел, приведенный ниже.

Эксп, логарифм и квадратный корень

Экспоненциальная функция переводит всю плоскость D в U ₁ :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x}$.

Таким образом, когда x = b j, то e ^x является гиперболическим версором. Для общей двигательной переменной z = a + b j, имеем

${\displaystyle e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\ }$.

В теории функций двигательной переменной особое внимание следует обратить на функции квадратного корня и логарифма. В частности, плоскость расщепленных комплексных чисел состоит из четырех связных компонент и множества особых точек, не имеющих обратных: диагоналей z = x ± x j, x ∈ R . Компонент тождества , а именно { z  : x > | y | } = U ₁ , является областью определения функции квадратного корня и экспоненты. Таким образом, это область определения функций квадратного корня и логарифма. Остальные три квадранта не принадлежат области определения, поскольку квадратный корень и логарифм определяются как взаимно-однозначные обратные функции функции квадратного корня и экспоненты. ${\displaystyle \{U_{1},-U_{1},jU_{1},-jU_{1}\},}$

Графическое описание логарифма D дано Моттером и Розой в их статье «Гиперболическое исчисление» (1998). ^[1]

D-голоморфные функции

Уравнения Коши –Римана , характеризующие голоморфные функции на области в комплексной плоскости, имеют аналог для функций моторной переменной. Подход к D-голоморфным функциям с использованием производной Виртингера был дан Моттером и Россой: ^[1]

Функция f = u + j v называется D-голоморфной, если

${\displaystyle 0\ =\ \left({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y}\right)(u+jv)=\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).}$

Рассматривая действительные и мнимые компоненты, D-голоморфная функция удовлетворяет

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.}$

Эти уравнения были опубликованы ^[2] в 1893 году Георгом Шефферсом , поэтому их называют условиями Шефферса . ^[3]

Сопоставимый подход в теории гармонических функций можно рассмотреть в тексте Питера Дюрена. ^[4] Очевидно, что компоненты u и v D-голоморфной функции f удовлетворяют волновому уравнению , связанному с Даламбером , тогда как компоненты C-голоморфных функций удовлетворяют уравнению Лапласа .

Уроки Ла-Платы

В Национальном университете Ла-Платы в 1935 году JC Vignaux, эксперт по сходимости бесконечных рядов , опубликовал четыре статьи о моторной переменной в ежегодном журнале университета. ^[5] Он является единственным автором вводной статьи и консультировался с заведующим кафедрой A. Durañona y Vedia по остальным. В статье «Sobre las series de numeros complejos hyperbolicos» он говорит (стр. 123):

Эта система гиперболических комплексных чисел [моторных переменных] является прямой суммой двух полей , изоморфных полю действительных чисел; это свойство позволяет излагать теорию рядов и функций гиперболической комплексной переменной посредством использования свойств поля действительных чисел.

Затем он переходит, например, к обобщению теорем Коши, Абеля, Мертенса и Харди на область двигательной переменной.

В основной статье, цитируемой ниже, он рассматривает D-голоморфные функции и удовлетворение уравнения Даламбера их компонентами. Он называет прямоугольник со сторонами, параллельными диагоналям y = x и y = − x , изотропным прямоугольником , поскольку его стороны лежат на изотропных прямых . Он завершает свой реферат следующими словами:

Изотропные прямоугольники играют фундаментальную роль в этой теории, поскольку они образуют области существования голоморфных функций, области сходимости степенных рядов и области сходимости функциональных рядов.

Виньо завершил свою серию шестистраничной заметкой о приближении D-голоморфных функций в единичном изотропном прямоугольнике полиномами Бернштейна . Хотя в этой серии есть некоторые типографские ошибки, а также несколько технических запинок, Виньо удалось изложить основные линии теории, которая лежит между действительным и обычным комплексным анализом. Текст особенно впечатляет как поучительный документ для студентов и преподавателей благодаря своему образцовому развитию от элементов. Кроме того, вся экскурсия коренится в «своей связи с геометрией Эмиля Бореля », чтобы подкрепить ее мотивацию.

Двумерная переменная

В 1892 году Коррадо Сегре вспомнил о алгебре тессарин как о бикомплексных числах . ^[6] Естественно, возникла подалгебра действительных тессаринов, которая стала называться биреальными числами .

В 1946 году У. Бенчивенга опубликовал эссе ^[7] о дуальных числах и расщепленных комплексных числах, где он использовал термин биреальные числа. Он также описал часть теории функций биреальной переменной. Эссе изучалось в Университете Британской Колумбии в 1949 году, когда Джеффри Фокс написал свою магистерскую диссертацию «Элементарная теория функций гиперкомплексной переменной и теория конформного отображения в гиперболической плоскости». На странице 46 Фокс сообщает: «Бенсивенга показал, что функция биреальной переменной отображает гиперболическую плоскость в себя таким образом, что в тех точках, для которых производная функции существует и не обращается в нуль, гиперболические углы сохраняются при отображении».

G. Fox продолжает предоставлять полярное разложение биреальной переменной и обсуждает гиперболическую ортогональность . Начиная с другого определения, он доказывает на странице 57

Теорема 3.42: Два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их единичные векторы являются взаимными отражениями друг друга относительно той или иной диагональной прямой, проходящей через точку 0.

Фокс фокусируется на «билинейных преобразованиях» , где — биреальные константы. Чтобы справиться с сингулярностью, он дополняет плоскость одной точкой на бесконечности (стр. 73). ${\displaystyle w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$

Среди его новых вкладов в теорию функций — концепция взаимосвязанной системы . Фокс показывает, что для двумерного k, удовлетворяющего

( а − б ) ² < | к | < ( а + б ) ²

гиперболы

| z | = a ² и | z − k | = b ²

не пересекаются (образуют взаимосвязанную систему). Затем он показывает, что это свойство сохраняется при билинейных преобразованиях двумерной переменной.

Компактификация

Мультипликативная обратная функция настолько важна, что для ее включения в отображения дифференциальной геометрии предпринимаются крайние меры . Например, комплексная плоскость сворачивается до сферы Римана для обычной комплексной арифметики. Для расщепленной комплексной арифметики вместо сферы используется гиперболоид : Как и в случае со сферой Римана, метод заключается в стереографической проекции из P = (0, 0, 1) через t = ( x , y , 0) на гиперболоид. Прямая L = Pt параметризуется s в так, что она проходит через P , когда s равно нулю, и через t, когда s равно единице. ${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.}$ ${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}}$

Из H ∩ L следует, что

${\displaystyle (1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{ so that}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.}$

Если t находится на нулевом конусе , то s = 2 и (2 x , ±2 x , – 1) находится на H , противоположные точки (2 x , ±2 x , 1) составляют световой конус на бесконечности , который является изображением нулевого конуса при инверсии.

Обратите внимание, что для t с s отрицательно. Подразумевается, что обратный луч через P к t дает точку на H. Эти точки t находятся выше и ниже гиперболы, сопряженной с единичной гиперболой. ${\displaystyle y^{2}>1+x^{2},}$

Компактификация должна быть завершена в P ³ R с однородными координатами ( w, x, y, z ), где w = 1 определяет аффинное пространство ( x, y, z ), используемое до сих пор. Гиперболоид H поглощается проективной коникой , которая является компактным пространством . ${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},}$

Вальтер Бенц выполнил компактификацию, используя отображение Ганса Бека. Исаак Яглом проиллюстрировал двухэтапную компактификацию, как указано выше, но с плоскостью расщепленного комплекса, касающейся гиперболоида. ^[8] В 2015 году Эмануэлло и Нолдер выполнили компактификацию, сначала вложив моторную плоскость в тор , а затем сделав ее проективной, определив антиподальные точки . ^[9]

Ссылки

1. AE Motter & MAF Rosa (1998) «Гиперболическое исчисление», Advances in Applied Clifford Algebras 8(1):109–28
2. Георг Шефферс (1893) "Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komplexen Funktionen", Sitzungsberichte Sachs. Гес. Висс, Математически-физический класс Bd 45 S. 828-42
3. Исаак Яглом (1988) Феликс Кляйн и Софус Ли, Эволюция идеи симметрии в девятнадцатом веке , Birkhäuser Verlag , стр. 203
4. Питер Дюрен (2004) Гармонические отображения на плоскости , стр. 3,4, Cambridge University Press
5. Виньо, Дж. К. и А. Дураньона и Ведия (1935) «Собре ла теория де лас функций де уна переменная полная гиперболика», Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas , стр. 139–184, Национальный университет Ла-Платы , Республика Аргентина
6. G. Baley Price (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции , Марсель Деккер ISBN  0-8247-8345-X
7. Бенчивенга, У. (1946) "Sulla Rappresentazione Geometrica Della Algebre Doppie Dotate Di Modulo", Atti. Аккад. наук. Наполи Сер(3) т.2 № 7
8. Яглом, Исаак М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное описание геометрии Галилея и принципа относительности Галилея . Эйб Шенитцер (переводчик). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90332-1.
9. Джон А. Эмануэлло и Крейг А. Нолдер (2015) «Проективная компактификация R ^1,1 и ее геометрия Мёбиуса», Complex Analysis and Operator Theory 9(2): 329–54

• Франческо Катони, Дино Боккалетти и Роберто Канната (2008) Математика пространства-времени Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. Глава 7: Функции гиперболической переменной.
• Шахрам Дехдашт + семь других (2021) «Конформная гиперболическая оптика», Physical Review Research 3,033281 doi :10.1103/PhysRevResearch.3.033281