Оценка облигаций

Справедливая цена облигации

Оценка облигаций — это процесс, посредством которого инвестор приходит к оценке теоретической справедливой стоимости или внутренней стоимости облигации . Как и в случае с любой ценной бумагой или капиталовложением, теоретическая справедливая стоимость облигации — это текущая стоимость потока денежных потоков, которые она, как ожидается, сгенерирует. Таким образом, стоимость облигации получается путем дисконтирования ожидаемых денежных потоков облигации до настоящего момента с использованием соответствующей ставки дисконтирования . ^{[1] [2]}

На практике эта ставка дисконтирования часто определяется путем ссылки на аналогичные инструменты, при условии, что такие инструменты существуют. Затем для данной цены рассчитываются различные связанные показатели доходности. Если рыночная цена облигации меньше ее номинальной стоимости , облигация продается со скидкой . И наоборот, если рыночная цена облигации больше ее номинальной стоимости, облигация продается с премией . Об этом и других соотношениях между ценой и доходностью см. ниже.

Если облигация включает встроенные опционы , оценка становится более сложной и объединяет ценообразование опционов с дисконтированием. В зависимости от типа опциона, рассчитанная цена опциона либо добавляется, либо вычитается из цены «прямой» части. ^[3] См . далее в разделе Опцион на облигацию . Эта сумма и есть стоимость облигации.

Оценка облигаций

Справедливая цена «прямой облигации» (облигации без встроенных опционов ; см. Bond (финансы) § Особенности ) обычно определяется путем дисконтирования ее ожидаемых денежных потоков по соответствующей ставке дисконтирования. Хотя это соотношение текущей стоимости отражает теоретический подход к определению стоимости облигации, на практике ее цена (обычно) определяется со ссылкой на другие, более ликвидные инструменты. Далее обсуждаются два основных подхода здесь, относительное ценообразование и безарбитражное ценообразование. Наконец, когда важно признать, что будущие процентные ставки неопределенны и что ставка дисконтирования не адекватно представлена ​​одним фиксированным числом — например, когда опцион выписан на рассматриваемую облигацию — может использоваться стохастическое исчисление. ^[4]

Метод текущей стоимости

Базовый метод расчета теоретической справедливой стоимости облигации, или внутренней стоимости, использует приведенную ниже формулу текущей стоимости (PV), используя единую рыночную процентную ставку для дисконтирования денежных потоков во всех периодах. Более сложный подход будет использовать различные процентные ставки для денежных потоков в разные периоды. ^{[2] : 294} Приведенная ниже формула предполагает, что купонный платеж был только что произведен (см. ниже корректировки на другие даты).

${\displaystyle {\begin{aligned}TFV&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+...+{\frac {C}{(1+i)^{N}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}C\left({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}}\right)+M(1+i)^{-N}\end{matrix}}\end{aligned}}}$

где:

${\displaystyle F=}$номинальная стоимость

${\displaystyle i_{F}=}$договорная процентная ставка

${\displaystyle C=F*i_{F}=}$купонный платеж (периодическая выплата процентов)

${\displaystyle N=}$количество платежей

${\displaystyle i=}$рыночная процентная ставка, или требуемая доходность, или наблюдаемая / соответствующая доходность к погашению (см. ниже)

${\displaystyle M=}$стоимость при погашении, обычно равна номинальной стоимости

${\displaystyle TFV=}$теоретическая справедливая стоимость

Относительный ценовой подход

При таком подходе — расширении или применении вышеизложенного — облигация будет оцениваться относительно эталона, обычно государственной ценной бумаги ; см. Относительная оценка . Здесь доходность к погашению облигации определяется на основе кредитного рейтинга облигации относительно государственной ценной бумаги с аналогичным сроком погашения или дюрацией ; см. Кредитный спред (облигация) . Чем лучше качество облигации, тем меньше спред между ее требуемой доходностью и доходностью к погашению эталона. Эта требуемая доходность затем используется для дисконтирования денежных потоков по облигации, заменяя в формуле выше, чтобы получить цену. ^[5] ${\displaystyle i}$

Безарбитражный подход к ценообразованию

В отличие от двух связанных подходов выше, облигация может рассматриваться как «пакет денежных потоков» — купонный или лицевой — с каждым денежным потоком, рассматриваемым как инструмент с нулевым купоном , погашаемый в дату его получения. Таким образом, вместо использования единой ставки дисконтирования следует использовать несколько ставок дисконтирования, дисконтируя каждый денежный поток по его собственной ставке. ^[4] Здесь каждый денежный поток отдельно дисконтируется по той же ставке, что и облигация с нулевым купоном, соответствующая дате купона, и эквивалентной кредитной стоимости (если возможно, от того же эмитента, что и оцениваемая облигация, или, если нет, с соответствующим кредитным спредом ).

При таком подходе цена облигации должна отражать ее « безарбитражную » цену, поскольку любое отклонение от этой цены будет использовано, и облигация затем быстро переоценится до своего правильного уровня. Здесь мы применяем рациональную логику ценообразования , относящуюся к «Активам с идентичными денежными потоками» . Подробно: (1) даты купонов облигации и суммы купонов известны с уверенностью. Следовательно, (2) некоторое количество (или доля) облигаций с нулевым купоном, каждое из которых соответствует датам купонов облигации, может быть указано таким образом, чтобы обеспечить идентичные денежные потоки для облигации. Таким образом, (3) цена облигации сегодня должна быть равна сумме каждого из ее денежных потоков, дисконтированных по ставке дисконтирования, подразумеваемой значением соответствующего ZCB.

Стохастический подход к исчислению

При моделировании опциона на облигацию или другого производного процентной ставки (IRD) важно осознавать, что будущие процентные ставки неопределенны, и поэтому ставка(и) дисконтирования, упомянутые выше, во всех трех случаях — то есть для всех купонов или для каждого отдельного купона — не адекватно представлены фиксированным ( детерминированным ) числом. В таких случаях применяется стохастическое исчисление .

Ниже приведено уравнение в частных производных (УЧП) в стохастическом исчислении, которому, по арбитражным аргументам , ^[6] удовлетворяет любая облигация с нулевым купоном в течение (мгновенного) времени для соответствующих изменений в краткосрочной ставке . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}$

Решение уравнения в частных производных (т.е. соответствующая формула для стоимости облигации), приведенное в работе Кокса и др. ^[7] , выглядит следующим образом:

${\displaystyle P[t,T,r(t)]=E_{t}^{\ast }[e^{-R(t,T)}]}$

где — ожидание относительно вероятностей, нейтральных к риску , а — случайная величина, представляющая ставку дисконтирования; см. также Ценообразование по методу Мартингейла . ${\displaystyle E_{t}^{\ast }}$ ${\displaystyle R(t,T)}$

Чтобы фактически определить цену облигации, аналитик должен выбрать конкретную модель краткосрочной ставки , которую следует использовать. Обычно используются следующие подходы:

• модель CIR
• модель Блэка –Дермана–Тоя
• модель Халла –Уайта
• структура HJM
• модель Чэня .

Обратите внимание, что в зависимости от выбранной модели решение в закрытой форме ( «Black like» ) может быть недоступно, и тогда применяется реализация рассматриваемой модели на основе решетки или моделирования . См. также Bond option § Valuation .

Цена за чистоту и грязность

Если облигация не оценена точно на дату купона, рассчитанная цена, с использованием методов, указанных выше, будет включать накопленные проценты : т. е. любые проценты, причитающиеся владельцу облигации за « период погашения » с момента предыдущей даты купона (см. правило подсчета дней ). Цена облигации, которая включает эти накопленные проценты, известна как « грязная цена » (или «полная цена» или «все в цене» или «цена наличными»). « Чистая цена » — это цена без учета любых накопленных процентов. Чистые цены, как правило, более стабильны с течением времени, чем грязные цены. Это связано с тем, что грязная цена внезапно упадет, когда облигация перейдет «без процентов», и покупатель больше не будет иметь права на получение следующего купонного платежа. На многих рынках рыночная практика заключается в том, чтобы котировать облигации на основе чистой цены. Когда покупка совершается, накопленные проценты добавляются к котируемой чистой цене, чтобы получить фактическую сумму к уплате.

Соотношение доходности и цены

После расчета цены или стоимости можно определить различные показатели доходности, связывающие цену облигации с ее купонами.

Доходность к погашению

Доходность к погашению (YTM) — это ставка дисконтирования, которая возвращает рыночную цену облигации без встроенной опциональности; она идентична (требуемой доходности) в приведенном выше уравнении. Таким образом, YTM — это внутренняя норма доходности инвестиций в облигацию, сделанных по наблюдаемой цене. Поскольку YTM можно использовать для оценки облигации, цены на облигации часто указываются в терминах YTM. ${\displaystyle i}$

Чтобы достичь доходности, равной доходности к погашению, т. е. требуемой доходности облигации, владелец облигации должен:

• купить облигацию по цене , ${\displaystyle P_{0}}$
• удерживать облигацию до погашения, и
• погасить облигацию по номинальной стоимости.

Ставка купона

Ставка купона — это купонный платеж в процентах от номинальной стоимости . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\text{Coupon rate}}={\frac {C}{F}}}$

Купонный доход также называется номинальной доходностью .

Текущая доходность

Текущая доходность — это купонный платеж в процентах от ( текущей ) цены облигации . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\text{Current yield}}={\frac {C}{P_{0}}}.}$

Отношение

Концепция текущей доходности тесно связана с другими концепциями облигаций, включая доходность к погашению и купонную доходность. Связь между доходностью к погашению и ставкой купона выглядит следующим образом:

Чувствительность к цене

Чувствительность рыночной цены облигации к изменениям процентной ставки (т.е. доходности) измеряется ее дюрацией и, кроме того, ее выпуклостью .

Дюрация — это линейная мера того, как цена облигации изменяется в ответ на изменение процентной ставки. Она приблизительно равна процентному изменению цены для заданного изменения доходности и может рассматриваться как эластичность цены облигации по отношению к ставкам дисконтирования. Например, для небольших изменений процентной ставки дюрация — это приблизительный процент, на который упадет стоимость облигации при увеличении рыночной процентной ставки на 1% в год. Таким образом, рыночная цена 17-летней облигации с дюрацией 7 упадет примерно на 7%, если рыночная процентная ставка (или, точнее, соответствующая сила процента ) увеличится на 1% в год.

Выпуклость является мерой «кривизны » изменений цен. Она необходима, поскольку цена является не линейной функцией ставки дисконтирования, а скорее выпуклой функцией ставки дисконтирования. В частности, дюрация может быть сформулирована как первая производная цены по процентной ставке, а выпуклость — как вторая производная (см.: Формула дюрации облигации в замкнутой форме ; Формула выпуклости облигации в замкнутой форме ; Ряд Тейлора ). Продолжая приведенный выше пример, для более точной оценки чувствительности показатель выпуклости будет умножен на квадрат изменения процентной ставки, а результат добавлен к значению, полученному по приведенной выше линейной формуле.

Для встроенных опционов см. эффективную дюрацию и эффективную выпуклость ; в более общем плане см. Корпоративные облигации § Анализ рисков .

Бухгалтерский учет

При учете обязательств любая скидка или премия по облигации должна амортизироваться в течение срока действия облигации. Для этого может использоваться ряд методов в зависимости от применимых правил бухгалтерского учета. Одна из возможностей заключается в том, что сумма амортизации в каждом периоде рассчитывается по следующей формуле: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle n\in \{0,1,...,N-1\}}$

${\displaystyle a_{n+1}}$= сумма амортизации в периоде номер "n+1"

${\displaystyle a_{n+1}=|iP-C|{(1+i)}^{n}}$

Дисконт по облигациям или премия по облигациям = = ${\displaystyle |F-P|}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{N}}$

Дисконт по облигациям или премия по облигациям = ${\displaystyle F|i-i_{F}|({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}})}$

Смотрите также

• Список тем оценки облигаций
• Спред по обмену активами
• Выпуклость связи
• Продолжительность облигации
• Вариант облигаций
• Чистая цена
• Доходность купона
• Текущая доходность
• Грязная цена
• I-распространение
• Спред с поправкой на опцион
• Доходность к погашению
• Z-распространение

Ссылки

1. Малкиел, Бертон Г. (1962). «Ожидания, цены облигаций и временная структура процентных ставок». The Quarterly Journal of Economics . 76 (2): 197–218. doi :10.2307/1880816. ISSN  0033-5533. JSTOR  1880816.
2. Боди, Цви; Кейн, Алекс.; Маркус, Алан Дж. (2010). Основы инвестиций (восьмое изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338240-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Калотэй, Эндрю Дж.; Уильямс, Джордж О.; Фабоцци, Фрэнк Дж. (1993). «Модель оценки облигаций и встроенных опционов». Financial Analysts Journal . 49 (3): 35–46. doi :10.2469/faj.v49.n3.35. ISSN  0015-198X – через Taylor & Francis.
4. Fabozzi, 1998
5. Джонс, Э. Филип; Мейсон, Скотт П.; Розенфельд, Эрик (1984). «Анализ условных требований структур корпоративного капитала: эмпирическое исследование». Журнал финансов . 39 (3): 611–625. doi :10.2307/2327919. ISSN  0022-1082. JSTOR  2327919.
6. Для вывода, аналогичного Блэку-Шоулзу , см.: Дэвид Мандель (2015). «Понимание рыночной цены риска», Университет штата Флорида
7. Джон К. Кокс , Джонатан Э. Ингерсолл и Стивен А. Росс (1985). Теория временной структуры процентных ставок Архивировано 2011-10-03 в Wayback Machine , Econometrica 53:2

Избранная библиография

• Гильермо Л. Думрауф (2012). «Глава 1: Ценообразование и доходность». Облигации, пошаговый анализ с Excel . Издание Kindle.
• Фрэнк Фабоцци (1998). Оценка ценных бумаг с фиксированным доходом и производных инструментов (3-е изд.). Джон Уайли . ISBN 978-1-883249-25-0.
• Фрэнк Дж. Фабоцци (2005). Математика с фиксированным доходом: аналитические и статистические методы (4-е изд.). John Wiley. ISBN 978-0071460736.
• Р. Стаффорд Джонсон (2010). Оценка, выбор и управление облигациями (2-е изд.). John Wiley. ISBN 978-0470478356.
• Мейл, Ян (1993), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы расчета цены, доходности и накопленных процентов по ценным бумагам с фиксированным доходом , т. 1 (3-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN 1-882936-01-9
• Дональд Дж. Смит (2011). Bond Math: Theory Behind the Formulas . John Wiley. ISBN 978-1576603062.
• Брюс Такман (2011). Ценные бумаги с фиксированным доходом: инструменты для сегодняшних рынков (3-е изд.). John Wiley. ISBN 978-0470891698.
• Пьетро Веронези (2010). Ценные бумаги с фиксированным доходом: оценка, риск и управление рисками . John Wiley. ISBN 978-0470109106.
• Бертон Малкиел (1962). «Ожидания, цены облигаций и временная структура процентных ставок» . Ежеквартальный журнал экономики.
• Марк Мобиус (2012). Облигации: Введение в основные концепции . Джон Уайли. ISBN 978-0470821473.

Внешние ссылки

• Оценка облигаций, проф. Кэмпбелл Р. Харви, Университет Дьюка
• Учебник по временной стоимости денег, проф. Асват Дамодаран , Школа бизнеса Стерна
• Аналитическое общество по инвестициям в волатильность цен облигаций Южной Африки
• Продолжительность и выпуклость Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки