Переписка Кобаяши-Хитчина

Теорема о векторных расслоениях

В дифференциальной геометрии , алгебраической геометрии и калибровочной теории соответствие Кобаяши -Хитчина (или теорема Дональдсона-Уленбека-Яу ) связывает стабильные векторные расслоения над комплексным многообразием с векторными расслоениями Эйнштейна-Эрмитова . Соответствие названо в честь Шошичи Кобаяши и Найджела Хитчина , которые в 1980-х годах независимо выдвинули гипотезу, что пространства модулей стабильных векторных расслоений и векторных расслоений Эйнштейна–Эрмитова над комплексным многообразием по существу одинаковы. ^{[1] [2]}

Это было доказано Саймоном Дональдсоном для проективных алгебраических поверхностей , а затем для проективных алгебраических многообразий , ^{[3] [4]} Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу для компактных кэлеровых многообразий , ^[5] и независимо Бухдалом для некелеровых компактных поверхностей, и Цзюнь Ли и Яу для произвольных компактных комплексных многообразий. ^{[6] [7]}

Теорему можно считать обширным обобщением теоремы Нарасимхана-Сешадри , касающейся случая компактных римановых поверхностей , и она оказала влияние на развитие дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и калибровочной теории с 1980-х годов. В частности, соответствие Хитчина-Кобаяши вдохновило на гипотезы, ведущие к неабелеву соотношению Ходжа для расслоений Хиггса , а также гипотезу Яу-Тиана-Дональдсона о существовании метрик Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано и гипотезу Томаса-Яу о существовании специальные лагранжианы внутри изотопических классов лагранжевых подмногообразий многообразия Калаби –Яу . ^[8]

История

В 1965 году М. С. Нарасимхан и К. С. Сешадри доказали теорему Нарасимхана–Сешадри , которая связывает стабильные голоморфные (или алгебраические) векторные расслоения над компактными римановыми поверхностями (или неособыми проективными алгебраическими кривыми) с проективными унитарными представлениями фундаментальной группы Римана. поверхность. ^{[9] В 1970-х годах} Майкл Атья , Рауль Ботт , Хитчин и другие осознали , что такую ​​теорию представления фундаментальной группы можно понять в терминах связей Янга-Миллса , понятий, возникших из современной на тот момент математической физики. Вдохновленный теоремой Нарасимхана-Сешадри, примерно в это же время сформировалась фольклорная гипотеза о том, что наклонные полистабильные векторные расслоения допускают эрмитовые связи Янга-Миллса . Частично это связано с аргументацией Федора Богомолова и успехом работы Яу по построению глобальных геометрических структур в кэлеровой геометрии . Эту гипотезу впервые открыто высказали Кобаяши и Хитчин независимо друг от друга в начале 1980-х годов. ^{[1] [2]}

Явная связь между связями Янга – Миллса и стабильными векторными расслоениями была конкретизирована в начале 1980-х годов. Прямое соответствие, когда размерность базового комплексного многообразия равна единице, было объяснено в работе Атьи и Ботта в 1982 году об уравнениях Янга – Миллса над компактными римановыми поверхностями, а также в новом доказательстве Дональдсоном теоремы Нарасимхана – Сешадри с точки зрения калибровочной теории в 1983 году. ^{[10] [11]} В этой ситуации эрмитово соединение Янга–Миллса можно было просто понимать как (проективно) плоское соединение над римановой поверхностью. Идея связности Эрмита-Эйнштейна для векторного расслоения над комплексным многообразием более высокой размерности была сформулирована Кобаяши в 1980 году, а в 1982 году он в целом показал, что векторное расслоение, допускающее такую ​​связность, является устойчивым по наклону в смысле Мамфорда . ^{[12] [13]}

Более сложное направление доказательства существования метрик Эрмита–Эйнштейна на стабильных голоморфных векторных расслоениях над комплексными многообразиями размерности больше единицы быстро последовало в 1980-х годах. Вскоре после предоставления нового доказательства теоремы Нарасимхана-Сешадри в комплексной размерности один, Дональдсон доказал существование алгебраических поверхностей в 1985 году. ^[3] В следующем году Уленбек -Яу доказал существование произвольных компактных кэлеровых многообразий, используя метод непрерывности. ^[5] Вскоре после этого Дональдсон представил второе доказательство, адаптированное специально для случая проективных алгебраических многообразий, используя теорию детерминантных расслоений и метрику Квиллена . ^[4] Благодаря их работе соответствие Кобаяши–Хитчина часто также называют теоремой Дональдсона–Уленбека–Яу. В 2019 году Карен Уленбек была удостоена премии Абеля частично за свою работу по изучению существования метрик Эрмита-Эйнштейна, а также за вклад в ключевые аналитические методы, лежащие в основе доказательства теоремы. ^[14]

В конце 1980-х годов внимание было обращено на установление соответствия не только в случае компактных кэлеровых многообразий, но и для произвольных компактных комплексных многообразий. В этой ситуации сложно даже дать определение понятию стабильности. Для некэлеровых многообразий для определения устойчивости необходимо использовать метрику Годюшона , но это не является ограничением, поскольку каждая метрика на компактном комплексном многообразии конформна метрике Годюшона. В 1987 году существование на произвольных компактных комплексных поверхностях было показано Бухдалом, а вскоре после этого для произвольных компактных комплексных многообразий - Ли-Яу. ^{[6] [7]}

Заявление

Соответствие Кобаяши–Хитчина касается существования эрмитовых связностей Янга–Миллса (или метрик Эрмита–Эйнштейна) на голоморфных векторных расслоениях над компактными комплексными многообразиями. В этом разделе будут представлены точные понятия о компактных кэлеровах многообразиях. ^{[15] [16] [17]}

Стабильные векторные расслоения

Понятие устойчивости было введено в алгебраическую геометрию Мамфордом в его работе по геометрической теории инвариантов с целью построения пространств модулей различных геометрических объектов. ^[18] Мамфорд применил эту новую теорию векторных расслоений для разработки понятия устойчивости склонов . ^[19]

Определим степень голоморфного векторного расслоения над компактным кэлеровым многообразием как целое число ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$

${\displaystyle \mathrm {deg} (E):=(c_{1}(E)\cup [\omega ]^{n-1})[X]}$

где находится первый класс Черна . Наклон - это рациональное число, определяемое формулой ${\displaystyle c_{1}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (E)}$

${\displaystyle \mu (E):={\frac {\mathrm {deg} (E)}{\mathrm {rank} (E)}}.}$

Определение наклона можно распространить на любой аналитический когерентный пучок над . А именно, в алгебраическом подходе ранг и степень когерентного пучка кодируются в коэффициентах его многочлена Гильберта , и выражения для этих величин могут быть непосредственно распространены на случай кэлеровых многообразий, которые не являются проективными, путем замены обильное линейное расслоение по классу Кэлера и пары пересечений по интегралам. ${\displaystyle (X,\omega )}$

Голоморфное векторное расслоение называется устойчивым по наклону (соответственно полустабильным по наклону ), если для всех собственных ненулевых когерентных подпучков с выполняется следующее неравенство: ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {rk} ({\mathcal {F}})<\operatorname {rk} (E)}$

${\displaystyle \mu ({\mathcal {F}})<\mu (E)\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}$

Векторное расслоение является полистабильным по наклону, если оно изоморфно прямой сумме стабильных голоморфных векторных расслоений того же наклона. Векторное расслоение является наклонно-неустойчивым, если оно не является наклонно-полустабильным.

Связь Эрмита Янга – Миллса

Понятие эрмитовой связности Янга–Миллса является спецификацией связности Янга–Миллса в случае эрмитова векторного расслоения над комплексным многообразием. Можно сформулировать определение либо в терминах самой эрмитовой метрики, либо в терминах связанной с ней связи Черна , и эти два понятия по существу эквивалентны с точностью до калибровочного преобразования. Учитывая эрмитово векторное расслоение над компактным кэлеровым многообразием, эрмитово соединение Янга – Миллса является унитарным соединением для эрмитовой метрики , которое удовлетворяет условию ${\displaystyle (E,h)\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}.\end{cases}}}$

Условие, из которого следует, что дифференциальный оператор является оператором Дольбо для голоморфной структуры на эрмитовом векторном расслоении , и которое само по себе является связностью Чженя для этой голоморфной структуры. Константа зависит только от топологии и может быть вычислена как ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{A}^{0,1}}$ ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{(n-1)!\mathrm {vol} (X)}}\mu (E).}$

Если вместо этого начать с голоморфного векторного расслоения и изменить выбор эрмитовой метрики, то решение приведенных выше уравнений, где - связность Черна эрмитовой метрики, называется метрикой Эрмита-Эйнштейна . ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$

Переписка

Здесь мы даем формулировку соответствия Кобаяши–Хитчина для произвольных компактных комплексных многообразий — случай, когда приведенные выше определения устойчивости и специальных метрик можно легко расширить.

Теорема (Дональдсон–Уленбек–Яу, Бухдал, Ли–Яу): голоморфное векторное расслоение над компактным комплексным многообразием с метрической 2-формой допускает метрику Эрмита–Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно полистабильно по наклону. ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Если вместо этого ограничиться неприводимыми голоморфными векторными расслоениями, то наклонную полистабильность можно заменить склоновой устойчивостью. Соответствие Кобаяши-Хитчина подразумевает не просто биекцию множеств наклонно-полистабильных векторных расслоений и метрик Эрмита-Эйнштейна, но и изоморфизм пространств модулей . А именно, два полистабильных голоморфных векторных расслоения биголоморфны тогда и только тогда, когда существует калибровочное преобразование, переводящее соответствующие метрики Эрмита–Эйнштейна из одной в другую, и отображение, переводящее метрику Эрмита–Эйнштейна в соответствующее полистабильное векторное расслоение, непрерывно относительно к взятию последовательностей эрмитовых метрик и голоморфных векторных расслоений в соответствующих топологиях. Таким образом, можно сформулировать соответствие следующим образом: ${\displaystyle h\mapsto E}$

Теорема (версия пространства модулей): существует гомеоморфизм пространства модулей полистабильных голоморфных векторных расслоений с фиксированной базовой гладкой структурой с точностью до биголоморфизма и пространство модулей метрик Эрмита–Эйнштейна на комплексном векторном расслоении с точностью до калибровочного преобразования. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle E}$

Одним из направлений доказательства соответствия Кобаяши-Хитчина, устойчивости голоморфного векторного расслоения, допускающего метрику Эрмита-Эйнштейна, является относительно прямое применение принципа эрмитовой геометрии, согласно которому кривизна уменьшается в голоморфных подрасслоениях . Кобаяши и Любке предоставили доказательства этого направления. ^{[12] [20]} Основная трудность в этом направлении состоит в том, чтобы показать устойчивость по отношению к когерентным подпучкам, которые не являются локально свободными, и для этого Кобаяши доказал теорему об исчезании для сечений векторных расслоений Эрмита–Эйнштейна.

Более сложное направление демонстрации существования метрики Эрмита-Эйнштейна на полистабильном векторном расслоении по наклону требует сложных методов геометрического анализа . Многие из этих методов основаны на идеях, разработанных Яу в его доказательстве гипотезы Калаби , а также на важной работе Уленбек по гармоническим картам в 1970-х годах и ее важных аналитических результатах о связях Янга-Миллса начала 1980-х годов. Уленбек и Яу доказали общий случай соответствия, применив метод непрерывности и показав, что препятствие для завершения этого метода непрерывности может быть охарактеризовано именно аналитическим когерентным подпучком, который дестабилизирует наклон векторного расслоения. Эти методы были развиты Бухдалом и Ли-Яу в ситуации, когда 2-форма не замкнута, так что компактное комплексное многообразие не является кэлеровым. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \omega }$

Обобщения и влияние

Соответствие Кобаяши-Хитчина было одним из первых примеров общего принципа, который стал доминировать в исследованиях геометрии с момента его доказательства: экстремальные объекты в дифференциальной геометрии соответствуют стабильным объектам в алгебраической геометрии . Многие результаты были доказаны либо как расширения или вариации соответствия Кобаяши-Хитчина, либо путем прямой аналогии с соответствием, казалось бы, несопоставимым частям геометрии, и все эти результаты следуют одному и тому же принципу. Здесь дается краткое изложение этих обобщений или связанных с ними результатов:

Обобщения

• Форма соответствия Кобаяши – Хитчина справедлива для полустабильных векторных расслоений строго по наклону, которые не являются полистабильными. ^[17] На таких векторных расслоениях можно доказать существование так называемой приближенной метрики Эрмита–Эйнштейна , которая представляет собой семейство эрмитовых метрик для малых таких, что для каждого . ${\displaystyle h_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|\Lambda _{\omega }F(h_{\varepsilon })-\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}\|_{L^{2}}<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• Соответствие Кобаяши-Хитчина было обобщено Бандо-Сиу на сингулярные голоморфные векторные расслоения, иначе известные как рефлексивные пучки . ^[21] Это включает в себя определение понятия сингулярных метрик Эрмита–Эйнштейна на таких пучках и оказало влияние на развитие сингулярных метрик Кэлера–Эйнштейна над сингулярными многообразиями Фано.
• Это соответствие было обобщено на случай расслоений Хиггса Хитчиным, Карлосом Симпсоном , Дональдсоном и Кевином Корлеттом. А именно, Хитчин доказал частичный аналог соответствия Кобаяши–Хитчина для расслоений Хиггса над компактной римановой поверхностью, а Дональдсон провел некоторую работу над гармоническими представлениями, которые завершили это соответствие. Затем это было широко обобщено Симпсоном на случай расслоений Хиггса над произвольными компактными кэлеровыми многообразиями, и Корлетт доказал соответствующие результаты о гармонических представлениях в этом случае. Это стало известно как неабелевое соответствие Ходжа и имеет глубокую связь с зеркальной симметрией и гипотезой P=W Тамаса Хаузеля , а также с интегрируемыми системами . Из неабелева соответствия Ходжа следует соответствие Кобаяши–Хитчина для компактных кэлеровых многообразий.
• Соответствие было обобщено на метрики Эрмита–Эйнштейна на голоморфных главных расслоениях с редуктивной структурной группой, допускающих совместимую редукцию структурной группы к максимальной компактной подгруппе. Аннамалай Раманатан первым определил понятие стабильного главного расслоения ^[22] , и в целом соответствие было доказано Аншушем и Бисвасом . ^[23] Известен также вариант соответствия для расслоений главных Хиггса.
• Дэвид Гизекер ввел понятие устойчивости, устойчивости Гизекера , которое имеет много общих свойств с устойчивостью склона. Устойчивость Гизекера требует неравенств целых (нормализованных) полиномов Гильберта для большого аргумента, тогда как устойчивость наклона требует только неравенства коэффициентов старших порядков. Таким образом, устойчивость Гизекера можно рассматривать как обобщение устойчивости склонов, и действительно, существует цепочка следствий.

конюшня на наклоне ⇒ конюшня Гизекера ⇒ полустабильная по Гизекеру ⇒ полустабильная на наклоне .

Устойчивость Гизекера — это понятие устойчивости векторных расслоений, которое вытекает непосредственно из геометрической теории инвариантов и впоследствии оказало значительное влияние на алгебраическую геометрию, где оно используется для формирования пространств модулей пучков. ^[24] Обобщение соответствия Кобаяши-Хитчина было доказано для стабильных векторных расслоений Гизекера Конаном Люнгом, который связал с каждым стабильным векторным расслоением Гизекера так называемую почти метрику Эрмита-Эйнштейна . ^[25] Это специальные эрмитовы метрики, которые удовлетворяют полиномиальной версии дифференциального уравнения, определяющего метрику Эрмита–Эйнштейна, и фактически являются специальными классами приближенных метрик Эрмита–Эйнштейна.

• В 2001 году Альварес-Консул и Гарсиа-Прада доказали обширное обобщение соответствия Кобаяши–Хитчина на скрученные расслоения колчана над компактными кэлеровыми многообразиями, которые представляют собой семейства голоморфных векторных расслоений, снабженных вспомогательными полями и гомоморфизмами расслоений между ними. Сюда входят в качестве особых случаев регулярное соответствие Кобаяши–Хитчина, а также неабелево соответствие Ходжа и различные версии соответствия Кобаяши–Хитчина для размерных сокращений уравнений Янга–Миллса. ^[26]

Влияние

Помимо допуска многих прямых или обширных обобщений, соответствие Кобаяши-Хитчина также послужило руководящим результатом для других соответствий, которые напрямую не вписываются в структуру эрмитовых метрик на векторных расслоениях. ^{[27] [28]}

• В теории Зайберга-Виттена есть соответствие, вдохновленное соответствием Кобаяши-Хитчина, которое идентифицирует решения уравнений Зайберга-Виттена над кэлеровой поверхностью, монополи , с определенными дивизорами . ^{[29] [30]} Это использовалось для вычисления примеров инвариантов Зайберга–Виттена четырехмерных многообразий и восстановления результатов, известных из теории Дональдсона .
• В 1993 году Яу предположил, что должно существовать понятие устойчивости алгебраических многообразий, которое однозначно характеризовало бы существование метрик Кэлера–Эйнштейна на гладких многообразиях Фано , и что это понятие устойчивости должно быть аналогом наклонной устойчивости векторных расслоений. ^[31] Тянь Ган дал точное определение такого понятия стабильности, названное K-стабильностью , которое было перефразировано Дональдсоном чисто алгебро-геометрическим способом. ^{[32] [33]} Гипотеза о том, что такие K-полистабильные многообразия Фано соответствуют метрикам Кэлера–Эйнштейна, была доказана Ченом–Дональдсоном–Суном. ^{[34] [35] [36]}
• Опираясь на гипотезу Яу, Дональдсон предположил, что, в более общем смысле, любое гладкое K-полистабильное проективное многообразие должно допускать постоянную скалярную кривизну кэлеровой метрики . Это обобщение гипотезы для многообразий Фано известно как гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона и в целом до сих пор остается открытым. Она решена в случае торических многообразий комплексной размерности два. Многие из методов, разработанных для понимания соответствия Кобаяши-Хитчина, были применены к настройке разновидностей, чтобы попытаться понять гипотезу YTD. А именно использование потока Кэлера-Риччи как аналога потока Янга-Миллса, а также функционала Калаби и функционала K-энергии по сравнению с функционалом Янга-Миллса и функционалом Дональдсона. Исследование оптимальных вырождений проективных многообразий относительно K-стабильности также во многом вдохновлено изучением фильтрации Хардера–Нарасимхана голоморфного векторного расслоения, а сингулярное поведение метрик на многообразиях изучается по аналогии с тем, как эрмитовы метрики вырождаются вдоль потока Янга–Миллса на строго полустабильных голоморфных векторных расслоениях.
• Гипотеза Томаса–Яу в симплектической геометрии предлагает условие устойчивости, которое должно точно характеризовать, когда изотопический класс лагранжевых подмногообразий многообразия Калаби –Яу допускает в качестве представителя специальное лагранжево подмногообразие. ^[8] Эту гипотезу можно рассматривать как прямую аналогию с соответствием Кобаяши–Хитчина, где изотопический класс заменяется калибровочной орбитой внутри пространства эрмитовых векторных расслоений, а специальное условие Лагранжа заменяется условием Эрмита–Эйнштейна. . Одна из характеристик требуемого условия устойчивости была предложена Домиником Джойсом, исходя из условий устойчивости Бриджленда , а зеркальная версия результата для так называемого деформированного эрмитова уравнения Янга – Миллса была доказана Гао Ченом. ^[37]

Приложения

Соответствие Кобаяши-Хитчина нашло множество важных приложений в алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии . Предоставив два альтернативных описания пространства модулей стабильных голоморфных векторных расслоений над комплексным многообразием, одно алгебраическое по природе, а другое аналитическое, удалось доказать многие важные результаты о таких пространствах модулей. Самым впечатляющим из них было изучение инвариантов четырехмногообразий и, в более общем смысле, алгебраических многообразий с помощью теории Дональдсона–Томаса . ^[38] В частности, пространство модулей векторных расслоений Эрмита–Эйнштейна естественным образом снабжено римановой структурой, задаваемой метрикой типа Вейля–Петерсона на пространстве модулей. Объединение этой геометрической структуры с естественными алгебраическими компактификациями пространства модулей, возникающими из соответствия Кобаяши–Хитчина, заданного пространствами модулей наклонно-полустабильных или полустабильных пучков Гизекера, позволяет интегрировать характеристические классы по пространству модулей для получения инвариантов оригинальное комплексное многообразие. Наиболее широко это используется в теории Дональдсона , где получены инварианты гладких четырехмногообразий. Подобные методы использовались в теории Зайберга – Виттена . В более высоких измерениях теория Дональдсона-Томаса и интегрирование по виртуальным фундаментальным классам были разработаны по аналогии с двойственным описанием пространств модулей пучков, которое обеспечивается соответствием Кобаяши-Хитчина. Это один из смыслов, в котором соответствие оказало длительное влияние на перечислительную геометрию . ^[39]

Рекомендации

1. Кобаяши, Шошичи (1982). «Кривизна и устойчивость векторных расслоений». Труды Японской академии, серия A, Математические науки . 58 (4): 158–162. дои : 10.3792/pjaa.58.158 . S2CID  120724336.
2. Хитчин, Найджел; и другие. (1979). «Нелинейные задачи геометрии». Конференция состоялась в Катате, 3–8 сентября 1979 г. Материалы 6-го международного симпозиума Танигучи . Збл  0433.53002.
3. Дональдсон, СК (1985). «Антисамодвойственные связи Янга-Миллса над комплексными алгебраическими поверхностями и стабильными векторными расслоениями». Труды Лондонского математического общества : 1–26. дои : 10.1112/plms/s3-50.1.1.
4. Дональдсон, СК (1987). «Бесконечные определители, устойчивые расслоения и кривизна». Математический журнал Дьюка . 54 (1): 231–247. дои : 10.1215/S0012-7094-87-05414-7.
5. Уленбек, Карен ; Яу, Шинг-Тунг (1986), «О существовании связей Эрмита–Янга–Миллса в стабильных векторных расслоениях», Communications on Pure and Applied Mathematics , 39 : S257–S293, doi :10.1002/cpa.3160390714, ISSN  0010- 3640, МР  0861491
6. Buchdahl, NP (1988). «Эрмитово-эйнштейновские связности и устойчивые векторные расслоения над компактными комплексными поверхностями». Математические Аннален . 280 (4): 625–648. дои : 10.1007/BF01450081. S2CID  119409715.
7. Ли, Джун; Яу, Шинг Тунг (1987). «Связность Эрмита-Янга-Миллса на некелеровых многообразиях». Математические аспекты теории струн . стр. 560–573. дои : 10.1142/9789812798411_0027. ISBN 978-9971-5-0273-7.
8. Томас, РП; Яу, С.-Т. (2002). «Специальные лагранжианы, устойчивые расслоения и поток средней кривизны». Коммуникации в анализе и геометрии . 10 (5): 1075–1113. arXiv : math/0104197 . doi :10.4310/CAG.2002.V10.N5.A8. S2CID  2153403.
9. Нарасимхан, М.С.; Сешадри, CS (1965), «Стабильные и унитарные векторные расслоения на компактной римановой поверхности», Annals of Mathematics , Second Series, 82 (3): 540–567, doi : 10.2307/1970710, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970710, МР  0184252
10. Атья, МФ; Ботт, Р. (1983). «Уравнения Янга-Миллса над римановыми поверхностями». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 308 (1505): 523–615. Бибкод : 1983RSPTA.308..523A. дои : 10.1098/rsta.1983.0017. JSTOR  37156. S2CID  13601126.
11. Дональдсон, СК (1983), «Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри», Журнал дифференциальной геометрии , 18 (2): 269–277, doi : 10.4310/jdg/1214437664 , ISSN  0022-040X, MR  0710055
12. Кобаяши, Шошичи (1980). «Первый класс Черна и голоморфные тензорные поля». Нагойский математический журнал . 77 : 5–11. дои : 10.1017/S0027763000018602 . S2CID  118228189.
13. Кобаяши, Шошичи (1982). «Кривизна и устойчивость векторных расслоений». Труды Японской академии, серия A, Математические науки . 58 (4): 158–162. дои : 10.3792/pjaa.58.158 . S2CID  120724336.
14. «Цитата Комитета Абелевской премии». Абелевская премия . Проверено 19 марта 2019 г.
15. Любке, Мартин; Телеман, Андрей (1995), Переписка Кобаяши-Хитчина, Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 9789810221683, МР  1370660
16. Дональдсон, СК; Кронхаймер, П.Б. (1997). Геометрия четырёхмногообразий . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850269-2.
17. Кобаяши, Шошичи (2014). Дифференциальная геометрия комплексных векторных расслоений . Издательство Принстонского университета. дои : 10.1515/9781400858682. ISBN 9780691603292.
18. Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Фольге. том 34. ISBN 978-3-642-63400-0.
19. Мамфорд, Дэвид (1962). «Проективные инварианты проективных структур и приложений». Труды Международного конгресса математиков (1962) (PDF) . стр. 526–530.
20. Любке, Мартин (1983). «Устойчивость векторных расслоений Эйнштейна-Эрмитова». Манускрипта Математика . 42 (2–3): 245–257. дои : 10.1007/BF01169586. S2CID  121338200.
21. Бандо, Сигетоши; Сиу, НЮМ-Тонг (1994). «Стабильные пучки и метрики Эйнштейна-Эрмитова». Геометрия и анализ сложных многообразий . стр. 39–50. дои : 10.1142/9789814350112_0002. ISBN 978-981-02-2067-9.
22. Раманатан, А. (1975). «Стабильные главные расслоения на компактной римановой поверхности». Математические Аннален . 213 (2): 129–152. дои : 10.1007/BF01343949. S2CID  115307442.
23. Аншуш, Буджемаа; Бисвас, Индранил (2001). «Эйнштейново-эрмитовы связности на полистабильных главных расслоениях над компактным кэлеровым многообразием». Американский журнал математики . 123 (2): 207–228. дои : 10.1353/ajm.2001.0007. S2CID  122182133.
24. Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (2010). Геометрия пространств модулей пучков . дои : 10.1017/CBO9780511711985. ISBN 9780521134200.
25. Люнг, Найчунг Конан (1997). «Метрики типа Эйнштейна и устойчивость векторных расслоений». Журнал дифференциальной геометрии . 45 (3): 514–546. дои : 10.4310/jdg/1214459841 .
26. Альварес-Консул, Луис; Гарсиа-Прада, «Оскар» (2003). «Переписка Хитчина-Кобаяши, колчаны и вихри». Связь в математической физике . 238 (1–2): 1–33. arXiv : math/0112161 . Бибкод : 2003CMaPh.238....1A. дои : 10.1007/s00220-003-0853-1. S2CID  4080302.
27. Дональдсон, СК (2003). «Отображения моментов в дифференциальной геометрии». Обзоры по дифференциальной геометрии . 8 : 171–189. дои : 10.4310/SDG.2003.V8.N1.A6 . S2CID  124403816.
28. Дональдсон, Саймон К. (2018). «Стабильность алгебраических многообразий и кэлерова геометрия». Алгебраическая геометрия: Солт-Лейк-Сити, 2015 . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 97. стр. 199–221. arXiv : 1702.05745 . дои : 10.1090/pspum/097.1/01673. ISBN 9781470435776. S2CID  119660277.
29. Виттен, Эдвард (1994). «Монополи и четырехмногообразия». Письма о математических исследованиях . 1 (6): 769–796. arXiv : hep-th/9411102 . Бибкод : 1994MRLet...1..769W. doi :10.4310/MRL.1994.V1.N6.A13. S2CID  10611124.
30. Фридман, Роберт; Морган, Джон В. (1997). «Алгебраические поверхности и инварианты Зайберга-Виттена». Журнал алгебраической геометрии . 6 (3): 445–479. arXiv : alg-geom/9502026 . МР  1487223.
31. Яу, Шинг-Тунг (1993). «Открытые задачи по геометрии». Дифференциальная геометрия: дифференциальные уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990) . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 54. стр. 1–28. дои : 10.1090/pspum/054.1/1216573. ISBN 9780821814949. МР  1216573.
32. Тиан, Банда (1997). «Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной». Математические изобретения . 130 (1): 1–37. Бибкод : 1997InMat.130....1T. дои : 10.1007/s002220050176. S2CID  122529381.
33. Дональдсон, СК (2002). «Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 62 (2): 289–349. дои : 10.4310/jdg/1090950195 .
34. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Приближение метрик с особенностями конуса». Журнал Американского математического общества . 28 : 183–197. arXiv : 1211.4566 . дои : 10.1090/S0894-0347-2014-00799-2. S2CID  119641827.
35. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π». Журнал Американского математического общества . 28 : 199–234. arXiv : 1212.4714 . дои : 10.1090/S0894-0347-2014-00800-6. S2CID  119140033.
36. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Пределы при приближении угла конуса к 2π и завершение основного доказательства». Журнал Американского математического общества . 28 : 235–278. arXiv : 1302.0282 . дои : 10.1090/S0894-0347-2014-00801-8. S2CID  119575364.
37. Чен, Гао (2021). «J-уравнение и сверхкритическое деформированное уравнение Эрмита – Янга – Миллса». Математические изобретения . 225 (2): 529–602. arXiv : 1905.10222 . Бибкод : 2021InMat.225..529C. дои : 10.1007/s00222-021-01035-3. S2CID  218870365.
38. Дональдсон, СК (1990). «Полиномиальные инварианты для гладких четырехмногообразий». Топология . 29 (3): 257–315. дои : 10.1016/0040-9383(90)90001-Z.
39. Дональдсон, Саймон К .; Томас, Ричард П. (1998), «Калибровочная теория в высших измерениях», в Хаггетте, ЮАР; Мейсон, LJ; Тод, КП; Цоу, СТ; Вудхаус, NMJ (ред.), Геометрическая вселенная (Оксфорд, 1996) , Oxford University Press , стр. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9, МР  1634503