Слабая пара

В математике , в теории интегрируемых систем , пара Лакса — это пара зависящих от времени матриц или операторов , которые удовлетворяют соответствующему дифференциальному уравнению , называемому уравнением Лакса . Пары Лакса были введены Питером Лаксом для обсуждения солитонов в сплошных средах . Обратное преобразование рассеяния использует уравнения Лакса для решения таких систем.

Определение

Пара Лакса — это пара матриц или операторов, зависящих от времени, действующих в фиксированном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса : ${\displaystyle L(t),P(t)}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L],}$

где — коммутатор . Часто, как в примере ниже, зависит от заданным образом, поэтому это нелинейное уравнение для как функции от . ${\displaystyle [P,L]=PL-LP}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$

Изоспектральное свойство

Затем можно показать, что собственные значения и, в более общем смысле, спектр L не зависят от t . Матрицы/операторы L называются изоспектральными при изменении . ${\displaystyle t}$

Основное наблюдение заключается в том, что все матрицы подобны в силу ${\displaystyle L(t)}$

${\displaystyle L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1},}$

где находится решение задачи Коши ${\displaystyle U(t,s)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),\quad U(s,s)=I,}$

где I обозначает единичную матрицу. Обратите внимание, что если P ( t ) является кососопряжённым , U ( t ,  s ) будет унитарным .

Другими словами, чтобы решить задачу на собственные значения Lψ = λψ в момент времени t , можно решить ту же задачу в момент времени 0, где L , как правило, известно лучше, и распространить решение с помощью следующих формул:

${\displaystyle \lambda (t)=\lambda (0)}$ (без изменений в спектре),

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=P\psi .}$

Через основные инварианты

Результат также можно показать с помощью инвариантов для любого . Они удовлетворяют благодаря уравнению Лакса, и поскольку характеристический полином может быть записан в терминах этих следов, спектр сохраняется потоком. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {tr} (L^{n})}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0}$$

Связь с методом обратного рассеяния

Вышеуказанное свойство является основой метода обратного рассеяния. В этом методе L и P действуют на функциональном пространстве (таким образом, ψ = ψ ( t ,  x )) и зависят от неизвестной функции u ( t ,  x ), которая должна быть определена. Обычно предполагается, что u (0,  x ) известно, и что P не зависит от u в области рассеяния, где Тогда метод принимает следующий вид: ${\displaystyle \|x\|\to \infty .}$

1. Вычислите спектр , дав и ${\displaystyle L(0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi (0,x).}$
2. В области рассеяния, где известно, распространяется во времени с использованием начального условия ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$ ${\displaystyle \psi (0,x).}$
3. Зная в области рассеяния, вычислить и/или ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L(t)}$ ${\displaystyle u(t,x).}$

Спектральная кривая

Если матрица Лакса дополнительно зависит от комплексного параметра (как в случае, скажем, синус-Гордона ), уравнение определяет алгебраическую кривую в с координатами По свойству изоспектральности эта кривая сохраняется при переносе во времени. Это спектральная кривая . Такие кривые появляются в теории систем Хитчина . ^[2] ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \det {\big (}wI-L(z){\big )}=0}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle w,z.}$

Представление нулевой кривизны

Любое уравнение в частных производных, допускающее представление пары Лакса, допускает также представление нулевой кривизны. ^[3] Фактически, представление нулевой кривизны является более общим, и для других интегрируемых уравнений в частных производных, таких как уравнение синус-Гордона , пара Лакса относится к матрицам, которые удовлетворяют уравнению нулевой кривизны, а не уравнению Лакса. Более того, представление нулевой кривизны делает связь между интегрируемыми системами и геометрией очевидной, достигая кульминации в программе Уорда по формулированию известных интегрируемых систем как решений антисамодвойственных уравнений Янга–Миллса (ASDYM).

Уравнение нулевой кривизны

Уравнения нулевой кривизны описываются парой матричнозначных функций , где нижние индексы обозначают индексы координат, а не производные. Часто зависимость осуществляется через одну скалярную функцию и ее производные. Уравнение нулевой кривизны тогда Оно так называется, поскольку соответствует исчезновению тензора кривизны , который в данном случае равен . Это отличается от обычного выражения некоторыми знаками минус, которые в конечном счете не важны. ${\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$ $${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.}$$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]=-\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$

Пара Лакса к нулевой кривизне

Для собственного решения оператора Лакса имеем Если вместо этого мы усилим эти условия вместе с независимостью от времени , то вместо этого уравнение Лакса возникает как уравнение совместности для переопределенной системы. ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L\psi =\lambda \psi ,\psi _{t}+A\psi =0.}$$ ${\displaystyle \lambda }$

Пара Лакса может использоваться для определения компонентов связи . Когда уравнение в частных производных допускает представление нулевой кривизны, но не представление уравнения Лакса, компоненты связи называются парой Лакса, а связь — связью Лакса. ${\displaystyle (L,P)}$ ${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$ ${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$

Примеры

Уравнение Кортевега–де Фриза

Уравнение Кортевега – де Фриза

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}$

можно переформулировать как уравнение Лакса

${\displaystyle L_{t}=[P,L]}$

с

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$( оператор Штурма–Лиувилля ),

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},}$

где все производные действуют на все объекты справа. Это объясняет бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ.

Ковалевская топ

В предыдущем примере использовалось бесконечномерное гильбертово пространство. Возможны также примеры с конечномерными гильбертовыми пространствами. К ним относятся волчок Ковалевской и обобщение для включения электрического поля . ^[4] ${\displaystyle {\vec {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Гейзенберг фотография

В картине квантовой механики Гейзенберга наблюдаемая величина A без явной зависимости от времени t удовлетворяет условию

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

с H — гамильтонианом и ħ — приведенной постоянной Планка . Таким образом, помимо множителя, наблюдаемые (без явной зависимости от времени) в этой картине могут образовывать пары Лакса вместе с гамильтонианом. Картина Шредингера затем интерпретируется как альтернативное выражение в терминах изоспектральной эволюции этих наблюдаемых.

Дополнительные примеры

Дополнительные примеры систем уравнений, которые можно сформулировать как пару Лакса, включают:

• Уравнение Бенджамина–Оно
• Одномерное кубическое нелинейное уравнение Шредингера
• Система Дэви–Стюартсона
• Интегрируемые системы с контактными парами Лакса ^[5]
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили
• Уравнение Кортевега–де Фриза
• иерархия КдВ
• уравнение Марченко
• Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза.
• Уравнение синус-Гордона
• решетка Тоды
• Волчки Лагранжа, Эйлера и Ковалевской
• Преобразование Белинского–Захарова в общей теории относительности.

Последнее примечательно, поскольку подразумевает, что и метрику Шварцшильда , и метрику Керра можно понимать как солитоны.

Ссылки

1. Хитчин, Нью-Джерси (1999). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0198504217.
2. Хитчин, Нью-Джерси (1999). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 9780198504214.
3. Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 54–56. ISBN 978-0-19-857063-9.
4. Бобенко, А.И.; Рейман, А.Г.; Семенов-Тян-Шанский, М.А. (1989). «Волчок Ковалевской 99 лет спустя: пара Лакса, обобщения и явные решения». Communications in Mathematical Physics . 122 (2): 321–354. Bibcode : 1989CMaPh.122..321B. doi : 10.1007/BF01257419. ISSN  0010-3616. S2CID  121752578.
5. А. Сергеев, Новые интегрируемые (3+1)-мерные системы и контактная геометрия, Lett. Math. Phys. 108 (2018), № 2, 359-376, arXiv :1401.2122 doi :10.1007/s11005-017-1013-4

• Лакс, П. (1968), «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны», Сообщения по чистой и прикладной математике , 21 (5): 467–490, doi :10.1002/cpa.3160210503архив
• П. Лакс и Р. С. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций [1], (1976) Princeton University Press.