Проблемы премии тысячелетия

Задачи Премии тысячелетия — это семь хорошо известных сложных математических задач, отобранных Математическим институтом Клея в 2000 году. Институт Клея пообещал премию в 1 миллион долларов США за первое правильное решение каждой задачи.

Институт математики Клея официально присвоил название « Проблема тысячелетия» семи нерешенным математическим проблемам, гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера , гипотезе Ходжа , существованию и гладкости Навье–Стокса , проблеме P и NP , гипотезе Римана , существованию Янга–Миллса и разрыву масс. , и гипотеза Пуанкаре на «Собрании тысячелетия», состоявшемся 24 мая 2000 года. Так, на официальном сайте Математического института Клея эти семь задач официально называются « Проблемы тысячелетия» .

На сегодняшний день единственной решенной проблемой Премии тысячелетия является гипотеза Пуанкаре. Институт Клея вручил денежную премию российскому математику Григорию Перельману в 2010 году. Однако он отклонил награду, поскольку она не была также предложена Ричарду С. Гамильтону , на чьей работе основывался Перельман.

Обзор

Институт Клея был основан на наборе из двадцати трех задач , составленных математиком Дэвидом Гильбертом в 1900 году и оказавших большое влияние на прогресс математики в двадцатом веке. ^[1] Семь выбранных задач охватывают ряд математических областей, а именно алгебраическую геометрию , арифметическую геометрию , геометрическую топологию , математическую физику , теорию чисел , уравнения в частных производных и теоретическую информатику . В отличие от задач Гильберта, задачи, выбранные Институтом Клея, уже были известны среди профессиональных математиков, и многие активно работали над их решением. ^[2]

Семь задач были официально объявлены Джоном Тейтом и Майклом Атьей во время церемонии, состоявшейся 24 мая 2000 года (в амфитеатре Маргариты де Наварра ) в Коллеж де Франс в Париже . ^[3]

Григорий Перельман , начавший работу над гипотезой Пуанкаре в 1990-х годах, опубликовал свое доказательство в 2002 и 2003 годах. Его отказ от денежной премии Института Клея в 2010 году широко освещался в СМИ. Остальные шесть задач Премии тысячелетия остаются нерешенными, несмотря на большое количество неудовлетворительных доказательств, сделанных как любителями, так и профессиональными математиками.

Эндрю Уайлс , входящий в научный консультативный совет Института Клея, надеялся, что выбор призового фонда в размере 1 миллиона долларов США популяризирует среди широкой аудитории как выбранные проблемы, так и «воодушевление математическими усилиями». ^[4] Другой член правления, медалист Филдса Ален Конн , надеялся, что пропаганда нерешенных проблем поможет бороться с «неправильным представлением» среди общественности о том, что математику «обгонят компьютеры». ^[5]

Некоторые математики были более критичны. Анатолий Вершик охарактеризовал их денежную премию как «шоу-бизнес», представляющий «худшие проявления современной массовой культуры», и подумал, что есть более значимые способы инвестировать в общественное признание математики. ^[6] Он считал неудивительным поверхностное освещение в СМИ Перельмана и его работы, при котором непропорциональное внимание уделялось самой стоимости премии. Напротив, Вершик похвалил прямое финансирование Институтом Клея научных конференций и молодых исследователей. Комментарии Вершика позже были поддержаны медалистом Филдса Шинг-Тунг Яу , который дополнительно критиковал идею фонда, предпринимающего действия по «присвоению» фундаментальных математических вопросов и «прикреплению к ним своего имени». ^[7]

Решенная проблема

Гипотеза Пуанкаре

В области геометрической топологии двумерная сфера характеризуется тем, что она является единственной замкнутой и односвязной двумерной поверхностью. В 1904 году Анри Пуанкаре поставил вопрос, справедливо ли аналогичное утверждение для трехмерных фигур. Это стало известно как гипотеза Пуанкаре, точная формулировка которой гласит:

Любое трехмерное топологическое многообразие , замкнутое и односвязное, должно быть гомеоморфно 3- сфере .

Хотя гипотезу обычно формулируют в такой форме, она эквивалентна (как было обнаружено в 1950-х годах) формулировке ее в контексте гладких многообразий и диффеоморфизмов .

Доказательство этой гипотезы, вместе с более мощной гипотезой геометризации , было дано Григорием Перельманом в 2002 и 2003 годах. Решение Перельмана завершило программу Ричарда Гамильтона по решению гипотезы геометризации, которую он разработал в ходе предыдущих работ. двадцать лет. Работа Гамильтона и Перельмана вращалась вокруг потока Риччи Гамильтона , который представляет собой сложную систему уравнений в частных производных, определенных в области римановой геометрии .

За вклад в теорию потока Риччи Перельман был награжден Медалью Филдса в 2006 году. Однако он отказался принять эту премию. ^[8] За доказательство гипотезы Пуанкаре Перельман был удостоен Премии тысячелетия 18 марта 2010 года. ^[9] Однако он отказался от награды и связанных с ней призовых денег, заявив, что вклад Гамильтона был не меньшим, чем его собственный. ^[10]

Нерешенные проблемы

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера касается определенных типов уравнений: тех, которые определяют эллиптические кривые над рациональными числами . Гипотеза состоит в том, что существует простой способ определить, имеют ли такие уравнения конечное или бесконечное число рациональных решений. Более конкретно, версия гипотезы, выдвинутой Премией тысячелетия, заключается в том, что если эллиптическая кривая $E$ имеет ранг $r$ , то связанная с ней L -функция $L$ $($ $E$ $,$ $s$ $)$ обращается в нуль до порядка $r$ при $s$ $= 1$ .

Десятая проблема Гильберта касалась более общего типа уравнений, и в этом случае было доказано, что не существует алгоритмического способа решить, имеет ли данное уравнение вообще какие-либо решения.

Официальное заявление о проблеме сделал Эндрю Уайлс . ^[11]

Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа состоит в том, что для проективных алгебраических многообразий циклы Ходжа представляют собой рациональные линейные комбинации алгебраических циклов .

\operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q})\cap H^{k,k}(X).

Мы называем ее группой классов Ходжа степени 2k на X.

Современная формулировка гипотезы Ходжа такова:

Пусть X — неособое комплексное проективное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X .

Официальное заявление о проблеме дал Пьер Делинь . ^[12]

Существование и гладкость Навье–Стокса.

$\overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _ {\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace { (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _ {\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Инерция (на объём)}} \overbrace {{}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix} \text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Расхождение напряжений}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{ \text{Внешний}}\\{\text{источник}}\end{smallmatrix}}.$

Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкостей и являются одним из столпов механики жидкости . Однако теоретическое понимание их решения является неполным, несмотря на его важность в науке и технике. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса .

Проблема, ограниченная случаем несжимаемой жидкости , состоит в том, чтобы доказать либо существование гладких, глобально определенных решений, удовлетворяющих определенным условиям, либо то, что они не всегда существуют и уравнения не работают. Официальное заявление о проблеме дал Чарльз Фефферман . ^[13]

П против НП

Вопрос в том, может ли алгоритм также быстро найти это решение для всех задач, для которых алгоритм может быстро проверить данное решение (то есть за полиномиальное время ) . Поскольку первый описывает класс задач, называемых NP, а второй описывает P, вопрос эквивалентен вопросу, все ли проблемы из NP также относятся к P. Обычно это считается одним из наиболее важных открытых вопросов в математике и теоретической информатике. поскольку это имеет далеко идущие последствия для других проблем математики , биологии , ^[14]философии ^[15] и криптографии (см. Последствия доказательства проблем P и NP ). Типичным примером проблемы NP, о которой не известно, что она находится в P, является проблема булевой выполнимости .

Большинство математиков и компьютерщиков ожидают, что P ≠ NP; однако это остается недоказанным. ^[16]

Официальное заявление о проблеме дал Стивен Кук . ^[17]

Гипотеза Римана

Действительная часть (красный) и мнимая часть (синий) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots

Дзета-функция Римана ζ (s) — это функция , аргументами которой могут быть любые комплексные числа , кроме 1, и чьи значения также являются комплексными. Его аналитическое продолжение имеет нули в отрицательных четных целых числах; то есть ζ(s) = 0, когда s является одним из −2, −4, −6, .... Они называются тривиальными нулями. Однако отрицательные четные целые числа — не единственные значения, для которых дзета-функция равна нулю. Остальные называются нетривиальными нулями. Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

Действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2.

Гипотеза Римана состоит в том, что все нетривиальные нули аналитического продолжения дзета-функции Римана имеют действительную часть ⁠1/2⁠ . Доказательство или опровержение этого будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел , особенно для распределения простых чисел . Это была восьмая проблема Гильберта , и столетие спустя она до сих пор считается важной открытой проблемой .

Проблема была хорошо известна с тех пор, как она была первоначально поставлена Бернхардом Риманом в 1860 году. Изложение проблемы в Институте Клея было дано Энрико Бомбьери . ^[18]

Существование Янга – Миллса и разрыв в массах

В квантовой теории поля разница в массах — это разница в энергии между вакуумом и следующим самым низким энергетическим состоянием . Энергия вакуума равна нулю по определению, и если предположить, что все энергетические состояния можно рассматривать как частицы в плоских волнах, то разница между массами равна массе легчайшей частицы.

Для данного реального поля мы можем сказать, что теория имеет массовую щель, если двухточечная функция обладает свойством $\phi (x)$

\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)

с наименьшим значением энергии в спектре гамильтониана и, следовательно , с массовой щелью. Эту величину, которую легко обобщить на другие поля, обычно измеряют при расчетах на решетке. $\Delta _{0}>0$

Квантовая теория Янга-Миллса в настоящее время является основой для большинства теоретических приложений мысли к реальности и потенциальным реалиям физики элементарных частиц . ^[19] Эта теория является обобщением теории электромагнетизма Максвелла , согласно которой хромо -электромагнитное поле само по себе несет заряд. Как классическая теория поля, она имеет решения, движущиеся со скоростью света, поэтому ее квантовая версия должна описывать безмассовые частицы ( глюоны ). Однако постулируемое явление ограничения цвета допускает только связанные состояния глюонов, образующие массивные частицы. Это массовый разрыв . Другим аспектом ограничения является асимптотическая свобода , которая позволяет предположить, что квантовая теория Янга-Миллса существует без ограничений на масштабы низкой энергии. Задача состоит в том, чтобы строго установить существование квантовой теории Янга–Миллса и массовой щели.

Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса существует и имеет массовую щель Δ > 0. Существование включает в себя установление аксиоматических свойств, по крайней мере столь же сильных, как те, которые цитируются в Стритер и Вайтман (1964): ^[20] Остервальдер и Шрадер (1973), ^[21] и Остервальдер и Шрадер (1975). ^[22]

\mathbb {R} ^{4}

Официальное заявление о проблеме дали Артур Яффе и Эдвард Виттен . ^[23]

Смотрите также

Гипотеза Била
Проблемы Гильберта
Список наград по математике
Список нерешенных задач по математике
Проблемы Смейла
Пауль Вольфскель (предложил денежный приз за решение Великой теоремы Ферма )
гипотеза abc

дальнейшее чтение

Карлсон, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю , ред. (2006). Проблемы премии тысячелетия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя . ISBN 978-0-8218-3679-8.
Девлин, Кейт Дж. (2003) [2002]. Проблемы тысячелетия: семь величайших нерешённых математических загадок нашего времени . Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 0-465-01729-0.

Внешние ссылки