Сила двух

Степень двойки — это число вида $2 n$ , где $n$ — целое число , то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основания и целым числом $n$ в качестве показателя степени .

В контексте, где рассматриваются только целые числа, $n$ ограничивается неотрицательными значениями, ^[1] поэтому 1, 2 и 2 умножаются сами на себя определенное количество раз. ^[2]

Первые десять степеней двойки для неотрицательных значений $n$ :

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (последовательность A000079 в OEIS )

Основание двоичной системы счисления

Поскольку двойка является основой двоичной системы счисления , степени двойки широко распространены в информатике . Записанная в двоичном формате, степень двойки всегда имеет вид 100...000 или 0,00...001, точно так же, как степень 10 в десятичной системе.

Информатика

Два в показателе степени $n$ , записанном как $2 n$ , — это количество способов расположения битов в двоичном слове длины $n .$ Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( $000...000 2$ ) до $2 n - 1$ ( $111...111 2$ ) включительно. Соответствующие целые числа со знаком могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. представления чисел со знаком . В любом случае, единица меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа этой формы часто встречаются в компьютерном программном обеспечении. Например, видеоигра, работающая на 8-битной системе, может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может удерживать, до 255 — результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение $28 - 1 = 255$ . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой мог иметь при себе только 255 рупий (валюту игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man, как известно, есть экран убийства на уровне 256.

Степени двойки часто используются для измерения памяти компьютера. Байт теперь считается восемью битами ( октет ), что дает возможность иметь 256 значений (2 ⁸ ). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях до сих пор означает) набор битов , обычно от 5 до 32 бит, а не только 8-битную единицу.) Префикс kilo в сочетании с byte может быть и традиционно используется для обозначения 1024 (2 ¹⁰ ). Однако в целом термин « килограмм» используется в Международной системе единиц для обозначения 1000 (10 ³ ). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби (Ки), что означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, являющиеся степенями двойки, чаще всего 32 или 64.

Степени двойки встречаются и в ряде других мест. Для многих дисковых накопителей по крайней мере одно из следующих значений: размер сектора, количество секторов на дорожку и количество дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.

Числа, не являющиеся степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, при разрешении видео, но часто они представляют собой сумму или произведение только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус одна. Например, $640 = 32 \times 20$ и $480 = 32 \times 15$ . Другими словами, у них довольно регулярные битовые комбинации.

Простые числа Мерсенна и Ферма

Простое число , которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, поскольку оно на 1 меньше 32 (2 ⁵ ). Точно так же простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма — показатель степени сам по себе является степенью двойки. Дробь , знаменатель которой имеет степень двойки, называется двоично-рациональной . Числа, которые можно представить в виде суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.

« Начала » Евклида , книга IX.

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) важна в теории чисел . Книга IX, Предложение 36 « Элементов» доказывает, что если сумма первых $n$ членов этой прогрессии является простым числом (и, следовательно, является простым числом Мерсенна, как упоминалось выше), то эта сумма, умноженная на n $-$ й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (пятый член ряда), равна 496, что является совершенным числом.

Книга IX, предложение 35, доказывает, что в геометрической прогрессии, если первый член вычесть из второго и последнего члена последовательности, то как превышение второго относительно первого, так и превышение последнего по отношению ко всем этим перед этим. (Это повторение нашей формулы для геометрической прогрессии, приведенной выше.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31) , мы видим, что 62 минус 31 равно 31, как 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются. до 496 и далее — это все числа, делящие 496. Предположим, что $р$ делит 496 и его нет среди этих чисел. Предположим, что $p q$ равно $16 \times 31$ или 31 равно $q$ , как $p$ равно 16. Теперь $p$ не может делить 16, иначе оно было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делить $q$ . А поскольку 31 не делит $q$ , а $q$ измеряет 496, из фундаментальной теоремы арифметики следует, что $q$ должно делить 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть $q$ равно 4, тогда $p$ должно быть 124, что невозможно, поскольку по гипотезе $p$ не входит в число чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений

(последовательность A000079 в OEIS )

Последние цифры

Начиная с 2, последняя цифра является периодической с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры являются периодическими с периодом 20. Эти закономерности в целом справедливы для любой степени, относительно любая база . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку $2 k$ , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю $5 k$ , что составляет $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (см. Мультипликативную группу целых чисел по модулю n ). ^{[ нужна цитата ]}

Полномочия 1024

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней 2 ¹⁰ немного больше тех же степеней 1000 (10 ³ ). Степени значений 2 ¹⁰ , которые имеют отклонение менее 25%, перечислены ниже:

Требуется примерно 17 степеней 1024, чтобы достичь отклонения 50%, и примерно 29 степеней 1024, чтобы достичь 100% отклонения тех же степеней 1000. ^[3] Также см. Двоичные префиксы и IEEE 1541-2002 .

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки.

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( $23$ ), двойная экспонента из двух является обычным явлением. Первые 20 из них:

Также см. число Ферма , тетрацию и нижние гипероперации .

Последние цифры степеней двойки, показатели степени которых являются степенями двойки.

Все эти числа оканчиваются на 6. Начиная с 16, последние две цифры являются периодическими с периодом 4, с циклом 16–56–36–96–, а начиная с 16 последние три цифры являются периодическими с периодом 20. Эти шаблоны вообще верно для любой власти, по отношению к любой базе . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку $2 k$ , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю $5 k$ , что составляет $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (см. Мультипликативную группу целых чисел по модулю n ). ^{[ нужна цитата ]}

Факты о степенях двойки, показатели которых являются степенями двойки.

В связи с нимберами эти числа часто называют 2-степенями Ферма .

Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности натуральных чисел ряд $2^{2^{n}}$ $x_{i}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0} }}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленнорастущая из известных последовательностей иррациональности. ^[4]

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки в информатике

Поскольку компьютерные типы данных обычно имеют размер , равный степени двойки, эти числа подсчитывают количество представимых значений этого типа. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять $232$ различных значения, которые можно рассматривать либо как простые битовые комбинации, либо чаще интерпретировать как беззнаковые числа от 0 до $232 - 1$ или как диапазон чисел со знаком между $-2 31$ и $231 - 1$ . Дополнительные сведения о представлении чисел со знаком см. в дополнении до двух .

Избранные степени двойки

2 ² = 4: Число, которое является квадратом двух. Также первая степень двойки, тетрация двойки.
2 ⁸ = 256: Количество значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемом октетом . (Термин « байт» часто определяют как набор битов , а не как строгое определение 8-битной величины, как демонстрирует термин « килобайт» .)
2 ¹⁰ = 1024: Двоичная аппроксимация множителя кило- или 1000, вызывающая изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайту (или кибибайту ).
2 ¹² = 4096: Размер аппаратной страницы процессора, совместимого с Intel x86 .
2 ¹⁵ = 32 768: Количество неотрицательных значений для 16-битного целого числа со знаком .
2 ¹⁶ = 65 536

Количество различных значений, представленных в одном слове на 16-битном процессоре, например исходных процессорах x86 . ^[5]; Максимальный диапазон короткой целочисленной переменной в языках программирования C# , Java и SQL . Максимальный диапазон переменной Word или Smallint в языке программирования Паскаль .; Количество бинарных отношений в 4-элементном множестве.
2 ²⁰ = 1 048 576: Двоичная аппроксимация мега- или множителя 1 000 000, вызывающая изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мебибайт ).
2 ²⁴ = 16 777 216: Число уникальных цветов , которые могут отображаться в истинном цвете , который используется обычными компьютерными мониторами .; Это число является результатом использования трехканальной системы RGB , где цвета определяются тремя значениями (красный, зеленый и синий) независимо друг от друга в диапазоне от 0 ( 00) до 255 ( FF) включительно. Это дает 8 бит для каждого канала или всего 24 бита; например, чисто черный — это #000000, чисто белый — это #FFFFFF. Пространство всех возможных цветов, 16 777 216, может быть определено как 16 ⁶ (6 цифр с 16 возможными значениями для каждого), 256 ³ (3 канала с 256 возможными значениями для каждого) или 2 ²⁴ (24 бита с 2 возможными значениями для каждого). каждый).; Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
2 ²⁹ = 536 870 912: Самая большая степень двойки с разными цифрами по основанию десять. ^[6]
2 ³⁰ = 1 073 741 824: Двоичная аппроксимация гига- или множителя 1 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1 гигабайту (или гибибайту ).
2 ³¹ = 2 147 483 648

Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком . Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, во вторник, 19 января 2038 года, на 32-разрядных компьютерах под управлением Unix оно закончится на уровне 2 147 483 647 секунд или 03:14:07 UTC. Эта проблема известна как проблема 2038 года .
2 ³² = 4 294 967 296

Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 32-битном процессоре. ^[7] Или количество значений, представленных в двойном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . ^[5]; Диапазон переменной intв языках программирования Java , C# и SQL .; Диапазон значений Cardinalили Integerпеременных в языке программирования Паскаль .; Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++ .; Общее количество IP-адресов в рамках IPv4 . Хотя это, казалось бы, большое количество, количество доступных 32-битных адресов IPv4 исчерпано (но не для адресов IPv6 ).; Количество бинарных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2 ⁴⁰ = 1 099 511 627 776: Двоичная аппроксимация тера- или множителя 1 000 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт или тебибайт.
2 ⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624: Двоичная аппроксимация пета- или множителя 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байта = 1 петабайт или пебибайт.
2 ⁵³ = 9 007 199 254 740 992: Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате двойной точности с плавающей запятой IEEE . Также первая степень 2 начинается с цифры 9 в десятичном формате.
2 ⁵⁶ = 72 057 594 037 927 936: Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
2 ⁶⁰ = 1 152 921 504 606 846 976: Двоичная аппроксимация экза- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000. 1 152 921 504 606 846 976 байт = 1 эксабайт или эксбибайт.
2 ⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808: Количество неотрицательных значений для 64-битного целого числа со знаком.; 2 ⁶³ − 1, общее максимальное значение (эквивалентное количеству положительных значений) для 64-битного целого числа со знаком в языках программирования.
2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616: Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 64-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в четверном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . ^[5]; Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C# .; Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Паскаль .; Общее количество адресов IPv6, обычно выделяемых одной локальной сети или подсети.; 2 ⁶⁴ − 1, количество рисовых зерен на шахматной доске, согласно старой истории , где в первом квадрате содержится одно рисовое зернышко, а в каждом последующем квадрате в два раза больше, чем в предыдущем. По этой причине это число иногда называют «шахматным числом».; 2 ⁶⁴ − 1 — это также количество ходов, необходимое для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
2 ⁶⁸ = 295 147 905 179 352 825 856: Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2 ⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424: Двоичная аппроксимация зетта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 байт = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
2 ⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176: Двоичная аппроксимация йотта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 208 925 819 614 629 174 706 176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
2⁸⁶ = 77 371 252 455 336 267 181 195 264: Предполагается , что 2 ⁸⁶ — это наибольшая степень двойки, не содержащая нуля в десятичной дроби. ^[8]
2⁹⁶ = 79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: Общее количество IPv6-адресов, обычно записываемых в локальный реестр Интернета . В нотации CIDR интернет-провайдерам присваивается значение / 32 , что означает, что для адресов доступны 128-32=96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2 ⁹⁶ адресов.
2 ¹⁰⁸ = 324, 518, 553, 658, 426 , 726, 783, 156, 020, 576, 256: Самая большая известная степень 2, не содержащая 9 в десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )
2¹²⁶ = 85, 070, 591, 730, 234, 615 , 865, 843, 651, 857, 942, 052, 864: Самая большая известная степень двойки, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )
2¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456: Общее количество IP-адресов , доступных в рамках IPv6 . Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID) .
2¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: Наибольшая известная степень двойки, не содержащая всех десятичных цифр (в данном случае цифра 2 отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2¹⁹² = 6 277 101 735 386 680 763 835 789 423 207 666 416 102 355 444 464 034 512 896: Общее количество различных возможных ключей в 192-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
2²²⁹ = 862 718 293 348 820 473 429 344 482 784 628 181 556 388 621 521 298 319 395 315 527 974 912: 2 ²²⁹ — это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно своей степени. Метин Сарияр предположил, что каждая цифра от 0 до 9 имеет тенденцию появляться одинаковое количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )
2²⁵⁶ = 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936: Общее количество различных возможных ключей в 256-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
2 ¹⁰²⁴ = 179769313486231590772930,...,304835356329624224137216: Максимальное число, которое может поместиться в 64-битном формате с плавающей запятой двойной точности IEEE (приблизительно 1,797×10 ³⁰⁸ ), и, следовательно, максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel .
2 ^{16 384} = 1 189 731 495 357 231 765 085,75...,460 447 027 290 669 964 066 816: Максимальное число, которое может поместиться в 128-битном формате IEEE с плавающей запятой четырехкратной точности (приблизительно 1,189×10 ⁴⁹³² ).
2^262 144 = 16 113 257 174 857 604 736 195,7...,753 862 605 349 934 298 300 416: Максимальное число, которое может поместиться в 256-битном формате IEEE с плавающей запятой восьмерной точности (приблизительно 1,611×10 ⁷⁸⁹¹³ ).
2^82 589 933 = 1 488 944 457 420 413 255 478,06...,074 037 951 210 325 217 902 592: На одно больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на июнь 2023 года ^{[обновлять]}. Он имеет 24 862 048 цифр. ^[9]

Степени двойки в теории музыки.

В нотной записи все неизмененные значения нот имеют длительность, равную целой ноте , разделенной на степень двойки; например , половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точками или иным образом измененные ноты имеют другую продолжительность. В тактовых размерах нижняя цифра, единица доли , которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда представляет собой степень двойки.

Если соотношение частот двух тонов является степенью двойки, то интервал между этими тонами равен целым октавам . В этом случае соответствующие заметки имеют одно и то же имя.

Другие объекты недвижимости

Сумма всех $n$ -выбираемых биномиальных коэффициентов равна $2 n$ . Рассмотрим набор всех $n$ -значных двоичных целых чисел. Его мощность равна $2 n$ . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножества целых чисел без единиц (состоящего из одного числа, записанного как $n$ нулей), подмножества с одной единицей, подмножества с двумя единицами и так далее до подмножество с $n$ 1 (состоящее из числа, записанного как $n$ 1). Каждый из них, в свою очередь, равен биномиальному коэффициенту, индексированному $n$ , и количеству рассматриваемых единиц (например, существуют двоичные числа с 10 вариантами выбора-3 и десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время степени двойки — единственные известные почти совершенные числа .

Число вершин n $-$ мерного гиперкуба равно $2 n$ . Точно так же количество $(n - 1)$ -граней $n$ -мерного перекрестного многогранника также равно $2 n$ , а формула для количества $x$ -граней $n$ -мерного перекрестного многогранника имеет вид $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

Сумма первого числа степеней двойки (начиная с ) определяется выражением: $п$ $2^{0}$

$\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1 }=2^{n}-1$

за любое положительное целое число. $п$

Таким образом, сумма полномочий

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

можно вычислить, просто вычислив: (что является «шахматным номером»). $2^{64}-1$

Сумма обратных степеней двойки равна 1 . Сумма обратных квадратов степеней двойки (степени четырех) равна 1/3.

Наименьшая натуральная степень двойки, десятичное представление которой начинается с 7, равна ^[10]

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

Любую степень 2 (кроме 1) можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел 24 способами . Степени 2 — это натуральные числа, большие 1, которые можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

Как действительный многочлен , a ⁿ + bn является неприводимым тогда и только тогда, когда ⁿ является степенью двойки. (Если n нечетно, то a ⁿ + b ⁿ делится на a + n , а если n четное, но не степень 2, то n можно записать как n = mp , где m нечетное, и, таким образом , , что делится на a ^p + b ^p .) Но в области комплексных чисел многочлен (где n >=1) всегда можно разложить на множители как , даже если n — степень двойки. $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{2n}+b^{2n}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$