Альфред Тарский ( / ˈ t ɑːr s k i / , родился Альфред Тейтельбаум ; [1] [2] [3] 14 января 1901 — 26 октября 1983) был польско-американским [4] логиком и математиком . [5] Плодовитый автор, наиболее известный своими работами по теории моделей , метаматематике и алгебраической логике , он также внес вклад в абстрактную алгебру , топологию , геометрию , теорию меры , математическую логику , теорию множеств и аналитическую философию .
Получив образование в Польше в Варшавском университете и будучи членом Львовско -Варшавской школы логики и Варшавской школы математики , он иммигрировал в Соединенные Штаты в 1939 году, где в 1945 году стал натурализованным гражданином. Тарский преподавал и проводил исследования в области математики в Калифорнийском университете в Беркли с 1942 года до своей смерти в 1983 году. [6]
Его биографы Анита Бурдман Феферман и Соломон Феферман утверждают, что «вместе со своим современником Куртом Гёделем он изменил облик логики в двадцатом веке, особенно благодаря своей работе над концепцией истины и теорией моделей». [7]
Альфред Тарский родился под именем Альфред Тейтельбаум ( польское написание: "Tajtelbaum"), у родителей, которые были польскими евреями в обеспеченных условиях. Он впервые проявил свои математические способности, когда учился в средней школе, в Школе Мазовецкой в Варшаве . [8] Тем не менее, он поступил в Варшавский университет в 1918 году, намереваясь изучать биологию . [9]
После того, как Польша восстановила независимость в 1918 году, Варшавский университет перешел под руководство Яна Лукасевича , Станислава Лесьневского и Вацлава Серпинского и быстро стал ведущим мировым научно-исследовательским учреждением в области логики, фундаментальной математики и философии математики. Лесьневский распознал потенциал Тарского как математика и призвал его оставить биологию. [9] С тех пор Тарский посещал курсы, которые преподавали Лукасевич, Серпинский, Стефан Мазуркевич и Тадеуш Котарбинский , и в 1924 году стал единственным человеком, когда-либо защитившим докторскую диссертацию под руководством Лесьневского. Его диссертация называлась O wyrazie pierwotnym logistyki ( О первичном термине логистики ; опубликована в 1923 году). Тарский и Лесьневский вскоре охладели друг к другу, в основном из-за растущего антисемитизма последнего. [7] Однако в более поздние годы Тарский приберегал самые теплые похвалы для Котарбинского, на что тот отвечал взаимностью.
В 1923 году Альфред Тейтельбаум и его брат Вацлав изменили свою фамилию на «Тарский». Братья Тарские также перешли в римско-католическую веру , доминирующую религию Польши. Альфред сделал это, хотя он был убежденным атеистом . [10] [11]
Став самым молодым человеком, когда-либо получившим докторскую степень в Варшавском университете, Тарский преподавал логику в Польском педагогическом институте, математику и логику в университете и был ассистентом Лукасевича. Поскольку эти должности оплачивались плохо, Тарский также преподавал математику в Третьей мужской гимназии Профсоюза польских учителей средних школ (позже гимназия Стефана Жеромского), варшавской средней школе, начиная с 1925 года. [12] До Второй мировой войны было не редкостью, когда европейские интеллектуалы исследовательского калибра преподавали в средней школе. Поэтому до своего отъезда в Соединенные Штаты в 1939 году Тарский не только написал несколько учебников и множество статей, некоторые из которых были новаторскими, но и делал это, зарабатывая на жизнь, в основном, преподаванием математики в средней школе. [13] В 1929 году Тарский женился на коллеге-учительнице Марии Витковской, польке католического происхождения. Она работала курьером в армии во время польско-советской войны . У них было двое детей: сын Ян Тарский, который стал физиком, и дочь Ина, которая вышла замуж за математика Анджея Эренфойхта . [14]
Тарский подал заявку на кафедру философии в Львовском университете , но по рекомендации Бертрана Рассела ее присудили Леону Хвистеку . [15] В 1930 году Тарский посетил Венский университет , прочитал лекции на коллоквиуме Карла Менгера и встретился с Куртом Гёделем . Благодаря стипендии он смог вернуться в Вену в первой половине 1935 года, чтобы работать с исследовательской группой Менгера. Из Вены он отправился в Париж, чтобы представить свои идеи об истине на первом собрании движения « Единство науки» , выросшего из Венского кружка . На академическую карьеру Тарского в Польше сильно и неоднократно влияло его наследие. Например, в 1937 году Тарский подал заявку на кафедру в Познанском университете, но кафедру упразднили, чтобы избежать ее назначения Тарскому (который был бесспорно самым сильным претендентом), потому что он был евреем. [16] Связи Тарского с движением «Единство науки», вероятно, спасли ему жизнь, потому что они привели к тому, что его пригласили выступить на Конгрессе «Единство науки», состоявшемся в сентябре 1939 года в Гарвардском университете . Таким образом, он покинул Польшу в августе 1939 года на последнем судне, отплывшем из Польши в Соединенные Штаты перед вторжением Германии и СССР в Польшу и началом Второй мировой войны . Тарский уехал неохотно, потому что Лесьневский умер за несколько месяцев до этого, создав вакансию, которую Тарский надеялся заполнить. Не осознавая нацистской угрозы, он оставил жену и детей в Варшаве. Он не видел их снова до 1946 года. Во время войны почти вся его еврейская большая семья была убита руками немецких оккупационных властей.
Оказавшись в Соединенных Штатах, Тарский занимал ряд временных преподавательских и исследовательских должностей: Гарвардский университет (1939), Городской колледж Нью-Йорка (1940) и, благодаря стипендии Гуггенхайма , Институт перспективных исследований в Принстоне (1942), где он снова встретился с Гёделем. В 1942 году Тарский присоединился к математическому факультету Калифорнийского университета в Беркли , где и провел остаток своей карьеры. Тарский стал гражданином США в 1945 году . [17] Хотя с 1968 года он был почетным профессором, он преподавал до 1973 года и руководил аспирантами до своей смерти. [18] В Беркли Тарский приобрел репутацию поразительного и требовательного учителя, что было отмечено многими наблюдателями:
Его семинары в Беркли быстро стали известными в мире математической логики. Его студенты, многие из которых стали выдающимися математиками, отмечали удивительную энергию, с которой он уговаривал и выманивал у них лучшие работы, всегда требуя высочайших стандартов ясности и точности. [19]
Тарский был экстравертом, сообразительным, волевым, энергичным и острым на язык. Он предпочитал, чтобы его исследования были совместными — иногда работая всю ночь с коллегой — и был очень щепетильным в отношении приоритетов. [20]
Харизматичный лидер и учитель, известный своим блестяще точным, но в то же время захватывающим стилем изложения, Тарский имел пугающе высокие стандарты для студентов, но в то же время он мог быть очень ободряющим, и особенно для женщин — в отличие от общей тенденции. Некоторые студенты были напуганы, но круг учеников остался, многие из которых стали всемирно известными лидерами в этой области. [21]
Тарский руководил двадцатью четырьмя докторскими диссертациями, включая (в хронологическом порядке) диссертации Анджея Мостовского , Бьярни Йонссона , Джулии Робинсон , Роберта Воота , Соломона Фефермана , Ричарда Монтегю , Джеймса Дональда Монка, Хаима Гайфмана , Дональда Пигоцци и Роджера Мэддукса , а также Чэнь Чунг Чанга и Джерома Кейслера , авторов «Теории моделей» (1973), [22] классического текста в этой области. [23] [24] Он также оказал сильное влияние на диссертации Адольфа Линденбаума , Даны Скотт и Стивена Гиванта. Пятеро студентов Тарского были женщинами, что является примечательным фактом, учитывая, что в то время подавляющее большинство аспирантов составляли мужчины. [24] Однако у него были внебрачные связи по крайней мере с двумя из этих студентов. После того, как он показал работу другой своей студентки [ кто? ] коллеге-мужчине [ кто? ] коллега опубликовал его сам, что заставило ее оставить аспирантуру и позже перейти в другой университет и к другому научному руководителю. [25]
Тарский читал лекции в Университетском колледже Лондона (1950, 1966), Институте Анри Пуанкаре в Париже (1955), Институте фундаментальных исследований в области науки Миллера в Беркли (1958–60), Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе (1967) и Папском католическом университете Чили (1974–75). Среди многих отличий, полученных в ходе его карьеры, Тарский был избран в Национальную академию наук США , Британскую академию и Королевскую нидерландскую академию искусств и наук в 1958 году, [26] получил почетные степени от Папского католического университета Чили в 1975 году, от Марсельского университета Поля Сезанна в 1977 году и от Университета Калгари , а также Berkeley Citation в 1981 году. Тарский председательствовал в Ассоциации символической логики , 1944–46, и в Международном союзе истории и философии науки, 1956–57. Он также был почетным редактором Algebra Universalis . [27]
Математические интересы Тарского были исключительно широки. Его собранные работы занимают около 2500 страниц, большинство из них по математике, а не логике. Для краткого обзора математических и логических достижений Тарского, сделанного его бывшим студентом Соломоном Феферманом, см. "Interludes I–VI" в Feferman and Feferman. [28]
Первая статья Тарского, опубликованная, когда ему было 19 лет, была посвящена теории множеств , предмету, к которому он возвращался на протяжении всей своей жизни. [29] В 1924 году он и Стефан Банах доказали, что если принять Аксиому выбора , то шар можно разрезать на конечное число частей, а затем собрать его заново в шар большего размера, или, в качестве альтернативы, его можно собрать заново в два шара, размеры каждого из которых будут равны размерам исходного. Этот результат теперь называется парадоксом Банаха–Тарского . [30]
В работе «Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии » Тарский показал методом исключения кванторов , что теория первого порядка действительных чисел при сложении и умножении разрешима . (Хотя этот результат появился только в 1948 году, он датируется 1930 годом и упоминается в работе Тарского (1931).) Это очень любопытный результат, потому что Алонзо Чёрч доказал в 1936 году, что арифметика Пеано (теория натуральных чисел ) неразрешима . Арифметика Пеано также неполна по теореме Гёделя о неполноте . В своей работе 1953 года «Неразрешимые теории » Тарский и др. показали, что многие математические системы, включая теорию решёток , абстрактную проективную геометрию и алгебры замыкания , неразрешимы. Теория абелевых групп разрешима, но теория неабелевых групп — нет.
Преподавая в гимназии Стефана Жеромского в 1920-х и 30-х годах, Тарский часто преподавал геометрию . [31] Используя некоторые идеи Марио Пьери , в 1926 году Тарский разработал оригинальную аксиоматизацию для плоской евклидовой геометрии , значительно более лаконичную, чем у Гильберта . [32] Аксиомы Тарского образуют теорию первого порядка, лишенную теории множеств, индивидуумами которой являются точки , и имеющую только два примитивных отношения . В 1930 году он доказал разрешимость этой теории, поскольку ее можно отобразить в другую теорию, разрешимость которой он уже доказал, а именно в его теорию первого порядка действительных чисел.
В 1929 году он показал, что большую часть евклидовой стереометрии можно переформулировать как теорию второго порядка, чьи индивиды являются сферами ( примитивное понятие ), единственное примитивное бинарное отношение «содержится в», и две аксиомы, которые, среди прочего, подразумевают, что включение частично упорядочивает сферы. Ослабление требования, чтобы все индивиды были сферами, приводит к формализации мереологии, которую гораздо легче изложить, чем вариант Лесневского . Ближе к концу своей жизни Тарский написал очень длинное письмо, опубликованное как Tarski and Givant (1999), в котором подытожил свою работу по геометрии. [33]
Кардинальные алгебры изучали алгебры, модели которых включают арифметику кардинальных чисел . Порядковые алгебры излагают алгебру для аддитивной теории порядковых типов . Кардинальное, но не порядковое, сложение коммутирует.
В 1941 году Тарский опубликовал важную статью о бинарных отношениях , которая положила начало работе над алгеброй отношений и ее метаматематикой , которая занимала Тарского и его учеников большую часть его жизни. Хотя это исследование (и тесно связанная с ним работа Роджера Линдона ) выявило некоторые важные ограничения алгебры отношений, Тарский также показал (Тарский и Дживант, 1987), что алгебра отношений может выражать большинство аксиоматической теории множеств и арифметики Пеано . Для введения в алгебру отношений см. Maddux (2006). В конце 1940-х годов Тарский и его ученики разработали цилиндрические алгебры , которые для логики первого порядка являются тем же, чем двухэлементная булева алгебра для классической сентенциальной логики . Эта работа достигла кульминации в двух монографиях Тарского, Хенкина и Монка (1971, 1985). [34]
Ученик Тарского, Роберт Лоусон Вот , причислил Тарского к четырем величайшим логикам всех времен — наряду с Аристотелем , Готлобом Фреге и Куртом Гёделем . [7] [35] [36] Однако Тарский часто выражал большое восхищение Чарльзом Сандерсом Пирсом , особенно его новаторской работой в области логики отношений .
Тарский вывел аксиомы для логического следствия и работал над дедуктивными системами , алгеброй логики и теорией определимости. Его семантические методы, которые достигли кульминации в теории моделей, которую он и ряд его студентов из Беркли разработали в 1950-х и 60-х годах, радикально преобразовали метаматематику теории доказательств Гильберта. Около 1930 года Тарский разработал абстрактную теорию логических выводов, которая моделирует некоторые свойства логических исчислений. Математически то, что он описал, является просто финитным оператором замыкания на множестве (множестве предложений ). В абстрактной алгебраической логике финитные операторы замыкания до сих пор изучаются под названием оператор следствия , которое было придумано Тарским. Множество S представляет собой множество предложений, подмножество T из S — теорию, а cl( T ) — множество всех предложений, которые следуют из теории. Этот абстрактный подход был применен к нечеткой логике (см. Gerla 2000).
По мнению [Тарского], метаматематика стала похожей на любую математическую дисциплину. Ее концепции и результаты могут быть не только математизированы, но и фактически могут быть интегрированы в математику. ... Тарский разрушил границу между метаматематикой и математикой. Он возражал против ограничения роли метаматематики основаниями математики. [37]
В статье Тарского 1936 года «О концепции логического следствия» утверждалось, что заключение аргумента будет логически следовать из его предпосылок, если и только если каждая модель предпосылок является моделью заключения. [38] В 1937 году он опубликовал статью, в которой ясно изложил свои взгляды на природу и цель дедуктивного метода и роль логики в научных исследованиях. [29] Его преподавание логики и аксиоматики в средней школе и бакалавриате достигло кульминации в классическом коротком тексте, опубликованном сначала на польском языке, затем в немецком переводе и, наконец, в английском переводе 1941 года под названием « Введение в логику и методологию дедуктивных наук» . [39]
В работе Тарского 1969 года «Истина и доказательство» рассматриваются как теоремы Гёделя о неполноте , так и теорема Тарского о неопределимости , а также размышляются об их последствиях для аксиоматического метода в математике.
В 1933 году Тарский опубликовал очень длинную статью на польском языке под названием "Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych", [40] "Изложение математического определения истины для формальных языков". Немецкий перевод 1935 года назывался "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen", "Понятие истины в формализованных языках", иногда сокращалось до "Wahrheitsbegriff". Английский перевод появился в первом издании тома 1956 года Logic, Semantics, Metamathematics . Этот сборник статей с 1923 по 1938 год является событием в аналитической философии 20-го века , вкладом в символическую логику , семантику и философию языка . Для краткого обсуждения его содержания см. Convention T (а также T-schema ).
Философская дискуссия исследует, в какой степени теория истины Тарского для формализованных языков может рассматриваться как корреспондентная теория истины . Дискуссия сосредоточена на том, как читать условие материальной адекватности Тарского для истинного определения. Это условие требует, чтобы теория истины имела следующие теоремы для всех предложений p языка, для которого определяется истина:
(где p — предложение, выраженное «p»)
Дискуссия сводится к тому, следует ли читать предложения такой формы, например:
«Снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег белый.
как выражающее просто дефляционную теорию истины или как воплощающее истину как более существенное свойство (см. Kirkham 1992).
В 1936 году Тарский опубликовал польскую и немецкую версии лекции «О концепции логического следования» [41] , которую он прочитал годом ранее на Международном конгрессе научной философии в Париже. Новый английский перевод этой статьи, Tarski (2002), подчеркивает многочисленные различия между немецкой и польской версиями статьи и исправляет ряд неверных переводов в Tarski (1983). [41]
В этой публикации изложено современное модельно-теоретическое определение (семантического) логического следования или, по крайней мере, его основа. То, было ли понятие Тарского полностью современным, зависит от того, намеревался ли он допускать модели с различными областями (и, в частности, модели с областями разной мощности ). [ необходима цитата ] Этот вопрос является предметом некоторых дискуссий в философской литературе. Джон Этчеменди стимулировал большую часть дискуссии о трактовке Тарским различных областей. [42]
Тарский заканчивает, указывая, что его определение логического следствия зависит от деления терминов на логические и внелогические, и он выражает некоторый скептицизм относительно того, что любое такое объективное деление будет иметь место. «Что такое логические понятия?» можно, таким образом, рассматривать как продолжение «О понятии логического следствия». [ необходима цитата ]
«Что такое логические понятия?» Тарского (Tarski 1986) — это опубликованная версия доклада, который он первоначально прочитал в 1966 году в Лондоне, а затем в 1973 году в Буффало ; он был отредактирован без его прямого участия Джоном Коркораном . Он стал самой цитируемой статьей в журнале History and Philosophy of Logic . [43]
В докладе Тарский предложил разграничить логические операции (которые он называет «понятиями») от нелогических. Предложенные критерии были получены из программы Эрлангена немецкого математика 19-го века Феликса Клейна . Маутнер (в 1946 году) и, возможно, [ необходимо разъяснение ] статья португальского математика Жозе Себастьяна и Силвы предвосхитили Тарского в применении программы Эрлангена к логике. [ необходима цитата ]
Программа Эрлангена классифицировала различные типы геометрии ( евклидова геометрия , аффинная геометрия , топология и т. д.) по типу взаимно однозначного преобразования пространства на себя, которое оставляет объекты этой геометрической теории инвариантными. (Взаимно однозначное преобразование — это функциональное отображение пространства на себя так, что каждая точка пространства связана или отображается на одну другую точку пространства. Таким образом, «поворот на 30 градусов» и «увеличение в 2 раза» являются интуитивными описаниями простых однородных взаимно однозначных преобразований.) Непрерывные преобразования порождают объекты топологии, преобразования подобия — объекты евклидовой геометрии и т. д. [ требуется ссылка ]
По мере того, как диапазон допустимых преобразований становится шире, диапазон объектов, которые можно различить как сохраненные применением преобразований, становится уже. Преобразования подобия довольно узкие (они сохраняют относительное расстояние между точками) и, таким образом, позволяют нам различать относительно много вещей (например, равносторонние треугольники от неравносторонних треугольников). Непрерывные преобразования (которые можно интуитивно рассматривать как преобразования, допускающие неравномерное растяжение, сжатие, изгиб и скручивание, но не разрывающие или склеивающие) позволяют нам различать многоугольник от кольца ( кольца с отверстием в центре), но не позволяют нам различать два многоугольника друг от друга. [ необходима цитата ]
Предложение Тарского [ which? ] состояло в том, чтобы разграничить логические понятия, рассматривая все возможные однозначные преобразования ( автоморфизмы ) домена на себя. Под доменом подразумевается универсум дискурса модели для семантической теории логики. Если отождествить истинностное значение True с множеством домена, а истинностное значение False с пустым множеством, то следующие операции считаются логическими в соответствии с предложением:
В некотором смысле настоящее предложение является обратной стороной предложения Линденбаума и Тарского (1936), которые доказали, что все логические операции Principia Mathematica Бертрана Рассела и Уайтхеда инвариантны относительно взаимно-однозначных преобразований области на себя. Настоящее предложение также используется в работе Тарского и Живанта (1987). [44]
Соломон Феферман и Ванн Макги далее обсудили предложение Тарского [ which? ] в работе, опубликованной после его смерти. Феферман (1999) поднимает проблемы для предложения и предлагает лекарство: замену сохранения Тарского автоморфизмами на сохранение произвольными гомоморфизмами . По сути, это предложение обходит трудности, с которыми сталкивается предложение Тарского при работе с одинаковостью логической операции в различных областях заданной мощности и в областях различных мощностей. Предложение Фефермана приводит к радикальному ограничению логических терминов по сравнению с исходным предложением Тарского. В частности, оно заканчивается тем, что считает логическими только те операторы стандартной логики первого порядка без тождества. [ необходима цитата ]
Ванн Макги (1996) дает точное описание того, какие операции являются логическими в смысле предложения Тарского с точки зрения выразительности на языке, который расширяет логику первого порядка, допуская произвольно длинные конъюнкции и дизъюнкции, а также квантификацию по произвольному числу переменных. «Произвольно» включает в себя счетную бесконечность. [45]
