В алгебраической геометрии торическое многообразие или вложение тора — это алгебраическое многообразие , содержащее алгебраический тор как открытое плотное подмножество , такое, что действие тора на себя распространяется на все многообразие. Некоторые авторы также требуют, чтобы это было нормально . Торические многообразия образуют важный и богатый класс примеров алгебраической геометрии, которые часто служат полигоном для проверки теорем. Геометрия торического многообразия полностью определяется комбинаторикой связанного с ним веера, что часто делает вычисления гораздо более удобными. Для некоторого специального, но все же достаточно общего класса торических многообразий эта информация также закодирована в многограннике, что создает мощную связь предмета с выпуклой геометрией. Знакомыми примерами торических многообразий являются аффинное пространство , проективные пространства, произведения проективных пространств и расслоения над проективным пространством .
Первоначальной мотивацией изучения торических многообразий было изучение вложений торов. Учитывая алгебраический тор T , группа характеров Hom( T , C x ) образует решетку. Учитывая набор точек A , подмножество этой решетки, каждая точка определяет отображение в C , и, таким образом, набор определяет отображение в C |A| . Взяв замыкание Зариского образа такого отображения, можно получить аффинное многообразие. Если совокупность точек решетки A порождает решетку характеров, то это многообразие является вложением тора. Аналогичным образом можно создать параметризованное проективное торическое многообразие, взяв проективное замыкание приведенной выше карты и рассматривая ее как карту в аффинном участке проективного пространства.
Учитывая проективное торическое многообразие, заметим, что мы можем исследовать его геометрию с помощью однопараметрических подгрупп. Каждая однопараметрическая подгруппа, определяемая точкой решетки, двойственной решетке характеров, представляет собой проколотую кривую внутри проективного торического многообразия. Поскольку многообразие компактно, эта проколотая кривая имеет единственную предельную точку. Таким образом, разбивая решетку однопараметрических подгрупп по предельным точкам проколотых кривых, мы получаем веер решетки — набор многогранных рациональных конусов. Конусы высшей размерности точно соответствуют неподвижным точкам тора, пределам этих проколотых кривых.
Предположим, что N — свободная абелева группа конечного ранга . Сильно выпуклый рациональный многогранный конус в N — это выпуклый конус (вещественного векторного пространства N ) с вершиной в начале координат, порожденный конечным числом векторов из N , который не содержит прямых, проходящих через начало координат. Для краткости их будем называть «конусами».
Для каждого конуса σ его аффинное торическое многообразие U σ является спектром полугрупповой алгебры двойственного конуса .
Веер – это совокупность конусов, замкнутых относительно пересечений и граней .
Торическое многообразие веера задается путем склеивания аффинных торических многообразий его конусов путем отождествления U σ с открытым подмногообразием U τ , если σ является гранью τ. И наоборот, каждому вееру сильно выпуклых рациональных конусов соответствует торическое многообразие.
Веер, связанный с торическим многообразием, объединяет некоторые важные данные о многообразии. Например, многообразие является гладким , если каждый конус его веера может быть порожден подмножеством базиса свободной абелевой группы N.
Предположим, что ∆1 и ∆2 — вееры в решетках N1 и N2 . Если f — линейное отображение из N 1 в N 2 такое, что образ каждого конуса Δ 1 содержится в конусе Δ 2 , то f индуцирует морфизм f * между соответствующими торическими многообразиями. Это отображение f * является собственным тогда и только тогда, когда прообраз |Δ 2 | при отображении f есть |Δ 1 |, где |Δ| — это пространство, лежащее в основе веера ∆, заданное объединением его конусов.
Торическое многообразие называется неособым, если его конусы максимальной размерности порождены базисом решетки. Это означает, что каждое торическое многообразие имеет разрешение особенностей, заданное другим торическим многообразием, которое можно построить путем разделения максимальных конусов на конусы неособых торических многообразий.
Веер рационального выпуклого многогранника в N состоит из конусов над его собственными гранями. Торическое многообразие многогранника есть торическое многообразие его веера. Вариант этой конструкции состоит в том, чтобы взять рациональный многогранник в двойственном к N торическом многообразии его полярного множества в N .
Торическое многообразие отображает многогранник в двойственном к N многограннику, слои которого являются топологическими торами. Например, комплексная проективная плоскость CP 2 может быть представлена тремя комплексными координатами, удовлетворяющими условиям
где сумма была выбрана для учета части реального масштабирования проективного отображения, а координаты, кроме того, должны быть идентифицированы с помощью следующего действия U (1) :
Подход торической геометрии состоит в том, чтобы написать
Координаты неотрицательны и параметризуют треугольник, потому что
то есть,
Треугольник является торическим основанием комплексной проективной плоскости. Общий слой представляет собой двухтор, параметризованный фазами ; фаза может быть выбрана вещественной и положительной в силу симметрии.
Однако двухтор вырождается в три разных круга на границе треугольника, т. е. на или или, поскольку фаза становится несущественной соответственно.
Точная ориентация кругов внутри тора обычно изображается наклоном интервалов линий (в данном случае сторон треугольника).
Идея торических многообразий полезна для зеркальной симметрии, поскольку интерпретация некоторых данных веера как данных многогранника приводит к комбинаторному построению зеркальных многообразий.
